专题复习：圆中的角度计算问题 课件 -2024-2025学年苏科版数学九年级上册

专题复习 ——圆中的角度计算问题 . 一、知识回顾 操作：(1) 在图中，用无刻度的直尺画一个90°的圆周角； 作图依据：直径所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径 . 一、知识回顾 操作： (2)在图中，用无刻度的直尺和圆规画一个60°的圆周角； 作图依据：等边三角形的每个内角是60° A C (3)在图中，用无刻度的直尺画一个30°的圆周角； B 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 思考：1.你能画出多少个30°的圆周角？ 2.在图中你还能画出多少度的圆周角？ 同弧或等弧所对的圆周角相等 圆内接四边形的对角互补 二、知识运用 （1）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD= °； 二、知识运用 （1）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD= °； 解法小结：连接半径，构造等腰三角形； 圆周角的 度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 . 二、知识运用 （1）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD= °； 解法小结：有直径，连接弦，构造直角三角形； 同弧所对的圆周角相等 . 二、知识运用 （2）如图，点A、C、D在⊙O上，若∠AOC:∠ADC=2:3， 则∠AOC的度数为 °； B 解法小结：设“k”法； 连接弦，得到圆周角，同时构造圆内接四边形； 根据圆内接四边形的对角互补列方程 . 三、例题精讲 例1. 如图，CE是⊙O的直径，B是CE延长线上一点，点D在⊙O上，BD的延长线交⊙O于点A．若BD＝OA，∠B＝28°. (1)求∠AOC的度数. 解法小结：连接半径，构造等腰三角形 圆外的角转化到圆内 . 三、例题精讲 例1. 如图，CE是⊙O的直径，B是CE延长线上一点，点D在⊙O上，BD的延长线交⊙O于点A．若BD＝OA，∠B＝28°. (2)连接AC、CD，求∠ACD的度数. 一 二 三 . 三、例题精讲 例1. 如图，CE是⊙O的直径，B是CE延长线上一点，点D在⊙O上，BD的延长线交⊙O于点A．若BD＝OA，∠B＝28°. (2)连接AC、CD，求∠ACD的度数. 解法一：连接OD. ∵∠BOD=28°，∠AOC=84° ∴∠AOD=180°-∠BOD-∠AOC =180°-28°-84° =68° ∵AD ∴∠ACD==34° 解法小结：连接半径 圆周角转化为圆心角 . 三、例题精讲 例1. 如图，CE是⊙O的直径，B是CE延长线上一点，点D在⊙O上，BD的延长线交⊙O于点A．若BD＝OA，∠B＝28°. (2)连接AC、CD，求∠ACD的度数. 解法小结：有直径，连接弦 圆周角定理及推论 解法二：连接OD，AE. ∵CE是⊙O的直径 ∴∠CAE=90° ∴∠ACE+∠AEC=90° ∵AC,DE ∴∠ADC==42° ∴∠DCE==14° ∴∠ACD=90°-∠ADC-∠DCE =90°-42°-14° =34° . 三、例题精讲 例题：如图，CE是⊙O的直径，B是CE延长线上一点，点D在⊙O上，BD的延长线交⊙O于点A．若BD＝OA，∠B＝28°. (2)连接AC、CD，求∠ACD的度数. 解法小结：有直径，连接弦 圆周角定理及推论 解法三：连接OD，DE. ∵CE是⊙O的直径 ∴∠CDE=90° ∵AC,DE ∴∠ADC==42° ∴∠DCE==14° ∵四边形ACED是⊙O的内接四边形 ∴∠AC=180° ∴∠ACD=180°-∠CDE-∠ADC-∠DCE =180°-90°-42°-14°=34° . 三、例题精讲 变式：如图，CE是⊙O的直径，B是CE延长线上一点，点D在⊙O上，BD的延长线交⊙O于点A．若∠B＝25°，AD为70°. 求∠DCB的度数. 一 二 三 . 三、例题精讲 变式：如图，CE是⊙O的直径，B是CE延长线上一点，点D在⊙O上，BD的延长线交⊙O于点A．若∠B＝25°，AD为70°. 求∠DCB的度数. 解法一：连接OA，OD. 设∠DCB=x， 则∠ADC=∠B+∠DCB=x+25° ∵AD为70° ∴∠AOD=70° ∵OC=OD，OA=OD ∴∠BCD=∠CDO=x ∠ODA=∠OAD=55° ∴x+25+x=55 ∴x=15 即∠DCB=15° 解法小结：连接半径，构造等腰三角形 圆外的角转化到圆内 . 三、例题精讲 变式：如图，CE是⊙O的直径，B是CE延长线上一点，点D在⊙O上，BD的延长线交⊙O于点A．若∠B＝25°，AD为70°. 求∠DCB的度数. 解法二：连接AE. 设∠DCB=x，则∠DAE=∠DCE=x ∴∠AEC=∠B+∠DAE=x+25° ∵CE是⊙O的直径 ∴∠CAE=90° ∴∠ACC=90° ∵AD为70° ∴∠ACD=35° ∴35+x+x+25=90 ∴x=15 即∠DCB=15° 解法小结：有直径，连接弦 圆周角定理及推论 . 三、例题精讲 变式：如图，CE是⊙O的直径，B是CE延长线上一点，点D在⊙O上，BD的延长线交⊙O于点A．若∠B＝25°，AD为70°. 求∠DCB的度数. 解法三：连接DE. 设∠DCB=x， 则∠ADC=∠B+∠DCB=x+25° ∵CE是⊙O的直径 ∴∠CDE=90° ∵四边形ACED是⊙O的内接四边形 ∴∠AC=180° ∵AD为70° ∴∠ACD=35° ∴35+x+x+25+90=180 ∴x=15 即∠DCB=15° 解法小结：有直径，连接弦 圆周角定理及推论 四、拓展提高 如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O交BC于D，过O作OE∥BC，交⊙O于E，连接AD、AE、CE． (l)求证：∠ACE=∠DCE； (2)若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数； （1）证明： ∵OC=OE ∴∠OEC=∠ACE ∵OE∥BC ∴∠OEC=∠DCE ∴∠ACE=∠DCE （2）解：延长AE交BC于点G ∵∠AGC是△ABG的一个外角 ∴∠AGC=∠B+∠BAG=60° ∵OE∥BC ∴∠AEO=∠AGC=60° ∵OA=OE ∴∠EAO=∠AEO=60° G . 四、拓展提高 如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O交BC于D，过O作OE∥BC，交⊙O于E，连接AD、AE、CE． (l)求证：∠ACE=∠DCE； (3)若AC=4， ，求CF的长． （3）解： ∵O是AC的中点 ∴= ∵= ∴= ∵AC为⊙O的直径 ∴∠FDC=∠AEC=90° ∵∠FCD=∠ACE ∴△CDF∽△CEA ∴= ∴CF=CA= 四、课堂小结 知识层面： 思想方法： 添辅助线： 圆周角定理及推论 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 等腰三角形、外角性质…… 设“k”法、方程思想、转化思想 连接半径——等腰三角形、 圆周角与圆心角、弧之间的数量关系 有直径， 连接弦——直角 连接弦——构造圆内接四边形 可以从条件出发，也可以从结论出发 $$