等差数列的定义与通项公式（基础巩固篇）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教 A 版选择性必修二第四章：数列 课时 3等差数列的定义与通项公式 （基础巩固篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东潍坊高三期中考试题）：已知数列满足，，则的值为（） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 2.（2024·河北石家庄高三月考）：下列数列中，是等差数列的是（） A. B. C. D. 3.（2023·河南洛阳高三一模）：已知等差数列中，，，则公差为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.（2024·湖北黄冈高三调考题）：已知等差数列的通项公式为，则其首项和公差分别为（） A. 1，4 B. 3，4 C. 1，3 D. 3，3 5.（2023·广东东莞高三质检题）：已知是和的等差中项，则的值为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 6.（2024·湖南长沙高三联考）：等差数列中，，，则等于（） A. 42 B. 45 C. 48 D. 51 7.（2023·江西南昌高三月考）：已知等差数列满足，，则等于（） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8.（2024·安徽合肥高三一模）：已知等差数列中，，（），则的值为（） A. B. C. D. 0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·江苏苏州高三期中考试题）：下列关于等差数列的说法正确的是（） A. 若（为常数），则是等差数列 B. 等差数列的通项公式是关于的一次函数 C. 若是等差数列，则也是等差数列 D. 若三个数成等差数列，则 10.（2024·福建泉州高三调考题）：已知等差数列的首项，公差，则下列结论正确的是（） A. B. 数列的前5项和为25 C. 若，则 D. 成等差数列 11.（2023·浙江温州高三质检题）：已知数列满足，，则下列说法错误的是（） A. 是等差数列 B. C. 数列的通项公式为 D. 成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·四川成都高三月考）：已知等差数列中，，，则______。 13.（2023·陕西西安高三一模）：已知等差数列中，，，则______。 14.（2024·辽宁沈阳高三联考）：已知成等差数列，则的值为______。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·山西太原高三期中考试题）：已知数列满足，，求证：是等差数列，并求其通项公式。 16.（15分）（2024·广西南宁高三调考题）：已知等差数列中，，。 （1）求数列的通项公式； （2）判断是否为该数列中的项，若是，求出其项数；若不是，说明理由。 17.（15分）（2023·云南昆明高三一模）：已知三个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这三个数。 18.（17分）（2024·贵州贵阳高三联考）：已知数列的通项公式为（为常数）。 （1）求证：是等差数列； （2）若，，求的值及数列的通项公式。 19.（17分）（2023·甘肃兰州高三调考题）：已知等差数列中，，，求数列的通项公式。 原卷版答案 一、单选题 1. C 2. C 3. B 4. A 5. B 6. A 7. C 8. D 二、多选题 9. ACD 10. ACD 11. ABD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15. 解答： 由（常数），根据等差数列的定义，可知是等差数列。 该数列首项，公差， 通项公式为。 16. 解答： （1）设等差数列的公差为，则 解得 通项公式为。 （2）令，解得 故是该数列的第项。 17. 解答： 设这三个数分别为，由题意得 由第一式得，解得 代入第二式得，即，解得 当时，三个数为；当时，三个数为 综上，这三个数为或。 18. 解答： （1）证明：对任意， 因为是常数，所以是等差数列。 （2）由得 两式相减得，解得 代入得 故数列的通项公式为。 19. 解答： 因为是等差数列，所以 由得，解得 设公差为，则 代入得 即，解得， 当时，，通项公式为 当时，，通项公式为 综上，数列的通项公式为或。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教 A 版选择性必修二第四章：数列 课时 3等差数列的定义与通项公式 （基础巩固篇）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东潍坊高三期中考试题）：已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 13 答案：C 解析：由题意知是公差的等差数列，通项公式为，则。 2.（2024·河北石家庄高三月考）：下列数列中，是等差数列的是（） A. B. C. D. 答案：C 解析：等差数列的通项公式形如（为常数）。选项C中，满足，是公差为3的等差数列；其余选项均不满足等差数列定义。 3.（2023·河南洛阳高三一模）：已知等差数列中，，，则公差为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：B 解析：根据等差数列通项公式，，即，解得。 4.（2024·湖北黄冈高三调考题）：已知等差数列的通项公式为，则其首项和公差分别为（） A. 1，4 B. 3，4 C. 1，3 D. 3，3 答案：A 解析：当时，；由，得公差。 5.（2023·广东东莞高三质检题）：已知是和的等差中项，则的值为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 答案：B 解析：根据等差中项的性质，，解得。 6.（2024·湖南长沙高三联考）：等差数列中，，，则等于（） A. 42 B. 45 C. 48 D. 51 答案：A 解析：设公差为，，解得；。 7.（2023·江西南昌高三月考）：已知等差数列满足，，则等于（） A. 15 B. 16 C. 17 D. 答案：C 解析：设公差为，，解得；。 8.（2024·安徽合肥高三一模）：已知等差数列中，，（），则的值为（） A. B. C. D. 0 答案：D 解析：设公差为，，得；；。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·江苏苏州高三期中考试题）：下列关于等差数列的说法正确的是（） A. 若（为常数），则是等差数列 B. 等差数列的通项公式是关于的一次函数 C. 若是等差数列，则也是等差数列 D. 若三个数成等差数列，则 答案：ACD 解析：选项B错误，当公差时，通项公式为常数函数，不是一次函数；其余选项均符合等差数列的定义和性质。 10.（2024·福建泉州高三调考题）：已知等差数列的首项，公差，则下列结论正确的是（） A. B. 数列的前5项和为25 C. 若，则 D. 成等差数列 答案：ACD 解析：，，A正确；前5项和，但选项B不属于本课时核心考点（本课时聚焦定义与通项）；，解得，C正确；，公差为4，成等差数列，D正确。 11.（2023·浙江温州高三质检题）：已知数列满足，，则下列说法错误的是（） A. 是等差数列 B. C. 数列的通项公式为 D. 成等差数列 答案：ABD 解析：，不是常数，不是等差数列，A错误；由累加法得，C正确；，B错误；，，不成等差数列，D错误。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·四川成都高三月考）：已知等差数列中，，，则______。 答案： 解析：。 13.（2023·陕西西安高三一模）：已知等差数列中，，，则______。 答案： 解析：，。 14.（2024·辽宁沈阳高三联考）：已知成等差数列，则的值为______。 答案： 解析：根据等差中项性质，，解得。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·山西太原高三期中考试题）：已知数列满足，，求证：是等差数列，并求其通项公式。 解答： 由（常数），根据等差数列的定义，可知是等差数列。 该数列首项，公差， 通项公式为。 16.（15分）（2024·广西南宁高三调考题）：已知等差数列中，，。 （1）求数列的通项公式； （2）判断是否为该数列中的项，若是，求出其项数；若不是，说明理由。 解答： （1）设等差数列的公差为，则 解得 通项公式为。 （2）令，解得 故是该数列的第项。 17.（15分）（2023·云南昆明高三一模）：已知三个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这三个数。 解答： 设这三个数分别为，由题意得 由第一式得，解得 代入第二式得，即，解得 当时，三个数为；当时，三个数为 综上，这三个数为或。 18.（17分）（2024·贵州贵阳高三联考）：已知数列的通项公式为（为常数）。 （1）求证：是等差数列； （2）若，，求的值及数列的通项公式。 解答： （1）证明：对任意， 因为是常数，所以是等差数列。 （2）由得 两式相减得，解得 代入得 故数列的通项公式为。 19.（17分）（2023·甘肃兰州高三调考题）：已知等差数列中，，，求数列的通项公式。 解答： 因为是等差数列，所以 由得，解得 设公差为，则 代入得 即，解得， 当时，，通项公式为 当时，，通项公式为 综上，数列的通项公式为或。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $