专题05一次函数（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学一次函数专题清单涵盖5大知识模块、18类题型及5种解题方法，系统梳理变量与常量、函数概念、一次函数定义性质及应用等核心内容，搭建从基础概念理解到图像性质分析再到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型实例+方法总结”三维架构呈现，如将函数三种表示法与实际问题结合，通过分段函数实例培养数学思维和应用意识。标注重难点题型，如一次函数与几何综合题，助力学生高效突破，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

专题05 一次函数（5知识&18题型&5方法清单） 【清单01】变量与常量： （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 【清单02】函数的有关概念： （1）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． （2）用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意：①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． （3）自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． （4）函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． （5）函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． （6）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 【清单03】一次函数与正比例函数 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． 一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． （2）正比例函数的定义： 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 【清单04】一次函数的图象与性质： （1）正比例函数图象的性质 正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx． 当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （2）一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． （3）一次函数的图象： 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 【清单05】一次函数的应用： （1）、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． （2）、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． （3）、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【题型一】函数的三种表达方式 【例1】（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗是“中国循环经济试点城市”，某再生资源企业处理废铝，进价为每吨万元，售价为每吨万元，每天可处理20吨．若每吨降价万元，每天可多处理5吨，设每吨降价万元，每天获利万元，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·重庆江津·期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（20-21七年级下·河北保定·期末）研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系．当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下表所示的关系： 氮肥施用量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 根据表格，下列说法错误的是（    ） A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 B．氮肥施用量越大，土豆产量越高 C．当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨~34.03吨 D．当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加 【变式1-3】（23-24八年级下·吉林四平·期末）某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式1-4】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … (1)表中的自变量为___________，因变量为___________； (2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） 【题型二】函数的概念 【例2】（22-23八年级上·上海奉贤·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【变式2-1】（23-24八年级上·安徽合肥·月考）下列函数图象中，能表示函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·湖南郴州·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（20-21八年级下·湖南益阳·期末）下列关于变量，的关系：①；②；③；④．其中是的函数的是 ．（填序号） 【题型三】求自变量的取值范围 【例3】（2025·浙江杭州·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式3-1】（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）使函数有意义的自变量x的取值范围是 ． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）函数中，自变量的取值范围是 ． 【题型四】求自变量或函数值 【例4】（25-26七年级上·山西大同·期中）摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为（   ） A．95℉ B．86℉ C．77℉ D．90℉ 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为2时，输出的值为1，则输入的值为4时，输出的值为 ． 【变式4-3】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数 (1)求当，时，函数的值； (2)求当取什么值时，函数的值为0． 【题型五】从函数图像获取信息 【例5】（25-26八年级上·四川达州·期中）已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示.其中正确的结论有（   ） 现有以下4个结论： ①快递车到达乙地时两车相距；②甲、乙两地之间的距离为； ③快递车从甲地到乙地的速度为；④图中点B的坐标为. A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）人的正常体温在之间，但一天中的不同时刻体温略有差别，如图反映了一天内安安的体温变化情况，其中x表示一天中的时间，T表示安安的体温，下列说法中，不正确的是（ ） A．图中反映了一天中的时间与安安体温之间的关系 B．安安在时的体温为 C．图中的自变量是时间x，它的取值范围是 D．安安的体温可以看成一天中的时间的函数 【变式5-3】（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【题型六】绘制函数的图像 【例6】（25-26九年级上·河南周口·期中）小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是x与y的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … m n 5 … (1)________， ________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来米，画出函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：若函数的图象与直线有3个交点，请直接写出b的取值范围． 【变式6-1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请你解决相关问题： (1)列表如下：若，为该函数图象上不同的两点，则______． … 0 1 2 … … 3 1 1 3 … (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论． 结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______； 结论2：当时，随增大而______（填“增大”或“减小”）； (4)关于的方程无解，则的取值范围是______． 【变式6-2】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在所给平面直角坐标系中（网格中的小正方形边长是1）画出该函数的图象： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … ______ ______ 1 2 ______ 2 ______ … (2)根据函数图象，以下关于该函数性质的说法中，正确的有__________（填正确答案的序号） ①函数图像关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变． (3)若直线与函数的图象只有一个交点，求b的值． 【变式6-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图像并结合函数图像研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： … 0 1 … … 3 2 1 0 1 2 … (1)列表，直接填空：________． (2)描点并画出该函数的图像． (3)观察的图像，类比一次函数，请写出该函数的一条性质：_________． (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图像与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为______． 【题型七】一次函数的定义 【例7】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是 ． 【变式7-2】（25-26八年级上·宁夏中卫·期中）已知函数是一次函数，则 ． 【变式7-3】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 【题型八】正比例函数的性质 【例8】（25-26八年级上·广东清远·月考）点、都在直线 上，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式8-1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式8-2】（2025八年级上·上海·专题练习）关于正比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象经过第二、四象限 C．不论x取何值，总有 D．y随x的增大而增大 【题型九】一次函数图像的识别 【例9】（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级上·重庆·期中）直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（23-24八年级下·重庆江津·期末）平面直角坐标系中点和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型十】一次函数的性质 【例10】（25-26八年级上·山西运城·月考）关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 【变式10-1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 【变式10-2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）一次函数的图象经过第一、二、三象限，那么一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一，二，三 B．一，三，四 C．二，三，四 D．一，二，四 【变式10-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数． (1)已知随增大而减小，求的取值范围； (2)函数图象与轴交点在轴上方，求的取值范围； (3)图象不经过第三象限，求的取值范围． 【题型十一】求一次函数的解析式 【例11】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求该一次函数的解析式． 【变式11-1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）若直线l经过点，，求直线l的函数表达式． 【变式11-2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)此一次函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围． 【题型十二】一次函数图像的平移 【例12】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）将一次函数的图象向上平移2个单位，平移后，当时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西延安·月考）将一次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新一次函数的图象过点（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）将一次函数向下平移3个单位长度后得到直线，则平移后直线对应的函数表达式为 ． 【变式12-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ． 【题型十三】一次函数与一元一次方程综合 【例13】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 【变式13-3】（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【题型十四】一次函数与不等式综合 【例14】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 【变式14-2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图在平面直角坐标系中直线与直线的交点的横坐标为，求出关于的不等式组的解集． 【变式14-3】（24-25八年级下·江西吉安·月考）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点，，且与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴交于点．已知点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)结合图象，不等式的解集为______，不等式的解集为______； (2)若点的横坐标为，求，的值． 【题型十五】一次函数与二元一次方程综合 【例15】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（25-26八年级上·安徽宣城·月考）如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【变式15-2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的面积． 【题型十六】一次函数的应用 【例16】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【变式16-1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． (1)求篮球和排球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值． 【变式16-2】（25-26八年级上·湖南株洲·月考）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？并求出此时的最少费用是多少元？ 【变式16-3】（24-25八年级上·河南郑州·月考）某超市分两次购进苦荞茶和信阳毛尖两种茶叶进行销售，两次购进同一种茶叶的进价相同，具体情况如表所示： 购进数量/盒 购进所需费用/元 苦荞茶 信阳毛尖 第一次 50 70 5000 第二次 40 60 4200 (1)求苦荞茶和信阳毛尖两种茶叶每盒的进价分别是多少元； (2)若该超市计划用600元同时购进两种茶叶（钱全部用光），则有几种购进方案？ (3)该超市决定苦荞茶以每盒45元出售，信阳毛尖以每盒75元出售．为满足市场需求，需购进苦荞茶和信阳毛尖两种茶叶共500盒，且苦荞茶的数量不少于300盒，不多于400盒，请你帮超市求出获利最大的进货方案，并计算出最大利润． 【变式16-4】（25-26八年级上·广东茂名·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费(单位：元)与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【题型十七】一次函数的规律探究 【例17】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是 ． 2（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ． 【变式17-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）如图，，，，…都是边长为的等边三角形，点在轴上，点，，，，…都在正比例函数的图象上，则点的坐标是 ． 【题型十八】分段函数问题 【例18】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）小明与家人准备去附近的大棚草莓采摘园体验采摘的乐趣，已知甲采摘园的收费方式为游客进园需购买门票元，采摘的所有草莓按元／千克；如果去乙采摘园，那么游客无需买票且采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．小明与家人采摘草莓共千克，若在甲采摘园所需总费用为元，在乙采摘园所需总费用为元，与之间的函数图象如图所示． (1)根据图象可知在甲采摘园所需总费用____________． (2)求与采摘草莓数量之间的函数表达式． (3)当采摘多少千克草莓时，在甲、乙采摘园的总费用相同？ 【变式18-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示___________槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示___________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是___________； (2)求所在直线的解析式，并直接写出所在直线的解析式； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差2厘米？ (4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，直接写出甲槽底面积和乙槽底的面积（壁厚不计，圆柱的体积=底面积×高）． 【变式18-2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）甲、乙两辆新能源货车分别从相距的，两地同时出发，甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往地，乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回地，结果比甲货车晚半小时到达地．如图是甲、乙两货车距地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ． (2)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【变式18-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为x（h），两艘轮船距离杭州的路程y（km）关于x（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． (1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：游轮与货轮何时相距12km？ 【题型一】一次函数的平行问题 【例1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知直线与直线平行，则 ． 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数的图象与一次函数的图象平行，且经过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若一次函数的图象与一次函数的图象交于点，求，的值． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（为常数，且）． (1)已知直线的函数表达式为，若经过点，且与直线平行． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若点在直线上，点在直线上，求的值； (2)若，对于任意实数，直线都经过定点，求定点的坐标． 【题型二】用一次函数解决将军饮马问题 【例2】（22-23七年级上·山东烟台·期末）如图，已知点在直线上，点坐标为，若点在轴上，且点到，两点距离和最短，则点的坐标为 ． 【变式2-1】（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，，直线与交于点． (1)求出k，b的值和点C的坐标； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（23-24八年级下·河南商丘·月考）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A且经过点，直线与交于点． (1)求k，b和m的值； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型三】一次函数的动点问题 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知直线与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 【变式3-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3-2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点． (1)求直线的函数表达式； (2)将直线沿轴向右平移3个单位得直线，与轴交于点，点为直线上一动点，若，求点的坐标． 【题型四】一次函数与几何综合 【例4】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过点作直线交于点D，交y轴于点E，且； (1)点B的坐标为 ，线段的长为 ． (2)求直线的函数表达式及点D的坐标． (3)如图，M是线段上一动点不与点C，E重合，交于点N，连接 ①在点M的移动过程中，线段与的数量关系是否变化？请说明理由； ②求 的最小面积． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线分别与x轴、y轴交于B点和A点，点C在线段上，沿着直线对折，使点O落在直线上． (1)点B的坐标为______；直线的表达式为______． (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别交直线和直线于点M、N，若，求出点P的坐标． (3)是否存在等腰直角三角形，使直角顶点D在直线上，同时点E在直线上，如果存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．    (1)求C点的坐标以及直线的解析式； (2)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值； (2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； (3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型五】一次函数的垂直问题 【例5】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数表达式． 【变式5-1】（20-21八年级下·广西南宁·期末）阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． (1)已知直线与直线垂直，求的值； (2)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； (3)已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 【变式5-2】（24-25八年级下·江西赣州·月考）阅读理解：我们知道平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况，在坐标平面内有两条直线：；，有下列结论：当时，，反之当时，． (1)实践应用：直线与直线垂直，则_________． (2)深入探索：如图，直线与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当为直角三角形时，求的面积． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数（5知识&18题型&5方法清单） 【清单01】变量与常量： （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 【清单02】函数的有关概念： （1）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． （2）用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意：①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． （3）自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． （4）函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． （5）函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． （6）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 【清单03】一次函数与正比例函数 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． 一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． （2）正比例函数的定义： 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 【清单04】一次函数的图象与性质： （1）正比例函数图象的性质 正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx． 当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （2）一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． （3）一次函数的图象： 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 【清单05】一次函数的应用： （1）、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． （2）、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． （3）、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【题型一】函数的三种表达方式 【例1】（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗是“中国循环经济试点城市”，某再生资源企业处理废铝，进价为每吨万元，售价为每吨万元，每天可处理20吨．若每吨降价万元，每天可多处理5吨，设每吨降价万元，每天获利万元，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据题意列关系式． 根据利润计算公式，每天获利y等于每吨利润乘以每天处理吨数．每吨降价x万元后，每吨利润为万元，每天处理吨数为吨，因此y与x的关系式为． 【详解】解：∵每吨降价x万元， ∴售价为万元， ∵进价为万元， ∴每吨利润为万元， ∵每吨降价万元，每天可多处理5吨， ∴每吨降价x万元，每天可多处理吨， ∴每天处理吨数为吨， ∴． 故选：D． 【变式1-1】（23-24八年级下·重庆江津·期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键． 由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 【变式1-2】（20-21七年级下·河北保定·期末）研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系．当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下表所示的关系： 氮肥施用量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 根据表格，下列说法错误的是（    ） A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 B．氮肥施用量越大，土豆产量越高 C．当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨~34.03吨 D．当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加 【答案】B 【分析】本题考查结合实际土豆产量和施用氮肥量确定变量间的关系，解题的关键是掌握表格法表示两个变量间的关系．根据表格信息逐一分析判断即可． 【详解】解：A、氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量，原说法正确，故选项不符合题意； B、氮肥施用量大于336千克/公顷时，土豆产量逐渐减少，原说法错误， 故选项符合题意； C、当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆产量32.29吨~34.03吨，原说法正确，故选项不符合题意； D、当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随施肥量的增加而增加，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级下·吉林四平·期末）某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，正确从表格获取信息是解答本题的关键． 根据表格中所描述的声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系进行逐项分析，进行判断，即可作答． 【详解】解：由题意可得：在这变化过程中，空气的温度越高声音传播的速度越快，故①说法正确； 温度每升高，声音速度增加，故③说法正确； 即温度每升高，声音速度增加， 又∵温度为时，声音的速度是， ∴声音速度与关系式可以是，故②说法不正确； 故答案为：①③ 【变式1-4】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … (1)表中的自变量为___________，因变量为___________； (2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） 【答案】(1)每周乘坐9路公交车的人次；9路公交车每周的收入 (2)每周需要有900人次乘坐该路公交车 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，找准两个变量之间的关系，是解题的关键： （1）直接根据表格进行作答即可； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为2元，根据收入支出利润，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，公交车每周的收入随着乘坐人次的变化而变化， 故自变量为：每周乘坐9路公交车的人次，因变量为：9路公交车每周的收入； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：每周需要有900人次乘坐该路公交车． 【题型二】函数的概念 【例2】（22-23八年级上·上海奉贤·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键． 根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（23-24八年级上·安徽合肥·月考）下列函数图象中，能表示函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案． 【详解】解：A选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意； C选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意； D选项：满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D符合题意， 故选D． 【变式2-2】（23-24八年级下·湖南郴州·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，掌握在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数是关键．根据函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意． 故选：A． 【变式2-3】（20-21八年级下·湖南益阳·期末）下列关于变量，的关系：①；②；③；④．其中是的函数的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； ④不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，是的函数的是①②， 故答案为：①②． 【题型三】求自变量的取值范围 【例3】（2025·浙江杭州·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件等知识点，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． ∴自变量的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-1】（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）使函数有意义的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，自变量的取值范围．根据分式有意义的条件，分母不能为零，即可求解． 【详解】解：∵函数 有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和求函数自变量的范围，明确分式的分母不为0是解题的关键．根据分式的分母不能为零，得，可得答案． 【详解】解：当时，有意义， ， 解得． 自变量x的取值范围是． 【题型四】求自变量或函数值 【例4】（25-26七年级上·山西大同·期中）摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为（   ） A．95℉ B．86℉ C．77℉ D．90℉ 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，将摄氏度代入转换公式并直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 35℃转换为华氏度为95°F． 故选：A． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 【变式4-2】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为2时，输出的值为1，则输入的值为4时，输出的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了函数值，分类讨论思想，根据输入的值为2时，输出的的值为1求出的值是解答关键. 利用输入的值为2时，输出的的值为1求出，再将代入计算求解. 【详解】解：当时，， ， 当时，. 故答案为：7. 【变式4-3】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数 (1)求当，时，函数的值； (2)求当取什么值时，函数的值为0． 【答案】(1)当时，函数的值为；当时，函数的值为7 (2) 【分析】本题考查了求函数值、自变量的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别代入和到函数表达式，求出对应的的值即可解答； （2）代入，求出对应的的值即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； ∴当时，函数的值为；当时，函数的值为7； （2）解：当时，， 解得， 即当取时，函数的值为0． 【题型五】从函数图像获取信息 【例5】（25-26八年级上·四川达州·期中）已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故①正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故②错误， 时，当点H在上，三角形面积逐渐减小， ∴动点H由点C运动到点D共用时， ∴， ∴， 在D点时，的高与相等，即， ∴，故③正确， ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故④错误． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时，故⑤正确． 综上分析可知，正确的有①③⑤，共计3个，故B正确． 故选：B． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示.其中正确的结论有（   ） 现有以下4个结论： ①快递车到达乙地时两车相距；②甲、乙两地之间的距离为； ③快递车从甲地到乙地的速度为；④图中点B的坐标为. A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查从函数图象获取信息．结合题意可得时，快递车到达乙地，此时两车之间距离最大，之后段为快递车卸货装货时间期间两车距离变化情况，时两车相遇，由此逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，时，快递车到达乙地，此时两车相距，故①正确； 快递车从甲地到乙地的速度为：，故③错误； 甲、乙两地之间的距离为，故②正确； 图中点B的横坐标为，纵坐标为：，故④正确， 综上可知，正确的结论有①②④． 故选：D． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）人的正常体温在之间，但一天中的不同时刻体温略有差别，如图反映了一天内安安的体温变化情况，其中x表示一天中的时间，T表示安安的体温，下列说法中，不正确的是（ ） A．图中反映了一天中的时间与安安体温之间的关系 B．安安在时的体温为 C．图中的自变量是时间x，它的取值范围是 D．安安的体温可以看成一天中的时间的函数 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图像获取信息． 根据函数图像逐一判断即可． 【详解】解：由图象可得， 图中反映了一天中的时间与安安体温之间的关系，说法正确，故选项A不合题意； 安安在时的体温为，说法正确，故选项B不合题意； 图中的自变量是时间x，它的取值范围是，原说法错误，故选项C符合题意； 安安的体温可以看成一天中的时间的函数，说法正确，故选项D不合题意； 故选：C． 【变式5-3】（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【分析】本题考查了溶解度曲线的解读与应用，解题的关键是结合题目给出的温度与溶解度对应数据，逐一验证选项中关于溶解度概念、变化趋势、变化量及特定溶解度对应温度范围的描述是否正确． 根据图中提供的核心数据分析各选项即可． 【详解】解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意； B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意； C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意； D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意； 故选：C． 【题型六】绘制函数的图像 【例6】（25-26九年级上·河南周口·期中）小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是x与y的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … m n 5 … (1)________， ________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来米，画出函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：若函数的图象与直线有3个交点，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了函数图象，作函数图象，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据表格求出当、时，y的值即可； （2）描点，连线，画出函数图像即可； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：当时， 当时， 故答案为：，； （2）解：如图所示： （3）解：由图可知，当时，函数的图象与直线有3个交点． 【变式6-1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请你解决相关问题： (1)列表如下：若，为该函数图象上不同的两点，则______． … 0 1 2 … … 3 1 1 3 … (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论． 结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______； 结论2：当时，随增大而______（填“增大”或“减小”）； (4)关于的方程无解，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)最小值，；增大 (4) 【分析】本题考查了描点法画函数图象，函数图象以及性质，数形结合思想，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，得关于直线对称，根据，为该函数图象上不同的两点，关于直线对称，故，解答即可． （2）根据描点法作图即可； （3）根据图象，利用数形结合思想解答即可； （4）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得关于直线对称， 又，为该函数图象上不同的两点，是对称点， 故， 解得， 故答案为：． （2）解：根据题意，下图为所求： ． （3）解：根据图象，得到： 结论1：该函数有最小值，这个值是， 故答案为：最小值，； 结论2：当时，随增大而增大， 故答案为：增大； （4）解：根据图象，当时，与有唯一交点， 当时，与无交点， 那么关于的方程无解时，， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在所给平面直角坐标系中（网格中的小正方形边长是1）画出该函数的图象： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … ______ ______ 1 2 ______ 2 ______ … (2)根据函数图象，以下关于该函数性质的说法中，正确的有__________（填正确答案的序号） ①函数图像关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变． (3)若直线与函数的图象只有一个交点，求b的值． 【答案】(1)图表见解析 (2)②③ (3) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据解析式计算即可填表；再利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象判断三个性质即可； （3）根据图象直线经过点时，与函数的图象只有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：补充表格： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 0 1 2 2 2 2 … 画出函数图象如图所示： （2）解：由图象可知， ①函数图像关于y轴不对称，故①错误； ②此函数无最小值，正确； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变．正确． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③； （3）解：直线与函数的图象只有一个交点， 根据图象可知，直线经过点， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图像并结合函数图像研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： … 0 1 … … 3 2 1 0 1 2 … (1)列表，直接填空：________． (2)描点并画出该函数的图像． (3)观察的图像，类比一次函数，请写出该函数的一条性质：_________． (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图像与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为______． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)函数有最小值为0，当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小 (4)4 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，画出函数图象并从图像中获取信息是解题的关键． （1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图像即可； （3）观察图像可从该图像的最值，增减性解答即可； （4）观察图像即可解答． 【详解】（1）当时，， ， 故答案为：3； （2）描点、连线画出该函数图像如图． （3）写出该图像的一条性质：①函数有最小值为0，当时，随着的增大而增大； 时，随着的增大而减小， 故答案为：函数有最小值为0，当时，随着的增大而增大； 时，随着的增大而减小； （4）该函数图像与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为4． 故答案为：4． 【题型七】一次函数的定义 【例7】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，根据一次函数（形式为，）和正比例函数的定义，逐一验证各选项是否符合“一次函数但”的条件． 【详解】解：∵ 一次函数需满足自变量x的次数为1且为整式；正比例函数是一次函数中的特殊情况， A项：，形式为，，是正比例函数，不符合要求； B项：，x的次数为2，不是一次函数，不符合要求； C项：，形式为，，，故是一次函数但不是正比例函数，符合要求； D项：，即，x的次数为，不是一次函数，不符合要求， 故选：C． 【变式7-1】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且． 由，得，解得． 由，得． ∴． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26八年级上·宁夏中卫·期中）已知函数是一次函数，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查由一次函数定义求参数，熟记一次函数定义是解决问题的关键． 根据一次函数的定义，函数形式应为（其中），且自变量的指数必须为1，因此，需满足指数条件，且系数条件即可得到答案． 【详解】解：函数是一次函数， ，且， 解，得或； 又由，可得， 即或均满足题意， 故答案为：或． 【变式7-3】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数是一次函数时，x的系数，次数求解即可； （2）根据正比例函数的定义，在满足（1）中一次函数关于的条件的同时，还需满足常数项为0，即，求解的值代入即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 解得，， ∴； （2）∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 【题型八】正比例函数的性质 【例8】（25-26八年级上·广东清远·月考）点、都在直线 上，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．根据正比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义和性质，设经过原点的直线解析式为，代入点C求出的值，再利用正比例函数的性质求出，，比较大小即可得出结论． 【详解】解：设经过原点的直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 当时，； 当时，； ∵ ∴， 故选：B． 【变式8-2】（2025八年级上·上海·专题练习）关于正比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象经过第二、四象限 C．不论x取何值，总有 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的性质，包括图象经过的点、象限分布、函数值符号和增减性，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据正比例函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 当时，，故图象不经过点 ，该选项错误； B. ∵ 正比例函数，比例系数， ∴ 图象经过第一、三象限，不经过第二、四象限，故该选项错误； C. 当时，；当时，，故不一定大于0，该选项错误； D. ∵ ， ∴ 随的增大而增大，故该选项正确； 故选：D． 【题型九】一次函数图像的识别 【例9】（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）一次函数与在同一坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，求出两个一次函数图象的交点，据此进行判断即可． 【详解】解：由得， ， ∵两直线不重合， ∴， ∴， ∴两条直线交点的横坐标为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 【变式9-1】（24-25八年级上·重庆·期中）直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象判断和的取值范围，看是否一致，逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； B、由图象可得：直线经过第一、二、三象限，故，；直线经过第一、二、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； C、由图象可得：直线经过第一、三、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，故符合题意； D、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第一、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； 故选：C． 【变式9-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像，理解一次函数图像、正比例函数图像与参数的关系是解题的关键． 根据，且，可知，或；由可判断A、B选项，再分和两种情况可判定B、D选项． 【详解】解：∵，且， ∴，或， ∵， ∴函数的图像过二、四象限，故A、B选项不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的负半轴，即B、D选项都不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的正半轴，即D选项都符合题意． 故选：D． 【变式9-3】（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：A． 【变式9-4】（23-24八年级下·重庆江津·期末）平面直角坐标系中点和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标和一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据平面直角坐标系中点在那个象限，确定是正数还是负数，再根据一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】解：A：∵点在第四象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的负半轴， ∴A选项图象符合； B：∵点在第二象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而减小，当的值为0时，图象交于轴的正半轴， ∴B选项图象不符合； C：∵点在第一象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的正半轴， ∴C选项图象不符合； D：∵点在第四象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的负半轴， ∴D选项图象不符合； 故选：A． 【题型十】一次函数的性质 【例10】（25-26八年级上·山西运城·月考）关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质， 根据一次函数的性质逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 对于一次函数 ， 当 时，，故图象不经过点，A错误，不符合题意； ∵ ，， ∴ 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误，不符合题意； ∵ 当 时，； 当 时，， ∴ ，C错误，不符合题意； ∵ 直线 向下平移1个单位长度得到 ，D正确，符合题意. 故选：D． 【变式10-1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的图象与性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故此选项结论错误，不符合题意； B、当时，则，解得， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，故此选项结论错误，不符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到， 即，故此选项结论正确，符合题意； D、∵， ∴函数的图象随的增大而减小， ∵， ∴，故此选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 【变式10-2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）一次函数的图象经过第一、二、三象限，那么一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一，二，三 B．一，三，四 C．二，三，四 D．一，二，四 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数 的图象经过第一、二、三象限，可知，进而判断的图象经过的象限． 【详解】解：∵ 的图象经过第一、二、三象限， ∴ ， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A． 【变式10-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数． (1)已知随增大而减小，求的取值范围； (2)函数图象与轴交点在轴上方，求的取值范围； (3)图象不经过第三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 且 (3) 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数图象过二、一、四象限是解答此题的关键． （1）根据y随x增大而减小可知，求出的取值范围即可； （2）由于函数图象与y轴交点在轴上方，故，再结合一次函数的定义，进而可得而出的取值范围； （3）根据图象不经过第三象限，列出关于的方程组，求出的取值范围． 【详解】（1）解：随增大而减小， ， 解得； （2）解：函数图象与轴交点在轴上方， 且， 解得且； （3）解：图象不经过第三象限， ∴， 解得． 【题型十一】求一次函数的解析式 【例11】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求该一次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题考查一次函数平行的规律：k值相等，据此得，再将点坐标代入求出函数的解析式 【详解】解：设一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴． ∴一次函数的解析式为． 【变式11-1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）若直线l经过点，，求直线l的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式． 设直线l的函数表达式为，将，代入计算即可． 【详解】解：设直线l的函数表达式为． 根据题意，可得 解得， 所以直线l的函数表达式为． 【变式11-2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)此一次函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）解不等式即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 把，；，分别代入得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 即自变量x的取值范围为． 【题型十二】一次函数图像的平移 【例12】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）将一次函数的图象向上平移2个单位，平移后，当时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将一次函数图象向上平移2个单位后，函数解析式，再根据 构造不等式解答即可. 本题考查了一次函数的平移，解不等式，熟练掌握平移是解题的关键. 【详解】解：∵ 将 向上平移2个单位后，得到新函数解析式为， 由， ∴, ∴. 故选：D. 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西延安·月考）将一次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新一次函数的图象过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证． 根据平移规律，将向左平移3个单位得，再向下平移5个单位得新函数解析式；将选项中代入解析式，计算值，匹配对应选项． 【详解】解：根据平移规律，一次函数向左平移3个单位得，再向下平移5个单位得：． 当时，， 即新函数图象过点，对应选项C． 故选：C． 【变式12-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）将一次函数向下平移3个单位长度后得到直线，则平移后直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图像的平移，掌握平移的规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键． 函数向下平移3个单位长度，需将函数表达式中的常数项减去3，据此求解即可． 【详解】解：将一次函数向下平移3个单位长度后， 得到直线的表达式为，即 ． 故答案为：． 【变式12-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式，再将原点坐标代入解析式，解方程求出的值． 【详解】解：∵ 一次函数向左平移1个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 再向上平移2个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 平移后的图象经过原点， ∴ 把，代入，得． ∴ ． 故答案为：． 【题型十三】一次函数与一元一次方程综合 【例13】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到答案． 根据函数图象可得与轴交于点，于是得到结论． 【详解】解：由图象知一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的方程的解． 故选：B． 【变式13-1】（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的解，根据一次函数与轴交点的横坐标就是其对应方程的解，即可求解． 【详解】解：由题意可知，直线过点和点， 方程的解是， 故选：A． 【变式13-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 【变式13-3】（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 【题型十四】一次函数与不等式综合 【例14】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：先画出函数图象，然后观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想． 依据题意，观察图象，在轴下方，当时，和的函数值都是负数，且的图象在的上方． 【详解】解：如图， 当时，成立． 故选：C． 【变式14-1】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围． （1）写出点坐标，即可解答； （2）写出点坐标，即可解答； （3）写出点坐标，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 关于x的方程的解为； （2）解：结合图象可得， 关于x的不等式的解集为； （3）解：由，，可得， ， 所以当x的取值在时，． 【变式14-2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图在平面直角坐标系中直线与直线的交点的横坐标为，求出关于的不等式组的解集． 【答案】 【分析】先求直线与轴的交点坐标为，根据函数图象可得，当时，时，由此即可得． 本题考查了一次函数与一元一次不等式、解一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键． 【详解】解：当时，，解得， 直线与轴的交点坐标为， 由图象得：当时，时， 所以不等式组的解集为． 【变式14-3】（24-25八年级下·江西吉安·月考）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点，，且与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴交于点．已知点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)结合图象，不等式的解集为______，不等式的解集为______； (2)若点的横坐标为，求，的值． 【答案】(1)，或 (2)的值为，的值． 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由一次函数的图象过点，得，从而可得点，又点与点关于轴对称，故有点，然后结合图象即可求解； （）求出点，然后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴直线解析式为， 当时，，解得：， ∴点， ∵点与点关于轴对称， ∴点， ∴结合图象得不等式的解集为，不等式的解集为或， 故答案为：，或； （2）解：由（）得，直线解析式为，点， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点， ∴，解得：， ∴的值为，的值． 【题型十五】一次函数与二元一次方程综合 【例15】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 将代入，即可求出的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， 即方程组的解为： ， 故选：A． 【变式15-1】（25-26八年级上·安徽宣城·月考）如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据一次函数的交点坐标即为由一次函数解析式所构成的方程组的解即可求解，掌握一次函数的交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴关于的二元一次方程组即的解为， 故答案为：． 【变式15-2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且直线与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先联立得方程组，再解方程组即可； （2）先求出点和，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意联立，得， 解得， 所以点D的坐标为． （2）解：直线，令，则， 所以点． 直线，令，则， 所以点， 所以， 所以． 【题型十六】一次函数的应用 【例16】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 【变式16-1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． (1)求篮球和排球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值． 【答案】(1)篮球的价格为元，排球的价格为元 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组和一次函数解析式． （1）设篮球的价格为元，排球的价格为元，根据购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进篮球个，总利润为元，列出关于的一次函数，根据所有购买方案获利相同，得到的值与无关，令的系数为，求出的值即可． 【详解】（1）解：设篮球的价格为元，排球的价格为元，由题意，得： ，解得：， 答：篮球的价格为元，排球的价格为元； （2）解：设购进篮球个，则购进排球个，设总利润为元，由题意，得：， 整理，得：， ∵商场所有购买方案获利相同， ∴的值与无关， ∴， ∴． 【变式16-2】（25-26八年级上·湖南株洲·月考）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？并求出此时的最少费用是多少元？ 【答案】(1)航空模型的单价为元，航海模型的单价为元 (2)购买航空模型个和航海模型个时，学校花费最少，最少费用为元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的最值问题，熟练掌握根据等量关系列分式方程、根据不等关系确定变量范围、利用一次函数性质求最值是解题的关键． （1）设航海模型单价为元，则航空模型单价为元，根据“元买航空模型的数量 元买航海模型的数量”列分式方程求解． （2）设购买航空模型个，则航海模型个，根据“航空模型数量航海模型数量”确定的范围，再根据促销价列出费用函数，利用一次函数性质求最小值． 【详解】（1）解：设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元．根据题意得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴航空模型单价为（元）， 答：航空模型的单价为元，航海模型的单价为元． （2）解：设购买航空模型个，航海模型个，费用为元．由题意得 ， 解得， ∴航空模型促销价：（元）， ∴ ， ∵，随增大而增大， ∴时，最小． 此时航海模型数量：（个）， 最少费用为（元）， 答：购买航空模型个和航海模型个时，学校花费最少，最少费用为元． 【变式16-3】（24-25八年级上·河南郑州·月考）某超市分两次购进苦荞茶和信阳毛尖两种茶叶进行销售，两次购进同一种茶叶的进价相同，具体情况如表所示： 购进数量/盒 购进所需费用/元 苦荞茶 信阳毛尖 第一次 50 70 5000 第二次 40 60 4200 (1)求苦荞茶和信阳毛尖两种茶叶每盒的进价分别是多少元； (2)若该超市计划用600元同时购进两种茶叶（钱全部用光），则有几种购进方案？ (3)该超市决定苦荞茶以每盒45元出售，信阳毛尖以每盒75元出售．为满足市场需求，需购进苦荞茶和信阳毛尖两种茶叶共500盒，且苦荞茶的数量不少于300盒，不多于400盒，请你帮超市求出获利最大的进货方案，并计算出最大利润． 【答案】(1)苦荞茶每盒的进价是30元，信阳毛尖每盒的进价是50元 (2)3种购进方案 (3)购进300盒苦荞茶，200盒信阳毛尖时获利最大，最大利润为9500元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的解、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找到相关等量关系是解答的关键． （1）设苦荞茶每盒的进价是x元，信阳毛尖每盒的进价是y元，根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意得到，则，根据a，b为正整数，取值求解即可； （3）设购进m盒苦荞茶，先根据题意列出不等式组，求得，再设购进的两种茶叶全部售出后获得的总利润为w元，根据题意得到，然后利用一次函数的性质求解即可 【详解】（1）解：设苦荞茶每盒的进价是x元，信阳毛尖每盒的进价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：苦荞茶每盒的进价是30元，信阳毛尖每盒的进价是50元； （2）解：设购进苦荞茶a盒，信阳毛尖b盒， 根据题意得：， 整理得： ∵a，b为正整数， ∴或或， ∴有3种购进方案； （3）解：设购进m盒苦荞茶，则购进盒信阳毛尖， 根据题意得：， ∴， 设购进的两种茶叶全部售出后获得的总利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值， 此时，． 答：购进300盒苦荞茶，200盒信阳毛尖时获利最大，最大利润为9500元． 【变式16-4】（25-26八年级上·广东茂名·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费(单位：元)与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1)当时， (2) (3) 【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，将代入（1）中关系式即可求解． 【详解】（1）解：第一档的水费为（元）， 第二档的水费为， ∴水费（单位：元）与之间的关系式为：； （2）解：当某户一年用水量是时，处于第二档， 当时，（元）； （3）解：当时，水费为（元）， ∵， ∴该户去年一年的用水量在第二档， 当时，， 解得， ∴该户去年一年的用水量为． 【题型十七】一次函数的规律探究 【例17】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 【变式17-1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形的性质，一次函数上的点，掌握相关知识是解题的关键． 过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点设点的横坐标为n，根据点，的坐标，结合等腰直角三角形的性质求出，得到点的坐标为，代入直线，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点 ∵ ∴，，，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， 设点的横坐标为n，则，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的横坐标为10． 故答案为：10． 2（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标变换的规律，通过推导点坐标总结出横纵坐标的符号、绝对值变化规律是解题关键．根据直线和的解析式，依次确定各点坐标，发现每次变换后横、纵坐标的绝对值会乘以，同时符号按周期循环变化，进而推出的坐标． 【详解】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、、、等的坐标． 解：当时，， 点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，． 故答案为：． 【变式17-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）如图，，，，…都是边长为的等边三角形，点在轴上，点，，，，…都在正比例函数的图象上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与等边三角形的综合，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征并找出坐标之间的规律是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，利用待定系数法求出函数解析式，进一步可得，，按照上面的规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，，，…都是边长为的等边三角形， ∴， 过点作轴于点，如图所示： ∴为的中点， ∴， 根据勾股定理，可得， ∴， 把点代入中，得， ∴直线的解析式为， ∴，，… ∴． 按照此规律，可得， 故答案为：． 【题型十八】分段函数问题 【例18】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）小明与家人准备去附近的大棚草莓采摘园体验采摘的乐趣，已知甲采摘园的收费方式为游客进园需购买门票元，采摘的所有草莓按元／千克；如果去乙采摘园，那么游客无需买票且采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．小明与家人采摘草莓共千克，若在甲采摘园所需总费用为元，在乙采摘园所需总费用为元，与之间的函数图象如图所示． (1)根据图象可知在甲采摘园所需总费用____________． (2)求与采摘草莓数量之间的函数表达式． (3)当采摘多少千克草莓时，在甲、乙采摘园的总费用相同？ 【答案】(1) (2)当时，，当时，， (3)当采摘或千克草莓时，在甲、乙采摘园的总费用相同 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息； （1）根据总费用为门票和草莓的费用和，即可求解； （2）分两种情况分析，当时，当时，结合函数图象写出解析式，即可求解； （3）结合（2）的结论，建立一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：． （2）当时，， 当时，设与x的函数表达式是， 代入 解得： 即当时，， （3）当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 答：当采摘或千克草莓时，在甲、乙采摘园的总费用相同． 【变式18-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示___________槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示___________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是___________； (2)求所在直线的解析式，并直接写出所在直线的解析式； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差2厘米？ (4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，直接写出甲槽底面积和乙槽底的面积（壁厚不计，圆柱的体积=底面积×高）． 【答案】(1)乙，甲，铁块高（合理即可） (2) (3)或 (4)60平方厘米，48平方厘米 【分析】本题为一次函数的实际应用问题，综合性强，难度较大，理解题意与图象蕴含信息是解题关键． （1）根据图象和图形提供信息可得甲槽中水面是下降的，乙槽水面是上升的，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）分甲水槽水面高于乙水槽水面2厘米和乙水槽水面高于甲水槽水面2厘米两种情况分类讨论，构造方程，解方程即可求解； （4）设甲水槽的面积为平方厘米，乙水槽的面积为平方厘米，由题意得圆柱形铁块底面积为．甲水槽排水速度为立方厘米/分钟，乙水槽段注水速度为立方厘米/分钟，乙水槽段注水速度为立方厘米/分钟，根据甲水槽排水速度等于乙水槽注水速度列方程组，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，甲槽中水面是下降的，乙槽水面是上升的， ∴图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，点的纵坐标表示的实际意义是铁块高． 故答案为：乙，甲，铁块高； （2）解：设所在直线的解析式为， 由图象得点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为； 设所在直线的解析式为， 由图象得点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为； （3）解：当甲水槽水面高于乙水槽水面2厘米时，， 解得； 当乙水槽水面高于甲水槽水面2厘米时，， 解得； 答：注水时间为或分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相差2厘米 （4）解：设甲水槽的面积为平方厘米，乙水槽的面积为平方厘米， 由题意得圆柱形铁块底面积为． 由题意得，甲水槽排水速度为（立方厘米/分钟）， 乙水槽段注水速度为（立方厘米/分钟）， 乙水槽段注水速度为（立方厘米/分钟）， 由题意得 解得 ∴甲槽底面积和乙槽底的面积分别是60平方厘米，48平方厘米． 【变式18-2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）甲、乙两辆新能源货车分别从相距的，两地同时出发，甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往地，乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回地，结果比甲货车晚半小时到达地．如图是甲、乙两货车距地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ． (2)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)    (2)，， 【分析】本题主要考查一次函数图象和性质，解一元一次方程等： （1）根据图象可知，甲货车到达配货站之前的速度，乙货车的速度． （2）段的函数表达式为，段的函数表达式为，段的函数表达式为，段的函数表达式为，分三种情况讨论：当甲货车在段，乙货车在段时；当甲货车在段，乙货车在段时；当甲货车在段，乙货车在段时． 【详解】（1）甲货车到达配货站之前的速度． 乙货车的速度． 故答案为：    （2）设段的函数表达式为． 根据图象可知，点和点在的图象上，可得 解得 所以，段的函数表达式为． 同理可得，段的函数表达式为，段的函数表达式为，段的函数表达式为． ①当甲货车在段（即甲货车到达配货站之前），乙货车在段时（即乙货车到达配货站之前），根据题意可得 ． 解得 ． 经检验，符合题意． ②当甲货车在段（即甲货车到达配货站之前），乙货车在段时（即乙货车从配货站返回地），根据题意可得 ． 解得 ． 经检验，符合题意． ③当甲货车在段（即甲货车从配货站出发去往地），乙货车在段时（即乙货车从配货站返回地），根据题意可得 ． 解得 ． 经检验，符合题意． 综上所述，出发时间为，，时，甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【变式18-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为x（h），两艘轮船距离杭州的路程y（km）关于x（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． (1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：游轮与货轮何时相距12km？ 【答案】(1)C点横坐标表示游轮从杭州出发前往衢州共用了23小时，游轮在“七里扬帆”停靠的时长为 (2)当游轮出发21.6或22.4小时时，游轮与货轮相距12km 【分析】本题为一次函数应用题，考查了函数与图象，待定系数法求函数解析式，一元一次方程应用等知识，根据题意读懂图象是解题关键． （1）根据题意结合图象即可求解； （2）先确定点B坐标为，点D坐标为，点E坐标为，再求出线段解析式为，线段解析式为，分货轮未追上游轮，相距12km和货轮超过游轮，相距12km两种情况列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23小时； ∵游轮的速度为20km/h， ∴游轮航行时间为（h）， （h）， ∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长为； （2）解：由题意得游轮到达七里扬帆用时（h）， （h），（h）， ∴点B坐标为，点D坐标为，点E坐标为， 设线段解析式为， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， 解得， ∴线段解析式为； 设线段解析式为， ∵点D坐标为，点E坐标为， ∴， 解得， ∴线段解析式为． 当货轮未追上游轮，相距12km时， ， 解得， 当货轮超过游轮，相距12km时， ， 解得． 答：当游轮出发21.6或22.4小时时，游轮与货轮相距12km． 【题型一】一次函数的平行问题 【例1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据两条直线平行时，k相等但b不同列方程求解即可． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴且 ∴且， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的解析式． 由题意可设一次函数的表达式为，把点代入计算，可得，即可得一次函数的表达式． 【详解】解：由题意可设一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数的图象与一次函数的图象平行，且经过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若一次函数的图象与一次函数的图象交于点，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式， （1）根据平行得到，再把代入解析式求解即可； （2）将代入求出，得到，将代入求出． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与一次函数的图象平行， ∴，即， 把代入，得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， 解得． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（为常数，且）． (1)已知直线的函数表达式为，若经过点，且与直线平行． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若点在直线上，点在直线上，求的值； (2)若，对于任意实数，直线都经过定点，求定点的坐标． 【答案】(1)（ⅰ），；（ⅱ） (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、两直线平行与函数关系式的关系等，熟练应用知识点解题的关键． （1）（ⅰ）由平行可知相等，再代入点的坐标即可得到结果； （ⅱ）将点的坐标代入解析式，即可得到，再作差即可； （2）将代入解析式，若过定点，则与无关，即的系数和为，即可求得结果． 【详解】（1）解：（ⅰ）直线与直线平行， ， 直线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ，； （ⅱ）由（ⅰ）得直线的函数表达式为， 点在直线上， ， 点在直线上， ， 即， ； （2）解：， ，即， 对于任意实数，恒过定点， 令，解得，此时， 定点的坐标为． 【题型二】用一次函数解决将军饮马问题 【例2】（22-23七年级上·山东烟台·期末）如图，已知点在直线上，点坐标为，若点在轴上，且点到，两点距离和最短，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及利用轴对称的性质，确定点C的位置． 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C，先把代入，求出b的值，得出点A的坐标，再得出点的坐标，用待定系数法求出的函数解析式为，即可求出点C的坐标． 【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C， 把代入得， 解得：， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，，直线与交于点． (1)求出k，b的值和点C的坐标； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在， 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象和性质，以及轴对称图形的性质，根据题意作出轴对称图形是解题的关键． （1）将直线上点的坐标代入直线的函数解析式即可求得答案． （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，且经过定点， ∴， ∴， ∴直线， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得到 ∴，． （2）解：存在． 理由如下：作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小， ∵，， 设解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得到， ， ∴存在一点，使的周长最短． 【变式2-2】（23-24八年级下·河南商丘·月考）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A且经过点，直线与交于点． (1)求k，b和m的值； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点E的坐标是 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形以及轴对称图形的性质，根据题意作出轴对称图形是解题的关键． （1）将直线上点的坐标代入直线的函数解析式即可求得答案． （2）求出A，D，C的坐标，利用三角形面积公式求解即可． （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得： ， 解得． ∴直线的解析式为． 将代入，得： ． ∴． 把代入，得： ， 解得． （2）解：由（1）得直线的解析式为，直线的解析式为． 令，解得． ∴ 令，解得． ∴． ∴． ∵， ． （3）解：存在． 作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，连接EC，此时的周长最小．如图， 设直线的函数解析式是， 将和代入，得 解得 ∴． 令，解得． 则点E的坐标是． 【题型三】一次函数的动点问题 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知直线与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一动点，若有，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何图形，一次函数与一元一次方程， （1）将点代入直线，可得答案； （2）先根据一次函数与坐标轴的交点可得，进而求出，再求出，结合题意可得，然后设，根据面积相等得出答案． 【详解】（1）解：点在直线上， ∴，解得， 即； （2）解：直线与轴交于点， 将代入得， 解得， ，即； 又， ∴， ， ． 又， ， 设 ． ， 解得或， 或． 【变式3-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是： (2) (3)存在，的坐标是：或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，待定系数法求解析式，三角形的面积； （1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可得； （2）令，求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分①点在线段上，②点在射线上两种情况，分别根据三角形的面积关系建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式是，代入， 根据题意得： 解得： 则直线的解析式是：； （2）在中，令，解得：， ∴，则， ； （3）设的解析式是，则， 解得：， 则直线的解析式是：， ∵当的面积是的面积的时， ∴当的横坐标是， 在中，当时，，则的坐标是； 在中，，则，则的坐标是． 则的坐标是：或， 当的横坐标是：，则在上， 当时，，则的坐标是； 综上所述：的坐标是：或或． 【变式3-2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． 【变式3-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点． (1)求直线的函数表达式； (2)将直线沿轴向右平移3个单位得直线，与轴交于点，点为直线上一动点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，三角形面积计算，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）先求出点D的坐标，然后用待定系数法求出函数表达式即可； （2）先求出直线m的函数表达式为，再求出，设点P的坐标为，分两种情况当点P在上时，当点P在延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式； （2）解：∵将直线沿轴向右平移3个单位得直线， ∴直线m的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ∴点E的坐标为， 把代入得， ∴直线m与y轴的交点坐标为， 把代入得， 把代入得，解得：， ∴点，， ∴直线m经过点B，，， ∴， 设点P的坐标为， 当点P在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点P在延长线上时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【题型四】一次函数与几何综合 【例4】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过点作直线交于点D，交y轴于点E，且； (1)点B的坐标为 ，线段的长为 ． (2)求直线的函数表达式及点D的坐标． (3)如图，M是线段上一动点不与点C，E重合，交于点N，连接 ①在点M的移动过程中，线段与的数量关系是否变化？请说明理由； ②求 的最小面积． 【答案】(1)；3 (2)， (3)①不变，理由见解析；② 【分析】（1）令求出y的值，即可求出点B的坐标；先求出点A的坐标即可求出的长； （2）根据求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）①先证明，根据全等三角形的判定和性质得出； ②根据三角形的面积公式可得面积 ，从而得到当最小时，的面积最小，则当时，最小，此时的面积最小，即可求解． 【详解】（1）解：直线交坐标轴于A，B两点，且当时，，当时，， 点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为； （2）解：点，，， ，， 点E的坐标为 设直线的函数表达式为，则 解得， ∴直线的函数表达式为 由得 即点D的坐标为 （3）解：①在点M的移动过程中，线段与的数量关系保持不变． 理由：， ，， ，， ， 即， 在和中， ，，， ∴， 故在点M的移动过程中，与的数量关系保持不变，始终相等． ②由①知， ， 的面积是， 当取得最小值时，的面积最小． ，，， ， ∵当时，取得最小值， 此时， ，解得， 的最小面积为 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系，以及全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系是解答本题的关键． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线分别与x轴、y轴交于B点和A点，点C在线段上，沿着直线对折，使点O落在直线上． (1)点B的坐标为______；直线的表达式为______． (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别交直线和直线于点M、N，若，求出点P的坐标． (3)是否存在等腰直角三角形，使直角顶点D在直线上，同时点E在直线上，如果存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的坐标为． (3)存在，； 【分析】（1）令，则可求出点B的坐标；根据题意求出，由勾股定理求得，设，则，，由折叠得出，，，在中，根据勾股定理，可求出点C的坐标，设直线的表达式为，将点A和点C的坐标代入，即可求出直线的表达式； （2）设，则，，因此可得，根据，得，点P在线段上，即可求出点P的坐标； （3）设，，过点D作轴于点M，过点E作于点N，证明，则，列式，，解得，进而可得点D的坐标；过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q，证明，则，列式，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，解得， ，， ， ， 设，则，， 沿着直线对折，使点O落在直线上， ，，， 在中，， ， 解得， ， 设直线的表达式为， 将点A、点C的坐标代入，得 ， 解得， 直线的表达式为， 故答案为：，； （2）设，则，， ， ， ， 解得或， ∵点P在线段上， ； （3）存在，理由如下： 直角顶点D在直线上，点E在直线上， 设，， 过点D作轴于点M，过点E作于点N， 若是等腰直角三角形，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得， ； 过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q， 若是等腰直角三角形，则， ， ， 在和中， ， ， ， 解得， ； 综上所述， ；． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，折叠的性质，勾股定理等知识． 【变式4-2】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．    (1)求C点的坐标以及直线的解析式； (2)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线解析式为， (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出点A和点B的坐标，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质可得，设出点C的坐标，表示出的长，再利用勾股定理建立方程求解即可； （2）先求出，进而得到，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案； （3）分三种情况：若；若，；若，，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵点M在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点M的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 若，如图，过点P作轴于点G，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 若，，如图，过点P作轴于点H，    同理可证明， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 若，，如图，过点P作轴于点M，轴于点N，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键． 【变式4-3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值； (2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； (3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或，或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的综合问题，全等三角形的性质，以及坐标与图形等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入解析式即可求出答案． （2）先求出，由折叠的性质可知，，设，则，，，最后由勾股定理求解即可． （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 把代入， 即 解得． （2）解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴． 设， 则，， 则， 在中，， 即， 解得：， ∴ （3）解：∵，， ∴， ∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 当时， ∴， ∴点E的横坐标为：或， 由（1）直线的解析式为， ∴点E的纵坐标为：，或， 故或 当时， ∴， ∴点纵坐标为或， ∴点E的纵坐标为或， 即或， 解得：或， ∴或 综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或． 【题型五】一次函数的垂直问题 【例5】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数表达式． 【答案】直线解析式为． 【分析】此题考查了一次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，由得：，根据题意画出图象，当时，，当时，，得到，，再根据等腰直角三角形的性质与判定得出，求出，最后根据待定系数法求解析式即可，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】解：由得：， ∴图象如图， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 【变式5-1】（20-21八年级下·广西南宁·期末）阅读理解：已知直线的解析式为（为常数），直线的解析式为（为常数），若，则有． (1)已知直线与直线垂直，求的值； (2)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数解析式； (3)已知直线与轴、轴分别相交于点，求线段的垂直平分线所对应的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，列式求解即可得到答案； （2）由材料中，若，则有，结合直线与直线垂直，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案； （3）由直线与轴、轴分别相交于点，求出、，进而得到的中点坐标为和，由材料中若，有，设线段的垂直平分线的表达式为，利用待定系数法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线垂直， ∴， 解得； （2）解：∵直线与直线垂直， ∴设直线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：直线与轴、轴分别相交于点， 当时，，即； 当时，，解得，即； 的中点为， 直线，即， 设线段的垂直平分线的表达式为， 将代入得，解得， ∴线段的垂直平分线的表达式为． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及直线垂直时的关系、待定系数法求直线表达式、一次函数图象与性质、中点坐标公式等知识，读懂题意，理解，有是解决问题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级下·江西赣州·月考）阅读理解：我们知道平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况，在坐标平面内有两条直线：；，有下列结论：当时，，反之当时，． (1)实践应用：直线与直线垂直，则_________． (2)深入探索：如图，直线与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当为直角三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为9或 【分析】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质等知识，分类讨论是解题的关键； （1）根据时，直线直线，即可得出答案； （2）当为直角三角形时，存在两种情形，当轴或，分别求出点的坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：直线与直线垂直， ， ， 故答案为：； （2）解：令，则，解得， ， 把代入得，， ， 当为直角三角形时，存在两种情形， 当轴时，， ， 当时， 设的解析式为， 将代入得， ， 直线的解析式为， 点， ， ， 综上：的面积为9或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $