第22章 二次函数 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章《二次函数》单元测试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 6．如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 8．二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为 C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为 9．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 10．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点（1，0）．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．若点、在图象上，且，则 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．抛物线的对称轴是直线 ． 12．对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 13．已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则 ． 14．已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 15．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 16．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 17．在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 1 … y … 0 … 则当时的最小值为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（8分）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 20.（8分）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … （1）直接写出m的值______； （2）求出函数表达式； （3）直接写出关于x的不等式的解集：______． 21.（10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 22.（10分）端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） （1）若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； （2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ （3）在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 23.（10分）如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． （1）求二次函数的关系式及点C的坐标； （2）如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 24.（12分）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使∆PHC是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题 1．D 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 2．A 解：将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为即， 故选：A． 3．B 解：∵函数 ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上， 则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小， ∵函数的图象上有三点，，，且 ∴ 故选：B． 4．A 解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限， 当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限， ∴符合题意的是选项， 故选：． 5．B 解：设所在直线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∵二次函数与线段有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ①当时， 此时函数的开口向上， ∴，， 解得：， ②当时 此时函数的开口向下， ∴，， 解得：， 综上所述得：，， 故选：B． 6．B 解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 7．C 解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，或， 故选：C． 8．C 解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为．故A选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 与轴的交点坐标为．故B选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和，故C选项不正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 对应的函数值与对应的函数值相等， 由表格可知，当时，， 当时，对应的函数值为．故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 9．C 解：将代入，得 ， 即 ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故选C． 10．B 解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，故A错误； 抛物线过点， ， ， ， ，故B正确； 时，， ，故C错误； 当点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离时，则，故D错误． 故选：B． 二、填空题 11． 解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 12． 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为0， 当时，，当时，， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 13． 解：设，， ∴、是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线上有两个点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 当时，． 故答案为：． 14． 解：由题可知，的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 15．9 解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 16． 解：令，则， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为： 点的横坐标为： 当 时， ； 设直线解析式为， 则， 解得， 由抛物线的对称性可知： ∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小， 将 代入得： 故此时点的坐标是 故答案为：． 17． 解：由表格可知，和时均有， ∴对称轴为：   观察表格，时，即顶点为， 设二次函数的顶点式为：   由表格中，，代入顶点式得：   ， 即， 解得  ， ∴二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小， ， 当时，取得最小值，为． 故答案为：． 18． 解：抛物线的对称轴为直线， 在中，令，得， 即； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴关于直线对称， ∴， ∴； ∵，， ∴由勾股定理得：， 即， ∴点D的横坐标为， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19. 解：（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 20. 解：（1）解：∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， ∵时，， ∴； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式可设为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （3）解：联立， 解得：或， ∴抛物线和直线的交点坐标为，， 如图，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上面， ∴关于x的不等式的解集为或． 21. 解：（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 22. 解：（1）解：由题意可得：； ； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元， 由题意得： ∴当时，元， 即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元； （3）由（2）可知，当时，A种礼盒每天售出盒，B种礼盒每天售出盒， 则， ， ， ． 23. 解：（1）解：令，则，解得， 一次函数与x轴交点A的坐标为， 令，则， 一次函数与y轴交点B的坐标为， 二次函数经过两点， ∴将代入得： 解得， 二次函数关系式为， 令，即， 解得， 点坐标为， 点C的坐标为． （2）设点P坐标并表示的长度 设点（）， 轴，E点横坐标与P相同为m， ， ， 轴， ， ， ， ,， ， ， ， 当时，的最大值为． 24. 解：（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：能，理由： 由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，直线和轴的夹角为， 设点，则点， 则， ∵直线和轴的夹角为，， 则， 解得：， 即点的坐标为：； （3）解：存在，理由： 设点，而点， 则，，， 当时， 则， 解得：； 当或时， 同理可得或， 解得：（舍去）或6或或， 即点的坐标为：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $