专题28.4 解直角三角形的应用举例（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

本讲义聚焦解直角三角形的实际应用，系统梳理从实际问题抽象为数学问题、选择三角函数求解的基本步骤，衔接仰角俯角、方向角、坡度坡角等具体类型，构建“知识点解析-即学即练-题型拓展”的学习支架。 资料以秋千、灯塔、斜坡等真实情境问题为载体，通过典例与变式训练，培养学生抽象能力、推理意识和模型观念。课中助力教师分层教学，课后可通过练习题查漏补缺，强化用数学思维解决实际问题的能力。

专题28.4 解直角三角形的应用举例 教学目标 1. 掌握解直角三角形在实际问题中的应用的基本步骤，并能够熟练的应用。 2. 掌握仰角、俯角，方向角以及坡度、坡角的基本类型，并能够熟练的将实际问题转化为数学问题求解。 教学重难点 1. 重点 （1） 解直角三角形的实际应用； （2） 解直角三角形在仰角俯角、方向角、坡度坡角等问题中的应用。 2. 难点 （1）解直角三角形在所有实际问题中的应用。 知识点01 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的基本步骤： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为直角三角形解决问题） （2） 根据实际问题中的条件，选择适当的锐角三角函数解直角三角形。 （3） 得到数学问题的答案。 （4） 得到实际问题的答案。 注意：解直角三角形的辅助线通常为作垂线构造直角三角形。 【即学即练1】 1．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度； （2）某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h，当α＝46°，β＝28°，h＝0.8米时，请求出该秋千OA的长度（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1米）． 知识点02 仰角、俯角问题 1．仰角、俯角的认识： 如图：向上看物体的视线与水平线的夹角叫 ；向下看物体的视线与水平线的夹角叫 。 【即学即练1】 2．综合与实践活动中，要用测角仪测量山AB的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山AB的对面有一座小山CD，CD的顶部有一座通讯塔CE，且点E，C，D在同一条直线上．从B处测得塔底C的仰角（∠CBD）为37°，测得塔顶E的仰角（∠EBD）为48°，CE＝30.6m，又在A处测得塔顶E的俯角（∠FAE）为45°． （Ⅰ）求两座山之间水平距离BD的长（结果保留小数点后一位）； （Ⅱ）求这座山AB的高度（结果保留小数点后一位）． 参考数据：tan37°≈0.75，tan48°≈1.11． 知识点03 方向角问题 1．方向角的认识： 在观察点作一天水平线和一条铅垂线，以上北下南，左西右东为方向，在观察点与目的地的连线与南北方向的铅垂线行程的夹角叫做方向角。方向角一般是以 方向为起始，向 方向进行转动形成。通常表示为方向加上角度。 【即学即练1】 3．如图是一块四边形的荷花池ABCD，顶点B位于点A的正北方向，点D位于点A的正东方向，点C位于点B的北偏东60°方向，点C位于点D的北偏西53.1°方向，测得AB＝BC＝200米． （1）求荷花池边AD的长．（结果保留整数） （2）小渝和小北同时从B出发前往D，小渝以50米/分的速度沿B→C→D走，小北以40米/分的速度沿B→A→D走，请通过计算说明谁先到达D点． 参考数据：，，sin36.9≈0.60，cos36.9≈0.80，tan36.9≈0.75． 知识点04 坡度、坡角问题 1. 坡角的概念： 斜坡与 的夹角叫做坡角。 2. 坡度（或坡比）： 斜坡的 与 的比值，叫做坡度或者叫做坡比。它是一个比值，用字母i来表示，常写成i＝ 的形式。坡度或者坡比等于坡角的 。 【即学即练1】 4．如图，一个人由山底的A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡度为1：2的山坡到达B点，再从B点爬坡角为42°（即∠CBG＝42°）的山坡200m到达山顶的C点（图中所有点都在同一平面内），A，B两点的水平距离AD为80m．（结果均精确到1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， （1）求斜坡AB的长； （2）求这座山的高度． 题型01 解直角三角形在实际问题中的应用 【典例1】如图1，两块矩形地砖铺成如图形状，已知DC＝FE＝1米，BC＝4米，E、D、C在同一条直线上，点G在AD边上，如果要求∠FBC的大小需大于30°且小于45°，那么满足要求的ED的长可以是（　　） A．1.5米 B．2米 C．2.5米 D．3米． 【变式1】图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．72cm B． C． D．82cm 【变式2】图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O上的点A，座舱距离地面的最低高度BC为10米，地面l上的观察点D到点C的距离DC为80米，平面示意图如图2所示． （1）当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离． （2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点A处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：tan36.87°，sin66.87°≈0.92，cos66.87°≈0.39．1.73，π≈3.14） 【变式3】材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求∠POM的正弦值； （2）求CQ的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：，） 题型02 仰角俯角问题 【典例1】某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房AB，琪琪同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为45°（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则需测量的建筑物CD的高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．12米 【变式1】陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为45°，顶部B点的仰角为60°，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度BC为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，已成为太原市的新地标，某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相关数据． 数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端，MN是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角α为45°，然后沿NM方向后退7.92m到达点C处，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角β为37°，用皮尺测得测角仪的高BD＝CE＝1.50m． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上． 1．请根据以上描述画出示意图（用铅笔和尺子，并标出相应字母）； 2．请根据上述数据，计算桥头堡顶端A到桥面MN的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 【变式3】如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离PC＝2米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为53°，且点P与建筑物的水平距离为20米． （1）求建筑物MN的高度； （2）驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是20°和76°，若每个人所占斑马线的宽度按0.5米计算． ①求出斑马线的宽度AB． ②求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：tan53°取，tan20°取0.36，tan76°取4）． 题型03 方向角问题 【典例1】如图，一艘渔船以32nmile/h的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，半小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东60°方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离CS为（　　） A．16nmile B．18nmile C．8nmile D． 【变式1】如图，小亮一家自驾到风景区C游玩．当到达A地后，小亮发现风景区C在A地的北偏东15°方向，但导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，则A，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．6千米 【变式2】如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围14海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【变式3】等闲日月任西东，不管霜风著鬓蓬．满地翻黄银杏叶，忽惊天地告成功．如图所示，点B为某公园大门，点D为赏银杏打卡点，D点位于点B的北偏西30°方向，位于小东家点A的北偏东15°方向，位于小李家点C的北偏西75°方向．点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知公园大门离银杏打卡点的距离BD为10公里．（参考数据：2.45，1.73，1.41） （1）求小东家A离银杏打卡地D的距离（结果保留整数）； （2）甲、乙两人邀约小东和小李去D处赏银杏，他们两人同时从B出发，为了接A处的小东，甲驾车以每小时60公里的速度从B出发走路线①B→A→D，为了接C处的小李，乙驾车以每小时50公里的速度从B出发走路线②B→C→D（接人时间忽略不计），请通过计算说明，甲、乙两人谁先到达目的地D点？（结果精确到0.1公里） 题型04 坡度坡角问题 【典例1】如图，斜坡AB的坡度为1：3，坡面AB的长为，则坡顶B到水平地面AC的距离为（　　） A．1m B．2m C． D． 【变式1】如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（　　）米． A． B． C． D． 【变式2】小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度AB．如图所示，他在塔底C处用高为1米的测角仪CM测得塔顶A的仰角为45°，沿坡比为1：2.4的斜坡CD前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为18.2°．已知点B，C在同一条直线上，AB⊥BC，测角仪CM⊥BC，EN⊥BC，求该5G通讯塔的高度AB．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95，tan18.2°≈0.33） 【变式3】如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：3，E、A、C在同一水平线上． （1）求小明从点A走到点D的距离； （2）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 1．为更好组织推进河南省第十五届运动会新增的冰雪项目，2025年7月，滑雪、短道速滑、滑板三大精英训练营在河南体育学院同步启动开营．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝300m，则这名滑雪运动员下降的高度为（　　） A．300tanα m B．300sinα m C．300cosα m D． 2．如图，一个小球由地面沿着坡度（铅直高度与水平宽度的比）i＝1：3的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离AC为15m，tanα，则这两树间的坡面AB的长为（　　） A．5m B．45m C． D． 4．小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点P的俯角为37°，那么此时热气球离着落点P的距离约是（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　） A．75米 B．80米 C．100米 D．米 5．如图，点P是航拍飞机在某一高度时的位置，BH是地平线，PH⊥BH，PC∥BH，AB是某大型建筑物的斜面．从点P观测点B的俯角是（　　） A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA 6．某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面142m的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为37°，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行210m到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为45°，则“福塔”AB的高度约为（　　）（参考数据：tan37°） A．48m B．50m C．51m D．52m 7．如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（　　） A．（m﹣n）sinα米 B．米 C．（m﹣n）cosα米 D．米 8．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒CD与竖直放置的档案盒的夹角∠DCB＝37°，DF＝71cm，档案盒长CD＝35cm．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（　　）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 9．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行15km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行10km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（　　） A． B． C． D． 10．通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东30°，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，BP2为y，y关于x的函数图象（如图2所示）与y轴交于点（0，36），最低点P（3，m），且经过Q（4，n）．则下列选项正确的是（　　） A．△ABC的面积是 B．m＝28 C．点（1，31）在该函数图象上 D．n＝29 11．11月18日至24日，河南省消防救援总队在许昌举办“全省消防救援队伍2025年度实战化比武竞赛”．在攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为1：，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10m，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为　 　 m． 12．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高为10米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为　 　 米． 13．如图，大树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了30米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则树高AB为 　 米． 14．第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE的值为 ． 15．王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西25°方向上，AB＝3km．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西25°方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西70°方向上．则小于家A到篮球馆C的距离AC＝ 　 ．（结果精确到0.1km；参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 16．如图，在一次数学实践活动课中，小明所在的数学学习小组计划测量教学楼的高度AE，小明先在教学楼前的广场C处，利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌下端B的仰角为30°，然后他朝正对教学楼方向前进6米到达D处，又利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌上端A处的仰角为45°．若励志标语牌的高度AB＝2米，测倾器的高度CM＝DN＝1米，已知A，B，E三点共线，AE⊥CE，励志标语牌的顶端与教学楼顶端平齐，求教学楼AE的高度．（结果保留根号） 17．如图，从空中C点测得两建筑物A，B底部的俯角分别为37°和53°，如果测得C与B之间的距离为152m，且点A，B，D在同一直线上（结果取整数） （1）求C点距地面的高度CD的值； （2）求建筑物A，B间的距离 （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 18．小明和小华相约从家同时出发前往某公园赏花．如图，小明从家A处出发，乘坐公交车途径E处到F处，再从F处跑步到达公园C处，已知点E在A的北偏东30°方向，点F在E的东北方向，点C在F的正东方向，且FC相距2.2千米；小华从家里B处出发骑自行车途径D处到达终点C处，已知点B在点A的正东方距离2千米处，点B在D的南偏西53°方向，点C在D的正北方向，且BD相距4千米，DC相距2.6千米．（1.41，1.73，2.45，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） （1）求AE的长度；（结果保留根号） （2）小明坐公交车时车的速度为900米/分钟，小明跑步的速度为100米/分钟；小华骑自行车的速度为230米/分钟；若两人同时从自己家里出发，请通过计算说明谁先到达终点？（计算结果保留一位小数） 19．如图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝4米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时，∠AOD＝120°．（参考数据：1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） （1）如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB绕点O顺时针旋转23°至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． 20．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑马线AD时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是1m/s，小汽车的速度为30km/h，每个车道宽3m，双向车道中间有宽0.5m的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在5s内（不包含5s），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”． 问题思考与解决： （1）若∠BAC＝76°， ①计算此时小汽车到斑马线的距离BC； ②若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人还有1m，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度． （2）若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求∠BAC的度数． （参考数据：tan72°≈3，tan76°≈4，tan86°≈14） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.4 解直角三角形的应用举例 教学目标 1. 掌握解直角三角形在实际问题中的应用的基本步骤，并能够熟练的应用。 2. 掌握仰角、俯角，方向角以及坡度、坡角的基本类型，并能够熟练的将实际问题转化为数学问题求解。 教学重难点 1. 重点 （1） 解直角三角形的实际应用； （2） 解直角三角形在仰角俯角、方向角、坡度坡角等问题中的应用。 2. 难点 （1）解直角三角形在所有实际问题中的应用。 知识点01 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的基本步骤： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为直角三角形解决问题） （2） 根据实际问题中的条件，选择适当的锐角三角函数解直角三角形。 （3） 得到数学问题的答案。 （4） 得到实际问题的答案。 注意：解直角三角形的辅助线通常为作垂线构造直角三角形。 【即学即练1】 1．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度； （2）某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h，当α＝46°，β＝28°，h＝0.8米时，请求出该秋千OA的长度（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1米）． 【答案】（1）秋千绳索OA的长度为14.5尺； （2）秋千OA的长度约为4.2米． 【解答】解：（1）作A′B⊥OA于点B，则∠A′BO＝90°，A′B＝10尺，AB＝5﹣1＝4尺， 设OA长x尺，则OA′＝x尺， ∴OB＝（x﹣4）尺， ∴102+（x﹣4）2＝x2， 解得：x＝14.5． 答：秋千绳索OA的长度为14.5尺； （2）由题意得：∠A′PO＝∠A″QO＝90°， 设秋千OA的长度为xm， ∴OP＝x•cos46°≈0.69x（m）， OQ＝x•cos28°≈0.88x（m）， ∵PQ＝0.8， ∴0.88x﹣0.69x＝0.8， 解得：x≈4.2． 答：秋千OA的长度约为4.2米． 知识点02 仰角、俯角问题 1．仰角、俯角的认识： 如图：向上看物体的视线与水平线的夹角叫 仰角 ；向下看物体的视线与水平线的夹角叫 俯角 。 【即学即练1】 2．综合与实践活动中，要用测角仪测量山AB的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山AB的对面有一座小山CD，CD的顶部有一座通讯塔CE，且点E，C，D在同一条直线上．从B处测得塔底C的仰角（∠CBD）为37°，测得塔顶E的仰角（∠EBD）为48°，CE＝30.6m，又在A处测得塔顶E的俯角（∠FAE）为45°． （Ⅰ）求两座山之间水平距离BD的长（结果保留小数点后一位）； （Ⅱ）求这座山AB的高度（结果保留小数点后一位）． 参考数据：tan37°≈0.75，tan48°≈1.11． 【答案】（Ⅰ）两座山之间水平距离BD的长约为85.0m； （Ⅱ）这座山AB的高度约为179.4m． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得：ED⊥BD， 设BD＝xm， 在Rt△BCD中，∠CBD＝37°， ∴CD＝BD•tan37°≈0.75x（m）， 在Rt△BED中，∠EBD＝48°， ∴ED＝BD•tan48°≈1.11x（m）， ∵EC+CD＝ED， ∴30.6+0.75x＝1.11x， 解得：x＝85.0， ∴BD＝85.0m， ∴两座山之间水平距离BD的长约为85.0m； （Ⅱ）延长DE交AF于点G， 由题意得：DG⊥AF，AG＝BD＝85m，AB＝DG， 在Rt△AEG中，∠GAE＝45°， ∴EG＝AG•tan45°＝85（m）， 由（Ⅰ）可得：DE＝CD+EC＝94.35（m）， ∴AB＝DG＝EG+ED＝85+94.35≈179.4（m）， ∴这座山AB的高度约为179.4m． 知识点03 方向角问题 1．方向角的认识： 在观察点作一天水平线和一条铅垂线，以上北下南，左西右东为方向，在观察点与目的地的连线与南北方向的铅垂线行程的夹角叫做方向角。方向角一般是以 南北 方向为起始，向 东西 方向进行转动形成。通常表示为方向加上角度。 【即学即练1】 3．如图是一块四边形的荷花池ABCD，顶点B位于点A的正北方向，点D位于点A的正东方向，点C位于点B的北偏东60°方向，点C位于点D的北偏西53.1°方向，测得AB＝BC＝200米． （1）求荷花池边AD的长．（结果保留整数） （2）小渝和小北同时从B出发前往D，小渝以50米/分的速度沿B→C→D走，小北以40米/分的速度沿B→A→D走，请通过计算说明谁先到达D点． 参考数据：，，sin36.9≈0.60，cos36.9≈0.80，tan36.9≈0.75． 【答案】（1）荷花池边AD的长约为573米； （2）小渝先到达D点． 【解答】解：（1）如图，顶点B位于点A的正北方向，点D位于点A的正东方向，AB＝BC＝200米．过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CE于点F， ∴∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴EF＝AB＝200（米），AE＝BF， 在Rt△BCF中，∠CBF＝90°﹣60°＝30°，BC＝200（米）． ∴米，米， ∴CE＝CF+EF＝100+200＝300（米），米， ∵∠CDE＝90°﹣53.1°＝36.9°， 在Rt△CDE中，， ∴， ∴（米）， 答：荷花池边AD的长约为573米； （2）在Rt△CDE中，CE＝300米，（米）， 由勾股定理得：（米）， 小渝走的路程为200+500＝700（米），时间为700÷50＝14（分）； 小北走的路程为200+573＝773（米），时间为773÷40≈19.3（分）， 19.3＞14， 答：小渝先到达D点． 知识点04 坡度、坡角问题 1. 坡角的概念： 斜坡与 水平面 的夹角叫做坡角。 2. 坡度（或坡比）： 斜坡的 铅垂高度 与 水平宽度 的比值，叫做坡度或者叫做坡比。它是一个比值，用字母i来表示，常写成i＝ 1：m 的形式。坡度或者坡比等于坡角的 正切值 。 【即学即练1】 4．如图，一个人由山底的A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡度为1：2的山坡到达B点，再从B点爬坡角为42°（即∠CBG＝42°）的山坡200m到达山顶的C点（图中所有点都在同一平面内），A，B两点的水平距离AD为80m．（结果均精确到1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， （1）求斜坡AB的长； （2）求这座山的高度． 【答案】（1）斜坡AB的长约为90m； （2）这座山的高度约为174m． 【解答】解：（1）由题意知，AD＝80m，， ∴m， 在Rt△ABC中， ． 答：斜坡AB的长约为90m； （2）如图，过点C作CN⊥AM于点N，交BG于点F． 则四边形BDNF为矩形， ∴FN＝BD＝40m． 在Rt△BCF中，BC＝200m，∠CBF＝42°，sin∠CBF， ∴CF＝BC•sin∠CBF＝200sin42°≈134（m） 则CN＝CF+FN＝134+40＝174（m）． 答：这座山的高度约为174m． 题型01 解直角三角形在实际问题中的应用 【典例1】如图1，两块矩形地砖铺成如图形状，已知DC＝FE＝1米，BC＝4米，E、D、C在同一条直线上，点G在AD边上，如果要求∠FBC的大小需大于30°且小于45°，那么满足要求的ED的长可以是（　　） A．1.5米 B．2米 C．2.5米 D．3米． 【答案】A 【解答】解：延长FG交BC于点H， 由题意得，∠C＝∠E＝∠EFG＝90°， ∴∠CHF＝90°， ∴CH＝FE＝1米， ∵∠C＝∠CDG＝∠CHG＝90°，DG＝DC＝FE＝1米， ∴四边形CDGH是正方形， ∴GH＝CH＝1米，BH＝4﹣1＝3米． 当∠FBH＝30°时，tan30°， ∴FH＝3（米），FG＝（1）米． 当∠FBH＝45°时，tan45°， ∴FH＝3×1＝3（米），FG＝3﹣1＝2（米）． ∵要求∠FBC的大小需大于30°且小于45°， ∴1＜FG＜2， ∴1＜ED＜2． 故选：A． 【变式1】图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．72cm B． C． D．82cm 【答案】D 【解答】解：过点B作BF⊥DQ，过点A作AE⊥CP，如图， ∵∠PCA＝30°，∠BDQ＝30°， ∴，， ∵∠PCA＝∠BDQ＝30°，双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π， ∴，， ∴AC＝BD＝72cm， ∴AE＝BF＝36cm， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为36+36+10＝82（cm）， 故选：D． 【变式2】图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O上的点A，座舱距离地面的最低高度BC为10米，地面l上的观察点D到点C的距离DC为80米，平面示意图如图2所示． （1）当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离． （2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点A处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：tan36.87°，sin66.87°≈0.92，cos66.87°≈0.39．1.73，π≈3.14） 【答案】（1）点A处的座舱到地面的距离约为79.6米； （2）该座舱中乘客最佳观赏风景的时长为10分钟，这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为104.7米． 【解答】解：（1）如图，连接OA，OD，作AE⊥CD，垂足为E， 根据题意可知，OC＝OB+BC＝50+10＝60（米）， ∵在△ODC中，DC＝80米，OC⊥DC， 即∠OCD＝90°， ∴（米）， ∴在Rt△ODC中，， ∴∠ODC≈36.87°， ∵DA与⊙O相切， ∴OA⊥AD， ∴∠OAD＝90°， ∵在Rt△OAD中，OA＝50米， ∴， ∴∠ODA＝30°， ∴）， ∴∠ADE＝∠ODA+∠ODC＝30°+36.87°＝66.87°， ∴在Rt△ADE中，AE＝AD•sin∠ADE＝50sin66.87°＝500.92＝≈79.6（米）， 答：点A处的座舱到地面的距离约为79.6米； （2）过点A作AF∥CD，交⊙O于点F，延长CO，交AF于点H，连接OF， 不妨设CH＝85 米， ∵OC⊥CD， ∴OH⊥AF， ∴OH＝CH﹣OB﹣BC＝85﹣50﹣10＝25（米）， ∵OA＝50 米， ∴， ∴∠AOH＝60°， ∵OH⊥AF， ∴∠AOF＝120°， ∴最佳观赏风景的时间为（分钟）， 且的长米）， ∴座舱经过的的长约为104.7米， 答：该座舱中乘客最佳观赏风景的时长为10分钟，这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为104.7米． 【变式3】材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求∠POM的正弦值； （2）求CQ的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：，） 【答案】（1）； （2）CQ≈9.3cm． 【解答】解：（1）在Rt△ONQ中，∠NOQ＝37°，NQ＝12cm， ∴， ∵光线从空气进入水中时的折射率为， ∴， ∴， 即∠POM的正弦值为； （2）∵∠POM＝∠CON， ∴， 在Rt△CON中，， ∴设CN＝4xcm，则OC＝5xcm， ∴， ∴3x＝16， 解得：， ∴， ∴， 答：CQ的长约为9.3cm． 题型02 仰角俯角问题 【典例1】某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房AB，琪琪同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为45°（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则需测量的建筑物CD的高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．12米 【答案】C 【解答】解：设过点A的水平线于CD交于点E，如图， 由题意知：四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝8米，AE＝BD， 在Rt△BCD中，， 在Rt△ACE中，， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 故选：C． 【变式1】陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为45°，顶部B点的仰角为60°，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度BC为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解答】解：由题意得，在Rt△ADC中， DC＝AD•tan∠DAC＝2×tan45°＝2， 在Rt△ABD中，， ∴ 米． 故选：C． 【变式2】研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，已成为太原市的新地标，某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相关数据． 数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端，MN是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角α为45°，然后沿NM方向后退7.92m到达点C处，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角β为37°，用皮尺测得测角仪的高BD＝CE＝1.50m． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上． 1．请根据以上描述画出示意图（用铅笔和尺子，并标出相应字母）； 2．请根据上述数据，计算桥头堡顶端A到桥面MN的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 【答案】（1）如图所示； （2）桥头堡顶端A到桥面MN的距离约为25.3m． 【解答】解：（1）如图所示； （2）如图，过点A作AF⊥MN于点F，连接ED，并延长交AF于点G， ∵EC⊥MN，DB⊥MN， ∴EC∥BD， ∵BD＝CE， ∴四边形EDBC是平行四边形， 又∵EC⊥MN， ∴平行四边形EDBC是矩形， ∴DE＝BC＝7.92m，BD⊥EG， 又∵DB⊥MN，AF⊥MN， ∴四边形DGFB是矩形， ∴FG＝BD＝1.50m，EG⊥AF， 由题意得：∠ADG＝45°，∠AEG＝37°， 设AG＝xm（x＞0）， 在Rt△ADG中，DGxm， 在Rt△AEG中，EG， ∵EG﹣DG＝DE， ∴x＝7.92， 解得x， ∴AF＝AG+FG1.50≈25.3（m）， 答：桥头堡顶端A到桥面MN的距离约为25.3m． 【变式3】如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离PC＝2米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为53°，且点P与建筑物的水平距离为20米． （1）求建筑物MN的高度； （2）驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是20°和76°，若每个人所占斑马线的宽度按0.5米计算． ①求出斑马线的宽度AB． ②求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：tan53°取，tan20°取0.36，tan76°取4）． 【答案】（1）建筑物MN的高度约为28.7米； （2）①米， ②行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为10人． 【解答】解：（1）过P作PQ⊥MN于Q， 则PC＝QN＝2米，PQ＝CN＝20米， 在Rt△PQM中，∵∠PQM＝90°，∠MPN＝53°， ∴QM＝PQ•tan53°＝20×≈26.7（米）， ∴MN＝MQ+QN＝28.7米， 答：建筑物MN的高度约为28.7米； （2）①连接PB， 在Rt△PBC中，∵∠PBC＝76°， ∴BC（米）， 在Rt△APC中，∵∠PAC＝20°， ∴AC（米）， ∴AB＝AC﹣BC米， ②∵AB米， ∴0.5＝10， 答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为10人． 题型03 方向角问题 【典例1】如图，一艘渔船以32nmile/h的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，半小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东60°方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离CS为（　　） A．16nmile B．18nmile C．8nmile D． 【答案】D 【解答】解：由题意得，，∠ACS＝90°， ∵∠A＝30°，∠CBS＝60°， ∴∠ASB＝∠CBS﹣∠A＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ASB＝∠A， ∴BS＝AB＝16nmile， 在Rt△BCS中，，即， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，小亮一家自驾到风景区C游玩．当到达A地后，小亮发现风景区C在A地的北偏东15°方向，但导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，则A，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．6千米 【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D， 由题意可知：∠BAC＝45°+15°＝60°，∠ABC＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠ABD＝30°，∠ACB＝45°， 在Rt△ABD中，AB＝6千米，∠ABD＝30°， 则ADAB＝3千米，BD＝AB•cos∠ABD＝63千米， 在Rt△ADC中，∠ACB＝45°， ∴CD＝BD＝3千米， ∴AC＝（3+3）千米， 故选：B． 【变式2】如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围14海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）30海里； （2）不会有触礁的危险，见解析． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°﹣75°＝15°，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，AB＝15×2＝30（海里）， ∴∠C＝30°﹣15°＝15°， ∴∠BAC＝∠C， ∴BC＝AB＝30（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为30海里； （2）不会有触礁的危险， 过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D， ∵∠CBD＝30°，BC＝30（海里）， ∴（海里）， ∵15＞14， ∴不会有触礁的危险． 【变式3】等闲日月任西东，不管霜风著鬓蓬．满地翻黄银杏叶，忽惊天地告成功．如图所示，点B为某公园大门，点D为赏银杏打卡点，D点位于点B的北偏西30°方向，位于小东家点A的北偏东15°方向，位于小李家点C的北偏西75°方向．点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知公园大门离银杏打卡点的距离BD为10公里．（参考数据：2.45，1.73，1.41） （1）求小东家A离银杏打卡地D的距离（结果保留整数）； （2）甲、乙两人邀约小东和小李去D处赏银杏，他们两人同时从B出发，为了接A处的小东，甲驾车以每小时60公里的速度从B出发走路线①B→A→D，为了接C处的小李，乙驾车以每小时50公里的速度从B出发走路线②B→C→D（接人时间忽略不计），请通过计算说明，甲、乙两人谁先到达目的地D点？（结果精确到0.1公里） 【答案】（1）小东家A离银杏打卡地D的距离为16公里； （2）乙先到达目的地D点． 【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB交AB于点E，在DE取点F，使AF＝DF，如图， 根据题意得，∠ADE＝15°， ∵AF＝DF， ∴∠DAF＝∠ADF＝15°，∠AFE＝30°， 设AE＝a，则AF＝2a， ∴DF＝AF＝2a，EF＝AF•cos∠AFE＝2a•cos30°a， ∴DE＝DF+EF＝（2）a， ∵∠DBE＝90°﹣30°＝60°， ∴DE＝BD•sin∠DBE＝10sin60°＝1015（公里）， 即（2）a＝15， 解得：a＝15（2）（公里）， ∴AD15（）≈15×（2.45﹣1.41）≈16（公里）， 答：小东家A离银杏打卡地D的距离为16公里； （2）过点C作CH⊥DE于点H， 则得出四边形BCHE是矩形，CH＝BEBD＝5（公里）， 在线段CH上取点G，使DG＝CG，根据题意得，∠DCH＝15°， ∴∠GDC＝∠DCH＝15°， ∴∠DGH＝30°， 设DH＝m，则DG＝2m，GH＝DG•cos∠DGHm， ∴CH＝CG+GH＝（2）m＝5， ∴m＝5（2）， ∴CD5（）（公里）， 甲驾车以每小时60公里的速度从B出发走路线①B→A→D所用时间为[515（2）+15（）]÷60≈0.47（小时）， 乙驾车以每小时50公里的速度从B出发走路线②B→C→D所用时间为[15﹣5（2）+5（）]÷50≈0.43（小时）， ∵0.47＞0.43， ∴乙先到达目的地D点． 题型04 坡度坡角问题 【典例1】如图，斜坡AB的坡度为1：3，坡面AB的长为，则坡顶B到水平地面AC的距离为（　　） A．1m B．2m C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得：BC：AC＝1：3， 设BC＝xm，则AC＝3xm， 在△ABC中，BC⊥AC， ABxm ∵， ∴， 解得：x＝1． 故选：A． 【变式1】如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（　　）米． A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图， ∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE＝CF， ∵扶梯AD的坡比为1：1， ∴1， ∴AE＝DE2（米）， ∴CF＝2米， ∵滑梯BC的坡比为1：2， ∴， ∴BF＝4米， ∴BC2（米）， 答：滑梯CB的长为2米． 故选：B． 【变式2】小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度AB．如图所示，他在塔底C处用高为1米的测角仪CM测得塔顶A的仰角为45°，沿坡比为1：2.4的斜坡CD前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为18.2°．已知点B，C在同一条直线上，AB⊥BC，测角仪CM⊥BC，EN⊥BC，求该5G通讯塔的高度AB．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95，tan18.2°≈0.33） 【答案】22米． 【解答】解：如图，过点M作MG⊥AB于G，过点N作NH⊥AB于H，延长NE、BC交于点F，延长GM交EF于P， 则BG＝CM＝PF＝1米，GH＝NP，PM＝FC， 设AG＝x米，EF＝y米， 在Rt△AGM中，∠AMG＝45°， 则MG＝AG＝x米， ∵斜坡CD的坡比为1：2.4， ∴FC＝2.4y， 由勾股定理得：CF2+EF2＝CE2，即（2.4y）2+y2＝262， 解得：y＝10（负值舍去）， ∴EF＝10米，FC＝24米， ∴NP＝10﹣1+1＝10米，FB＝PG＝（12+x）米，AH＝（x﹣10）米， 在Rt△ANH中，tan∠ANH， 则0.33， 解得：x≈20.8， ∴AB＝AG+GB＝20.8+1≈22（米）， 答：该5G通讯塔的高度AB约为22米． 【变式3】如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：3，E、A、C在同一水平线上． （1）求小明从点A走到点D的距离； （2）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 【答案】（1）小明从点A走到点D的距离为2米； （2）大树BC的高度约为14米． 【解答】解：（1）过点D作DG⊥AE，垂足为G， 由题意得：DG＝2米， ∵斜坡AF的坡比为1：3， ∴， ∴AG＝3DG＝6（米）， 在Rt△ADG中，AD2（米）， ∴小明从点A走到点D的距离为2米； （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H， 由题意得：DG＝CH＝2米，DH＝CG， 设AC＝x米， ∵AG＝6米， ∴DH＝GC＝AG+AC＝（6+x）米， 在Rt△ABC中，∠BAC＝45°， ∴BC＝AC•tan45°＝x（米）， 在Rt△DBH中，∠BDH＝31°， ∴BH＝DH•tan31°≈0.6（x+6）米， ∵BH+CH＝BC， ∴0.6（x+6）+2＝x， 解得：x＝14， ∴BC＝14米， ∴大树BC的高度约为14米． 1．为更好组织推进河南省第十五届运动会新增的冰雪项目，2025年7月，滑雪、短道速滑、滑板三大精英训练营在河南体育学院同步启动开营．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝300m，则这名滑雪运动员下降的高度为（　　） A．300tanα m B．300sinα m C．300cosα m D． 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝α，AB＝300m，如图， ∵sinB， ∴AC＝AB•sinB＝300sina米， 故选：B． 2．如图，一个小球由地面沿着坡度（铅直高度与水平宽度的比）i＝1：3的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设BC＝xm， ∵斜坡AB的坡度为1：3， ∴AC＝3xm， 由勾股定理得：x2+（3x）2＝102， 解得：x（负值舍去），则小球距离地面的高度为m， 故选：D． 3．如图，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离AC为15m，tanα，则这两树间的坡面AB的长为（　　） A．5m B．45m C． D． 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝15m，tanα， 解得BC＝5， ∴AB（m）． 故选：C． 4．小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点P的俯角为37°，那么此时热气球离着落点P的距离约是（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　） A．75米 B．80米 C．100米 D．米 【答案】C 【解答】解：如图： 由题意得：AC⊥AP，AE∥CP， ∴∠EAP＝∠APC＝37°， 在Rt△ACP中，AC＝60m， ∴AP100（m）， ∴此时热气球离着落点P的距离约是100m， 故选：C． 5．如图，点P是航拍飞机在某一高度时的位置，BH是地平线，PH⊥BH，PC∥BH，AB是某大型建筑物的斜面．从点P观测点B的俯角是（　　） A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA 【答案】B 【解答】解：∵PC∥BH，BH是地平线， ∴从点P观测点B的俯角是∠CPB， 故选：B． 6．某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面142m的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为37°，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行210m到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为45°，则“福塔”AB的高度约为（　　）（参考数据：tan37°） A．48m B．50m C．51m D．52m 【答案】D 【解答】解：延长BA交PQ于点C， 由题意得：BC⊥PQ，BC＝142m， 设PC＝xm， ∵PQ＝210m， ∴CQ＝PQ﹣CP＝（210﹣x）m， 在Rt△APC中，∠APC＝37°， ∴AC＝PC•tan37°x（m）， 在Rt△ACQ中，∠AQC＝45°， ∴AC＝CQ•tan45°＝（210﹣x）m， ∴x＝210﹣x， 解得：x＝120， ∴AC＝210﹣x＝90（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝142﹣90＝52（m）， 故选：D． 7．如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（　　） A．（m﹣n）sinα米 B．米 C．（m﹣n）cosα米 D．米 【答案】B 【解答】解：∵依题意，在Rt△ABC中，BC＝（m﹣n）米，∠ACB＝90°，∠BAC＝α， ∴AB， 故选：B． 8．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒CD与竖直放置的档案盒的夹角∠DCB＝37°，DF＝71cm，档案盒长CD＝35cm．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（　　）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【解答】解：由题意，在 Rt△CBD中，∠DCB＝37°，CD＝35cm，， ∴BD＝CD•sin∠DCB＝35sin37°≈35×0.6＝21（cm）， ∴BF＝DF﹣BD＝71﹣21＝50（cm）， ∴档案盒的厚度为 50÷10＝5（cm）， 故选：C． 9．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行15km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行10km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形BCFE是矩形， ∴CF＝BE，＝BC＝15km， 由题意得：∠DCF＝60°， ∴，， ∴， 由题意得，∠ADE＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴． 故选：C． 10．通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东30°，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，BP2为y，y关于x的函数图象（如图2所示）与y轴交于点（0，36），最低点P（3，m），且经过Q（4，n）．则下列选项正确的是（　　） A．△ABC的面积是 B．m＝28 C．点（1，31）在该函数图象上 D．n＝29 【答案】C 【解答】解：如图1，过B点作BD⊥AC于点D，AC＝4，∠A＝60°， ∵图2中图形的最低点P（3，m）， ∴m＝BD2，AD＝3， ∴在Rt△ABD中，AB＝2AD＝6， ∴BD2＝AB2﹣AD2＝62﹣32＝27， 即m＝27， 故选项B错误； ∴△ABC的面积SAC•BD46， 故选项A错误； ∵图象经过Q（4，n）， ∴AC＝4，n＝BC2， ∵在Rt△CBD中，CD＝AC﹣AD＝1，BD＝3， ∴BC2＝BD2+CD2＝27+1＝28， 即n＝28， 故选项D错误， 如图3，当AE＝1时，DE＝AC﹣AE﹣CD＝2， ∵在Rt△EBD中，BD＝3， ∴BE2＝EC2+BD2＝4+27＝31， 即点（1，31）在该函数图象上， 故选项C正确，符合题意， 故选：C． 11．11月18日至24日，河南省消防救援总队在许昌举办“全省消防救援队伍2025年度实战化比武竞赛”．在攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为1：，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10m，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为　5　 m． 【答案】5． 【解答】解：如图，设水平距离为BC＝d米，垂直上升的高度为AC＝h米， 由坡度比为1：，得，即dh， ∵在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即h2+d2＝102 ∴h2100， 解得h＝5或h＝﹣5（负值舍去）． ∴消防员攀爬的垂直上升的高度为5米． 故答案为：5． 12．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高为10米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为　26　 米． 【答案】26． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E， 由题意可得：DE＝10， 则， 故EC＝2.4×10＝24（米）， （米）． 故答案为：26． 13．如图，大树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了30米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则树高AB为　15　 米． 【答案】15． 【解答】解：∵∠ACB＝15°，∠ADB＝30°， ∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°， ∴∠ACB＝∠CAD， ∴AD＝CD＝30米， 又∵∠ABD＝90°，∠ADB＝30°， ∴米． 故答案为：15． 14．第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x， ∵△ABE≌△DAH， ∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x， ∴AE＝4x， ∵， ∴， 故答案为：． 15．王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西25°方向上，AB＝3km．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西25°方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西70°方向上．则小于家A到篮球馆C的距离AC＝ 　4.2km ．（结果精确到0.1km；参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【答案】4.2km． 【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图所示： ∴∠BDA＝∠BDC＝90°， 依题意得：AB＝3km，∠BAE＝25°，∠FCA＝25°，∠FCB＝70°，CF∥AE， ∴∠CAE＝∠FCA＝25°，∠BCA＝∠FCB﹣∠FCA＝70°﹣25°＝45°， 在Rt△BAD中，∠BAD＝∠BAE+∠CAE＝25°+25°＝50°， ∵sin∠BAD，cos∠BAD， ∴AB＝BD•sin∠BAD＝3×sin50°≈3×0.77＝2.31（km）， AD＝AB•cos∠BAD＝3×cos50°≈3×0.64＝1.92（km）， 在△BCD中，∠BDC＝90°，∠BCA＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴CD＝BD＝1.92（km）， ∴AC＝AD+CD＝2.31+1.92≈4.2（km）． 答：小于家A到篮球馆C的距离AC约等于4.2km． 故答案为：4.2km． 16．如图，在一次数学实践活动课中，小明所在的数学学习小组计划测量教学楼的高度AE，小明先在教学楼前的广场C处，利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌下端B的仰角为30°，然后他朝正对教学楼方向前进6米到达D处，又利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌上端A处的仰角为45°．若励志标语牌的高度AB＝2米，测倾器的高度CM＝DN＝1米，已知A，B，E三点共线，AE⊥CE，励志标语牌的顶端与教学楼顶端平齐，求教学楼AE的高度．（结果保留根号） 【答案】教学楼AE的高度为（7+4）m． 【解答】解：励志标语牌的高度AB＝2米，测倾器的高度CM＝DN＝1米， 如图，延长MN交AE于点F，则四边形MCEF，MCDN都是矩形， ∴EF＝CM＝1m，MN＝CD＝6m， ∵∠ANF＝45°， ∴AF＝FN， 设NF＝AF＝xm， ∴MF＝MN+FN＝（6+x）m， ∵∠BMF＝30°， ∴BF＝FM•tan30°， ∴x﹣2（6+x）， ∴x＝6+4， ∴AE＝AF+EF＝6+41＝（7+4）m， 答：教学楼AE的高度为（7+4）m． 17．如图，从空中C点测得两建筑物A，B底部的俯角分别为37°和53°，如果测得C与B之间的距离为152m，且点A，B，D在同一直线上（结果取整数） （1）求C点距地面的高度CD的值； （2）求建筑物A，B间的距离 （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 【答案】（1）C点距地面的高度CD的值约为122m； （2）建筑物A，B之间的距离约为253m． 【解答】解：（1）在Rt△DBC中，∠DBC＝53°，BC＝152，∠BDC＝90°， ∴， ∴CD≈152×0.80＝121.6≈122（m）， 答：C点距地面的高度CD的值约为122m； （2）在Rt△DBC中，， ∴BD≈152×0.60＝91.2（m）， 在Rt△ADC中，∠DAC＝37°，CD≈121.6，∠ADC＝90°， ∴， ∴AD≈121.6÷0.75≈162.1（m）， ∴AB＝AD+BD≈162.1+91.2≈253（m）． 答：建筑物A，B之间的距离约为253m． 18．小明和小华相约从家同时出发前往某公园赏花．如图，小明从家A处出发，乘坐公交车途径E处到F处，再从F处跑步到达公园C处，已知点E在A的北偏东30°方向，点F在E的东北方向，点C在F的正东方向，且FC相距2.2千米；小华从家里B处出发骑自行车途径D处到达终点C处，已知点B在点A的正东方距离2千米处，点B在D的南偏西53°方向，点C在D的正北方向，且BD相距4千米，DC相距2.6千米．（1.41，1.73，2.45，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） （1）求AE的长度；（结果保留根号） （2）小明坐公交车时车的速度为900米/分钟，小明跑步的速度为100米/分钟；小华骑自行车的速度为230米/分钟；若两人同时从自己家里出发，请通过计算说明谁先到达终点？（计算结果保留一位小数） 【答案】（1）千米； （2）小明先到达终点． 【解答】解：（1）如图，延长AB，CD交于点G，过点E作EH⊥AB于点H，交CF的延长线于点K，则∠G＝∠FKE＝∠AHE＝90°，∠BAE＝90°﹣30°＝60°，KH＝CG，CK＝GH，∠BDG＝53°，∠FEK＝45°， 设AE＝2x米， 在Rt△ABE中，∠BAE＝60°， ∴AH＝AE×cos∠BAE＝x千米，（千米）， 在Rt△BDG中，∠DBG＝90°﹣53°＝37°，BD＝4千米， ∴DG＝BD×sin∠DBG≈2.4千米，BG＝BD×cos∠DBG≈3.2千米， ∵DC相距2.6千米，点B在点A的正东方距离2千米处， ∴CG＝CD+DG＝2.4+2.6＝5（千米），AG＝AB+BG＝2+3.2＝5.2（千米）， ∴KH＝5千米，CK＝GH＝（5.2﹣x）千米， ∴千米， ∵CF＝2.2千米， ∴FK＝（3﹣x）千米， 在Rt△EFK中，∠FEK＝45°， ∴， ∴， 解得：， ∴AE的长度为千米； （2）由（1）得：千米， 小明到达终点所用时间为分钟， 小华到达终点所用时间为（4+2.6）×1000÷230≈28.7分钟， ∵28.5＜28.7， ∴小明先到达终点． 19．如图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝4米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时，∠AOD＝120°．（参考数据：1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） （1）如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB绕点O顺时针旋转23°至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． 【答案】（1）； （2）点A上升的高度约为0.6米． 【解答】解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，则∠AGO＝90°； 由题意得：AC∥OD， ∴∠DOG＝∠AGO＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°， ∵O为AB的中点，AB＝4， ∴， ； （2）设OG交A1C1于点H， 由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝2，∠A1OA＝23°， ∴∠A1OD＝∠A1OA+∠AOD＝143°， ∵OD∥A1C1 ∴∠A1＝∠B1OD ∵∠B1OD＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37° ∴∠A1＝37°， A1H＝OA1•cos37°＝2×0.8≈1.6， ∵AG＝OA•sin30°＝1， ∴A1H﹣AG＝1.6﹣1＝0.6 ∴点A上升的高度约为0.6米． 20．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑马线AD时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是1m/s，小汽车的速度为30km/h，每个车道宽3m，双向车道中间有宽0.5m的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在5s内（不包含5s），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”． 问题思考与解决： （1）若∠BAC＝76°， ①计算此时小汽车到斑马线的距离BC； ②若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人还有1m，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度． （2）若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求∠BAC的度数． （参考数据：tan72°≈3，tan76°≈4，tan86°≈14） 【答案】（1）①32m；②； （2）72°或86°． 【解答】解：（1）①由题可知：AC＝3+3+0.5+1.5＝8，∠BAC＝76°，∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，，即， ∴BC＝8×tan76°≈8×4＝32m； ②设小汽车在这一段的平均速度为am/s， 由题意得：， 解得：， 经检验：是该分式方程的解且符合题意， ∴小汽车在这一段的平均速度为； （2）设BC＝xm，， 由题意得：， 解得：x＝25或， 在 Rt△ABC中，或， 又∵tan72°≈3，tan86°≈14， ∴∠BAC 的度数为72°或86°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $