专题28.3 解直角三角形（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

本讲义聚焦解直角三角形核心知识点，系统梳理从定义、边角关系（三边关系、两锐角互余、三角函数）到已知两边或一边一锐角的解法类型，再到几何图形中转化应用的递进学习支架。 资料通过“即学即练+题型分类”设计，网格求三角函数题培养几何直观（数学眼光），几何应用中图形转化训练推理能力（数学思维），典例变式助教师分层教学，课后练习帮学生查漏补缺，提升模型意识与应用意识（数学语言）。

专题28.3 解直角三角形 教学目标 1. 掌握直角三角形的所有性质，并能够在解直角三角形时灵活运用。 2. 掌握解直角三角形的所有类型，并能够熟练的判断并解决。 教学重难点 1. 重点 （1） 解直角三角形； （2） 解直角三角形在几何中的应用。 2. 难点 （1）熟练的解直角三角形； （2）在网格中求锐角的三角函数； （3）解直角三角形在几何中的应用。 知识点01 解直角三角形 1. 解直角三角形的定义： 一般地，直角三角形中除了直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形的已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形。 2. 直角三角形的边角关系：（如图：） （1） 三边关系： ； （2） 两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝ 90° 。 （3） 边角关系：sinA＝ ；cosA＝ ；tanA＝ 。 3. 解直角三角形的类型： 图示 已知条件 解法 两边 两直角边 求c；求A， 斜边与直角边（如a，c） 求b；求A； 一边和一锐角 直角边与锐角 一锐角与它的邻边（∠A与b） ；； 一锐角与它的对边（∠A与a） ；； 斜边与锐角（∠A与c） ；； 【即学即练1】 1．根据下列条件，解直角三角形： （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠A＝30°，c16，b＝atanB＝8． （2）∠B＝45°，a＝btanAtan45°，c2． 【即学即练2】 2．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则cosA的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图：作CD⊥AB于点D， 由条件可知， ∵AB＝4， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 知识点02 解直角三角形在几何图形中的应用 1． 解直角三角形在几何图形中的应用： （1） 在一般三角形中：通过作高把一般三角形转化为直角三角形进行求解。 （2） 在平行四边形与梯形中：通过作高把平行四边形和梯形转化为直角三角形求解。 （3） 在矩形、菱形、正方形中：连接对角线行程直角三角形求解。 （4） 在圆中：构造直径所对的圆周角得到直角三角形进行求解。 【即学即练1】 3．如图，在△ABC中，sinB，tanC，AB＝3，求AC、BC的长． 【答案】AC的长为，BC长为3． 【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，sinB，AB＝3， ∴AD＝AB•sinB＝31， ∴BD2， 在Rt△ADC中，tanC， ∴CD， ∴AC， ∴BC＝BD+CD＝23， ∴AC的长为，BC长为3． 【即学即练2】 4．如图，在四边形ABCD中，BD⊥DC，AB＝2，AD＝4，DC，cot∠CBD＝2． （1）求tan∠ADB的值； （2）联结AC交BD于点O，求BO的长． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）在Rt△BCD中， cot∠CBD， ∴BD＝2CD＝2． 又∵AB＝2，AD＝4， ∴AB2+AD2＝BD2， ∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°． 在Rt△ABD中， tan∠ADB． （2）如图所示， 在Rt△BCD中， tan∠DBC． ∴∠DBC＝∠ADB， ∴AD∥BC， ∴△ADO∽△CBO， ∴， ∴BO． 【即学即练3】 5．如图，已知∠PAQ 的两边与以AB为直径的圆交于B，C两点． （1）在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若tanA，CM＝12，求BM的长． 【答案】（1）见解析；（2）6． 【解答】解：（1）如图点M即为所求； （2）如图，过点M作MH⊥AQ于点H． ∵MC＝MH＝12，tanA， ∴AH＝16， ∴AM20， ∴AC＝AM﹣CM＝20﹣12＝8， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵tanA， ∴CB＝6， ∵∠MCB＝90°， ∴BM6． 题型01 解直角三角形 【典例1】在Rt△ABC中，，解这个直角三角形． 【答案】∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝8． 【解答】解：在Rt△ABC中，， ∴tanA， ∴∠A＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝30°， ∴AB＝2AC＝8， 即∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝8． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，∠BAC的平分线交BC于D，，解这个直角三角形． 【答案】∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，AB＝10cm，． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5cm，， ∴， ∴∠CAD＝30°， ∵BC平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAD＝2×30°＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2AC＝2×5＝10cm，． 【变式2】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝1，求∠A的三个三角函数值． （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，求解这个三角形． 【答案】（1），，tanA＝2； （2）∠A＝30°，∠B＝60°，AB＝4． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝1， ∴， ∴， ， ； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，， ∴， ∴， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°． 【变式3】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由条件可知∠B＝45°， 即∠B＝∠A， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， （2）由条件可知， ∴（负值已舍去）， ∵， ∴， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°， 题型02 在网格中求锐角三角函数值 【典例1】如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则sinC＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，取格点D，连接AD、BD， 设小正方形的边长为1， 由网格特点，CD＝AD＝6，∠ADC＝90°， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，则tanA的值为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【解答】解：过点C作AB的平行线CM，连接AM， ∵AB∥CM， ∴∠CAB＝∠ACM． ∵每个小正方形的边长均为1， ∴AM，CM． 在Rt△ACM中， tan∠ACM， ∴tan∠CAB＝tan∠ACM． 故选：A． 【变式2】如图所示，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠CAB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，在Rt△ACM中，AM＝3，CM＝4， ∴AC5， ∴sin∠CAB， 故选：D． 【变式3】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ， ． 在Rt△ABM中， ． 故选：C． 题型03 解直角三角形在几何中的应用 【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且sin∠BAE，若BD＝8，则AE的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AE⊥BD， ∴∠ADB＝90°﹣∠ABE＝∠BAE， ∴， ∴， ∵BD＝8， ∴AB＝4， ∵， ∴， ∴BE＝2， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上的一点，则cos∠OBC＝（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：作直径CD， 在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2， 则OD4， cos∠CDO， 由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO， 则cos∠OBC， 故选：D． 【变式2】如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB． （1）求线段BC的长； （2）求∠BOC的正弦值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB于点D， ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴AB＝OC＝2，OD＝BD＝1， ∴∠C＝30°， ∴CD， ∴BC1； （2）如图，过点B作BE⊥OC于点E， ∵∠C＝30°， ∴BEBC， ∴sin∠BOC． 【变式3】1．如图，在四边形中，，连接和交于点，点为线段中点，．过点作线段的垂线，分别交和的延长线于点和点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若的面积为2，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，点为线段中点， ∴为斜边的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴、互相平分， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵过点作线段的垂线，分别交和的延长线于点和点，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点O作，，如图所示， ∴，， 又∵O为、中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， 同理为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴. 【变式4】如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E． （1）求证：∠ABD＝2∠CAB； （2）若，且，求BF的长． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解答】解：（1）连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠1， ∴2∠CAB＝∠2＝∠CAB+∠1， ∵OC是⊙O的半径，CF切⊙O于C， ∴OC⊥CF， ∵DB⊥CF， ∴OC∥DB， ∴∠ABD＝∠2， ∴∠ABD＝2∠CAB； （2）∵∠ACD，∠ABD为所对圆周角， ∴∠ACD＝∠ABD， ∴． 连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴OB＝OC＝3， ∵， ∴设EF＝4x，BE＝3x，则BF＝5x， ∵BE⊥CF，OC⊥CF， ∴OC∥BE， ∴△BEF～△OCF， ∴， ∴， 3x（3+5x）＝3×5x， 9x+15x2＝15x， ﹣6x+15x2＝0， ∴， ∴BF＝5x＝2． 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠ABC＝35°，AD为角平分线，则BC的长为（　　） A．cos35° B．2cos35° C．sin35° D．2sin35° 【答案】B 【解答】解：由题知， ∵AB＝AC，AD为角平分线， ∴AD⊥BC，BC＝2BD． 在Rt△ABD中， cosB． ∵AB＝1，∠ABC＝35°， ∴BD＝cos35°， ∴BC＝2BD＝2cos35°． 故选：B． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，点D为AB上一点，且DC＝DB＝5，则cos∠A的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为DC＝DB， 所以∠DCB＝∠B． 因为∠ACB＝90°， 所以∠DCB+∠ACD＝∠B+∠A＝90°， 所以∠ACD＝∠A， 所以AD＝CD． 因为CD＝5， 所以AD＝BD＝5， 所以AB＝10． 在Rt△ABC中， AC， cos∠A． 故选：A． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大3倍，则cosA也扩大3倍 B．若α为锐角，，则 C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°） D．△ABC的三边长为a，b，c，则 【答案】B 【解答】解：由题知， 在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大3倍， 则所得三角形与原三角形是相似的， 所以∠A的大小不变， 所以cosA不变． 故A选项不符合题意； 因为α为锐角，且， 所以． 则令sinα＝5x，cosα＝12x， 由sin2α+cos2α＝1得， （5x）2+（12x）2＝1， 解得x（舍负）， 所以sinα． 故B选项符合题意； 因为cos30°+cos45°1，cos（30°+45°）＝cos75°＜1， 故C选项不符合题意； 因为△ABC的三边长为a，b，c，但没有表明谁是直角， 所以无法表示tanA， 故D选项不符合题意． 故选：B． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是AC边上的中线，BD＝5，AC＝6，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得：， ∴， ∴． 故选：B． 5．在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BCA的值为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解答】解：作AC边上的高BD，如图： 由图可知：，， ∴， 则， ∴， ， 故选：B． 6．定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰△ABC是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解答】解：设等腰△ABC的底角为x， 当顶角为2x时，有2x+x+x＝180°，解得：x＝45°； 此时，底角的余弦值为； 当顶角为时，有，解得：x＝72°； 如图所示：作AF⊥BC，CE平分∠ACB， ∵x＝72°， ∴∠CAB36°， ∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∠CAB＝36°， ∵CE平分∠ACB， ∴， ∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝72°，∠ACE＝∠EAC， ∴BC＝CE，AE＝CE， ∴△ACB∽△CBE， 设BC＝CE＝AE＝2y，则BE＝1﹣2y， ∴1：2y＝2y：（1﹣2y）， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴； 综上所述：底角的余弦值为或． 故选：D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，CE⊥AB于点E，若2AE＝BE，则tan∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题知， 令AE＝m，则BE＝2m， 因为∠ACB＝90°，且点D为AB的中点， 所以CD＝AD＝BD， 所以DE． 在Rt△CDE中， CE． 因为CD＝AD， 所以∠ACD＝∠A． 在Rt△ACE中， tanA， 所以tan∠ACD＝tanA． 故选：A． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC的延长线上，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，连接AE，则sin∠CAE的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，延长BA到M，过点A作AH⊥BC于点H． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝HCBC， ∴AH， ∴sin∠ACB， ∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点E， ∴AE平分∠MAC， ∴∠MAE＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴sin∠EAC＝sin∠ACB． 故选：C． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点H．若cosA，CH＝1，则AH的长为（　　） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【解答】解：由作图知：BH⊥AC， ∴∠BHA＝90°， ∴cosA， ∵CH＝1， ∴AB＝AC＝AH+1， ∴， ∴AH＝4． 故选：B． 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACGF，连结CF，DF，设∠CFD＝α，则tanα的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示，连接AD，AG，设AG，CF交于点O，则AG⊥CF， 由条件可知∠DAB＝∠CAG＝45°， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠CAG+∠BAC＝180°， ∴D，A，G三点共线， 又∵AG⊥CF， ∴， ∵AB＝4，AC＝6， ∴， ∴， 故选：C． 11．如图，每个小正方形的边长为1，点A，B、C均在格点上，则tanC的值是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图： 在Rt△ACD中，AD＝4，CD＝3， ∴tanC， 故答案为：． 12．在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝　或　 ． 【答案】或 【解答】解：如图所示： BD3， 若高AD在△ABC内部， CD＝BC﹣BD＝10， ∴tanC． 若高AD在△ABC外部， CD＝BC+BD＝16， tanC． 13．在等腰△ABC中，AB＝AC，如果AB：BC＝3：2，那么cos∠ABC的值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB：BC＝3：2， ∴设AB＝AC＝3k，BC＝2k， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝k， ∴cos∠ABC， 故答案为：． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝3，，则DC的值为 　　 ． 【答案】 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠B＝∠DAC， ∴tanB＝tan∠DAC， ∴， ∵AD＝3， ∴， ∴CD， 故答案为：． 15．如图，是矩形对角线上的一个动点，以点为圆心，长为半径作．若，且，当与矩形的边相切时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：由题意知只能与,相切， 如图作与于, ，， ， ， 当与相切时，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 当与相切时，， ， ， ， ， ， ， 的长是或， 故答案为：或． 16．由下列条件解直角三角形；在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）已知a+c＝12，∠B＝60°； （2）b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°． 【答案】（1）a＝4，b，c＝8，∠A＝30°； （2）∠A＝60°，∠B＝30°，c＝20，b＝10，a＝10． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°， ∴∠A＝30°． ∴c＝2a． ∴a＝4，c＝8． ∴b4． 即：a＝4，b，c＝8，∠A＝30°； （2）∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A﹣∠B＝30°， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， ∵sin30°， ∴bc， ∵b+c＝30， ∴c+c＝30， 解得c＝20， 则b＝10， ∴a10． 17．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，BC＝a（a为常数且a≠0），延长CD到点A，使AD＝BD． （1）求∠A的度数及tanA的值； （2）作DE⊥AB，求DE的长． 【答案】（1）∠A＝15°，2； （2）a． 【解答】解：（1）∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD． ∵∠BDC＝∠A+∠ABD．＝30°， ∴∠A＝15°． 在Rt△BCD中， ∵∠BDC＝30°，BC＝a， ∴BD＝AD＝2a，CDa． ∴AC＝AD+CD＝2aa． ∴tanA2． （2）在Rt△ABC中， ∵AC＝2aa，BC＝a， ∴AB2a（1）a＝（）a． ∵AD＝BD，DE⊥AB， ∴AEAB（）a． 由（1）知，tanA＝2， ∵tanA， ∴ED＝tanA•AE ＝（2）•（）a a． 18．如图，在菱形ABCD中，AB，． （1）求对角线BD的长； （2）求sin∠ABC的值． 【答案】（1）4； （2）． 【解答】解：（1）连接AC交BD于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形，AB， ∴BC＝AB，OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∴∠BOC＝90°，AC＝2OC，BD＝2OB， 在Rt△OBC中，tan∠CBD， 设OC＝a，OB＝2a， 由勾股定理得：BC， ∴， 解得：a＝1， ∴OC＝a＝1，OB＝2a＝2， ∴AC＝2OC＝2，BD＝2OB＝4， 即对角线BD的长为4； （2）过点A作AE⊥BC于点E，如图2所示： 由（1）可知：AC＝2，BD＝4， 由菱形的面积公式得：S菱形ABCD＝BC•AEAC•BC， ∴AE， 在Rt△ABE中，sin∠ABC． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D． （1）求tan∠A的值； （2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠BCE＝∠A时，求线段CE的长． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）过点A作BC的垂线，垂足为M， ∵AB＝AC，BC＝12， ∴BM， 则AM． ∵， ∴BD， 则AD． 在Rt△ABD中， tan∠BAD； （2）过点E作BC的垂线，垂足为M， ∵∠BCE＝∠A， ∴tan∠BCE＝tan∠BAC． 令EM＝24x，CM＝7x， 则CE． ∵AD， ∴CD＝10． 在Rt△BCD中， tan∠DBC． 在Rt△EBM中， tan∠DBC， 则， 解得x， 经检验x是原方程的解，且符合题意， ∴CE． 20．（1）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，求∠α+∠β的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求∠α+∠β的度数． （2）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，则∠α+∠β＝　90　 °； （3）已知∠α，∠β，∠θ均为锐角，tanα，∠α+∠β＝∠θ，请在图2中自行构图求tanθ的值． 【答案】（1）45°； （2）90°； （3）． 【解答】解：（1）如图所示，取格点E、F，连接BC， ， ， ∴∠α＝∠BAE，∠β＝∠CAF ，， ， ∴，AC2＝（10）2＝10， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠BAE+∠FAC＝∠α+∠β＝45°； （2）∵∠α，∠β均为锐角，，， ∴∠α＝60°，∠β＝30°， ∴∠α+∠β＝90°； 故答案为：90； （3）如图所示，， ∴tan∠HDG＝tanα，tan∠HDF＝tanβ， ∴∠HDG＝∠α，∠HDF＝∠β， ∴∠α+∠β＝∠HDF+∠HDG＝∠GDF； ∴，， ， ∴， ∴DG2+FG2＝DF2， ∴∠FGD＝90°， ∴， ∵∠α+∠β＝∠θ， ∴∠θ＝∠FDG， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.3 解直角三角形 教学目标 1. 掌握直角三角形的所有性质，并能够在解直角三角形时灵活运用。 2. 掌握解直角三角形的所有类型，并能够熟练的判断并解决。 教学重难点 1. 重点 （1） 解直角三角形； （2） 解直角三角形在几何中的应用。 2. 难点 （1）熟练的解直角三角形； （2）在网格中求锐角的三角函数； （3）解直角三角形在几何中的应用。 知识点01 解直角三角形 1. 解直角三角形的定义： 一般地，直角三角形中除了直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形的已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形。 2. 直角三角形的边角关系：（如图：） （1） 三边关系： ； （2） 两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝ 。 （3） 边角关系：sin A＝ ；cos A＝ ；tan A＝ 。 3. 解直角三角形的类型： 图示 已知条件 解法 两边 两直角边 求c；求A， 斜边与直角边（如a，c） 求b；求A； 一边和一锐角 直角边与锐角 一锐角与它的邻边（∠A与b） ；； 一锐角与它的对边（∠A与a） ；； 斜边与锐角（∠A与c） ；； 【即学即练1】 1．根据下列条件，解直角三角形： （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b． 【即学即练2】 2．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则cosA的值是（　　） A． B． C． D． 知识点02 解直角三角形在几何图形中的应用 1． 解直角三角形在几何图形中的应用： （1） 在一般三角形中：通过作高把一般三角形转化为直角三角形进行求解。 （2） 在平行四边形与梯形中：通过作高把平行四边形和梯形转化为直角三角形求解。 （3） 在矩形、菱形、正方形中：连接对角线行程直角三角形求解。 （4） 在圆中：构造直径所对的圆周角得到直角三角形进行求解。 【即学即练1】 3．如图，在△ABC中，sinB，tanC，AB＝3，求AC、BC的长． 【即学即练2】 4．如图，在四边形ABCD中，BD⊥DC，AB＝2，AD＝4，DC，cot∠CBD＝2． （1）求tan∠ADB的值； （2）联结AC交BD于点O，求BO的长． 【即学即练3】 5．如图，已知∠PAQ 的两边与以AB为直径的圆交于B，C两点． （1）在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若tanA，CM＝12，求BM的长． 题型01 解直角三角形 【典例1】在Rt△ABC中，，解这个直角三角形． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，∠BAC的平分线交BC于D，，解这个直角三角形． 【变式2】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝1，求∠A的三个三角函数值． （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，求解这个三角形． 【变式3】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形． （1）； （2）． 题型02 在网格中求锐角三角函数值 【典例1】如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则sinC＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，则tanA的值为（　　） A． B． C．5 D．4 【变式2】如图所示，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠CAB的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 题型03 解直角三角形在几何中的应用 【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且sin∠BAE，若BD＝8，则AE的长为（　　） A． B．2 C． D． 【变式1】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上的一点，则cos∠OBC＝（　　） A． B．2 C． D． 【变式2】如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB． （1）求线段BC的长； （2）求∠BOC的正弦值． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连接AC和BD交于点O，点O为线段AC中点，AC＝BD．过点O作线段AC的垂线，分别交AD和AB的延长线于点E和点F． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若△ODE的面积为2，，求△BOF的面积． 【变式4】如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E． （1）求证：∠ABD＝2∠CAB； （2）若，且，求BF的长． 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠ABC＝35°，AD为角平分线，则BC的长为（　　） A．cos35° B．2cos35° C．sin35° D．2sin35° 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，点D为AB上一点，且DC＝DB＝5，则cos∠A的值为（　　） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大3倍，则cosA也扩大3倍 B．若α为锐角，，则 C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°） D．△ABC的三边长为a，b，c，则 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是AC边上的中线，BD＝5，AC＝6，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 5．在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BCA的值为（　　） A． B． C．5 D． 6．定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰△ABC是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　） A． B． C．或 D．或 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，CE⊥AB于点E，若2AE＝BE，则tan∠ACD的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC的延长线上，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，连接AE，则sin∠CAE的值是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点H．若cosA，CH＝1，则AH的长为（　　） A． B．4 C． D．6 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACGF，连结CF，DF，设∠CFD＝α，则tanα的值为（　　） A． B．2 C． D． 11．如图，每个小正方形的边长为1，点A，B、C均在格点上，则tanC的值是 　 　 ． 12．在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝ 　 ． 13．在等腰△ABC中，AB＝AC，如果AB：BC＝3：2，那么cos∠ABC的值是 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝3，，则DC的值为 　 ． 15．如图，是矩形对角线上的一个动点，以点为圆心，长为半径作．若，且，当与矩形的边相切时，的长为 ． 16．由下列条件解直角三角形；在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）已知a+c＝12，∠B＝60°； （2）b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°． 17．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，BC＝a（a为常数且a≠0），延长CD到点A，使AD＝BD． （1）求∠A的度数及tanA的值； （2）作DE⊥AB，求DE的长． 18．如图，在菱形ABCD中，AB，． （1）求对角线BD的长； （2）求sin∠ABC的值． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D． （1）求tan∠A的值； （2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠BCE＝∠A时，求线段CE的长． 20．（1）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，求∠α+∠β的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求∠α+∠β的度数． （2）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，则∠α+∠β＝　 　 °； （3）已知∠α，∠β，∠θ均为锐角，tanα，∠α+∠β＝∠θ，请在图2中自行构图求tanθ的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $