专题2.1空间几何体外接球与内切球问题（8大考向）（重难专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题2.1空间几何体外接球内切球问题 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：空间几何体外接球内切球问题一直是高考中的重难点，也是空间几何体中的一个比较难得知识点，近年来，也是高考中的高频考点。 预测2026年： 考向01 棱锥墙角模型 考向02 对棱相等的三棱锥外接球 考向03 常规棱锥补成长方体模型 考向04 二面角外接球模型 考向05 圆锥，圆柱，圆台外接球模型 考向06 不规则几何体外接球问题 考向07 空间几何体内切球问题 考向08 空间几何体内切多球问题 考向01 棱锥墙角模型 墙角模型是棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是棱锥模型（一般是三棱锥或者是四棱锥），在空间内不在同一个平面的四个点确定一个平面及球面．即可以通过补成长方体或者是正方体，棱锥外接球即是对应长方体外接球。去转化外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 1 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 2 （2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 考向02 对棱相等的三棱锥外接球 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 注意当长方体中时候，长方体即是正方体，此四棱锥即是正四面体。正四面体的棱长为m,,则正四面体的高即为 1 在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径 ． 2 在四面体中，，，则它的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 3 已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围 ． 考向03 常规棱锥补成长方体模型 1 垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，． 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理： 　　　　　 2 或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如 类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形， 类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 1 已知四边形，是以为边长的等边三角形，，现把沿着对角线进行翻折，使得点在面上的投影落在点处，则此时三棱锥外接球的表面积为 . 2 在三棱锥中，是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的表面积为 . 3 如图，在三棱锥中，，，，且直线与所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为    考向04 二面角外接球模型 一直三棱锥或者是四棱锥问题，已知对应的二面角，求对应的外接球的半径问题，如图所示求对应的外接球的半径，（或者是菱形的沿着对角线进行折叠问题） 1 已知平面平面，球O与直线l相切于点A，平面与平面分别截球O所得截面圆的半径为1，．若二面角的大小为，则球O的半径为 ． 2 在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为 ． 3 在边长为6的菱形中，，沿对角线将折起，使得二面角的大小为，连接，则四面体的外接球的表面积为 ． 考向05 棱台，圆锥，圆柱，圆台外接球模型 1 棱台模型： 2．圆锥的外接球 (R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 3 圆柱的外接球 (R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 4 圆台外接球 1 已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为 . 2 已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ． 考向06 不规则几何体外接球问题 空间几何体内切多球问题主要思路 空间内不在同一个平面的四个点确定一个球面，对于不规则几何体的外接球，应该转化成规则几何体。或者是补成常规的几何体，利用找到两个平面的外心，从而找到两个平面过外心的垂线的交点即是所要求的外接球的球心即可。 其解题思维流程如下： 1定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； 2作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； 3求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 1 ＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为 . 2 已知正四面体的棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为 . 3 如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    考向07 空间几何体内切球问题 1 空间几何体（椎体，柱体，台体）的内切球问题半径，一般思路是利用等体积法。即 2 对于空间旋转体(圆台，圆柱，圆锥)一般是采用将几何体内切球问题转化成对应轴截面的内接圆问题，如图，圆锥，圆柱，圆台的内切球一般转化成轴面的内切圆 1 已知某三棱柱的底面为边长为6的正三角形，且该三棱柱存在内切球，则该三棱柱的高为 ． 2 工人要将一个圆锥形的实心铁块打磨成一个铁球，若圆锥形铁块的体积为，则可能得到的铁球体积的最大值为 . 3 已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为2，则圆台的外接球体积为 ． 考向08 空间几何体内切多球问题 空间几何体内切多球问题主要思路 1利用内切球的球心，连接对应的球心，从而组成相应的椎体或者是柱体，在利用对应的截面图形，找到半径与空间几何体对应的等量关系。 2利用几何体的截面，从而将空间几何体的多内切球问题转化成平面几何体的内接圆问题， 1 如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为 . 2 甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为 . 3 已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的正四棱锥拼接而成，若上面的正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为，则其内切球的表面积为 . 4 在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为O，若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为 ． （建议用时：60分钟） 一、填空题 1 已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为 . 2 在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为 . 3 如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ． 4一个四面体有五条棱的棱长为，且外接球的表面积为，则不同于这五条棱的棱的棱长为 ． 5已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正四面体（圆台表面厚度忽略不计），则该正四面体体积的最大值为 ． 6在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ，三棱锥体积的最大值为 . 7中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为10的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥)，若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为 8空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积比，即空间利用率．如图1是六方最密堆积晶胞的示意图． 以上下层球心为顶点得平行六面体，如图2，其中是中间层球的球心，已知该示意图中原子的平均个数为2，则该晶胞的空间利用率为 （用含的式子表示）．    9一正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“自”“信”“自”“立”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“自”“主”“自”“强”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒.已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为 ，为使内部正四面体在外部正四棱锥内(不考虑四棱锥表面厚度)可绕四面体中心任意转动，则该正四面体棱长最大为 . 10在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为 . 11一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为 ． 12如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为 .（参考公式：.） 13如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为 . 14如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则 ． 15如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切，则石球球心能运动的区域的面积为 ． 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1空间几何体外接球与内切球问题 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：空间几何体外接球内切球问题一直是高考中的重难点，也是空间几何体中的一个比较难得知识点，近年来，也是高考中的高频考点。 预测2026年： 考向01 棱锥墙角模型 考向02 对棱相等的三棱锥外接球 考向03 常规棱锥补成长方体模型 考向04 二面角外接球模型 考向05 圆锥，圆柱，圆台外接球模型 考向06 不规则几何体外接球问题 考向07 空间几何体内切球问题 考向08 空间几何体内切多球问题 考向01 棱锥墙角模型 墙角模型是棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是棱锥模型（一般是三棱锥或者是四棱锥），在空间内不在同一个平面的四个点确定一个平面及球面．即可以通过补成长方体或者是正方体，棱锥外接球即是对应长方体外接球。去转化外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 1 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 2 （2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥两两垂直的特性将三棱锥补为长方体，三棱锥外接球的半径为所补长方体的直径，计算求出半径，代入体积公式可得结果. 【详解】因为平面，，，，所以，即． 把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径． 根据长方体体对角线公式 ，则， 球的体积. 故选：C． 考向02 对棱相等的三棱锥外接球 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 注意当长方体中时候，长方体即是正方体，此四棱锥即是正四面体。正四面体的棱长为m,,则正四面体的高即为 1在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径 ． 【答案】 【分析】将四面体补形为为一个面对角线长分别为，，5的长方体，则长方体外接球即四面体外接球. 【详解】四面体中，三组对棱的棱长分别相等， 可将其补形为一个面对角线长分别为，，5的长方体． 设长方体长宽高为，由题有：， 即长方体体对角线长为，则长方体外接球半径，即四面体外接球半径为. 故答案为： 2 在四面体中，，，则它的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四面体棱长的特点，可将其与长方体结合，求得长方体体对角线即可求得外接球表面积. 【详解】因为，， 所以可以将四面体“放入”一个长方体中，如图所示： 设长方体的长、宽、高分别为， 则有，即有，则长方体的体对角线长为，即外接球半径为， 故外接球的表面积.故选：D 3已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围 ． 【答案】 【分析】将三棱锥补为长方体，设出长方体棱长，利用球的直径即可表示出，结合参数方程即可求解. 【详解】由， 均在半径为2的球面上， 可将三棱锥放置于长方体中，如图，    设棱长分别为，则， 故长方体对角线平方为， 可设，， ， 考虑到是三角形边长,故，其范围是．故答案为： 考向03 常规棱锥补成长方体模型 1 垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，． 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理： 　　　　　 2 或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如 类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形， 类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 1 已知四边形，是以为边长的等边三角形，，现把沿着对角线进行翻折，使得点在面上的投影落在点处，则此时三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】因为点在面上的投影落在点处，所以平面BCD，根据条件，求出各个长度，根据余弦定理，求出的余弦值，进而可得其正弦值，根据正弦定理，可得的外接圆半径，设棱锥外接球的球心为O，则平面BCD，根据三棱锥的几何性质，数形结合，计算求解，即可得答案. 【详解】因为点在面上的投影落在点处， 所以平面BCD，则， 因为， 所以， 在中，， 所以， 设的外接圆圆心为，外接圆半径r， 由正弦定理得，解得， 设三棱锥外接球的球心为O，外接球半径为R，， 则平面BCD， 过O作，交AC于点E，则， 在中，，即， 在中，，即， 与上式联立，解得，， 所以外接球的表面积. 故答案为： 2 在三棱锥中，是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据题意结合面面垂直的性质分析可知平面，将三棱锥补形成直三棱柱，结合直三棱柱求外接球的半径和表面积. 【详解】由题意可知：，，，则，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 可知的外接圆半径， 将三棱锥补形成直三棱柱，    结合直三棱柱可知外接球的半径， 所以此三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 3 如图，在三棱锥中，，，，且直线与所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为    【答案】 【分析】由题意，将三棱锥放入对应的长方体中，根据已知条件建立关于长方体的长､宽､高的边长a，b，c的方程组，求解得，进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长，从而根据球的体积公式即可求解. 【详解】由题意知，，平面ADC， 则平面ADC，又平面ADC，所以， 又，，平面ABC，所以平面ABC， 将三棱锥放入对应的长方体中，如图：    易知，所以为直线AB与DC所成的角， 所以，解得. 设长方体的长､宽､高分别为a，b，c，则，，， 三式相加得，所以长方体的外接球的半径为， 所以该三棱锥的外接球的体积为.故答案为： 考向04 二面角外接球模型 一直三棱锥或者是四棱锥问题，已知对应的二面角，求对应的外接球的半径问题，如图所示求对应的外接球的半径，（或者是菱形的沿着对角线进行折叠问题） 1 已知平面平面，球O与直线l相切于点A，平面与平面分别截球O所得截面圆的半径为1，．若二面角的大小为，则球O的半径为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理和余弦定理即可列方程求解. 【详解】根据题意以及球的对称性可得图形的剖面图如下： 设分别为与球所截得的圆的半径，不妨设， ，球的半径为, 故，解得， 故, 故答案为：，    2 在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，弦2由题设和二面角定义得到，分别取外接圆圆心，分别过作垂直于平面和平面的垂线得到两垂线交点O为四面体外接球的球心，依据题设信息求出和即可分析计算求解. 【详解】由题可得是正三角形，如图取中点，连接， 则，所以为二面角的一个平面角，故， 分别取外接圆圆心，连接， 则分别在上，且， 分别过作垂直于平面和平面的垂线，两垂线相交于点O， 则O为四面体外接球的球心，且， 连接，则，所以， 所以四面体外接球的半径R满足. 所以四面体外接球的表面积为.故答案为： 3 在边长为6的菱形中，，沿对角线将折起，使得二面角的大小为，连接，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】取中点，分别取和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则是四面体外接球球心，中，求得，求出半径后可得表面积． 【详解】如图，取中点，连接，分别取和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则是四面体外接球球心，连接， 由原平面图形是菱形，且，知，分别在上，且， 是二面角的平面角，因此，是等边三角形，边长为，， 中，，所以， 又，所以， 所以四面体的外接球的表面积为， 故答案为：． 考向05 棱台，圆锥，圆柱，圆台外接球模型 1 棱台模型： 2 圆锥的外接球 (R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 3 圆柱的外接球 (R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 4 圆台外接球 1 已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】取，的中点，连接，则平面，平面，设正四棱台外接球的球心为，半径为，利用勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】如图，取，的中点，连接，则， 由对称性可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 则平面，平面，连接， 由，，得，， 设正四棱台的外接球的半径为， 则，又， 所以，解得，则， 所以该正四棱台外接球的表面积为. 故答案为：.    2 已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ． 【答案】 【分析】求出三棱台上下底面正三角形外接圆的半径，确定球心位置，结合球的截面圆性质求出球半径，再由球的表面积公式可得结果. 【详解】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台，如图， 上底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心， 下底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心， 由正三棱台的性质知，其外接球的球心在直线上，令该球半径为， 于是，或，解得， 所以球的表面积是． 故答案为： 考向06 不规则几何体外接球问题 空间几何体内切多球问题主要思路 空间内不在同一个平面的四个点确定一个球面，对于不规则几何体的外接球，应该转化成规则几何体。或者是补成常规的几何体，利用找到两个平面的外心，从而找到两个平面过外心的垂线的交点即是所要求的外接球的球心即可。 其解题思维流程如下： 1定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； 2作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； 3求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 1 ＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据正方体的对称性可知,该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积. 【详解】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接， ∵分别为的中点，则， ∴正方体的边长为， 故，可得， 根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径， 故该半正多面体外接球的表面积为. 故答案为： 2 已知正四面体的棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为 . 【答案】 【分析】画出图形，做出辅助线，求出大正四面体的外接球半径，这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，根据勾股定理列出方程，求出答案，舍去不合要求的解. 【详解】如图，正四面体在点截去小正四面体， 取中点，连接，过点作⊥平面，则在上，且⊥平面，垂足为，连接，则为正的中心， 大正四面体的外接球球心在高上，设为，连接，则， 因为大正四面体的棱长为，故，解得， 由勾股定理得， 在中，，即，解得， 则大正四面体的外接球半径为6， 若这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小， 由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接， 则， 设截去的小正四面体的棱长为，则，即， 则，故，故高， 所以， 在中，，即， 解得或， ，不合要求，舍去，符合要求， 截去的小正四面体的棱长最小值为. 故答案为：. 3 如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    【答案】 【分析】设，利用表示出AD，CD，由正弦定理可得外接圆的半径，由已知条件和平面可得，然后用换元法和基本不等式可得. 【详解】在平面四边形中设， 即在Rt中，. 在等腰中，.设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得. 设三棱锥外接球球心为，则平面. 又平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则，所以四边形为直角梯形. 设外接球的半径为，在平面四边形中，过做于， 在中，为的中点，， 由， 所以 . 令，则， 因为，当且仅当，即时（满足）等号成立. 所以， 所以外接球表面积的最小值为.   故答案为： 考向07 空间几何体内切球问题 1 空间几何体（椎体，柱体，台体）的内切球问题半径，一般思路是利用等体积法。即 2. 对于空间旋转体(圆台，圆柱，圆锥)一般是采用将几何体内切球问题转化成对应轴截面的内接圆问题，如图，圆锥，圆柱，圆台的内切球一般转化成轴面的内切圆 1 已知某三棱柱的底面为边长为6的正三角形，且该三棱柱存在内切球，则该三棱柱的高为 ． 【答案】 【分析】由题意内切球半径等于底面内切圆半径，据此可得解. 【详解】如图， 边长为6的正三角形的内切圆半径为：， 所以正三棱柱的高为． 故答案为：． 2 工人要将一个圆锥形的实心铁块打磨成一个铁球，若圆锥形铁块的体积为，则可能得到的铁球体积的最大值为 . 【答案】 【分析】圆锥能打磨得铁球体积的最大值，即为圆锥的内切球，设圆锥的底面半径为，高为，内切球的半径为，根据圆锥体积公式、三角形相似、勾股定理可得，要使得关于的方程有解，由得的取值范围，从而得所求. 【详解】圆锥能够打磨出铁球体积的最大值，即为圆锥的内切球， 设圆锥的底面半径为，高为，内切球的半径为， 取圆锥的轴截面如下，则， 球与母线相切于点，则，， 又圆锥的体积为，所以， 因为，则，所以 在中，，则， 整理得，由得， 代入整理得：，关于的方程有解， 则，解得， 所以可能得到的铁球体积的最大值为. 故答案为：. 3 已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为2，则圆台的外接球体积为 ． 【答案】 【分析】结合题意利用勾股定理建立方程求出，再建立方程组求解，最后利用球的体积公式求解即可. 【详解】如图，设上底面半径为，下底面半径为，母线为，圆台的高为， 由已知得，设球心O到下底面的距离为，球的半径为， 由勾股定理得，解得， 当圆台的外接球球心O在圆台里面时， ，解得，不符合题意， 当圆台的外接球球心O在圆台外面时，必在下底面下方， 则，解得， 由球的体积公式得圆台的外接球体积为. 故圆台的外接球体积为．故答案为： 考向08 空间几何体内切多球问题 空间几何体内切多球问题主要思路 1利用内切球的球心，连接对应的球心，从而组成相应的椎体或者是柱体，在利用对应的截面图形，找到半径与空间几何体对应的等量关系。 2利用几何体的截面，从而将空间几何体的多内切球问题转化成平面几何体的内接圆问题， 1 如图，在正四面体中，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球､正四面体的三个面均相切.若，则该正四面体中，其中一个小球与大球的体积比为 . 【答案】 【分析】根据正四面体的体积公式和球的体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接，，，，，，则， ， 又，则， 所以，大球的体积为. 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 所以，所以一个小球的体积为， 故其中一个小球与大球的体积比为.故答案为：. 2 甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如图所示，在装满酸奶的圆台形杯具内有半径分别为和的两个巧克力球，巧克力小球与杯底和杯壁均相切，大球与小球､杯壁､杯盖均相切，则杯具中酸奶的体积为 . 【答案】 【分析】先由题意作出轴截面，根据四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似，可得，求出，由体积公式计算可得结果. 【详解】设大球半径为，小球半径为， 则大球体积，小球体积. 圆台的高为. 根据切线长定理可得：，. 由图易知四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似， 即. 解得：，则， 则圆台体积为 则酸奶的体积为： . 故答案为： 3 已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的正四棱锥拼接而成，若上面的正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为，则其内切球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据组合体的结构特征，利用等体积法求解内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】 设上面正四棱锥为，底面是边长为2的正方形，中心为，侧棱长， ，， 在中，根据勾股定理得， ， 正四棱锥的侧面积为； 设下面正四棱锥为，底面是边长为2的正方形，中心为，侧棱长， 在中，根据勾股定理得， ， 正四棱锥的侧面积为； 组合体的体积为， 组合体的表面积为. 设组合体的内切球半径为，利用可得，， ，组合体内切球的表面积为.故答案为：. 4 在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为O，若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为 ． 【答案】 【分析】设内切球O的半径为，球的半径为.由题意可得三棱锥的体积和表面积.由等积法得.用一平行于底面且与球O上部相切的平面去截此三棱锥得到一个小棱锥, 求此小棱锥的高，再根据相似关系求得小棱锥的体积和表面积，进而由等积法求得球的半径. 【详解】设内切球O的半径为，球的半径为.设此棱锥的高为,底面的中心为，三棱锥的表面积为. 因为底面边长为，底面的高，， 所以， 棱锥的高, 侧面的高， 三棱锥的体积 所以， 所以三棱锥的表面积为. 由等积法知，得. 用一平行于底面且与球上部相切的平面截此三棱锥， 棱锥的内切球半径即为球的半径，设棱锥的高为， 三棱锥的表面积为. 因为棱台的高为， 所以， 根据相似关系，， 棱锥的表面积为， 根据等体积法，得，解得.故答案为：. （建议用时：60分钟） 一、填空题 1 已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为 . 【答案】 【分析】点为等边的中心，点为的中点，设，即底面三角形的内切圆的半径，由题意可知正三棱柱的高，求出外接球的半径，结合球的表面积可得，进而可求正三棱柱的体积. 【详解】如图，点为等边的中心，点为的中点， 设，则，， 则的内切圆的半径为， 因为此正三棱柱既有内切球又有外接球，设为正三棱柱内切球的球心， 则点也是外接球的球心，由内切球的半径为，可得， 则正三棱柱的高， 正三棱柱的外接球的半径， 因为外接球的表面积为，则，解得， 所以该三棱柱的体积. 故答案为：. 2 在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】求出，可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径．即可求出体积． 【详解】， . 由正弦定理可知，的外接圆的直径，因此半径. 平面， 该三棱锥的外接球的半径， 则三棱锥的外接球的体积. 故答案为：. 3 如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ． 【答案】 【分析】由条件可求4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径，结合球的截面性质可求球心到截面圆的距离，进一步加上垂直折起的4个小直角三角形的高以及鸡蛋（球）的半径即可得解. 【详解】由已知蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为1， 且蛋巢的高度为，又球的半径为1，所以球心到截面的距离为, 故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为. 故答案为：. 4一个四面体有五条棱的棱长为，且外接球的表面积为，则不同于这五条棱的棱的棱长为 ． 【答案】 【分析】设，取的中点，连接、，取（靠近点）的三等分点，过点作的垂线交于点，取的中点，连接交于点，连接，则为三棱锥的外接球半径，求出的值，可求出的长，即可得出的长，即为所求. 【详解】设，则和都是正三角形． 取的中点，连接、，取（靠近点）的三等分点， 则点为的外心，过点作的垂线交于点， 因为和都是正三角形，为的中点，则，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 因为，，、平面，所以，平面， 如图，则， 取的中点，连接交于点，连接，则， 如图，则点即为三棱锥外接球的圆心，是外接球的半径． 设外接球的半径为，则，可得， 所以，，，， 所以， ，故， 又因为，所以， 故，即不同于五条棱的棱的棱长为．故答案为：. 5 已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正四面体（圆台表面厚度忽略不计），则该正四面体体积的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题中条件可求得圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为，外圆半径为，进而可求圆台上、下底面圆半径.还台为锥，设上、下底面圆心为，分析可求得圆台的高.通过比较圆锥的内切圆直径与圆台的高的大小可知：圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，其半径为.设正四面体的棱长为，外接球半径为，求出正四面体的外接球半径为，让其等于圆锥的内切球半径即可求解. 【详解】设圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为，外圆半径为， 则，化简得. 又圆台母线长为，所以， 联立，解得，. 设圆台上、下底面圆半径分别为，则，，解得. 如图1，还台为锥，设上、下底面圆心为， 在中，. 又为锐角，所以. 由相似性可知，圆台的轴截面等腰梯形的底角为， 故圆台的高. 如图2，圆锥轴截面为正三角形， 则正三角形的内切圆半径即圆锥内切球半径长为. 因为正三角形内切圆直径， 故圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，其半径为. 设正四面体的棱长为，外接球半径为，则在正四面体中， 可知点为底面的中心，由正弦定理可求得， 正四面体的高为， 在中，，即，解得. 正四面体的外接球半径为， 所以，解得， 此时正四面体的体积最大，体积为. 故答案为：. 6 在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ，三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【分析】设的外接圆的圆心分别为，外接球的球心为O，取AB的中点为E，可证得四边形为矩形.通过勾股定理，列方程求解即可得外接球半径； 过作于点H，可证为三棱锥的高.问题转化为中最值问题，借助三角形外接圆可求得最大值为，从而求得三棱锥体积的最大值. 【详解】如图①，设的外接圆的圆心分别为，半径为，三棱锥的外接球的球心为O，半径为，取AB的中点为E，连接，. 在中，由正弦定理，得，即，同理可得. 因为侧面底面，侧面底面，面，所以底面，所以. 由外接球的性质可得底面侧面，所以四边形为矩形. 在中，， 因为，所以，所以球的表面积为. 设三棱锥的高为h，过作于点H， 由面面垂直的性质可得，底面，即为三棱锥的高. 及其外接圆如图②所示，由图可知，当位于劣弧的中点时，最大，最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：，. 7中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为10的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥)，若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为 【答案】/ 【分析】求出求的半径，将正四面体补成正方体，设正四面体的棱长为，可得出正方体的棱长为，利用正方体的体对角线长小于等于球的直径可得出关于的不等式，即可求得的最大值. 【详解】由题意可知，球为棱长为的内切球，则该球的半径为， 设正四面体的棱长为，将正四面体补成正方体， 如下图所示： 则正方体的棱长为， 则该正方体的体对角线长为，解得，显然等号可以成立. 故答案为：. 8 空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积比，即空间利用率．如图1是六方最密堆积晶胞的示意图． 以上下层球心为顶点得平行六面体，如图2，其中是中间层球的球心，已知该示意图中原子的平均个数为2，则该晶胞的空间利用率为 （用含的式子表示）．    【答案】/ 【分析】首先根据球与球相切的几何性质，在正四面体中，求点到底面的距离，再代入柱体体积公式求晶胞的体积，再计算柱体中含有球的部分的体积，代入公式，即可求解. 【详解】    由图2知，为正四面体（如图3）． 设，，如图4，在正四面体中，作平面于， 连，则为等边三角形的中心， ， 在中，， ，   ， 该晶胞的空间利用率． 故答案为： 9 一正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“自”“信”“自”“立”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“自”“主”“自”“强”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒.已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为 ，为使内部正四面体在外部正四棱锥内(不考虑四棱锥表面厚度)可绕四面体中心任意转动，则该正四面体棱长最大为 . 【答案】/ 【分析】先求出正四棱锥的内切球半径，由正四面体在正四棱锥内转动，则正四面体在正四棱锥的内切球内转动，要使正四面体体积最大，则该球即为正四面体的外接球，将正四面体嵌套在正方体中，通过求正四面体的外接球半径可求得正方体的棱长a. 【详解】对于正四棱锥，连接AC,BD交于点，则⊥平面， 因为，故，， 又，由勾股定理得， 设正四棱锥的内切球球心为，取的中点，连接，则⊥， ，， 过点作⊥于点，设内切球半径为，则， 则， 因为∽，所以， 即，解得. ∵正四面体在正四棱锥内转动，∴正四面体在正四棱锥的内切球内转动， 要使正四面体体积最大，则该球即为正四面体的外接球. 将正四面体嵌套在正方体中，则正四面体为正方体的面对角线组成的正四面体，如下图， 则该正四面体的外接球即为正方体的外接球， 设正方体的棱长为，则，解得. ∴正四面体的棱长为， 故答案为：. 10 在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 11 一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 由，所以，所以， 作，由， 所以，又，所以， 又，， 所以， 即， 因为，所以满足题意， 所以球的表面积的最大值为， 故答案为： 12 如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为 .（参考公式：.） 【答案】 【分析】设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合球的体积公式即可求解． 【详解】如图，设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得， 即， 整理得，所以， 故两球体积之和为 ， 由二次函数性质可知：当且仅当时，有最小值， 即两球体积之和的最小值为． 故答案为：． 13 如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为 . 【答案】 【分析】作出截面图形，可知小球最大半径满足，求出半径后代入球的表面积公式即可得解. 【详解】设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下： 由题意得，，因为，所以，解得， 小球的表面积为. 故答案为：. 14 如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为，则构成正三棱柱，在正三棱柱中利用勾股定理构建方程可求，再根据相切可得即可求解. 【详解】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为， 则构成如图正三棱柱，底面边长为12，高 过作，交于， 则，，， 又，所以，解得， 又球，球，球与半球面相切，，所以， 则. 故答案为：. 1 5 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切，则石球球心能运动的区域的面积为 ． 【答案】 【分析】当球与左右侧面相切时，运用等腰梯形的性质、圆的切线性质、正切的二倍角公式、正四棱台的对称性进行求解即可. 【详解】由题知球的半径为6，如图所示正四棱台， 当球与左边或右边侧面相切时，沿斜高作出如下截面， 又下底边长为24，上底边长14，高12，所以，，， 根据题意四边形为等腰梯形，，则， 又球心在的角平分线上，， ， 解得，或舍去， 又， 所以， 根据对称性，球心的轨迹是以为边长的正方形， 则石球球心可能运动的区域的面积为.故答案为： 21 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $