专题04 图形的平移与旋转（期末复习讲义，11知识点+24题型）八年级数学上学期鲁教版五四制

该初中数学复习讲义通过表格系统梳理图形平移与旋转的7个核心考点，对应复习目标与考情规律，再分11个知识点细化定义、性质及作图步骤，构建“考点-知识-应用”的逻辑框架，突出平移与旋转的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如“利用平移求不规则图形面积”题型，通过转化为规则图形培养几何直观，“旋转作图”强调三要素步骤发展空间观念。练习分基础、重难、拓展层，适配不同学生，教师可精准教学，学生自主复习有明确路径。

专题04 图形的平移与旋转（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 平移的定义与性质 理解平移的概念，掌握平移的性质（对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等） 选择题、填空题基础题，难度低 2. 平移的作图（确定方向、距离） 能根据平移的方向和距离，准确作出简单图形平移后的图形 解答题作图题型，注重作图规范，难度中等 3. 平移的坐标变化规律 掌握平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律，能求平移后点的坐标 选择题、填空题高频考查，常结合几何图形出题，难度中等 4. 旋转的定义与性质 理解旋转的概念，掌握旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等、对应角相等） 选择题、填空题必考，易混淆旋转中心与旋转角，难度中等 5. 旋转的作图（确定中心、角度、方向） 能根据旋转的三要素，作出简单图形旋转后的图形 解答题作图题型，作图步骤需清晰规范，难度中等偏上 6. 中心对称的定义与性质 理解中心对称的概念，掌握中心对称的性质，区分中心对称与旋转的关系 选择题、填空题高频考查，概念辨析易出错，难度中等 7. 中心对称的作图 能准确作出一个图形关于某点成中心对称的图形 解答题作图题型，常与平移结合考查，难度中等 知识点01 平移的概念 ◆1、平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． ◆2、平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. ◆3、图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可. 知识点02 平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 【注意】 1、图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小； 2、图形的平移的方向不限于水平方向，可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向平移，只要是按直线方向即可. 3、“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而“对应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分. 知识点03 平移的作图 ◆1、平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案. ◆2、在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连 （1）定：确定平移的方向和距离． （2）找：找到图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 知识点04 旋转的相关概念 ◆1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. ★温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换. 知识点05 旋转的性质 ◆1、旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． ◆2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知识点06 旋转作图 ◆图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 知识点07 中心对称及相关概念 ◆中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． ★★★两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心； ② 旋转角为 180°； ③ 这两个图形旋转后能完全重合. 【注意】 （1）中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是180°； （2）中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系； （3）成中心对称的两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，对称点一定 对称中心两侧或与对称中心重合. 知识点08 中心对称的性质 ◆1、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与 对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【注意】 （1）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. （2）成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. ◆2、确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. ◆3、中心对称与轴对称的异同 轴对称 中心对称 1 有一条对称轴——直线 图形绕中心旋转——点 2 图形沿轴折叠（翻转180°） 图形绕中心旋转180° 3 折叠后两个图形重合 旋转后两个形重合 知识点09作已知图形关于某一点对称的图形 ◆作图步骤： （1） 确定关键点:将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长. （2） 确定对应点：在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. （3） 连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. 知识点10 中心对称图形 ◆1、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). ◆2、中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. ◆2、中心对称与中心对称图形的区别和联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部， 也可能在图形的内部或图形边界上. （4）对称中心在图形的内部或图形边界上. 联系 （1） 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.(2)两者可以相互转化，若把中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相 互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 知识点11 关于原点对称的点的坐标 ◆1、关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． ◆2、关于坐标轴对称的点的坐标特点 点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标为 P′(a，－b)， 点 P(a，b) 关于 y 轴对称的点的坐标为 P′(－a，b). 简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”. ◆3、作关于原点对称的图形的常用步骤： (1) 写出图形顶点坐标； (2) 写出图形顶点关于原点的对称点的坐标； (3) 描点； (4) 顺次连接； (5) 下结论. 题型一 平移的概念 解｜题｜技｜巧 利用平移的概念及性质来解决此类问题，一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形能与原图形重合，只是位置发生了变化. 【典例1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）现实生活中，下列现象不属于平移的是（   ） A．电梯的升降 B．火车在平直的铁轨上行驶 C．飞机起飞前在跑道上滑行 D．卫星绕地球飞行 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线 条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列运动属于平移的是（   ） A． B． C． D． 题型二 利用平移的性质进行计算 解｜题｜技｜巧 本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移的距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，一般的题型十求图形中阴影部分的面积或是求有关线段的长度等,计算图形面积时，可采用整体减去部分的方法. 【典例1】（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，将向右平移6个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若则的长度是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1】如图，在多边形中，，，则该多边形的周长为（　　） A．7 B．7或4 C．14 D．无法确定 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 题型三 利用平移解决实际问题 解｜题｜技｜巧 利用平移解决实际问题是，一般是给出一个不规则图形，求这个不规则图形的周长或面积，可以采用平移的方法把不规则图形转化为规则图形，再借助规则图形求周长和面积的计算公式来求解即可. 【典例1】如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设 计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，某居民小区有一长方形土地，长米，宽米．居民想在长方形地内修筑宽均为米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为 平方米． 题型四 点在坐标系中的平移 解｜题｜技｜巧 由点的坐标变化确定点的平移的方法：在判断点的平移时，终点与始点的横坐标的差即为沿x轴的平移情况，差为正，向右移，差为负，向左移；终点与始点的纵坐标的差即为沿y轴的平移情况，差为正，向上移，差为负，向下移. 【典例1】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 　 　． 题型五 图形在坐标系中的平移 解｜题｜技｜巧 1、在图形的平移中，由图上一点的平移方式可得出图形的平移方式；由图形的平移方式又可得图上某一点的平移方式；点与图形的平移方式一致，故已知图上一点的平移方式，图形上其它点的平移方式也已知. 2、从图形上的点的坐标的变化，可以得出这个图形进行怎样的平移；横坐标的变化决定图形左移平移的距离，纵坐标的变化决定图形上下平移的距离. 【典例1】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移， 平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（　　） A．（m+2，n+1） B．（m﹣2，n﹣1） C．（m﹣2，n+1） D．（m+2，n﹣1） 题六 平面直角坐标系中的平移作图 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中画出平移后的图形的方法：先根据平移的情况确定特殊点的坐标，然后再描点连线画出图形. 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，三角形中任意一点，经平移后其对应点为，将三角形作同样平移得到三角形． (1)请写出各顶点的坐标，并画出平移后的图形； (2)求出的面积． 【变式1】（24-25七年级上·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，点的对应点为． (1)画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)已知点在轴上，连接，则的最小值为______． 【变式2】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别 是，，将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到 三角形，其中点，，分别为点，，的对应点． (1)____，____； (2)在图中画出三角形，并求三角形的面积； (3)将线段沿某个方向平移后得到线段，点的对应点为，那么点的对应点的坐标为____（用含的式子表示）． 题型七 旋转中的相关概念 解｜题｜技｜巧 把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 【典例1】下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【变式1】对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【变式2】下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 题型八 旋转中心的确定 解｜题｜技｜巧 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 【典例1】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，线段绕一点旋转后得到线段，点A旋转到了点，则旋转中心为（    ） A．点C B．点D C．点E D．点F 【变式2】（2024春•泉港区期末）如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 　　 ． 题型九 求旋转图形中相关角度的大小 解｜题｜技｜巧 ①利用旋转前、后的图形全等求解． ②利用旋转角相等求解． 【典例1】如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶 旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇 叶至少旋转（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得 到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十 求旋转图形中线段的长度 解｜题｜技｜巧 根据图形旋转前、后的对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，可以构成特殊三角形求解一些问题. 【典例1】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 　 　． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　） A． B． C．4 D．2 【变式2】如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°， C'D＝2，则线段BC的长度为（　　） A．4 B．5 C． D． 题型十一旋转作图 解｜题｜技｜巧 图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 【典例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知和直线． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的． 【变式1】（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度， 在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出将向左平移8个单位长度得到的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，， (1)画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标． 题型十二 在平面直角系中根据旋转求坐标 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，根据旋转的性质求点的坐标，可以先过所求的点作x轴或y轴的垂线构造直角三角形，再根据旋转的性质求出有关线段的长，从而确定点的坐标. 【典例1】如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，现将 △AOB绕点A顺时针旋转90°，得到△AO'B'，则点B′的坐标是 　 ． 【变式2】如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转 90°得到AC，则点C坐标是 　　 ． 题型十三 中心对称的概念和性质 解｜题｜技｜巧 1、两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心；② 旋转角为 180°；③ 这两个图形旋转后能完全重合. 2、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【典例1】若两个图形成中心对称，则下列说法： ①对应点的连线必经过对称中心； ②这两个图形的形状和大小完全相同； ③这两个图形的对应线段一定相等； ④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，， ，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 题型十四 中心对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). 【典例1】（24-25七年级下·四川资阳·期末）下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）以下软件的是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型十五 中心对称图形的性质 解｜题｜技｜巧 中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. 【典例1】（23-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024秋•分宜县校级期末）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式2】如图所示的图形是一个中心对称图形，点O是AC与BD的交点，且是对称中心． （1）若AO＝4cm，那么CO的长是多少？ （2）试说明△ABO≌△CDO． 题型十六 求关于原点对称的点的坐标 解｜题｜技｜巧 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y）． 【典例1】平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·四川雅安·期末）已知，，则点关于原点对称的 点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1） 题型十七 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的值 解｜题｜技｜巧 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出关于x、y的方程组并求解即可． 【典例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称， 则（   ） A． B．5 C． D．1 【变式1】已知点A（a，2）点B（﹣3，2）关于y轴对称，点C（1，2），点D（﹣1，b）关于原点对称，则a+b＝　 　． 【变式2】在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32 题型十八 平面直角坐标系中的中心对称图形 解｜题｜技｜巧 本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，0）． （1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）请画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2； （3）直接写出B1，B2两点的坐标． 【变式1】如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2）、B（2，0）、C（1，3）． （1）将△ABC先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1； （2）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0）B（﹣4，1），C（﹣2，2）． （1）直接写出点B关于原点对称的点B'的坐标：　 　． （2）直接写出△ABC的面积：S△ABC＝　 　． （3）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1． （4）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2． 题型十九 利用中心对称探究规律问题 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，中心对称图形的核心规律是：图形绕某一点（对称中心）旋转180°后能与原图完全重合；若点 P(x,y)P(x,y) 关于原点对称，则其对称点为 P′(−x,−y)P′(−x,−y) 5。掌握坐标变换规律和几何性质是解题关键。 【典例1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【变式1】已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面 直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共 线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对 称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 题型二十 综合利用平移、轴对称、旋转设计图案 解｜题｜技｜巧 本题考查几何变换的类型，旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【典例1】（23-24九年级上·山东临沂·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 【变式1】在的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的3种方案．（每 个的方格内限画一种） 要求：    （1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）； （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案） 【变式2】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图 （1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 题型二十一 平移性质的综合运用 【典例1】如图，在直角坐标系中，，，将、同时分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的对应点分别为，，连接，． （1）直接写出点，的坐标：______，______； （2）四边形的面积为______； （3）点为线段上一动点（不含端点），连接，．求证：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 题型二十二 旋转性质的综合运用 解｜题｜技｜巧 本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【典例1】感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需要证明； (1)探究：如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立?若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)应用：如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接； ①探究线段、、之间的数量关系． ②若，，求线段的长． 【变式1（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： (1)如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． (2)如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 【变式2】（23-24八年级上·山东威海·期末）如图1，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)如图2，已知，，，，，，求的度数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·江西南昌·期末）下列汽车图标，可以由平移得到的是（　　） A．  B．  C．   D．   2．（24-25七年级下·吉林四平·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，，，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 7．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为 ． 10．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′，若PB＝3，则PP′的长是 　 　． 11．如图所示，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是 ． 12．如图，点，把向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．      (1)在图中画出； (2)写出平移后点的坐标； (3)求出的面积． 13．（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1． （2）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°得到的△A2B2C． （3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 16．（25-26九年级上·全国·期末）（1）【特例感知】如图①，在中，，，D是边上一点（点D不与点B，C重合），连接，将绕着点D逆时针旋转得到，连接，过点D作交于点F，可知，则的度数为 ． （2）【探究证明】如图②，在中，，，D是边上一点（点D不与点B，C重合），连接，将绕着点D逆时针旋转得到，连接，求证：． （3）【拓展应用】设图②中的，，连接．当是直角三角形时， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的平移与旋转（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 平移的定义与性质 理解平移的概念，掌握平移的性质（对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等） 选择题、填空题基础题，难度低 2. 平移的作图（确定方向、距离） 能根据平移的方向和距离，准确作出简单图形平移后的图形 解答题作图题型，注重作图规范，难度中等 3. 平移的坐标变化规律 掌握平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律，能求平移后点的坐标 选择题、填空题高频考查，常结合几何图形出题，难度中等 4. 旋转的定义与性质 理解旋转的概念，掌握旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等、对应角相等） 选择题、填空题必考，易混淆旋转中心与旋转角，难度中等 5. 旋转的作图（确定中心、角度、方向） 能根据旋转的三要素，作出简单图形旋转后的图形 解答题作图题型，作图步骤需清晰规范，难度中等偏上 6. 中心对称的定义与性质 理解中心对称的概念，掌握中心对称的性质，区分中心对称与旋转的关系 选择题、填空题高频考查，概念辨析易出错，难度中等 7. 中心对称的作图 能准确作出一个图形关于某点成中心对称的图形 解答题作图题型，常与平移结合考查，难度中等 知识点01 平移的概念 ◆1、平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． ◆2、平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. ◆3、图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可. 知识点02 平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 【注意】 1、图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小； 2、图形的平移的方向不限于水平方向，可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向平移，只要是按直线方向即可. 3、“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而“对应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分. 知识点03 平移的作图 ◆1、平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案. ◆2、在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连 （1）定：确定平移的方向和距离． （2）找：找到图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 知识点04 旋转的相关概念 ◆1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. ★温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换. 知识点05 旋转的性质 ◆1、旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． ◆2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知识点06 旋转作图 ◆图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 知识点07 中心对称及相关概念 ◆中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． ★★★两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心； ② 旋转角为 180°； ③ 这两个图形旋转后能完全重合. 【注意】 （1）中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是180°； （2）中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系； （3）成中心对称的两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，对称点一定 对称中心两侧或与对称中心重合. 知识点08 中心对称的性质 ◆1、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与 对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【注意】 （1）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. （2）成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. ◆2、确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. ◆3、中心对称与轴对称的异同 轴对称 中心对称 1 有一条对称轴——直线 图形绕中心旋转——点 2 图形沿轴折叠（翻转180°） 图形绕中心旋转180° 3 折叠后两个图形重合 旋转后两个形重合 知识点09作已知图形关于某一点对称的图形 ◆作图步骤： （1） 确定关键点:将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长. （2） 确定对应点：在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. （3） 连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. 知识点10 中心对称图形 ◆1、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). ◆2、中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. ◆2、中心对称与中心对称图形的区别和联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部， 也可能在图形的内部或图形边界上. （4）对称中心在图形的内部或图形边界上. 联系 （1） 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.(2)两者可以相互转化，若把中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相 互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 知识点11 关于原点对称的点的坐标 ◆1、关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． ◆2、关于坐标轴对称的点的坐标特点 点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标为 P′(a，－b)， 点 P(a，b) 关于 y 轴对称的点的坐标为 P′(－a，b). 简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”. ◆3、作关于原点对称的图形的常用步骤： (1) 写出图形顶点坐标； (2) 写出图形顶点关于原点的对称点的坐标； (3) 描点； (4) 顺次连接； (5) 下结论. 题型一 平移的概念 解｜题｜技｜巧 利用平移的概念及性质来解决此类问题，一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形能与原图形重合，只是位置发生了变化. 【典例1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）现实生活中，下列现象不属于平移的是（   ） A．电梯的升降 B．火车在平直的铁轨上行驶 C．飞机起飞前在跑道上滑行 D．卫星绕地球飞行 【答案】D 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的定义直接判断即可，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键． 【详解】解：、电梯的升降，属于平移，不符合题意； 、火车在平直的铁轨上行驶，属于平移，不符合题意； 、飞机起飞前在跑道上滑行，属于平移，不符合题意； 、卫星绕地球飞行，不属于平移，符合题意； 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线 条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小及方向，判断即可． 【详解】解：∵只有C选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质， ∴只有C选项的图形是通过平移得到， ∴C选项符合题意， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列运动属于平移的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的定义，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，掌握平移成为解题的关键． 根据平移的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．放飞风筝过程中，风筝的形状和方向会发生变化，不属于平移，不符合题意； B．拉出抽屉，抽屉沿着一定方向做相同距离的移动，属于平移，符合题意； C．转动方向盘，方向盘是绕着中心做旋转运动，不属于平移，不符合题意； D．荡秋千，秋千做的是圆弧摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意． 故选B． 题型二 利用平移的性质进行计算 解｜题｜技｜巧 本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移的距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，一般的题型十求图形中阴影部分的面积或是求有关线段的长度等,计算图形面积时，可采用整体减去部分的方法. 【典例1】（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，将向右平移6个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若则的长度是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质求出即可解决问题． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，在多边形中，，，则该多边形的周长为（　　） A．7 B．7或4 C．14 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平移的应用． 根据平移得到，，根据多边形的周长公式计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 则该多边形的周长， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质，根据平移的性质，得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿方向平移到， ∴， ∴， 故选B． 题型三 利用平移解决实际问题 解｜题｜技｜巧 利用平移解决实际问题是，一般是给出一个不规则图形，求这个不规则图形的周长或面积，可以采用平移的方法把不规则图形转化为规则图形，再借助规则图形求周长和面积的计算公式来求解即可. 【典例1】如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设 计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，绿化区的面积是． 故选：B． 【变式2】如图，某居民小区有一长方形土地，长米，宽米．居民想在长方形地内修筑宽均为米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移现象，可把路平移到左边，平移到下边，根据长方形的面积公式，可得答案．利用平移得出绿化的长方形是解题关键． 【详解】解：平移后，阴影部分是长为米，宽为米的矩形，则其面积为： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米． 故答案为：． 题型四 点在坐标系中的平移 解｜题｜技｜巧 由点的坐标变化确定点的平移的方法：在判断点的平移时，终点与始点的横坐标的差即为沿x轴的平移情况，差为正，向右移，差为负，向左移；终点与始点的纵坐标的差即为沿y轴的平移情况，差为正，向上移，差为负，向下移. 【典例1】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 【变式1】若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征、坐标与图形变化—平移，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 由点在x轴上，可得，则，再根据平移的性质即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∵将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为． 故选：D． 【变式2】将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 　 　． 【答案】（﹣6，﹣2）． 【分析】根据点Q在x轴上，得到m+6＝0，计算即可． 【详解】解：∵P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点， ∴Q（m，m+6）， ∵点Q在x轴上， ∴m+6＝0，解得：m＝﹣6， ∴点P（﹣6，﹣2）， 故答案为：（﹣6，﹣2）． 【点睛】本题考查了点的平移，根据上加下减平移规律得到平移坐标，熟练掌握平移规律是解题的关键． 题型五 图形在坐标系中的平移 解｜题｜技｜巧 1、在图形的平移中，由图上一点的平移方式可得出图形的平移方式；由图形的平移方式又可得图上某一点的平移方式；点与图形的平移方式一致，故已知图上一点的平移方式，图形上其它点的平移方式也已知. 2、从图形上的点的坐标的变化，可以得出这个图形进行怎样的平移；横坐标的变化决定图形左移平移的距离，纵坐标的变化决定图形上下平移的距离. 【典例1】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移时点的坐标变化．根据平移的性质，确定点的坐标变化即可． 【详解】解：由和得，点向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到点， ∴点向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度后为， 故选：D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移， 平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标是， ∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵点的坐标是， ∴平移后点对应的点的坐标是，即； 故选：C． 【变式2】把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（　　） A．（m+2，n+1） B．（m﹣2，n﹣1） C．（m﹣2，n+1） D．（m+2，n﹣1） 【答案】D． 【分析】根据A点到O点的变化情况，即可求解． 【详解】解：由题图可知，将圆A先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得圆O，点P作相应的平移得到P'， ∴P'（m+2，n﹣1）． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的变换﹣平移，解题的关键是先找到平移前后图形的几个关键点，观察对应点的坐标变化情况，从而得出所有坐标的变化情况． 题六 平面直角坐标系中的平移作图 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中画出平移后的图形的方法：先根据平移的情况确定特殊点的坐标，然后再描点连线画出图形. 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，三角形中任意一点，经平移后其对应点为，将三角形作同样平移得到三角形． (1)请写出各顶点的坐标，并画出平移后的图形； (2)求出的面积． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了图形的平移，割补法求面积． （1）先根据平移前后点的坐标求出平移后点的坐标，再作出平移后的图即可； （2）根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：∵三角形中任意一点，经平移后其对应点为， ∴三角形向右平移两个单位，再向下平移三个单位得到三角形， ∵， ∴， 即， 则三角形如图所示： （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，点的对应点为． (1)画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)已知点在轴上，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)见详解 (2)7 (3)3 【分析】本题考查了平移作图，三角形的面积，垂线段最短，由点的坐标得到平移的方式是解题的关键． （1）根据点、的坐标可知三角形向左边平移 2 个单位长度，向下平移 4 个单位长度后得到三角形，据此画图即可； （2）利用割补法计算即可； （3）根据垂线段最短即可求解； 【详解】（1）解：∵点的对应点为， ∴三角形向左边平移 2 个单位长度，向下平移 4 个单位长度后得到三角形， 如图所示，三角形即为所求； （2）解：三角形的面积 ． （3）解：根据垂线段最短可得的最小值为， 故答案为：3． 【变式2】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别 是，，将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到 三角形，其中点，，分别为点，，的对应点． (1)____，____； (2)在图中画出三角形，并求三角形的面积； (3)将线段沿某个方向平移后得到线段，点的对应点为，那么点的对应点的坐标为____（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据点为点的对应点可知，三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到三角形，即可得出答案． （2）根据平移的性质作图即可；利用三角形的面积公式计算三角形的面积即可． （3）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：点为点的对应点， 三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到三角形， ，． 故答案为：；． （2）如图，三角形即为所求． 三角形的面积为． （3）∵点的对应点为， 点的对应点的纵坐标为，横坐标为， 点的对应点的坐标为． 故答案为：． 题型七 旋转中的相关概念 解｜题｜技｜巧 把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 【典例1】下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【答案】A 【分析】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小．根据旋转变换的定义即可作出判断． 【详解】解∶A．钟表上的时针运动，属于旋转变换； B．升国旗的上升过程，不属于旋转变换； C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转变换； D．电梯的升降，不属于旋转变换， 故选∶A． 【变式1】对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 【变式2】下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．（2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到． 故选：C 题型八 旋转中心的确定 解｜题｜技｜巧 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 【典例1】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，线段绕一点旋转后得到线段，点A旋转到了点，则旋转中心为（    ） A．点C B．点D C．点E D．点F 【答案】B 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握旋转性质，平行四边形性质 ，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线判定和性质，是解题的关键． 根据四边形和四边形是平行四边形，得点P，Q分别是在中点．由，得点M，N分别在的垂直平分线上．得，得，得，得，即得D是旋转中心． 【详解】解：连接， 取点G，H，I，M，N， 连接分别交于点P，Q， 作射线， 射线过点D， ∴点D为旋转中心． 故选：B． 【变式2】（2024春•泉港区期末）如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 　　 ． 【答案】B点． 【分析】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为B点， 故答案为：B点． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键． 题型九 求旋转图形中相关角度的大小 解｜题｜技｜巧 ①利用旋转前、后的图形全等求解． ②利用旋转角相等求解． 【典例1】如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，根据旋转得到，进而得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∵点恰好落在边上，且， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶 旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇 叶至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理，是解题的关键．根据平行线的性质求出，再根据，求出最小的旋转角即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴扇叶至少旋转． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得 到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．由旋转前后对应边、对应角相等，可得，，，由三角形外角的性质可得，由等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， 又 ， ， ， ， ， 故选：C． 题型十 求旋转图形中线段的长度 解｜题｜技｜巧 根据图形旋转前、后的对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，可以构成特殊三角形求解一些问题. 【典例1】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 　 　． 【答案】3． 【分析】由旋转的性质可得A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'， ∴△ABC≌△A'BC'， ∴A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2， ∴A'C＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】B． 【分析】先由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA，再证明△ACA′、△BCB′是等边三角形，得到BB′＝BC，再根据含30度角的直角三角形的性质求解BC即可． 【详解】解：由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA， ∵∠A＝60°， ∴△ACA′是等边三角形， ∴∠A′CA＝60°，则∠B′CB＝60°， ∴△BCB′是等边三角形， ∴BB′＝BC， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4， ∴， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解答的关键． 【变式2】如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°， C'D＝2，则线段BC的长度为（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D． 【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝4，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：过点B作BE⊥CC'于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠BCE+∠C'CD＝90°， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠C'CD＝∠CBE， 又∵∠BEC＝∠CC'D， ∴△BCE≌△CDC'（AAS）， ∴CE＝C'D， ∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'， ∴BC＝BC'， 又∵BE⊥CC'， ∴CE＝C'E＝C'D＝2， ∴CC'＝4， ∴CD2， ∴BC＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 题型十一旋转作图 解｜题｜技｜巧 图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 【典例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知和直线． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——旋转变换，作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于直线成轴对称的； （2）根据旋转的性质即可画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式1】（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度， 在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出将向左平移8个单位长度得到的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换． （1）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点、即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求： 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，， (1)画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解答；点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． （2）解：先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， 点的坐标为． 题型十二 在平面直角系中根据旋转求坐标 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，根据旋转的性质求点的坐标，可以先过所求的点作x轴或y轴的垂线构造直角三角形，再根据旋转的性质求出有关线段的长，从而确定点的坐标. 【典例1】如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【答案】A． 【分析】利用旋转的性质得B1C1＝BC＝1，OC1＝OC＝2，A1B1⊥y轴，然后利用第四象限内点的坐标特征写出点B1坐标． 【详解】解：∵点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）， ∴OC＝2，BC＝1，AB⊥x轴， ∴将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1，A1B1⊥y轴， ∴B1C1＝BC＝1，OC1＝OC＝2， ∴B1坐标为：（1，﹣2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，现将 △AOB绕点A顺时针旋转90°，得到△AO'B'，则点B′的坐标是 　 ． 【答案】（7，5）． 【分析】利用全等三角形的性质得出O′B′和O′A的值，再结合点A和点B的坐标得出OA和OB的长即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知， △ABO≌△AB′O′， ∴∠O′＝∠AOB＝90°，O′B′＝OB，AO′＝AO． 又∵O′A⊥OA， ∴O′B′∥x轴． ∵点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2）， ∴O′B′＝OB＝2，AO′＝AO＝5， ∴点B′的坐标为（7，5）． 故答案为：（7，5）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 【变式2】如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转 90°得到AC，则点C坐标是 　　 ． 【答案】（1，﹣1）． 【分析】作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N． ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABM+∠BAM＝∠BAM+∠CAN， ∴∠ABM＝∠CAN， ∵AB＝CA，∠AMB＝∠CNA＝90°， ∴△ABM≌△CAN（AAS）， ∴AM＝CN，BM＝AN， 当A（﹣2，0），B（﹣1，3）时， ON＝AN﹣OA＝BM﹣OA＝3﹣2＝1， CN＝AM＝OA﹣OM＝2﹣1＝1， ∴C（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型十三 中心对称的概念和性质 解｜题｜技｜巧 1、两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心；② 旋转角为 180°；③ 这两个图形旋转后能完全重合. 2、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【典例1】若两个图形成中心对称，则下列说法： ①对应点的连线必经过对称中心； ②这两个图形的形状和大小完全相同； ③这两个图形的对应线段一定相等； ④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据中心对称的性质对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：∵两个图形成中心对称， ∴①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合错误，必须旋转180°才能够重合． 综上所述，正确的由①②③共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称，熟记中心对称的性质和概念是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，， ，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质．根据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，，， ∴A，B，C都不合题意． ∵与不是对应角， ∴不成立． 故选：D． 题型十四 中心对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). 【典例1】（24-25七年级下·四川资阳·期末）下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称和轴对称图形的定义，中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．根据中心对称和轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． B．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）以下软件的是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形．将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它是中心对称图形； C、它不是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 轴对称图形沿着某条直线对折，直线两旁能够完全重合，中心对称图形存在一个对称中心，使得图形绕该点旋转后与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项不是轴对称图形也不是中心对称图形； B选项是轴对称图形不是中心对称图形； C选项是轴对称图形也是中心对称图形； D选项是中心对称图形而不是轴对称图形； 故选：C． 题型十五 中心对称图形的性质 解｜题｜技｜巧 中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. 【典例1】（23-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，所对直角边是斜边的一半，由中心对称的性质得，然后根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（2024秋•分宜县校级期末）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【分析】连接OA、OB、OC、OD，根据中心对称的性质可得OA＝OC，OB＝OD，然后判定四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的中心对称性写出相等的线段即可得解． 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD， ∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，OE＝OF，AE＝CF，BF＝DE， 相等的线段共有5对． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称，作辅助线，判断出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键，也是本题的难点． 【变式2】如图所示的图形是一个中心对称图形，点O是AC与BD的交点，且是对称中心． （1）若AO＝4cm，那么CO的长是多少？ （2）试说明△ABO≌△CDO． 【分析】（1）根据关于某点对称的两个图形的对应线段相等直接得到答案； （2）利用中心对称的性质，得到对应角相等，对应线段相等即可证得全等． 【详解】解：（1）∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心， ∴AO＝CO， ∵AO＝4cm， ∴CO＝4cm； （2）∵点O是AC与BD的交点，且是对称中心， ∴AO＝CO，BO＝DO， 在△ABO和△CDO中， ∴△ABO≌△CDO（SAS）． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，中心对称的两个图形具有如下性质：（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都过对称中心，并且被对称中心平分． 题型十六 求关于原点对称的点的坐标 解｜题｜技｜巧 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y）． 【典例1】平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·四川雅安·期末）已知，，则点关于原点对称的 点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∴点的坐标为． 点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 【变式2】如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1） 【答案】B． 【分析】运用中点坐标公式求答案． 【详解】解：设C（m，n）， ∵线段AB与线段CD关于点P对称， 点P为线段AC、BD的中点． ∴，， ∴m＝2﹣a，n＝﹣b， ∴C（2﹣a，﹣b）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，正确运用中点坐标公式是解题的关键． 题型十七 利用关于原点对称的点的坐标特征求字母的值 解｜题｜技｜巧 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出关于x、y的方程组并求解即可． 【典例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称， 则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，准确记忆关于原点对称点横纵坐标之间的关系是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，求出m和n的值，再相加即可． 【详解】解：∵点和关于原点O对称， ∴点B的坐标为点A坐标的相反数，即， ∴，且， 解得：，， ∴． 故选：A． 【变式1】已知点A（a，2）点B（﹣3，2）关于y轴对称，点C（1，2），点D（﹣1，b）关于原点对称，则a+b＝　 　． 【答案】1． 【分析】根据关于y轴对称的两点纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横纵坐标与原来的互为相反数求出a、b，再代入计算即可． 【详解】解：∵点A（a，2）点B（﹣3，2）关于y轴对称， ∴a＝3． ∵点C（1，2），点D（﹣1，b）关于原点对称， ∴b＝﹣2， ∴a+b＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标以及关于原点对称的点的坐标特点，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆． 【变式2】在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32 【答案】B． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求出a，b的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b）， ∴a+5＝3，b＝4， ∴a＝﹣2， ∴ab＝（﹣2）×4＝﹣8． 故选：B． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 题型十八 平面直角坐标系中的中心对称图形 解｜题｜技｜巧 本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，0）． （1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）请画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2； （3）直接写出B1，B2两点的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质，作出对应点即可； （2）根据旋转的性质，作出对应点即可； （3）根据点的位置，即可得出坐标． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）由作图知，B1（﹣1，5），B2（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 【变式1】如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2）、B（2，0）、C（1，3）． （1）将△ABC先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1； （2）在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2． 【分析】（1）根据给出的平移方式作图即可； （2）找出△ABC的三个顶点关于原点O成中心对称的对应点位置，再顺次连接可得． 【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示， ； （2）如图，△A2B2C2即为所求． 【点睛】本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0）B（﹣4，1），C（﹣2，2）． （1）直接写出点B关于原点对称的点B'的坐标：　 　． （2）直接写出△ABC的面积：S△ABC＝　 　． （3）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1． （4）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2． 【分析】（1）根据中心对称的性质可得答案； （2）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）利用平移的性质可得图形； （4）根据旋转的性质可得图形． 【详解】解：（1）由题意知，点B关于原点对称的点B'（4，﹣1）， 故答案为：（4，﹣1）； （2）S△ABC＝3×2， 故答案为：； （3）如图，△A1B1C1即为所求； （4）如图，△A2B2C2即为所求． 【点睛】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 题型十九 利用中心对称探究规律问题 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，中心对称图形的核心规律是：图形绕某一点（对称中心）旋转180°后能与原图完全重合；若点 P(x,y)P(x,y) 关于原点对称，则其对称点为 P′(−x,−y)P′(−x,−y) 5。掌握坐标变换规律和几何性质是解题关键。 【典例1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【变式1】已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面 直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共 线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对 称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 【详解】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 【变式2】如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先根据△是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：△是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， △与△关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是：， ， ，，，，， 的横坐标是：，的横坐标是：， 当为奇数时，的纵坐标是：，当为偶数时，的纵坐标是：， 顶点的纵坐标是：， △是正整数）的顶点的坐标是：， △的顶点的横坐标是：，纵坐标是：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键． 题型二十 综合利用平移、轴对称、旋转设计图案 解｜题｜技｜巧 本题考查几何变换的类型，旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【典例1】（23-24九年级上·山东临沂·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． (1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； (2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 【答案】(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积（只要答案正确即可） (2)见解析 【分析】本题考查图形的设计，轴对称图形，图形的折叠，中心对称图形． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【详解】（1）解：特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积； （2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 【变式1】在的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的3种方案．（每 个的方格内限画一种） 要求：    （1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）； （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案） 【答案】见解析 【分析】直接利用轴对称图形的性质以及结合平移的性质、旋转的性质分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示：    【点睛】此题主要考查了旋转变换以及轴对称图形的性质，正确掌握相关图形性质是解题关键． 【变式2】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图 （1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 【答案】(1)中心，轴 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形，利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型． （1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答； （2）根据中心对称的性质设计图案即可． 【详解】（1）图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形； 故答案为：中心，轴； （2）如图所示：答案不唯一（或面积是4的平行四边形、正方形等）， ． 题型二十一 平移性质的综合运用 【典例1】如图，在直角坐标系中，，，将、同时分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的对应点分别为，，连接，． （1）直接写出点，的坐标：______，______； （2）四边形的面积为______； （3）点为线段上一动点（不含端点），连接，．求证：． 【答案】（1）（4，2），（0，2）；（2）8；（3）见详解． 【分析】（1）根据C、D两点在坐标系中的位置即可得出此两点坐标； （2）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再求出其面积即可； （3）过点P作PQ∥AB，故可得出CD∥PQ，AB∥PQ，由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）由图可知，C（4，2），D（0，2）． 故答案为：（4，2），（0，2）；                            （2）S=． 故答案为：8； （3）证明：如图，过点P作PQ∥AB， ∵CD∥AB， ∴CD∥PQ，AB∥PQ， ∴∠CDP=∠1，∠BOP=∠2， ∴∠CDP+∠BOP=∠1+∠2=∠OPD． 【点睛】本题考查的是作图——平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)；； (2)秒后，轴 (3)当点P在线段上时，；当点P在的延长线上时，；当点P在的延长线上时， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行线的性质，平移的性质： （1）根据平移的性质求解； （2）设t秒后轴，根据轴，得到点M与点N的纵坐标相同，据此构建方程求解即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在线段上时，②如图2中，当点P在的延长线上时，③如图3中，当点P在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设t秒后轴， ∵轴， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴秒后，轴； （3）解：①如图1中，当点P在线段上时， 作交于点E， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ②如图2中，当点P在的延长线上时， 作， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ③如图3中，当点P在的延长线上时，． 作，同②可证． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移变换的性质，平行线的判定和性质，二次根式有意义的条件等知识； （1）由非负数的性质求a，b的值，求出线段的长即可； （2）设出P点坐标，可分两种情况，根据面积关系，构建方程即可解决问题； （3）分三种情形：①当点M在点H的上方且在直线下方时；②如图，点M在H上方且在直线上方时；③当点M在线段上(不与C，H重合)时，由平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ， 点C在x轴的负半轴， ， 故答案为：，； （2）点P在x轴上，设， ， 由题意得：， 解得：或， 或； （3）①当点M在点H的上方且在直线下方时，， 证明：设交于J，   ， ， ， ； ②如图，点M在H上方且在直线上方时， 同理可得． ③当点M在线段上(不与C，H重合)时，，    作， ， ， ， ． 题型二十二 旋转性质的综合运用 解｜题｜技｜巧 本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【典例1】感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需要证明； (1)探究：如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立?若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)应用：如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接； ①探究线段、、之间的数量关系． ②若，，求线段的长． 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)①；② 【分析】探究：利用SAS证明ΔABD≌ΔCAE，得BD=CE； 应用：①证明ΔACE≌ΔABD，即可得出结论； ②首先证明∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：成立，理由是： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转，连结和， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∴，，， ∴ ∴， ∴． ②∵， ∴， 又∵， ∴ 在中， ∵， ∴， 又∵，， ∴在中， 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明ΔACE≌ΔABD是解题的关键． 【变式1（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： (1)如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． (2)如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 【答案】(1)①，；②，，仍然成立，理由见解析 (2)时，理由见解析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质得到，推出，得到，得到，，得到，；②根据等腰直角三角形性质得到，推出，推出，得到，，得到，即得； （2）当时，．分当与当，两种情况讨论，过点A作交的延长线于点F，证明，得到， 即，即可证明． 【详解】（1）解：①当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； ②，仍然成立，理由： ∵，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当时，，理由： 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 则， ， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 同理可得：， ∴， ∴， ∴当时，； 综上，时，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，旋转性质，全等三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·山东威海·期末）如图1，已知点是等边内一点，且，，． (1)求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； (2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______； 类比迁移： (3)如图2，已知，，，，，，求的度数． 【答案】(1) (2)，4. (3) 【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数． （2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离； （3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出． 【详解】（1）解：（1）选择甲：如图1，作，且，连接，，则是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； 乙：如图2，同理可得，，， ； 丙：如图3同理可得，，， ； （2）同理（1）可得：， ∴， 如图4，过点作的垂线，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：，4. （3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴ 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·江西南昌·期末）下列汽车图标，可以由平移得到的是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，熟知平移不改变图形的大小和形状是解题的关键 根据平移的性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、选项中的汽车图标是由旋转得到，故本选项不符合题意； B、选项中的汽车图标不可以由平移得到，故本选项不符合题意； C、选项中的汽车图标可以由平移得到，故本选项符合题意； D、选项中的汽车图标不可以由平移得到，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·吉林四平·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，，，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质得，，，找出对应线段相等的关系，进而求出阴影部分的周长，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将沿方向平移（）得到， ∴，，， ∴阴影部分的周长为 ， 故选：． 4．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的点坐标为，即， 故选：． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解． 本题考查了线段的平移、点的平移，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点A，B分别在x轴和y轴上，， ∴点， ∵， ∴点A向右平移3个单位到达点，点B向下平移1个单位到达点， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位至线段的位置， ∴， ∴． 故选：B 6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质． 用总面积减去石子路面积即可． 【详解】解：种植鲜花的面积为 故选：D 7．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质．根据旋转的性质可知，旋转角等于，从而可以得到的度数，由可以得到的度数． 【详解】解：绕点O按逆时针方向旋转后得到， ， 故选：B． 8．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和=长方形的面积． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为 ． 【答案】/18米 【分析】此题考查了生活中的平移现象，掌握平移现象的特点是关键． 利用平移的性质解答即可． 【详解】解：， 即这块红地毯的长至少为． 故答案为： 10．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′，若PB＝3，则PP′的长是 　 　． 【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形的大小和形状没有改变．即PB＝P′B，△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°至△CBP′，则∠PBP′＝90°，在Rt△PBP′中，利用勾股定理，可求出PP′的长． 【解答】解：由旋转的性质得到旋转角∠PBP′＝90°，对应边PB＝P′B＝3， 在Rt△PBP′中，PP′2＝PB2+P′B2， ∴PP′3， 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握旋转前后图形的对应关系是解决问题的关键． 11．如图所示，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先确定，得到，根据旋转性质，得到，轴，计算即可． 【详解】∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴，， ∴， 根据旋转性质，得到，， ∴轴， 作轴，垂足为C， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，矩形的判定和性质，点的坐标，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 12．如图，点，把向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．      (1)在图中画出； (2)写出平移后点的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6 【分析】（1）根据平移描出点，然后连接得到； （2）根据平移过程写出A'、B'、C'的坐标； （3）利用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】（1）如图，即为所作；    （2）根据点的平移得到； （3）． 【点睛】本题考查三角形的平移，能根据平移作出三角形是解题的关键． 13．（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理， （1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1． （2）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°得到的△A2B2C． （3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）△A2B2C如图所示； （3）点P如图所示，点P的坐标为（﹣2，0）． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、轴对称变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键． 15．如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用即可得出结论． （2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）得：， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·全国·期末）（1）【特例感知】如图①，在中，，，D是边上一点（点D不与点B，C重合），连接，将绕着点D逆时针旋转得到，连接，过点D作交于点F，可知，则的度数为 ． （2）【探究证明】如图②，在中，，，D是边上一点（点D不与点B，C重合），连接，将绕着点D逆时针旋转得到，连接，求证：． （3）【拓展应用】设图②中的，，连接．当是直角三角形时， ． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，，由旋转的性质可知：，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）过点D作，交于点H，则有，，由旋转的性质可知：，然后可得，进而问题可求证； （3）由题意易得，，由（2）可知：，然后可得当是直角三角形时，只有这一种情况，进而问题可求解． 【详解】（1）解：过点D作交于点F，如图①， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：过点D作，交于点H，如图所示： ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由（2）可知：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当是直角三角形时，只有这一种情况， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $