7.1角与弧度【十大考点+十大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版必修第一册）

本讲义聚焦“角与弧度”核心知识点，从任意角的概念及正角、负角、零角分类出发，延伸至象限角、终边相同的角的集合表示，衔接角度制与弧度制互化，最终落实到弧长与扇形面积公式，构建从概念到应用的完整学习支架，为三角函数学习奠基。 资料亮点在于题型设计融入生活实例（如齿轮转动、钟表时针旋转），通过定义辨析题（例1）培养数学思维的严谨性，用弧度制表示角的集合等训练数学语言表达。课中例题变式助教师分层教学，课后高分达标部分供学生查漏补缺，提升知识应用能力。

7.1角与弧度 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 3．角的分类： 名称 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 知识点二：角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 知识点三：象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 知识点四：终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点五：度量角的两种单位制 1．角度制： (1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的. 2．弧度制： (1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 知识点六：弧度数的计算 知识点七：角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 知识点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 【题型归纳】 题型一：任意角和终边相同的角定义 【例1】．（24-25高一上·全国课堂例题）已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】C 【分析】根据任意角的概念逐项判断. 【详解】A，角，是第一象限角，但不是锐角，A错误； B，角，角，则角和的终边相同，但，B错误； C，的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角，C正确； D，角的终边在第二象限，则角不是钝角，D错误. 故选：C. 【变式1】．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用终边相同的角的集合逐项分析判断即可求出结果. 【详解】因为与角终边相同的角的集合为， 当时，得到，又，所以易知ACD均不符合题意. 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·江苏苏州·月考）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据所在区域及象限角的定义即可判断. 【详解】因为，所以是第三象限角. 故选：C. 题型二：找终边相同的角 【例2】．（24-25高一下·河南·月考）已知角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】将用到的角表示出，进而确定其所在的象限. 【详解】角，而， 所以的终边在第二象限. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·四川·月考）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先得到与 终边相同，都位于第三象限；则，整理得到，因此与终边相同都在第二象限. 【详解】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 故选：B 【变式2】．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】利用钝角的取值范围得出的范围即可得出其对应象限. 【详解】若是钝角可得，因此； 显然此时是第一象限角. 故选：A 题型三：象限角 【例3】．（2025高二·全国·专题练习）若与角的终边相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据已知有，变形即可得对应象限. 【详解】因为与角的终边相同，所以， 则，所以是第三象限角． 故选：C 【变式1】．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【分析】用终相同的角写出角的表示，计算，让整数取相邻的整数代入确认． 【详解】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角. 故选：B． 【变式2】．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 题型四：确定n倍角所在象限 【例4】．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿， 所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿， 所以小轮此时转动周， 即小轮转动的角度为. 故选：B 【变式1】．（24-25高一上·广东佛山·期中）小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于是晚一个小时，所以需要把表调慢，即按逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为． 【详解】由题意，小明需要把表调慢一个小时，即将表的时针逆时针旋转弧度. 故选：B. 【变式2】．（24-25高一上·山东青岛·月考）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可. 【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或. 故选：C. 题型五：度量角的两种单位制（角度制和弧度制） 【例5】．（25-26高一上·全国·课后作业）下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【分析】根据终边相同的角的概念依次判断即可. 【详解】与角的终边相同的角的集合为． 当时，，解得， 角与角的终边不相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同． 故答案为：②③④. 【变式1】．（24-25高一下·江西抚州·月考）在范围内，终边与重合的角的大小为 ． 【答案】 【分析】利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】终边与重合的角为， 由，可得， 所以，在范围内，终边与重合的角的大小为. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一上·海南海口·月考）在的范围内，与终边相同的角是 ． 【答案】 【分析】利用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】由， 可得在的范围内，与终边相同的角是. 故答案为：. 题型六：用弧度表示角的集合 【例6】．（23-24高一上·天津河西·期末）已知角，则角的终边落在第 象限． 【答案】三 【分析】根据终边相同的角的表示，将化为，即可判断答案. 【详解】由题意得， 由于的终边在第三象限内，故角的终边落在第三象限内， 故答案为：三 【变式1】．（24-25高一下·山东聊城·开学考试）用弧度表示第二象限的角的集合 ． 【答案】 【分析】直接利用象限角的表示方法写出结果即可得. 【详解】第二象限的角的集合可表示为. 故答案为：.. 【变式2】．（22-23高一下·山东潍坊·月考）把写成的形式是 . 【答案】 【分析】将角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可． 【详解】因为 所以. 故答案为：. 题型七：角度与弧度的互化 【例7】．（25-26高一上·全国·单元测试）将下列角度与弧度互化．（不必求近似值） (1)； (2)； (3)1.2； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 【变式1】．（2023高一上·江苏·专题练习）将下列角度与弧度进行互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的关系进行转化即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式2】．（2023高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 题型八：弧长的计算 【例8】．（25-26高一上·山西吕梁·月考）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出小轮每分钟转的圈数和小轮每秒钟转的弧度数，从而求出弧长. 【详解】大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈， 故小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是． 故选：B． 【变式1】．（25-26高一上·重庆·期中）若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【详解】因为一个扇形的半径为2，圆心角为，可得扇形的弧长为， 所以该扇形的面积为. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高一上·宁夏·月考）若扇形的圆心角为，半径为6cm，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式，即可求解. 【详解】根据弧长公式可知，弧长. 故选：B 题型九：扇形面积的计算 【例9】．（24-25高一上·天津·月考）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D 【变式1】．（25-26高一上·山东聊城·月考）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过弧长公式求出大扇形半径，再结合的长度得到小扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧AB的长为， 代入弧长公式可得，解得. 所以. 由扇形面积公式可得， ， ， 所以此扇面的面积． 故选：B 【变式2】．（25-26高一上·山西晋城·月考）小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】D 【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和D. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：扇形的周长为，C正确； 对于D：扇形的面积为，D错误； 故选：D 题型十：、扇形的弧长、面积综合问题（最值） 【例10】．（25-26高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的延长线交于圆心，圆心角，扇形半径，根据弧长公式结合题意列方程组求出，再由扇形面积公式即可计算得解. 【详解】如图，与的延长线交于圆心， 设圆心角，扇形半径，则，解得， 则该扇面的面积为. . 故选：B 【变式1】．（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 【变式2】．（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【答案】(1) (2) (3)当时，扇形面积有最大值，为 【分析】（1）利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案； （2）根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案； （3）根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由，则. （2）由，解得或18，因为，所以. （3）由，得， 则， 由，则，当且仅当时，等号成立， 当时，扇形面积有最大值. 【变式3】．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长； （2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可. 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知角，则的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由象限角的定义得到结果. 【详解】因为，而，所以的终边在第三象限． 故选：C． 2．（25-26高一上·山东聊城·月考）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用终边相同的角的关系即可求解. 【详解】易知， 对于，集合表达式中混合使用了角度制与弧度制，表示错误，故错误； 对于D，当时，不成立，故D错误； 与的终边相同的角的集合为： ，故C正确. 故选：C. 3．（25-26高一上·湖南娄底·月考）已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】该扇形的圆心角的弧度数为，弧长为，则该扇形的半径为， 故该扇形的面积为. 故选：B. 4．（24-25高一下·江西上饶·月考）已知是第三象限角，那么是（   ） A．第一或第三象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】根据条件得，从而有，再分和，计算即可求解. 【详解】因为是第三象限角，则，所以， 当时，，此时是第二象限角， 当时，，此时是第四象限角， 综上，是第二或第四象限角， 故选：D. 5．（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据条件求出半径，再分别求出、扇形和的面积即可. 【详解】连接，设和的交点为， 因点是以为直径的半圆的三等分点，则， 因，则，即为等边三角形， 因，则， 因，则四边形为平行四边形， 因，则四边形为菱形，则， 设圆的半径为，则，， 则， 扇形的面积为，， 则图中阴影部分的面积为， 因弧的长为，，则，则图中阴影部分的面积为. 故选：A      6．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据角的集合确定集合所表示的角的终边位置，由此判断三个集合的关系； 方法二：对集合中的关系式变形，化为结构相似的形式，由此判断结论， 【详解】方法一：集合表示终边在轴非负半轴上角的集合； 集合表示终边在轴上的角的集合； 集合表示终边在坐标轴上的角的集合． 故，，． 方法二：因为集合， 集合， 集合，所以，，． 故选：A. 7．（2025高三·天津·专题练习）下列说法正确的是（ ） A．两个角的终边相同，则它们的大小相等 B．若角为第二象限角，则是第四象限角 C．第一象限角都是锐角 D．终边在直线上的角的集合是 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断选项A，C；根据角与角终边的对称性即可判断选项B；写出终边在直线上的角的集合即可判断选项D. 【详解】角与角的终边相同，但它们的大小不相等，故选项A不正确； 因为角与角的终边关于轴对称，所以当角为第二象限角时，角是第三象限角，故选项B不正确； 第一象限角不都是锐角，比如角为第一象限角，但它不是锐角，故选项C不正确； 若终边在直线上的角在第二象限，则集合是； 若终边在直线上的角在第四象限，则集合是， 综上，终边在直线上的角的集合是 ，故选项D正确. 故选：D. 二、多选题 8．（25-26高一上·江苏苏州·月考）下列结论正确的有（   ） A．是第二象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．与角终边相同的最小正角是 D．若角为锐角，则角为钝角 【答案】ABC 【分析】逐个分析选项，通过角的终边转化判断象限、利用弧长公式计算扇形面积、通过终边相同角的转化求最小正角、举反例验证锐角的二倍角性质. 【详解】选项A：，，对应第二象限，A正确. 选项B：由弧长公式，得半径. 扇形面积，B正确. 选项C：，故与终边相同的最小正角是，C正确. 选项D：取锐角，则仍为锐角，并非钝角，D错误. 故选：ABC 9．（25-26高一上·吉林长春·月考）下列说法正确的有（    ） A．第一象限角小于第二象限角 B．第三象限的角可表示为 C．若为第三象限角，则为第二或者第四象限角 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】BCD 【分析】取，可判断A；求得第三象限角判断B；求得所在象限判断C；求得扇形面积判断D. 【详解】对于A，为第一象限角，为第二象限角，又， 故第一象限角小于第二象限角错误，故A错误； 对于B，第三象限的角可表示为，故B正确； 对于C，若为第三象限的角，则， 则， 当时，，则为第二象限角； 当时，，则为第四象限角； 所以若为第三象限角，则为第二或者第四象限角，故C正确； 对于D，由，得， 所以扇形面积，故D正确. 故选：BCD. 10．（25-26高一上·陕西榆林·月考）下列说法正确的有（    ） A．角是第三象限角 B．锐角都是第一象限角 C．经过4小时，时针转了 D．若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角也为 【答案】ABC 【分析】将角化为最小正角确定所在象限判断A，由锐角、象限角的定义判断B，根据时针的旋转方向及正负角的定义判断C，由扇形的面积公式求圆心角判断D. 【详解】A，由，而为第三象限角，则角是第三象限角，对， B，由锐角的范围是大于且小于，显然在第一象限角，对， C，经过4小时，时针顺时针旋转了，即时针转了，对， D，若圆心角为，弧长为，半径为，则扇形面积， 所以，可得，即圆心角为，错. 故选：ABC 11．（25-26高一上·江苏泰州·月考）以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 【答案】AD 【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用弧度的定义可判断C选项；利用扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是，C错； 对于D选项，在半径为的圆中，圆心角为的弧长为，D对. 故选：AD. 三、填空题 12．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为 . 【答案】 【分析】根据题意结合弧长和扇形面积公式解得，进而可求扇形周长. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 则扇形的面积，即， 且，解得， 所以扇形的周长. 故答案为：. 13．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 【答案】 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 14．（25-26高三上·河南濮阳·月考）如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【分析】运用扇环的定义，两个同心扇形（圆心相同）的面积差利用扇形面积公式求解两个扇形的面积差. 【详解】由题意知， 因为， 由扇形面积公式得: 所以． 故答案为：. 15．（25-26高一上·山东泰安·月考）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料 . 【答案】 【分析】求出大扇形及小扇形的面积，作差即可求出扇环面积. 【详解】由题意知，圆心角，外圆半径，内圆半径. 扇环面积. 故答案为：. 四、解答题 16．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列角度分别位于哪个象限： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)第四象限 (2)第三象限 (3)第一象限 (4)第一象限 【分析】将所给角表示成的形式，然后可判断出所在象限. 【详解】（1），故在第四象限. （2），故在第三象限. （3），故在第一象限. （4），故在第一象限. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿． (1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数； (2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据已知条件列方程，求得大轮转动的周数，从而求得大轮转动的弧度数. （2）先求得大轮的转速，根据大轮上每1s转过的弧长列方程，从而求得大轮的半径. 【详解】（1）设小轮转动一周时大轮转动周，则， 故大轮转动的弧度数为． （2）设大轮的半径为，易知大轮的转速为， 所以大轮上每1s转过的弧长为，故． 18．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）（1）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角； （2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    【答案】（1），第二象限角；（2）， 【分析】（1）整理可得，进而判断角所在象限； （2）根据题意，利用终边在直线上的角的表示方法，求出角的集合. 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同，且，所以角是第二象限角； （2）图①：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合； 图②：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 19．（24-25高一下·广西钦州·月考）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1)； (2)； (3),. 【分析】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可； （2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可； （3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的面积为； （2）设扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或， 所以扇形圆心角的弧度数为； （3）设扇形圆心角的弧度为，则，则 扇形的周长为， 当且仅当时，周长可取得最小值，此时， 故此时扇形的圆心角. 20．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【答案】(1)， (2)，栅栏长度的最小值为40米 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得 所以， （2）依题意可得弧长，弧长，所以栅栏的长度 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1角与弧度 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 3．角的分类： 名称 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 知识点二：角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 知识点三：象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 知识点四：终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点五：度量角的两种单位制 1．角度制： (1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的. 2．弧度制： (1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 知识点六：弧度数的计算 知识点七：角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 知识点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 【题型归纳】 题型一：任意角和终边相同的角定义 【例1】．（24-25高一上·全国课堂例题）已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【变式1】．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·江苏苏州·月考）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型二：找终边相同的角 【例2】．（24-25高一下·河南·月考）已知角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】．（25-26高一上·四川·月考）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型三：象限角 【例3】．（2025高二·全国·专题练习）若与角的终边相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式1】．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【变式2】．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 题型四：确定n倍角所在象限 【例4】．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·广东佛山·期中）小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·山东青岛·月考）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五：度量角的两种单位制（角度制和弧度制） 【例5】．（25-26高一上·全国·课后作业）下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【变式1】．（24-25高一下·江西抚州·月考）在范围内，终边与重合的角的大小为 ． 【变式2】．（24-25高一上·海南海口·月考）在的范围内，与终边相同的角是 ． 题型六：用弧度表示角的集合 【例6】．（23-24高一上·天津河西·期末）已知角，则角的终边落在第 象限． 【变式1】．（24-25高一下·山东聊城·开学考试）用弧度表示第二象限的角的集合 ． 【变式2】．（22-23高一下·山东潍坊·月考）把写成的形式是 . 题型七：角度与弧度的互化 【例7】．（25-26高一上·全国·单元测试）将下列角度与弧度互化．（不必求近似值） (1)； (2)； (3)1.2； (4)． 【变式1】．（2023高一上·江苏·专题练习）将下列角度与弧度进行互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（2023高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 题型八：弧长的计算 【例8】．（25-26高一上·山西吕梁·月考）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·重庆·期中）若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·宁夏·月考）若扇形的圆心角为，半径为6cm，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C． D． 题型九：扇形面积的计算 【例9】．（24-25高一上·天津·月考）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·山东聊城·月考）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·山西晋城·月考）小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 题型十：、扇形的弧长、面积综合问题（最值） 【例10】．（25-26高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【变式2】．（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【变式3】．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知角，则的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高一上·山东聊城·月考）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南娄底·月考）已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西上饶·月考）已知是第三象限角，那么是（   ） A．第一或第三象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 5．（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·天津·专题练习）下列说法正确的是（ ） A．两个角的终边相同，则它们的大小相等 B．若角为第二象限角，则是第四象限角 C．第一象限角都是锐角 D．终边在直线上的角的集合是 二、多选题 8．（25-26高一上·江苏苏州·月考）下列结论正确的有（   ） A．是第二象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．与角终边相同的最小正角是 D．若角为锐角，则角为钝角 9．（25-26高一上·吉林长春·月考）下列说法正确的有（    ） A．第一象限角小于第二象限角 B．第三象限的角可表示为 C．若为第三象限角，则为第二或者第四象限角 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 10．（25-26高一上·陕西榆林·月考）下列说法正确的有（    ） A．角是第三象限角 B．锐角都是第一象限角 C．经过4小时，时针转了 D．若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角也为 11．（25-26高一上·江苏泰州·月考）以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 三、填空题 12．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为 . 13．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 14．（25-26高三上·河南濮阳·月考）如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    15．（25-26高一上·山东泰安·月考）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料 . 四、解答题 16．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列角度分别位于哪个象限： (1)； (2)； (3)； (4). 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿． (1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数； (2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径． 18．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）（1）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角； （2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    19．（24-25高一下·广西钦州·月考）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 20．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $