专题03圆的基本性质（期末复习知识清单）九年级数学上学期浙教版

该初中数学“圆的基本性质”专题清单系统梳理了圆的定义、点与圆位置关系、垂径定理、圆心角与圆周角等18个核心知识点，涵盖旋转作图、弧长计算等7类方法，构建了从基础概念到定理应用再到综合题型的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型变式”双轨设计呈现完整知识体系，如用表格对比点与圆的位置关系，标注“垂径定理五条件互推”等重难点，题型包含16类变式训练培养推理能力与几何直观。特别设置“注意”提示易混点，如明确“圆指圆周非圆面”，助力学生自主辨析，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

专题03 圆的基本性质（18知识&16题型&7方法） 【清单01】 圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 【清单02】 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 【清单03】 三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【清单04】旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 【清单04】 旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【清单05】 旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【清单06】 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 【清单07】 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【清单08】 圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 【清单09】 圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 【清单10】 圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 【清单11】 圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 【清单12】 圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 【清单13】 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【清单14】 正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【清单15】 正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 【清单16】 正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 【清单17】 弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【清单18】 扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【题型一】圆的基本性质 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可． 【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 【题型二】点与圆的位置关系 【例2】（25-26九年级上·河北·月考）如图，的半径为3，那么图中到圆心的距离可能为4的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握相关知识点是解题的关键． 将各点到圆心的距离与半径作比较，即可求解． 【详解】解： A、因为点A在圆外，所以点A到圆心距离大于半径3，可能为4，故选项A符合题目要求， B、因为点B在圆上，所以点B到圆心距离等于半径3，不可能为4，故选项B不符合题目要求， C、因为点C在圆内，所以点C到圆心距离小于半径3，不可能为4，故选项C不符合题目要求， D、因为点D在圆内，所以点D到圆心距离小于半径3，不可能为4，故选项D不符合题目要求． 故选：A． 【变式2-1】（25-26九年级上·山西运城·月考）的直径为，点到圆心的距离，则点与圆的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；通过比较点到圆心的距离与圆的半径大小来判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， 又∵， ∴， 故点A在外； 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·浙江宁波·月考）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 【题型三】三角形的外接圆 【例3】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北·课后作业）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ． ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 【变式3-4】（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理和三角形的外接圆，利用韦达定理和代数式变形求出斜边长是解题关键． 直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半．两直角边是方程的两个根，利用根与系数的关系求出两直角边的和与积，再通过勾股定理求出斜边长度，进而得到半径． 【详解】解：设两直角边分别为 和 ，则根据根与系数的关系，有 ，． 由勾股定理可得，斜边 ． ∵， ∴ ， ∵直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半， ∴外接圆半径， 故答案为：5． 【变式3-5】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、勾股定理以及直角三角形外接圆的性质．关键在于准确求解一元二次方程，得到直角边的长度，并正确运用勾股定理求出斜边长度，同时牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系．首先求解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度．然后根据勾股定理（其中、为直角边，为斜边），计算出直角三角形斜边的长度．最后依据直角三角形外接圆的直径等于斜边长度这一性质，得出外接圆的直径． 【详解】解：， ， 解得 或， 故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ． 故外接圆直径为 ． 故答案为：． 【题型四】旋转现象与旋转图形 【例4】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【答案】A 【分析】本题考查生活中的旋转现象，熟记旋转定义是解决问题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，根据选项中的常见现象，结合旋转定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：旋转的本质是物体绕一个固定点转动， A. 秋千绕悬挂点摆动，做圆弧运动，属于旋转，符合题意； B. 火车沿轨道直线行驶，属于平移，不符合题意； C. 标枪被掷出后主要做平移运动，属于平移，不符合题意； D. 电梯垂直上下运动，属于平移，不符合题意； 故选：A． 【变式4-2】（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换．根据把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换，可得答案． 【详解】解：A由图顺时针旋转得到，故A正确； B由图逆时针旋转得到，故B正确； C由图无法旋转得到，故C错误； D由图顺时针旋转得到，故D正确． 故选：C． 【题型五】旋转中心与旋转角 【例5】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心是解题的关键．如图根据题意，可知点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，连接，，借助网格，画出线段，的垂直平分线，找到其垂直平分线的交点，即可所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 故选：C． 【变式5-1】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）如图，将一个含角的直角三角板绕点A顺时针旋转得到，使得点B，A，在同一直线上，则旋转角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的概念，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 根据旋转角的概念，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可求解． 【详解】解：旋转角是． 故选：B． 【变式5-2】（20-21九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是 ． 【答案】点 【分析】本题考查了旋转的定义和旋转中心的判定，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键． 观察图形，由旋转的性质即可得到答案． 【详解】解：根据旋转的定义，结合图形上的对应点到点的距离相等， ∴旋转中心为点， 故答案为：点． 【变式5-4】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，求： (1)指出旋转中心______和顺时针旋转角度为______； (2)求的长度； (3)判断与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)点A； (2) (3)，，见解析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由正方形的性质得，由旋转的性质得旋转中心为点，顺时针旋转角度为． （2）由正方形的性质得，由旋转得，则可得． （3）延长交于点，可得．由旋转得，，可得，即． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ． 旋转一定角度后得到△， 旋转中心为点，顺时针旋转角度为． 故答案为：点；． （2）解：四边形是正方形， ， 旋转一定角度后得到， ， ， ． （3）解：，，理由如下， 延长交于点， ． 旋转一定角度后得到△， ， ，， ， 即， ． 【题型六】旋转后的坐标 【例6】（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点绕点O顺时针旋转，得到的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，将线段的旋转转化为直角三角形的旋转是解题的关键． 根据A点坐标得到，绕原点O顺时针旋转得到可看作是绕原点O顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到， ，再写出点的坐标． 【详解】解：如图：轴于B，轴于C，则， ∵绕原点O顺时针旋转得到可看作是绕原点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴点的坐标为． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东威海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，点A，点O旋转后的对应点是点，点． （Ⅰ）画出旋转后的，其中点的坐标为 ； （Ⅱ）边上一点P旋转后对应点为点，当取得最小值时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—旋转变换、最短路线问题，一次函数，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图，再根据直角坐标系写出点的坐标即可； （2）取点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则点P即为所求．利用待定系数法求出直线的解析式，再令，求出的值，即可得出答案； 【详解】解：（Ⅰ）如图，即为所求． 点的坐标为． 故答案为：． （Ⅱ）由旋转可得， ， 取点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P， 此时为最小值， 则点P即为所求． 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (2)以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，画出，并写出点，，的坐标： ， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，， 【分析】本题考查了中心对称作图，旋转作图，以及写出点的坐标． （1）分别作出点关于原点成中心对称的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕点顺时针旋转后的点，再顺次连接即可作图，即可写出坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， ∴，，， 故答案为：，，． 【题型七】旋转的性质 【例7】（21-22九年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质．根据旋转的性质可知，旋转角等于，从而可以得到的度数，由可以得到的度数． 【详解】解：绕点O按逆时针方向旋转后得到， ， 故选：B． 【变式7-1】（2025九年级上·河南信阳·专题练习）如图，在四边形中，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】结合题干，易证出是等边三角形．将绕点B顺时针旋转，使得与重合，点D的对应点为点E，由旋转的性质可得，．结合全等可得，，进一步证出是等边三角形，是直角三角形，利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转，使得与重合，点D的对应点为点E， 由旋转的性质可得，， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 在直角中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质与勾股定理，利用旋转构造全等三角形是解题关键． 【变式7-2】（25-26九年级上·江西上饶·期中）中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． (1)求证：． (2)当，求的度数． (3)当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用旋转的性质得，，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）利用，可得，再利用， 可得，最后由可得答案； （3）利用四边形是菱形得到，，则，可判断为等腰直角三角形，得到，然后计算即可． 【详解】（1）证明：∵绕点按顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴， ，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为； （3）∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，．是任意一点，连接，再将绕点顺时针旋转至，使，连接，． (1)如图（），若点在的内部，则与相等吗？若相等，请给出证明． (2)如图（），若点在的外部，则与相等吗？若相等，请给出证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，证明如下： 由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【题型八】利用垂径定理求值 【例8】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦和与圆心的位置关系． 作于E，延长交于F，连接、，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， ∵的直径为， ∴的半径为， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或． 故选：A. 【变式8-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 【变式8-2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 【变式8-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，再根据线段的和差即可证明结论； （2）如图：连接，设的半径是r，则，由垂径定理得到，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， 设的半径是r，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得： ， ∴的半径是． 【变式8-4】（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，的直径垂直于弦，垂足为，．，求、的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握相关定理及应用是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而得到是等腰直角三角形，设，根据勾股定理可得，再由垂径定理得到，结合即可得到． 【详解】，， ，又， 是等腰直角三角形． ．设， ，解得， ， ， 过圆心，， ． 【题型九】垂径定理的应用 【例9】（25-26九年级上·河北唐山·月考）一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及垂径定理．解题的关键是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 根据垂径定理的推论，可得此圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心是O，连接．根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，是圆心，设半径为，即， 依题意得：，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得： 答：圆弧门所在圆的半径为． 故选D． 【变式9-1】（25-26九年级上·江苏镇江·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 【变式9-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点，则该桨轮船的轮子直径为 m． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，设半径为，根据圆的性质和垂径定理得到和，然后根据勾股定理列出方程，可求出答案． 【详解】解：如图，连接，设半径为，则， ， ， ， 在中，有， 即， 解得， 则该桨轮船的轮子直径为， 故答案为：10． 【变式9-3】（25-26九年级上·全国·期末）云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的风味食品．如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图．若竹筒开口宽为，这个竹筒所能装食物的最大深度是，则竹筒截面的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，求出，设半径为，在中利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示： ∵，最大深度是，即， ∴， 设半径为，则， 在中， 即 解得 ∴， 故答案为：5． 【变式9-4】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，求此时排水管水面的宽． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图：作于E，交于F， ∵， ∴， ∵水管水面上升了， ∴， ∴， ∴． 【题型十】利用弧、弦、圆心角的关系求解或证明 【例10】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，半径为4的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．连接，根据，可得，所以，由，可得，所以，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式10-1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【变式10-2】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，弦，弧，圆心角的关系，勾股定理的应用，过作交于，交于，证明，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：过作交于，交于，而， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径是3， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式10-3】（25-26九年级上·上海静安·月考）如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，可得，则，再证，可得，即平分． 【详解】解：连接、、、， ，， ，． ， ． 在和中 ． ． 在和中 ． ． 平分． 【变式10-4】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系， 1.连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以； 2.先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； 3.由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径，C、D分别为的中点， ∴， ∴， 而， ∴， ∴； （2）证明：在中，取的中点G，连接， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十一】圆周角定理 【例11】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，，是的直径，弦，连接，，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆周角定理，平行线的性质，关键是熟练应用圆周角定理． 根据平行线的性质和圆周角定理解答即可． 【详解】解：， 根据同弧所对的圆周角相等，并等于圆心角的一半， ，， ， ， ． 故选：A． 【变式11-1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，点，，在上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理求解圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：点，，在上，， ． 故选：． 【变式11-2】（25-26九年级上·山西运城·月考）已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质， 先由圆周角定理求出，再根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【变式11-3】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，是的直径，弦于点E，，，则圆心到弦的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理与勾股定理，利用圆周角定理判断出与的关系是解题的关键． 根据，判断出，所以为含特殊角的直角三角形，已知的长度，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴，∵， ∴， ∴， ∴，结合勾股定理， 解得， 故选A 【变式11-4】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，弦、相交于点，，，则的大小为 （度）． 【答案】30 【详解】欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．本题主要考查了三角形的外角性质和圆周角，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【解答】解：∵是的外角， ∴； ∵，， ∴； ∴． 故答案为：30． 【题型十二】半圆所对的圆周角是90度 【例12】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，相加即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， 又， ． 故选：B． 【变式12-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆O的直径，，弦，P是圆O上的动点，取的中点D，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．如图，连接，首先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，当点D在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 点的运动轨迹为以为直径的，连接， ， ∴当点D在的延长线上时，的值最大， 是的直径，， ， 是等边三角形， ， 取的中点Q，连接， 则， 在中，， ， ， 则的最大值为． 【变式12-2】（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：为直径， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 【变式12-3】（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，BD是的直径，点A，C在上，交BD于点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形的内角和定理等知识，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，根据圆周角定理得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵BD是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-4】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． (1)当时，与有何关系？证明你的结论． (2)当点在什么位置时，？证明你的结论． 【答案】(1)；证明见解析 (2)当弧弧时，．证明见解析 【分析】主要考查了圆中的有关性质，掌握其中的圆周角定理、圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的关键． （1）由圆周角定理知：，在中，，证得，已知，可得，所以，即； （2）当弧弧时，，可得，进而可得，因此当弧弧时，． 【详解】（1）； 证明：连接， 为的直径， ． 又， ． ， ． ． ． （2）当弧弧时，， 证明：∵弧弧， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【题型十三】圆的内接四边形 【例13】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 【变式13-1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，内接于，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】71度/ 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 设，根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据等边对等角求得，再根据平行线的性质可得，从而利用三角形内角和进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为：． 【变式13-2】（2025九年级上·山东临沂·专题练习）如图，在的内接四边形中，，点在的延长线上．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质和等腰三角形等边对等角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据圆内接四边形的性质得到，，然后根据等边对等角得到，进而可证明出平分． 【详解】证明：四边形是圆内接四边形， ， 又， ， （所对圆周角相等）， ， ， ， 即平分． 【变式13-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知识； （1）先根据垂径定理可得：，再由圆周角定理可得结论； （2）如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，则四边形的面积四边形的面积，可以解答． 【详解】（1）证明：为直径，， ， ； （2）解：如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，， ， ， ， ， ， 四边形的面积四边形的面积， ，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 四边形的面积四边形的面积． 【题型十四】圆与正多边形综合 【例14】（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形，圆的内接四边形，能够正确作出辅助线是解题关键； 连接，通过正五边形性质求出，进而求出，最后利用圆的内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形， ∴， ∴， ∵为圆的内接四边形， ∴， 故选：C． 【变式14-1】（25-26九年级上·全国·期中）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：D． 【变式14-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形内接于，点P在上，连结，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】此题考查了正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，解题的关键是掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角与圆心角的关系． 连接，，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式14-3】（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）解：与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【题型十五】求弧长 【例15】（19-20九年级上·辽宁大连·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为，依题意， ． 解得． 故选：D． 【变式15-1】（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）图①是一把扇形纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．求出的长，再用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴的长为； 故答案为：． 【变式15-3】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，正六边形的边长是，以点为圆心，长为半径画弧，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正六边形的性质和弧长的计算，根据题意得出,进而根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：正六边形的边长为2， ∴, ∴的长是， 故答案为：． 【变式15-4】（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，为半圆的直径，点，为半圆上两点，若，，则的长为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，已知圆内接四边形求角度，求弧长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用圆内接四边形的性质求得，再证明是等边三角形，从而可得，再利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为半圆的直径， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【题型十六】求扇形与不规则图形的面积 【例16】（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【变式16-1】（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交于点P，交于点M，交于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求阴影部分的面积，涉及扇形面积公式，直角三角形锐角互余的性质，勾股定理等知识点．利用直角三角形的面积减去两个扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵以为圆心，长为半径画弧， ∴扇形和扇形的半径相同，均为， ∴两个扇形的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：； 故选：A． 【变式16-2】（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，在小正方形边长均为1的网格中，扇形与扇形中的点，，，，都在格点上，与交于点，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不规则图形面积，网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合网格特征，得，，再根据割补法进行列式计算，把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 则， ， 则阴影部分的面积为， 故选：D． 【变式16-3】（2025九年级上·河南信阳·专题练习）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积；作，根据含30度角的直角三角形的性质得，进而根据勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】解：作， ∵，， ∴，则 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式16-4】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现点、点分别与刻度1和4对齐，则弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和是 ，弦的长度是 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，可得是直径，，，，，则，由勾股定理得，然后在中，由勾股定理得，再由弧，弦关系定理得；求出，，则，那么弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和等于扇形的面积减去的面积，最后再乘以2即可． 【详解】解：连接，，过点作于点， ∵为圆周上十二等分点， ∴是直径，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴同上可得，， ∴， ∴弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和是， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，角直角三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 【变式16-5】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 如图，连接，证明为圆的直径，再利用勾股定理求解，再利用扇形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， 为圆的直径，， ， ， ． 【题型一】圆与解析几何综合 【例1】（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接，过点作于点，轴于点，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得，利用勾股定理可得，即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，轴于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在y轴负半轴上取，连接，．证明是的中位线得，可得当取得最小值时，的值最小，当点P在线段上时，的值最小，即的值最小，求出，可得以的最小值是． 【详解】解：在y轴负半轴上取，连接，． ∵点C为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取得最小值时，的值最小，当点P在线段上时，的值最小，即的值最小． ∵、， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、圆的性质、三角形中位线，确定出OC最小时点P的位置是解题关键， 也是本题的难点． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心的坐标． 【答案】(1) (2)的半径为，圆心的坐标为 【分析】（）连接，利用勾股定理即可求得线段的长； （）过点作于点，过点作于点，由垂径定理可求得点的坐标，然后由圆周角定理可得是直径，即可求得的半径． 【详解】（1）解：连接， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴圆心的坐标为； ∵， ∴是的直径， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型二】圆与一次函数 【例2】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 【答案】(1)①点在外，点在内；② (2) 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆上一点的最值问题，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据“亲情点”的定义可得，，即可求解； ②求出直线的解析式，根据“亲情点”的定义可得为，再由点在直线上，即可求解； （2）根据“亲情点”的定义可得的坐标为，可得到点到圆心O的距离，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得，点M的“亲情点”为，点N的“亲情点”为， ，， 点在外，点在内； ②设直线的解析式为，将和代入 ， 解得：， ， 根据题意得：点的“亲情点”为， 点在直线上， ， 解得； （2）解：∵的“亲情点”为， ∴的坐标为， 点到圆心O的距离为， 点与上任意一点的最短距离是． 【变式2-1】（2023九年级·江西赣州·竞赛）如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B． (1)求A、B两点的坐标． (2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切． (3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)时间为秒和秒 (3)秒 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，点到圆的距离，一次函数的性质，切线的性质，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法． （1）分别令；，即可求出、的坐标； （2）可设动圆的圆心在处时与直线相切，设切点为，连接，则，，得到，利用相似三角形对应边的比等于相似比，可得，即，求出的值，即可得到此时的值，利用的长度结合速度即可求出时间；根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切，此时，； （3）可设在秒时，动圆的圆心在点处，动点在处，此时，，点的坐标为，连接，当时，点在动圆上，当时，点在动圆内，而当时，由对称性可知，有两种情况：①当点在轴下方时，，解之可得的值，②当点在轴上方时，，解之得的另一个值，进而可得到当时，，并且此时点在动圆的圆面上，所经过的时间为． 【详解】（1）解：在中，令，得； 令，得， 故得、两的坐标为，； （2）解：若动圆的圆心在处时与直线相切，设切点为，如图所示，连接，则． ，， ， ，即， 则． 此时， （秒． 根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切， 此时． （秒． 综上，秒时或秒时该圆与直线相切； （3）解：设在秒时，动圆的圆心在点处，动点在处，此时，，点的坐标为，连接， ，， ， ， ， 点的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为， 可见：当时，点在动圆上，当时，点在动圆内． 当时，由对称性可知，有两种情况： ①当点在轴下方时，，解之得：； ②当点在轴上方时，，解之得：． 当时时，，此时点在动圆的圆面上，所经过的时间为． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接．已知． (1)的直径为________，点M的坐标为________； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)已知点P是x轴上的一个动点，当时，线段的长度为多少？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分两种情况：①当点P在点左侧，②当点P在点右侧，讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴， 故答案为：，； （2）解：连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式； （3）解：设， ，， ，即， 解得：，， ， ， ，， ， ， ， ∵， ， ，， ， ①当点P在点左侧时，如图，连接， ， 点E和点P横坐标相同， ， ， ； ②当点P在点右侧时， ∵， ∴， ∴轴，与点P在x轴上矛盾，不存在该种情况； 综上所述：的长度为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【题型三】圆与反比例函数 【例3】（19-20九年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，已知，B为反比例函数，以为直径的圆的圆心C在y轴上，与y轴正半轴交于，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设与x轴的正半轴的为E，连接，根据垂径定理，得到，结合以为直径的圆的圆心C在y轴上，得到是的中位线，设，则，利用勾股定理计算即可，本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，反比例函数的解析式计算，熟练掌握定理和待定系数法是解题的关键． 【详解】设与x轴的正半轴的为E，连接， ∵，， ∴， ∵以为直径的圆的圆心C在y轴上，, ∴，，轴， ∴是的中位线， 设，则， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴， 故选C． ． ． 【变式3-1】（2025·河南南阳·二模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的长度； (3)请直接写出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为，再求出弧长即可； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：四边形是正方形，为对角线，， 点是四边形的中心， 连接， ，， ，为所在圆的直径， 所对圆心角的度数为：， ， ∴， ， ∴； （3）解：设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接， ， ，，， ， ∴， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积 ， 图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积 ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，弧长计算，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 【变式3-2】（2025·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点作轴，交于另一点，点是否在反比例函数的图象上？ (3)若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)在 (3) 【分析】（1）运用等边三角形的性质得，运用勾股定理算，结合切线的性质得点P的坐标为，再代入求出反比例函数的表达式为； （2）先证明四边形是矩形，得，则点D的横坐标为，结合点M的坐标为，得，即点D的坐标为，根据，即可作答． （3）因为与反比例函数的图象交于点E，F，故设点的坐标为，由（1）得点P的坐标为，运用两点的距离公式，列式，得点的坐标为，因为，即三点共线，结合直径所对的圆周角是90度，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，且， ∴， 如图1，过点P作轴，垂足为M，连接， 由三线合一得， 即， ∴， 则， ∵与轴交于A，B两点，与轴相切于点． ∴轴， ∴P点的纵坐标为4， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数图象上， ∴把代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，记交于点N ∵轴，轴， ∴， ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∴， 即点D的横坐标为， 由（1）得， ∴点M的坐标为， 则， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象上； （3）解：∵与反比例函数的图象交于点E，F， ∴设点的坐标为， 由（1）得点P的坐标为， ∴， 即， ∴解得（另一个小于，故舍去） ∴点的坐标为， ∵由（1）得，且， ∴的坐标为 ∵点P的坐标为， ∵， 即三点共线， 即为直径， 连接，如图所示： ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数与圆综合，求反比例函数的解析式，圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，难度较大，综合形较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型四】圆与二次函数 【例4】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图所示，抛物线（，a、b、c为常数）交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，经过A、B、C三点的交y轴正半轴于点D． (1)当时，求a的值． (2)若抛物线的解析式为，求圆心T的坐标． (3)若的半径为2，，求线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，抛物线与x轴交点为，交y轴于点C，则，由可得，即；再说明，即可求得a的值； （2）先求得A、B、C三点的坐标，再根据圆的性质可得圆心T在的垂直平分线上，，易得得中点横坐标为，设，再根据两点间距离公式以及列方程求得T的值即可解答； （3）如图：过T作轴，过T作轴，连接，设，，根据的半径为2，，得出，则；根据垂径定理可得、，则；由，则，，再根据二次函数的性质求得的取值范围，进而求得的取值范围，最后求得的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：设，抛物线与x轴交点为，交y轴于点C，则， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，解：． （2）解：当时，即，解得：， ∴， 当时，即，即， ∵经过A、B、C三点， ∴圆心T在的垂直平分线上，， ∵， ∴得中点横坐标为， 设，则，， ∵， ∴，解得：． ∴． （3）解：如图：过T作轴，过T作轴，连接，设，，，则， ∵若的半径为2，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 同理可得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最大值为， 当时，；当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系、垂径定理、勾股定理、利用二次函数求最值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 【变式4-1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知：抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个单位后得到抛物线． (1)求m、n的值； (2)若A点坐标为，C为抛物线上的一个动点，以C为圆心为半径的圆交轴于M、N两点，O、D关于A点对称，作交抛物线于B， ①试探究：随C点的运动线段的长度是否发生变化？若改变请说明理由，若不变请求出的值． ②连接，随着C点的运动，B点也随之运动，当的中点落在y轴上时，求点C的坐标， ③连接、并继续探究：在点B随点C的运动过程中，点C、D、B三点是否始终保持在同一直线上？请说明你的判断，并给出证明． 【答案】(1)， (2)①不变，；②或；③点C、D、B三点始终保持在同一直线上，证明见解析 【分析】（1）把抛物线化为顶点式，然后根据二次函数图象的平移规律求解即可； （2）①过C作于E，连接，设，根据两点间距离公式求出，在中根据勾股定理求出，然后根据垂径定理求出即可； ②设，过B作轴于H，证明，得出，整理得，根据的中点落在y轴上，得出，则可求出，即可求解； ③由②知，则可求出，根据待定系数法求出直线解析式为，求出直线与y轴的交点为，根据对称性求出点D的坐标，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到， ∴，； （2）解：①过C作于E，连接 设， ∵A、N在上， 则， ∴， ∵， ∴； ②设，过B作轴于H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 又的中点落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C的坐标为或； ③由②知， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴直线经过， ∵O、D关于点对称， ∴， ∴直线经过点D，即点C、D、B三点始终保持在同一直线上． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 【题型五】圆与三角形综合 【例5】（25-26九年级上·山东日照·期中）在中，为直径，的平分线交于点（如图1和图3）． (1)如图1，若直径为，弦为，则的形状为______，并求的长； (2)如图2，在平面直角坐标系中，经过原点和两点，与坐标轴分别交于点、（如图2），问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围． (3)如图3，若与直径交于点E，过D作的平行线，交于点，试判断线段之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)等腰直角三角形； (2)的值不会发生变化，其值为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了圆的相关性质、坐标与图形、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）作，垂足为点H，先求出，进而得出是等腰直角三角形，求出，，，进而得出结论； （2）在x轴上取一点N，使，连接，先证明，得出，求出，进而求出结论； （3）过点A作并截取，连接，先证，再证，得出，根据得出结论． 【详解】（1）解：作，垂足为点H， 在中，为直径， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ∵直径为，弦为， ， ， 在中，， ， ， ， ， 在中， ， ； （2）解：的值不会发生变化，其值为8，理由如下： 在x轴上取一点N，使，连接， ， ∴点到x轴、y轴距离相等，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的值不会发生变化，其值为8； （3）解：，理由如下： 如下图，过点A作并截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【变式5-1】（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，为直径，弦于点E，点F在线段上，，连接并延长交于点G，连接 (1)如图1，求证： (2)如图2，延长交于点H，连接，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作于点M，交于点N，连接交于点K，若， 时，连接，求线段的长 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）如图1中，连接，由，推出，推出，推出，因为，即可推出； （2）如图2中，连接．证明，再证明即可解决问题； （3）如图3中，作于于，连接．想办法证明，由，推出，设，则，可得，推出，再利用勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）证明：如图 1中，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图2中，连接，作于． 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图3中，作于于，连接． 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ∵是直径， ∴， ． 【点睛】本题考查圆综合题、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式5-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，为弦，为直径，于于． (1)如图1，若过圆心，求的度数； (2)如图2，若与相交于，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理可得即可解答； （2）连接，，证明，得，设的半径为，则，，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，为直径， ，， ，过圆心， ，， ， 为等边三角形， ； （2）解：如图，连接，， ，， ， ， ， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 所以的半径为． 【题型六】圆与四边形综合 【例6】（2022·河北·二模）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以AB为直径的半圆切CD于E，P为CD上的动点（不与C、D重合），连结AP交半圆于F，连结BP、BF，如图甲所示． (1)当时，图甲中有几对全等的三角形？将其表示出来． (2)P点在CD上移动，还有能构成全等三角形的情况吗？若有，请说出还有几次，并在图乙中用尺规作出每次构成全等三角形时的图形（不写作法，保留作图痕迹）；若没有，说明理由． 【答案】(1)图甲中有2对全等的三角形，分别为、 (2)P点在CD上移动，能构成全等三角形的情况，共2次，作图见解析 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余、矩形的性质，结合全等三角形的性质分析，即可得到答案； （2）根据题意，当时，即分别过点A和B，以AB为半径作圆弧并相交于点M，连接AM、BM，和相交于点F，根据全等三角形的性质，得，连接BF并延长，于CD相交于点P，根据等腰三角形三线合一的性质，得，根据全等三角形的性质证明即可；当点P和点E重合时，分别连接AE、BE，根据矩形和切线长定理，结合全等三角形的性质分析，即可完成求解． 【详解】（1）根据题意，得 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵矩形ABCD ∴，， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴； （2）当时，得 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ 作图如下： 当点P和点E重合，即点P、点E和点F重合时，得 作图如下，连接AE ∵矩形ABCD， ∴ ∵直径为AB ∴AD和BC分别于相切于点A和B ∵以AB为直径的半圆切CD于E， ∴， 在和中 ∴ ∴P点在CD上移动，能构成全等三角形的情况，共2次． 【点睛】本题考查了圆、矩形、等边三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握切线、矩形、等边三角形、等腰三角形三线合一的性质，从而完成求解． 【变式6-1】（2020·湖北咸宁·中考真题）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． 理解： （1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 证明： （2）如图1，是的直径，点在上，，相交于点D． 求证：四边形是对余四边形； 探究： （3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 【答案】（1）90°或270°；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）分当∠A和∠C互余时，当∠B和∠D互余时，两种情况求解； （2）连接BO，得到∠BON+∠BOM=180°，再利用圆周角定理证明∠C+∠A=90°即可； （3）作△ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，先证明GF是圆O的直径，得到，再证明△ABC∽△FEC，△ACD∽△GCE，△BCD∽△GCF，可得，，从而得出，根据△ABC为等边三角形可得AB=AC=BC，从而得到. 【详解】解：（1）∵四边形是对余四边形， 当∠A和∠C互余时， ∠A+∠C=90°， 当∠B与∠D互余时， ∠B+∠D=90°， 则∠A+∠C=360°-90°=270°， 故答案为：90°或270°； （2）如图，连接BO， 可得：∠BON=2∠C，∠BOM=2∠A， 而∠BON+∠BOM=180°， ∴2∠C+2∠A=180°， ∴∠C+∠A=90°， ∴四边形是对余四边形； （3）∵四边形ABCD为对于四边形，∠ABC=60°， ∴∠ADC=30°， 如图，作△ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF， 则∠AEF=∠ABC=60°，∠AEG=∠ADG=30°， ∴∠AEF+∠AEG=90°，即∠FEG=90°， ∴GF是圆O的直径， ∵AB=BC， ∴△ABC为等边三角形， ∵∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠ECF， ∴△ABC∽△FEC，得：，则， 同理，△ACD∽△GCE，得：，则， △BCD∽△GCF，得：， 可得：， 而， ∴， ∴， ∴， ∵AB=BC=AC， ∴. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证. 【变式6-2】（19-20九年级上·江苏无锡·期末）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点，动点B在上，连结AB，作等边B，C为顺时针顺序，求OC的最大值． 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE． 请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由； 线段OC的最大值为_____． 【灵活运用】 如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段AB外一动点，且，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 【迁移拓展】 如图③，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边，请直接写出AC的最大值，最小值． 【答案】（1），见解析；（2）3；（3）最大值为，；（4）的最大值为；最小值为 【分析】结论：只要证明≌即可； 利用三角形的三边关系即可解决问题； 连接BM，将绕着点P顺时针旋转得到，连接AN，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为；过P作轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论； 如图4中，点A在BD左侧，以BC为边作等边三角形，由≌，推出，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由，推出点D在以BC为直径的上运动，由图象可知，当点D在BC上方，时，DM的值最大，同理，当点A在BD右侧，可求得AC的最小值． 【详解】解：如图①中，结论：， 理由：都是等边三角形， ， ， ≌， ． 在△AOE中，， 当E、O、A共线， 的最大值为3， 的最大值为3． 故答案为：3． 如图1，连接BM， 将绕着点P顺时针旋转得到，连接AN，则是等腰直角三角形， ， 的坐标为，点B的坐标为， ， ， 线段AM长的最大值线段BN长的最大值， 当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值如图2， 最大值， ， 最大值为； 如图2，过P作轴于E， 是等腰直角三角形， ， ， 如图4中，以BC为边作等边三角形， ， ， ， ≌， ， 欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可， ， 点D在以BC为直径的上运动， 由图象可知，当点D在BC上方，时，DM的值最大，最大值， 的最大值为． 当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为． 【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题． 【题型七】圆与相似三角形综合 【例7】（2025·湖南邵阳·一模）已知：中，，点M是上一动点，过点B作于D，设线段被点M分得的线段之比，如图． (1)求证：； (2)若平分，求的长； (3)点M在边上的运动过程中，探究t是否有最小值？若有最小值，请求出t的最小值，若没有最小值，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】（1）根据垂直得到，根据对顶角相等得到，即可证明结论； （2）过点M作于N，由勾股定理得，设，结合角平分线的性质定理，证明，再根据勾股定理列方程，求出，，由（1）得，从而求出，即可得解； （3）过点D作于E，证明，得到，取的中点O，连接与，以点O为圆心，为半径作，则过点B、C、D，当时，有最大值，当点D是的中点时，，由为定值可知，的值最大，的值最大，此时D、E、O共线，利用垂径定理和勾股定理，求出，从而得到的值最大为，即可得出的最小值． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ； （2）解：过点M作于N， 在中，， ， 设，则， 平分，， ， 在与中， ， ， ， ， 在中， ， 解得：， ， ， 由（1）得：， ， 即：， 解得：， ； （3）解：如图1，过点D作于E， ， ， ， ， 取的中点O，连接与， ， ， ， 以点O为圆心，为半径作，则过点B、C、D， 当时，有最大值， 如图2，当点D是的中点时，， 为定值， 的值最大，的值最大，此时D、E、O共线． ， ， ， ， ， ， ，即的值最大为， 的值最大时，的值最小， 为最小值． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 【变式7-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；； （2）根据题意证得，再证得即可得到结论； （3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）， ， （3）连接， ， ， ， ∴，设， 解得：      学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的基本性质（18知识&16题型&7方法） 【清单01】 圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 【清单02】 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 【清单03】 三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【清单04】旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 【清单04】 旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【清单05】 旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【清单06】 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 【清单07】 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【清单08】 圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 【清单09】 圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 【清单10】 圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 【清单11】 圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 【清单12】 圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 【清单13】 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【清单14】 正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【清单15】 正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 【清单16】 正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 【清单17】 弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【清单18】 扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【题型一】圆的基本性质 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【变式1-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【变式1-3】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【题型二】点与圆的位置关系 【例2】（25-26九年级上·河北·月考）如图，的半径为3，那么图中到圆心的距离可能为4的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-1】（25-26九年级上·山西运城·月考）的直径为，点到圆心的距离，则点与圆的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【变式2-2】（24-25九年级上·浙江宁波·月考）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【题型三】三角形的外接圆 【例3】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【变式3-1】（25-26九年级上·河北·课后作业）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-4】（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是 ． 【变式3-5】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 【题型四】旋转现象与旋转图形 【例4】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【变式4-2】（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【题型五】旋转中心与旋转角 【例5】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式5-1】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）如图，将一个含角的直角三角板绕点A顺时针旋转得到，使得点B，A，在同一直线上，则旋转角是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（20-21九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是 ． 【变式5-4】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，求： (1)指出旋转中心______和顺时针旋转角度为______； (2)求的长度； (3)判断与的关系，并证明你的结论． 【题型六】旋转后的坐标 【例6】（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点绕点O顺时针旋转，得到的对应点的坐标为 ． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东威海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，点A，点O旋转后的对应点是点，点． （Ⅰ）画出旋转后的，其中点的坐标为 ； （Ⅱ）边上一点P旋转后对应点为点，当取得最小值时，点P的坐标为 ． 【变式6-2】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (2)以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，画出，并写出点，，的坐标： ， ， ． 【题型七】旋转的性质 【例7】（21-22九年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025九年级上·河南信阳·专题练习）如图，在四边形中，，，．若，，则 ． 【变式7-2】（25-26九年级上·江西上饶·期中）中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点． (1)求证：． (2)当，求的度数． (3)当四边形是菱形时，求的长． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，．是任意一点，连接，再将绕点顺时针旋转至，使，连接，． (1)如图（），若点在的内部，则与相等吗？若相等，请给出证明． (2)如图（），若点在的外部，则与相等吗？若相等，请给出证明． 【题型八】利用垂径定理求值 【例8】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式8-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式8-2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ． 【变式8-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【变式8-4】（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，的直径垂直于弦，垂足为，．，求、的长． 【题型九】垂径定理的应用 【例9】（25-26九年级上·河北唐山·月考）一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级上·江苏镇江·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为 ． 【变式9-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点，则该桨轮船的轮子直径为 m． 【变式9-3】（25-26九年级上·全国·期末）云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的风味食品．如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图．若竹筒开口宽为，这个竹筒所能装食物的最大深度是，则竹筒截面的半径为 ． 【变式9-4】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，求此时排水管水面的宽． 【题型十】利用弧、弦、圆心角的关系求解或证明 【例10】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，半径为4的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B．4 C． D．2 【变式10-1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为 ． 【变式10-3】（25-26九年级上·上海静安·月考）如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【变式10-4】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 【题型十一】圆周角定理 【例11】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，，是的直径，弦，连接，，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，点，，在上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26九年级上·山西运城·月考）已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，是的直径，弦于点E，，，则圆心到弦的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式11-4】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，弦、相交于点，，，则的大小为 （度）． 【题型十二】半圆所对的圆周角是90度 【例12】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆O的直径，，弦，P是圆O上的动点，取的中点D，则的最大值为 ． 【变式12-2】（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 【变式12-3】（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，BD是的直径，点A，C在上，交BD于点．若，则的度数为 ． 【变式12-4】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． (1)当时，与有何关系？证明你的结论． (2)当点在什么位置时，？证明你的结论． 【题型十三】圆的内接四边形 【例13】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【变式13-1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，内接于，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 【变式13-2】（2025九年级上·山东临沂·专题练习）如图，在的内接四边形中，，点在的延长线上．求证：平分． 【变式13-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 【题型十四】圆与正多边形综合 【例14】（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26九年级上·全国·期中）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式14-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形内接于，点P在上，连结，则的度数为 ． 【变式14-3】（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【题型十五】求弧长 【例15】（19-20九年级上·辽宁大连·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 【变式15-1】（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）图①是一把扇形纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则的长为 ． 【变式15-3】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，正六边形的边长是，以点为圆心，长为半径画弧，则的长是 ． 【变式15-4】（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，为半圆的直径，点，为半圆上两点，若，，则的长为 ．（结果保留π） 【题型十六】求扇形与不规则图形的面积 【例16】（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交于点P，交于点M，交于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【变式16-2】（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，在小正方形边长均为1的网格中，扇形与扇形中的点，，，，都在格点上，与交于点，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】（2025九年级上·河南信阳·专题练习）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式16-4】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现点、点分别与刻度1和4对齐，则弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和是 ，弦的长度是 ． 【变式16-5】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？ 【题型一】圆与解析几何综合 【例1】（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心的坐标． 【题型二】圆与一次函数 【例2】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 【变式2-1】（2023九年级·江西赣州·竞赛）如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B． (1)求A、B两点的坐标． (2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切． (3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接．已知． (1)的直径为________，点M的坐标为________； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)已知点P是x轴上的一个动点，当时，线段的长度为多少？ 【题型三】圆与反比例函数 【例3】（19-20九年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，已知，B为反比例函数，以为直径的圆的圆心C在y轴上，与y轴正半轴交于，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式3-1】（2025·河南南阳·二模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的长度； (3)请直接写出阴影部分的面积． 【变式3-2】（2025·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点作轴，交于另一点，点是否在反比例函数的图象上？ (3)若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 【题型四】圆与二次函数 【例4】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图所示，抛物线（，a、b、c为常数）交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，经过A、B、C三点的交y轴正半轴于点D． (1)当时，求a的值． (2)若抛物线的解析式为，求圆心T的坐标． (3)若的半径为2，，求线段长度的取值范围． 【变式4-1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知：抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个单位后得到抛物线． (1)求m、n的值； (2)若A点坐标为，C为抛物线上的一个动点，以C为圆心为半径的圆交轴于M、N两点，O、D关于A点对称，作交抛物线于B， ①试探究：随C点的运动线段的长度是否发生变化？若改变请说明理由，若不变请求出的值． ②连接，随着C点的运动，B点也随之运动，当的中点落在y轴上时，求点C的坐标， ③连接、并继续探究：在点B随点C的运动过程中，点C、D、B三点是否始终保持在同一直线上？请说明你的判断，并给出证明． 【题型五】圆与三角形综合 【例5】（25-26九年级上·山东日照·期中）在中，为直径，的平分线交于点（如图1和图3）． (1)如图1，若直径为，弦为，则的形状为______，并求的长； (2)如图2，在平面直角坐标系中，经过原点和两点，与坐标轴分别交于点、（如图2），问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围． (3)如图3，若与直径交于点E，过D作的平行线，交于点，试判断线段之间满足的等量关系，并说明理由． 【变式5-1】（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，为直径，弦于点E，点F在线段上，，连接并延长交于点G，连接 (1)如图1，求证： (2)如图2，延长交于点H，连接，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作于点M，交于点N，连接交于点K，若， 时，连接，求线段的长 【变式5-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，为弦，为直径，于于． (1)如图1，若过圆心，求的度数； (2)如图2，若与相交于，求的半径． 【题型六】圆与四边形综合 【例6】（2022·河北·二模）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以AB为直径的半圆切CD于E，P为CD上的动点（不与C、D重合），连结AP交半圆于F，连结BP、BF，如图甲所示． (1)当时，图甲中有几对全等的三角形？将其表示出来． (2)P点在CD上移动，还有能构成全等三角形的情况吗？若有，请说出还有几次，并在图乙中用尺规作出每次构成全等三角形时的图形（不写作法，保留作图痕迹）；若没有，说明理由． 【变式6-1】（2020·湖北咸宁·中考真题）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． 理解： （1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 证明： （2）如图1，是的直径，点在上，，相交于点D． 求证：四边形是对余四边形； 探究： （3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 【变式6-2】（19-20九年级上·江苏无锡·期末）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点，动点B在上，连结AB，作等边B，C为顺时针顺序，求OC的最大值． 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE． 请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由； 线段OC的最大值为_____． 【灵活运用】 如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段AB外一动点，且，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 【迁移拓展】 如图③，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边，请直接写出AC的最大值，最小值． 【题型七】圆与相似三角形综合 【例7】（2025·湖南邵阳·一模）已知：中，，点M是上一动点，过点B作于D，设线段被点M分得的线段之比，如图． (1)求证：； (2)若平分，求的长； (3)点M在边上的运动过程中，探究t是否有最小值？若有最小值，请求出t的最小值，若没有最小值，请说明理由． 【变式7-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $