专题02轴对称（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

该初中数学专题知识清单聚焦轴对称内容，涵盖7个核心知识清单、12类典型题型及4个易错点，包含轴对称图形、等腰三角形、最短路径等知识范畴，搭建从概念认知到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单通过分类梳理知识体系，分级设计题型梯度，如将“三线合一”标注为等腰三角形核心性质，“将军饮马模型”突出转化思想，培养学生几何直观与推理意识。易错点专题针对概念混淆、分类讨论等设题，助力学生自主突破难点，教师可精准教学提升效率。

专题02轴对称（7知识&12题型&4易错） 【清单01】轴对称图形 如果存在一条直线（对称轴），使图形沿这条直线 后，直线两旁的部分能 ，那么这个图形就是 图形。例如：等腰三角形、圆形、正方形。 两个图形成轴对称：描述两个图形之间的位置关系。如果把一个图形沿着某条直线折叠，它能与另一个 ，那么就说这两个图形关于这条直线成 。 【清单02】轴对称图形的性质 性质1：如果两个图形关于某条直线对称，那么 ， 。 性质2 (最核心)：连接任意一对对称点的线段都被对称轴 。 性质3：两个图形的对应线段或其延长线如果相交，那么交点一定在 。 【清单03】线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的 。 【清单04】角的平分线 性质定理：角平分线上的点，到 的距离相等。 【清单05】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形。相等的两边叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰与底边的夹角叫做 。 性质1 (等边对等角)：等腰三角形的两个 。 性质2 (三线合一)：等腰三角形的 、底边上的 、底边上的 互相重合。这是最强大、最常用的性质。 【清单06】最短路径问题（将军饮马模型） 核心思想：利用轴对称将“ ”转化为“ ”，再根据“ ”求出最小值。 【清单07】折叠问题 核心思想：图形折叠是典型的轴对称变换。解题关键是找出折叠前后的重合部分（对应边、对应角），从而建立等量关系。 【题型一】轴对称图形的识别 【例1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列节水、节能、回收、食品四个标志图形是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）下列数学符号中，不是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东德州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】利用轴对称图形性质求解 【例2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，中，点在边上，分别画出点关于、的对称点、，并连接、．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，求的周长． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，为内一点． (1)在图中分别作出点关于射线，的对称点，（保留作图痕迹，不写作法）． (2)连接，，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【题型三】折叠问题 【例3】（25-26七年级上·山东枣庄·月考）如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则 度． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和顶点A重合，折痕交边于点D，交边于点E，连接，若，，． (1)求的周长； (2)求的度数． 【题型四】线段垂直平分线的性质 【例4】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 【变式4-1】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则 【变式4-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)请说明与的大小关系； (2)若的周长为42cm，，求的长． 【题型五】线段垂直平分线的尺规作图 【例5】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)连接，求证：平分． 【变式5-2】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇、距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．用尺规作图作出发射塔的位置并标注．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型六】角平分线的性质 【例6】（25-26八年级上·山东滨州·月考）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点F，连接． (1)线段和相等吗？与垂直吗？ (2)有以下两个结论：①平分；②平分；其中正确结论的序号是____________．（只填序号，不说明理由） 【题型七】角平分线的尺规作图及应用 【例7】（25-26九年级上·山东·课后作业）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【变式7-2】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【题型八】等边对等角的应用 【例8】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和均为等腰直角三角形，且点，，在同一条直线上，连接，则以下四个结论： ①；②；③；④．其中正确的个数是 ． 【变式8-2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，． (1)求证：△△． (2)若，，求的度数． 【题型九】三线合一 【例9】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【变式9-1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，已知，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【变式9-2】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在面积为4的中，，的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是 ． 【变式9-3】（25-26八年级上·山东日照·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)求的取值范围． (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【题型十】等腰三角形性质与判定的综合 【例10】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（   ） ①线段；②当时，四边形的面积是；③随着点的移动，的角度不变；④当点运动到点时，线段为； A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26八年级上·山东·期末）如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 【变式10-2】（25-26八年级上·山东日照·月考）在平面直角坐标系中，已知，a，b满足 (1)求A，B两点的坐标； (2)如图，点D在x轴的正半轴上，点C在第一象限，连接交于点E，满足，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求点A到的距离； 【题型十一】30度锐角所对的直角三角形 【例11】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长度是（   ） A．5 B．6 C． D．12 【变式11-1】（25-26八年级上·山东·期中）如图1，在中，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)如图2，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点E，交的延长线于点F．已知，求的长． 【变式11-2】（25-26七年级上·山东泰安·期中）已知：如图，在中，，，点D在上，． 试说明． 【题型十二】最短路径问题 【例12】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ． 【变式12-1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：用直尺画图，保留痕迹 (1)格点顶点均在格点上的面积为_______； (2)画出格点关于直线对称的，使点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点； (3)在上找一点P，使得周长最小； (4)在上找一点M，使得最大． 【变式12-2】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【变式12-3】（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，，点为中点，点N在直线上运动，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，则点N在运动过程中，的最小值为 ． 【题型一】概念混淆成轴对称的两个图形的识别 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期中）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是 （填序号）． 【题型二】涉及等腰三角形的边要进行分类讨论 【例2】（25-26八年级上·山东济南·月考）已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级上·山东威海·期中）现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 【题型三】球的反弹与光的反射问题共同点 【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【题型四】镜面反射时间、车牌注意对称方式 【例4】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是 ． 【变式4-2】（25-26七年级上·上海·月考）东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是 ． 试卷第2页，共49页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02轴对称（7知识&12题型&4易错） 【清单01】轴对称图形 如果存在一条直线（对称轴），使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。例如：等腰三角形、圆形、正方形。 两个图形成轴对称：描述两个图形之间的位置关系。如果把一个图形沿着某条直线折叠，它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。 【清单02】轴对称图形的性质 性质1：如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段相等，对应角相等。 性质2 (最核心)：连接任意一对对称点的线段都被对称轴垂直平分。 性质3：两个图形的对应线段或其延长线如果相交，那么交点一定在对称轴上。 【清单03】线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等。 【清单04】角的平分线 性质定理：角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 【清单05】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 性质1 (等边对等角)：等腰三角形的两个底角相等。 性质2 (三线合一)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这是最强大、最常用的性质。 【清单06】最短路径问题（将军饮马模型） 核心思想：利用轴对称将“同侧两点”转化为“异侧两点”，再根据“两点之间，线段最短”求出最小值。 【清单07】折叠问题 核心思想：图形折叠是典型的轴对称变换。解题关键是找出折叠前后的重合部分（对应边、对应角），从而建立等量关系。 【题型一】轴对称图形的识别 【例1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列节水、节能、回收、食品四个标志图形是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解： A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）下列数学符号中，不是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A，B，D都能找到一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形， C不能找到一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形， 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东德州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 【题型二】利用轴对称图形性质求解 【例2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，中，点在边上，分别画出点关于、的对称点、，并连接、．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：由题知， ，， 点关于和的对称点分别为和， ，， 故选：D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点到对应点的距离相等． 根据轴对称的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵点、关于对称，点、关于对称， ∴，， ∵， ∴的周长． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，为内一点． (1)在图中分别作出点关于射线，的对称点，（保留作图痕迹，不写作法）． (2)连接，，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称的性质，掌握作对称点的方法是解题的关键． （1）利用作对称点的作图方法作出，即可． （2）根据轴对称的性质得出，，即可得出，与之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示． （2）． 证明：如图，连接，，， 由对称可得，，， ， ． 【题型三】折叠问题 【例3】（25-26七年级上·山东枣庄·月考）如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 设，由折叠的性质可知，．从而可利用x表示出，再根据，列出等式，解出x即可． 【详解】解：设， 由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【变式3-1】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，由直角三角形的性质得，进而由折叠的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和顶点A重合，折痕交边于点D，交边于点E，连接，若，，． (1)求的周长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形内角和定理，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）由折叠性质得，，则，，根据的周长为得，进而得，由此可得的周长； （2）先利用三角形内角和定理求出，由折叠性质得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：， 由折叠性质得：，， ，， 的周长为， ， ， 的周长为：； （2）解：在中，， 由三角形内角和定理得：， 由折叠性质得： ． 【题型四】线段垂直平分线的性质 【例4】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和，垂直平分线的性质，等边对等角，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和，得到，求出，，推导出，得到，则，， 从已知条件无法求出的周长，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，故A正确； ∴， ∵分别垂直平分，垂足分别为E、G， ∴，， ∴， ∴，故B正确； ∴，故D正确， 从已知条件无法求出的周长，故C错误． 故选C． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则 【答案】20 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，，，求出，由三角形内角和定理求出，得到． 【详解】解：，分别是边的垂直平分线， ，， ， ，，， ， ， ． 故答案为： 【变式4-2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)请说明与的大小关系； (2)若的周长为42cm，，求的长． 【答案】(1)； (2)13cm． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）由线段垂直平分线的性质推出，，得到； （2）由的周长得到，结合，，求出的长即可． 【详解】（1）（1）解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）（2）解：的周长，， ， ， ． 【题型五】线段垂直平分线的尺规作图 【例5】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：由作图可知，， 的周长， ， ， 故答案为： 【变式5-1】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—线段垂直平分线，掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角和角平分线的定义是解决本题的关键． （1）分别以点B、点C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于两点，作过这两点的直线，此时直线交和于点E和点D，此时，为的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可得； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据可得，进而即可得证． 【详解】（1）解：作的垂直平分线，交于点E，交于点D，如图所示： （2）证明：在中，，， ， 由（1）得，， ， ∴， 平分． 【变式5-2】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇、距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．用尺规作图作出发射塔的位置并标注．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，作角的平分线，线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，掌握基本的尺规作图方法是解题的关键．根据题意，电视信号发射塔的位置应在两条高速公路夹角的平分线和两个城镇所连线段的垂直平分线的交点处，据此作角平分线和线段的垂直平分线即可求解． 【详解】解：如图点即为发射塔的位置． 【题型六】角平分线的性质 【例6】（25-26八年级上·山东滨州·月考）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 、、是的三条角平分线， ， ，的面积为， ， ， 的面积 ， 故选：D 【变式6-2】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点F，连接． (1)线段和相等吗？与垂直吗？ (2)有以下两个结论：①平分；②平分；其中正确结论的序号是____________．（只填序号，不说明理由） 【答案】(1)且 (2)① 【分析】（1）证明，再利用全等的性质可判断；由，可得，再由，,可得，即可得到； （2）分别过点作,,根据全等三角形面积相等和，可得平分，无法证明平分． 【详解】（1）解：且， 因为， 所以， 即， 在和中， ，，， 所以， 所以； 因为， 所以， 又因为，, 所以， 所以，即， ， 故且； （2）分别过点作,,垂足分别为， 因为， 所以， 所以， 又因为, 所以, 所以平分，无法证明平分， 故答案为：①． 【题型七】角平分线的尺规作图及应用 【例7】（25-26九年级上·山东·课后作业）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 由题意可知，点O为各个内角的平分线的交点，结合各选项图的作图痕迹可得答案． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴点O是角平分线的交点， 由各选项的作图痕迹可知，D选项中，点O为和的平分线的交点，即D选项符合题意． 故选：D． 【变式7-1】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过D作于点H，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：过D作于点H， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ，， ， 又， ． 故选：A． 【变式7-2】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查尺规作图，三角形的内角和定理；根据作图痕迹得垂直平分，平分，得到，根据三角形的内角和定理得到，求出，再结合，计算即可． 【详解】解：根据作图痕迹得垂直平分，平分， 所以． 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故选：C． 【变式7-3】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）利用等腰三角形的性质得到，再证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：连接， ，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型八】等边对等角的应用 【例8】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证，推出，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，进而根据即可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ，， 在和中，，，， ， ∴，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和均为等腰直角三角形，且点，，在同一条直线上，连接，则以下四个结论： ①；②；③；④．其中正确的个数是 ． 【答案】3个 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意可证，结合三角形内角和定理，周角的计算即可判定． 【详解】解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ，即． 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 故答案为：3个． 【变式8-2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，． (1)求证：△△． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据，可得，利用证明△△即可； （2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：△△， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【题型九】三线合一 【例9】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 【变式9-1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，已知，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质可得，则，再根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答． 本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短． 【详解】解：，平分， ， ， ∴， 过点P作于点， 平分， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式9-2】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在面积为4的中，，的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质. 连接，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短. 故答案为：． 【变式9-3】（25-26八年级上·山东日照·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)求的取值范围． (2)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （2）延长交于点F，证明，根据全等性质得，，利用得等腰三角形即可求得答案． 【详解】（1）证明：延长到点E，使 ∵D是的中点 ∴ 在和中， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故 （2）延长交于点F，如图 ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴． 【题型十】等腰三角形性质与判定的综合 【例10】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（   ） ①线段；②当时，四边形的面积是；③随着点的移动，的角度不变；④当点运动到点时，线段为； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边对等角，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质；根据轴对称的性质，得到线段相等，则①正确；将图中不规则的四边形面积分割为两个三角形的面积进行求解，作于点，利用特殊角得到，，利用三角形面积公式计算可得②正确；利用等腰三角形性质，以及平角为 ，可求得具体角度，判断③正确；由轴对称的性质可得，再由三角形三边的关系即可判断④错误． 【详解】解：∵点关于的对称点为，， ∴， 则①正确； 作于点， ∵， 由对称的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 则②正确； ∵是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴随着点的移动，的角度不变； 则③正确； 当和重合时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， 则④错误； 故选C． 【变式10-1】（25-26八年级上·山东·期末）如图，在等腰直角中，，O是边上的中点，点D，E分别在，边上，且，交于点P，下列结论：①图中的全等三角形共有3对；②；③；④；正确的是有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质得到，，平分，，再证明和，加上，从而可对①进行判断；根据全等三角形的性质，由得到，则可对②进行判断；由得到，即，根据垂线段最短的性质，从而可对③进行判断；由得到，利用等量代换得到，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，，O是边上的中点， ∴，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图中共有3对全等三角形，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为①②④． 【变式10-2】（25-26八年级上·山东日照·月考）在平面直角坐标系中，已知，a，b满足 (1)求A，B两点的坐标； (2)如图，点D在x轴的正半轴上，点C在第一象限，连接交于点E，满足，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求点A到的距离； 【答案】(1) (2)见解析； (3)12 【分析】（1）根据非负性的性质求解即可； （2）根据题意，则，即可求证； （3）过点作于点，证明，即可求解. 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴， ∴， ，， 解得： ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴ 如图；过点作于点， ∴ ∵ ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴点A到的距离为12. 【点睛】该题考查了坐标与图形综合，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，非负数的性质，垂直平分线的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线． 【题型十一】30度锐角所对的直角三角形 【例11】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长度是（   ） A．5 B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据高得出直角三角形，利用等角的余角相等得出相等的角，根据等角对等边得出相等的边，然后证明，得出，最后利用含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式11-1】（25-26八年级上·山东·期中）如图1，在中，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)如图2，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点E，交的延长线于点F．已知，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、含的直角三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）根据含的直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后在中，运用含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 【变式11-2】（25-26七年级上·山东泰安·期中）已知：如图，在中，，，点D在上，． 试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等角对等边可得：，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得：，从而可得，即可解答． 【详解】解：，， ， ∴， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 即， ∴， ． 【题型十二】最短路径问题 【例12】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 【变式12-1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：用直尺画图，保留痕迹 (1)格点顶点均在格点上的面积为_______； (2)画出格点关于直线对称的，使点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点； (3)在上找一点P，使得周长最小； (4)在上找一点M，使得最大． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查网格与图形的变化，掌握网格求几何图形面积，轴对称图形及其性质，求线段最短的方法是解题的关键． （1）根据网格求几何图形面积的计算方法即可求解； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据轴对称图形的性质，两点之间线段最短的方法即可求解． （4）延长交直线于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：格点的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． ； （3）解：如图，连接交直线于点P，连接， 此时的周长为，为最小值， 则点P即为所求； （4）解：， 当A，B，M三点共线时最大， 如图，延长交直线于点M， 此时，为最大值， 则点M即为所求． 【变式12-2】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)不变， 【分析】（）连接，证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵，，是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：四边形面积不会发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积不会发生变化，面积为． 【变式12-3】（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，，点为中点，点N在直线上运动，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，则点N在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用含度角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：设的中点为，连接，过作交直线于点，如图： 在中，，, ∴， ∵点为中点， ∴ ∴ 根据旋转可得 ， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 【题型一】概念混淆成轴对称的两个图形的识别 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期中）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键． 根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意； B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 【题型二】涉及等腰三角形的边要进行分类讨论 【例2】（25-26八年级上·山东济南·月考）已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系．根据等腰三角形的性质，设腰长为a，底边长为b，则周长为，已知一边长为5，需分情况讨论5是腰或底，结合三角形两边之和大于第三边的不等式，判断是否成立，即可作答． 【详解】解：依题意，设腰长为a，底边长为b， ∵等腰三角形的周长为21， ∴， ∵其中一边长为5， ∴当时，则，解得， 则，此时不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当时，则，解得， 则，此时符合三角形三边关系， 综上：该等腰三角形的底边长为5， 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质等知识，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键． 根据相关知识分别进行判断即可． 【详解】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（25-26七年级上·山东威海·期中）现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 【答案】(1)或 (2)①等腰三角形，理由见解析；②7 【分析】本题考查了乘方，绝对值，等腰三角形的判定，正确求得a、b、c的值是解题的关键． （1）利用偶次方的非负性，绝对值方程，可得a、b、c的值； （2）① 分情况讨论可得时，无法组成，可得，此时为等腰三角形； ②根据①求出的周长即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或； （2）解：①等腰三角形，理由如下： 当时， ，即 此时无法组成三角形， a、b、c是三条边的长度时，， ， 是等腰三角形； ②此时的周长为． 【题型三】球的反弹与光的反射问题共同点 【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质的应用，根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角即可得到答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为个单位长度， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角． 故选：B． 【变式3-1】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反射角等于入射角，由题意得，，然后通过三角形内角和定理即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵，, ∴， ∴， 故选：． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，规律总结，列代数式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题中的作图方法，在图5中作图即可解答； （2）根据题中的作图方法，在图6中，利用网格作图即可解答； （3）根据题中呈、、时，能看到的蜡烛个数，总结出规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 【题型四】镜面反射时间、车牌注意对称方式 【例4】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26七年级上·上海·月考）东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】 解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴东东醒来时的正确时间是“”， 故答案为：． 试卷第2页，共49页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $