期末复习专题二：应用与解决问题·分数、比、百分数的应用【10个方向42个考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末复习专题二：应用与解决问题·分数、比、百分数的应用 【10个方向42个考点】 专题名称 期末复习专题二：应用与解决问题·分数、比、百分数的应用 专题内容 本专题以应用与解决问题为主，其中包括分数和百分数的应用、比的应用等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 10个方向42个考点 【预测命题方向一】分数（百分数）乘法基本应用题：六种问题 【考点01】单位“1”与等量关系式 6 【考点02】求一个数的几分之几是多少 7 【考点03】连续求一个数的几分之几是多少 8 【考点04】已知单位“1”，求比一个数的几分之几多或少多少，是多少 9 【考点05】已知单位“1”，求比一个数多或少几分之几，是多少 11 【考点06】分率变化问题 12 【考点07】分量和分率的区分问题 14 【预测命题方向二】分数（百分数）除法基本应用题：十种问题 【考点01】求一个数是（占）另一个数的几分之几 17 【考点02】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几 17 【考点03】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 19 【考点04】已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） 20 【考点05】分数乘除混合应用题 21 【考点06】分量和分率区分问题 22 【考点07】分数除法中的归一问题 23 【考点08】已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数 24 【考点09】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数 26 【考点10】分数除法中的和差倍问题 28 【预测命题方向三】典型问题·量率对应问题 【考点01】七种常考量率对应问题 31 【考点02】与“比”结合的量率对应问题 38 【考点03】与“百分数”结合的量率对应问题 39 【预测命题方向四】典型问题·单位“1”转化问题 【考点01】分数（百分数）乘法中的单位“1”转化问题 42 【考点02】分数除法中的单位“1”转化问题 45 【预测命题方向五】典型问题·求比问题 【考点01】在实际情境中转化比与分数，求比 50 【考点02】在实际问题中求比 57 【预测命题方向六】典型问题·按比例分配问题 【考点01】三种基础按比例分配问题 65 【考点02】和比问题进阶 68 【考点03】和比问题拓展 73 【预测命题方向七】典型问题·不变量问题 【考点01】三种基本不变量问题 77 【考点02】综合性不变量问题 79 【预测命题方向八】典型问题·百分数典型问题一 【考点01】百分率问题 81 【考点02】变化幅度问题 83 【考点03】计算盈利或亏损 84 【考点04】浓度问题 86 【预测命题方向九】典型问题·百分数典型问题二 【考点01】折扣和成数的意义及多类型数转化 90 【考点02】折扣问题 90 【考点03】促销问题 93 【考点04】成数问题 95 【考点05】纳税问题 96 【考点06】储蓄问题 98 【预测命题方向十】典型问题·工程问题 【预测命题方向一】分数（百分数）乘法基本应用题：六种问题 命题趋势 1. 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 寻找单位“1”。 （1）“占”、“是”、“比”的后面。 （2）在分率句中，“分率”的前面。 2. 写等量关系式。 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图。 （1）两个量的关系：画两条线段图； （2）部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 求一个数的几分之几是多少的解题方法。 求一个数的几分之几是多少，单位“1”的量×对应的分率=对应分量 5. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法。 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量）。 6. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法。 方法一：单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； 方法二：单位“1”的量×1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量。 考察形式 应用 动态评价 【考点01】单位“1”与等量关系式 【典型例题】 1. “松树棵数相当于柏树棵数的”是把( )看作单位“1”；“九月份用水量比八月份节约了”中，单位“1”是( )。 【答案】 柏树棵数 八月份用水量 【分析】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”，进行解答即可。 【详解】“松树棵数相当于柏树棵数的”是把（柏树棵数）看作单位“1”；“九月份用水量比八月份节约了”中，单位“1”是（八月份用水量）。 【点睛】掌握判断单位“1”的方法是解题的关键。 2. 红花朵数是黄花朵数的，把( )的朵数看作单位“1”，等量关系式是( )。 【答案】 黄花 黄花的朵数×＝红花的朵数 【分析】主要考虑两个量之间单位“1”的确定：找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、等于、是、占…… 通用关系式：（分率和具体数量要对应）单位“1”的量×分率＝具体数量，根据“红花朵数是黄花朵数的”找出单位“1”，再进一步写出对应的等量关系即可。 【详解】黄花的朵数×＝红花的朵数 红花朵数是黄花朵数的，把黄花的朵数看作单位“1”，等量关系式是黄花的朵数×＝红花的朵数。 【对应练习】 1. “女生人数相当于男生人数的”是把( )看作单位“1”；“9月的用水量比8月节约了”，9月的用水量是8月的。 【答案】男生人数； 【分析】一般把“的”字之前的物体看作单位“1”，即把谁平均分成若干份谁就是单位“1”；把8月份的用水量看作单位“1”，则9月的用水量是8月的1－＝，据此填空即可。 【详解】1－＝ 则“女生人数相当于男生人数的”是把男生人数看作单位“1”；“9月的用水量比8月节约了”，9月的用水量是8月的。 【点睛】本题考查单位“1”的确定，明确把谁平均分成若干份谁就是单位“1”是解题的关键。 2. “小强的身高是m，比妈妈的身高矮”。这句话中把( )看作单位“1”，数量关系式是( )。 【答案】 妈妈的身高 妈妈的身高×（1－）＝小强的身高 【分析】确定单位“1”，找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、等于、是、占……；将妈妈身高看作单位“1”，小强身高是妈妈的（1－），根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，写出数量关系式。 【详解】“小强的身高是m，比妈妈的身高矮”。这句话中把妈妈的身高看作单位“1”，数量关系式是妈妈的身高×（1－）＝小强的身高，或小强的身高÷（1－）＝妈妈的身高。 【点睛】关键是掌握确定单位“1”的方法，理解分数乘除法的意义。 【考点02】求一个数的几分之几是多少 【典型例题】 青奥会在江苏省南京市举办，青奥村的食堂运来0.54吨大米，两天用去了总量的，用去了多少吨？ 【答案】0.24吨 【分析】把大米的总吨数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用大米的总吨数乘两天用去了总量的分率，即可求出用去了多少吨。 【详解】（吨） 答：用去了0.24吨。 【对应练习】 新华小学报名兴趣小组的人数占学校总人数的，其中有的学生报名书法兴趣小组。报名书法兴趣小组的人数占学校总人数的几分之几？ 【答案】 【分析】从“其中有的学生报名书法兴趣小组”可知，以兴趣小组的人数为单位“1”，兴趣小组的人数占学校总人数的，书法兴趣小组的人数占兴趣小组的人数的，也就是求的是多少，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用×即可求解。 【详解】 答：报名书法兴趣小组的人数占学校总人数的。 【考点03】连续求一个数的几分之几是多少 【典型例题】 脱贫致富，我们在路上。李爷爷的养殖场今年养鸭12000只，养的鸡的只数是鸭的，养的鹅的只数是鸡的，李爷爷的养殖场今年养鹅多少只？（先画线段图，再列式解答。） 【答案】图见详解 3200只 【分析】把鸭的只数看作单位“1”，画一条线段表示鸭的只数，把它平均分成5份，鸡的只数是鸭的，表示鸡的线段是4份，鸡的只数是鸭的，根据分数乘法的意义，用鸭的只数乘，求出鸡的只数，把鸡的只数看作单位“1”，平均分成3份，鹅的只数占1份，养的鹅的只数是鸡的，根据分数乘法的意义，再用鸡的只数乘即可求出鹅的只数。 【详解】如下图： 12000×× ＝9600× ＝3200（只） 答：李爷爷的养殖场今年养鹅3200只。 【对应练习】 实验小学科技节一共收到132件科技作品，其中有的作品获奖，一等奖占获奖总数的，获一等奖的作品有多少件？ 【答案】33件 【分析】先把科技作品的总件数看作单位“1”，获奖作品占总件数的，单位“1”已知，用总件数乘，求出获奖作品的件数； 再把获奖作品的件数看作单位“1”，一等奖占获奖总数的，单位“1”已知，用获奖作品的件数乘，求出获一等奖作品的件数。 【详解】132×× ＝110× ＝33（件） 答：获一等奖的作品有33件。 【考点04】已知单位“1”，求比一个数的几分之几多或少多少，是多少 【典型例题】 1. 月亮乡去年退耕还林4.5公顷，今年退耕还林比去年的还多2公顷。月亮乡今年退耕还林多少公顷？ 【答案】5.3公顷 【分析】根据题意可知，把去年退耕还林的公顷数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用4.5×即可求出去年退耕还林的公顷数的是多少，再加上2公顷即可求出月亮乡今年退耕还林的公顷数。据此解答。 【详解】4.5×＋2 ＝3.3＋2 ＝5.3（公顷） 答：月亮乡今年退耕还林5.3公顷。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 2. 疫情期间，大华学校储备了200支测温枪，明星学校的储备量比大华学校的少50支。明星学校储备了多少支测温枪？ 【答案】110支 【分析】把大华学校的测温枪数量看作单位“1”，明星学校的储备量比大华学校的少50支，单位“1”已知，用大华学校的测温枪数量乘，再减去50，即可求出明星学校储备的测温枪数量。 【详解】200×－50 ＝160－50 ＝110（支） 答：明星学校储备了110支测温枪。 【点睛】本题考查分数乘法的意义及应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【对应练习】 武汉有“一江三镇”，这里一座座跨江大桥凌空而起。汉江湾桥是武汉首座矮塔单索面斜拉桥，也是汉江上最宽的桥梁，桥面宽度达52.5米。它的主桥长比武汉长江大桥主桥全长的多4米，武汉长江大桥主桥全长1670米，汉江湾桥主桥全长多少米？ 【答案】672米 【分析】把武汉长江大桥主桥的全长看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用1670×即可求出武汉长江大桥主桥全长的是多少，再加上4米即可求出汉江湾桥主桥的全长。 【详解】1670×＋4 ＝668＋4 ＝672（米） 答：汉江湾桥主桥全长672米。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【考点05】已知单位“1”，求比一个数多或少几分之几，是多少 【典型例题】 1. 一个饲养场养鸡2000只，养的鸭比鸡多，养的鸭有多少只？ 【答案】2400只 【分析】根据题意，把鸡的只数看作单位“1”，养的鸭比鸡多，则鸭的只数是鸡的（1＋），单位“1”已知，用鸡的只数乘（1＋），求出鸭的只数。 【详解】2000×（1＋） ＝2000× ＝2400（只） 答：养的鸭有2400只。 2. 菜场运来白菜750千克，运来的萝卜比白菜少，运来萝卜多少千克？ 【答案】300千克 【分析】把白菜的质量看作单位“1”，已知运来的萝卜比白菜少，那么运来的萝卜就是白菜的（1－），用白菜的质量乘（1－）即可解答。 【详解】750×（1－） ＝750× ＝300（千克） 答：运来的萝卜有300千克。 【对应练习】 1. 一个捕鱼队九月份捕鱼63吨，十月份比九月份多捕。十月份捕鱼多少吨？ 【答案】81吨 【分析】把九月份捕鱼的吨数看作单位“1”，已知十月份比九月份多捕，那么九月份捕鱼吨数的（1＋）就是十月份捕鱼的吨数，用九月份捕鱼的吨数乘（1＋）即可求出十月份捕鱼的吨数。 【详解】63×（1＋） ＝63× ＝81（吨） 答：十月份捕鱼81吨。 2. 某小学五年级有学生288人，四年级的人数比五年级少，四年级有多少人？ 【答案】224人 【分析】根据题意，把五年级人数看作单位“1”，四年级人数是五年级人数的（1－），据此根据求一个数的几分之几用乘法，计算出四年级人数即可。 【详解】288×（1－） ＝288× ＝224（人） 答：四年级有224人。 【考点06】分率变化问题 【典型例题】 2025年植树节，学校领回了600棵树苗，分给了六年级全部树苗的，余下树苗分给了五年级，五年级分得了多少棵树苗？ 【答案】360棵 【分析】把全部树苗的数量看作单位“1”，分给了六年级全部树苗的，则分给五年级全部树苗的（1－），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。 【详解】600×（1－） ＝600× ＝360（棵） 答：五年级分得了360棵树苗。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【对应练习】 1. 在2022年北京冬奥会期间，某商场进了880个“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，其余的在第二天和第三天卖完，该商场第二天和第三天共卖了多少个“冰墩墩”吉祥物玩偶？ 【答案】660个 【分析】把这批吉祥物玩偶的总数量看作单位“1”，已知第一天卖了这批玩偶的，其余的在第二天和第三天卖完，则第二天和第三天共卖了这批玩偶的；根据分数乘法的意义，用即可求出第二天和第三天共卖了多少个“冰墩墩”吉祥物玩偶。 【详解】 ＝ ＝（个） 答：商场第二天和第三天共卖了660个“冰墩墩”吉祥物玩偶。 【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 2. 一堆西瓜共2100千克，第一天运走了全部的，第二天运走了全部的，两天共运走了多少千克？ 【答案】1225千克 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法，用这堆西瓜的总重量乘，求出第一天运走了多少千克，用这堆西瓜的总重量乘，求出第二天运走了多少千克，把两天运走的重量加起来即可得解。 【详解】2100×＋2100× ＝525＋700 ＝1225（千克） 答：两天共运走1225千克。 【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法。 【考点07】分量和分率的区分问题 【典型例题】 一根电线长26.4米，第一次用去，第二次用去米，两次一共用去多少米？ 解析： 26.4×＋ ＝6.6＋0.5 ＝7.1（米） 答：两次一共用去7.1米。 【对应练习】 1．「总量确定」两根长5米长的绳子，第一根用去米，第二根用去它的，两根绳子剩下部分比较( )。 A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．无法比较 【答案】A 【分析】由题意可知，第一根绳子用去米，则剩下米，第二根用去它的，是把全长看作单位“1”，剩下的是全长的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用得到剩下的长度，再比较两根绳子剩下部分的长短即可。 【详解】（米） （米） 两根长5米长的绳子，第一根用去米，第二根用去它的，两根绳子剩下部分比较第一根长。 故答案为：A 2．「总量不确定」两根同样长的绳子，第一根用去了它的，第二根用去了米，它们余下的部分( )。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法比较 【答案】D 【分析】将绳子长度看作单位“1”，绳子长度×用去的对应分率＝用去的长度，用去的越短余下的越长，假设两根绳子都是1米、2米、0.6米，分别计算用去的长度即可。 【详解】假设两根绳子都是1米。 第一根用去了：1×＝（米） 第二根用去了米，它们余下的部分同样长。 假设两根绳子都是2米。 第一根用去了：2×＝（米） ＞，第二根余下的部分长。 假设两根绳子都是0.6米。 第一根用去了：0.6×＝×＝（米） ＜，第一根余下的部分长。 因此它们余下的部分无法比较。 故答案为：D 【预测命题方向二】分数（百分数）除法基本应用题：十种问题 命题趋势 1. 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 求一个数是（占）另一个数的几分之几。 求一个数是（占）另一个数的几分之几，直接用除法计算，即一个数÷另一个数（单位“1”）=分率。 2. 已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几。 求一个数比另一个数多或少几分之几，口诀是（“作差除（以）比后”）。 3. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 单位“1”未知，用除法，分量÷分率=单位“1”。 4. 已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） 分数连除应用一般在题目中会有两个及以上单位“1”，且都未知，要求我们找准不同分量对应的分率，进而求得最终结果。 5. 分数乘除混合应用题。 解题关键是找出单位“1”，分清单位“1”是否已知，如果单位“1”已知，用分数乘法计算，如果单位“1”未知，用分数除法计算。 6. 分量和分率区分问题。 （1）求平均每份是多少，即总数÷份数=每份数量。 （2）求每份占几分之几，即把总数看作单位“1”，用单位“1”÷份数=几分之几。 7. 已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数。 （1）分量÷（1+分率）=单位“1”；（2）分量÷（1－分率）=单位“1”。 8. 已知两个量的和或差，其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量（分数除法中的和差倍问题）。 (1)设其中一个未知量为x，用含有x的式子表示另一个未知量； (2)根据“一个数±另一个数=和(差)”列出方程； (3)求出x的值，并根据两个数的倍数关系求出另一个数。 考察形式 应用 动态评价 【考点01】求一个数是（占）另一个数的几分之几 【典型例题】 小红有故事书120本，有文艺书180本，小红故事书的本数是文艺书的几分之几？ 【答案】 【分析】A是B的几分之几的计算方法：A÷B＝，结果化为最简分数，故事书占文艺书本数的分率＝故事书的本数÷文艺书的本数，据此解答。 【详解】120÷180＝ 答：小红故事书的本数是文艺书的。 【点睛】掌握一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。 【对应练习】 鹰的视力非常强大。鹰眼每立方厘米有视觉细胞150万个，人眼每立方厘米有视觉细20万个，人眼视觉细胞的数量相当于鹰眼的几分之几？ 【答案】 【分析】求人眼视觉细胞的数量相当于鹰眼的几分之几，用人眼每立方厘米视觉细胞的数量除以鹰眼每立方厘米视觉细胞的数量即可。 【详解】20÷150＝ 答：人眼视觉细胞的数量相当于鹰眼的。 【点睛】本题考查分数与除法的关系，明确求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，计算结果能约分的要约成最简分数。 【考点02】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几 【典型例题】 1. 山前村计划造林200公顷，实际造林250公顷，实际造林增加了几分之几？ 【答案】 【分析】）A比B多几分之几的计算方法：（A－B）÷B，据此计算。 【详解】（250－200）÷200 ＝50÷200 ＝ 答：实际造林增加了。 【点睛】实际造林面积比计划造林面积多几分之几，把计划造林面积看作标准量。 2. 17.5吨比20吨少几分之几？ 【答案】少 【详解】试题分析：先求出17.5吨比20吨少多少吨，然后用少的重量除以20吨即可。 解：（20﹣17.5）÷20 =2.5÷20 = 答：少 本题属于基本的分数除法应用题：求一个数是另一个数的几分之几，用除法求解。 【对应练习】 1. 某工厂计划生产2000双鞋子，实际生产了2400双，实际比计划多生产几分之几？ 【答案】（2400－2000）÷2000 【分析】由题意知：以计划生产量为单位“1”，儿童实际生产的2400双减计划生产的2000双，再除以2000，即得实际比计划多生产几分之几。据此解答。 【详解】（2400－2000）÷2000 ＝400÷2000 ＝ 答：实际比计划多生产。 【点睛】找准单位“1”，用增产的数量除以计划生产量是解答本题的关键。 2. 学校食堂有大米60千克，面粉45千克，面粉比大米少几分之几？ 【答案】 【分析】用面粉与大米的质量差除以大米的质量即可。 【详解】（60－45）÷60 ＝15÷60 ＝； 答：面粉比大米少。 【点睛】求一个数比另一个数多（少）几分之几，用两个数的差除以另一个数即可。 【考点03】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题】 甲汽车每小时行60千米，是乙汽车速度的，乙汽车每小时行多少千米？ 【答案】75千米 【分析】已知甲汽车每小时行60千米，是乙汽车速度的，把乙汽车的速度看作单位“1”，单位“1”未知，用甲汽车的速度除以，即是乙汽车的速度。 【详解】60÷ ＝60× ＝75（千米/小时） 答：乙汽车每小时行75千米。 【对应练习】 一头小牛早上喝了3升水，是全天饮水量的，这头小牛一天喝多少升水？ 【答案】7升 【分析】把小牛全天饮水量看作单位“1”，则全天饮水量的是3升，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。 【详解】 （升） 答：这头小牛一天喝7升水。 【考点04】已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） 【典型例题】 朝晖小学生物小组的同学收集标本，收集到的蝴蝶是蜻蜓的，蜻蜓是甲壳虫的，蝴蝶有12只，甲壳虫有多少只？ 【答案】72只 【分析】把收集到蜻蜓标本的个数看作单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法。”，用收集到蝴蝶标本的个数÷＝收集到蜻蜓标本的个数，求出收集到蜻蜓标本的个数，然后再把收集到甲壳虫标本的个数看作单位 “1”，用收集到蜻蜓标本的个数÷＝收集到甲壳虫标本的个数，即可求出甲壳虫标本有多少只。 【详解】由分析可得： ＝ ＝ ＝（只） 答：甲壳虫有72只。 【点睛】本题考查分数除法的实际应用，关键是找准单位“1”。 【对应练习】 水果店运来一批水果，苹果的重量是梨的，梨的重量相当于香蕉的，运来苹果135吨，运来香蕉多少吨？ 【答案】270吨 【分析】把梨的重量看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用苹果的重量除以即可求出梨的重量；再把香蕉的重量看作单位“1”，用梨的重量除以即可求出香蕉的重量。 【详解】135÷÷ ＝135×× ＝216× ＝270（吨） 答：运来香蕉270吨。 【点睛】本题考查已知一个数的几分之几是多少，求这个数，明确用除法是解题的关键。 【考点05】分数乘除混合应用题 【典型例题】 学校美术组有48人，合唱组的人数是美术组的，又是书法组的，书法组有多少人？ 【答案】54人 【分析】先把美术组的人数看作单位“1”，合唱组的人数是美术组的，单位“1”已知，用美术组人数乘，求出合唱组的人数； 再把书法组的人数看作单位“1”，合唱组的人数又是书法组的，单位“1”未知，用合唱组人数除以，求出书法组的人数。 【详解】48×÷ ＝36÷ ＝36× ＝54（人） 答：书法组有54人。 【对应练习】 师徒二人共同生产一批零件，师傅每小时生产128个，占零件总数的。完成任务时，徒弟生产的零件个数占零件总数的，徒弟生产了多少个零件？ 【答案】960个 【分析】将零件总数看作单位“1”，师傅每小时生产个数÷对应分率＝零件总数，零件总数×徒弟对应分率＝徒弟生产个数，据此列式解答。 【详解】128÷× ＝128×20× ＝2560× ＝960（个） 答：徒弟生产了960个零件。 【考点06】分量和分率区分问题 【典型例题】 一袋糖重千克，平均分成4份，每份是这袋糖重的，每份糖重( )千克。 【答案】； 【分析】把这袋糖的重量看作单位“1”，平均分成4份，则每份是这袋糖重的；用糖的重量除以份数即可求出每份糖重多少千克。 【详解】 （千克） 所以每份是这袋糖重的，每份糖重千克。 【对应练习】 把米的丝带平均截成3段，每段是米的( )，每段长( )米。 【答案】 /0.3 【分析】把这条丝带的全长看作单位“1”，把“1”平均截成3段，用1除以3，求出每段是全长的几分之几，计算结果不带单位； 把米的丝带平均截成3段，用这条丝带的全长除以3，求出每段的长度，计算结果带单位。 【详解】1÷3＝ ÷3 ＝× ＝（米） 每段是米的，每段长米。 【考点07】分数除法中的归一问题 【典型例题】 一种铁丝米重千克，这种铁丝1米重( )千克，1千克长( )米。 【答案】 /0.5 2 【分析】铁丝重量÷相应长度＝1米重量；铁丝长度÷相应重量＝1千克长度，据此列式计算。 【详解】÷＝×2＝（千克） ÷＝×4＝2（米） 这种铁丝1米重千克，1千克长2米。 【对应练习】 王阿姨小时织了米长的布，照这样计算，王阿姨1小时织布( )米，织1米长的布需要( )小时。 【答案】 /0.8 【分析】用小时织的米数÷用的时间＝1小时织布的米数；用织米布的时间÷布的长度＝织1米长的布需要的时间，据此解答。 【详解】÷ ＝× ＝（米） ÷ ＝× ＝（小时） 王阿姨1小时织布米，织1米长的布需要小时。 【考点08】已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数 【典型例题】 1. 红星小学六年级有48人参加学校社团活动，比五年级多，六年级参加社团活动的人数比五年级多多少人？ 【答案】12人 【分析】将五年级参加社团活动的人数看作单位“1”，六年级比五年级多，则六年级参加社团活动的人数是五年级的（1＋）。单位“1”未知，将六年级人数除以对应的分率，求出五年级参加社团的人数。将六年级参加社团的人数减去五年级的，即可得解。 【详解】48÷（1＋） ＝48÷ ＝48× ＝36（人） 48－36＝12（人） 答：六年级参加社团活动的人数比五年级多12人。 2. 一列高铁的速度是220千米/时，比一架直升机的速度慢，这架直升机的速度是多少？ 【答案】300千米/时 【分析】把一架直升机的速度看作单位“1”，一列高铁的速度是一架直升机的速度的（1－），根据分数除法的意义，用220÷（1－）即可求出这架直升机的速度。 【详解】220÷（1－） ＝220÷ ＝220× ＝300（千米/时） 答：这架直升机的速度是300千米/时。 【对应练习】 1. 植树节到了，星空小学的同学们计划到文化公园开展“播种绿色，播撒文明”植树活动。六（1）班种了60棵小树苗，比六（2）班多种了，六（2）班种了多少棵小树苗？ 【答案】36棵 【分析】将六（2）班种的棵数看成单位“1”，那么六（1）班种的60棵是六（2）班的（1＋），求单位“1”用除法计算，则用60÷（1＋）即可求出六（2）班种了多少棵小树苗。 【详解】60÷（1＋） ＝60÷ ＝60× ＝36（棵） 答：六（2）班种了36棵小树苗。 2. 保护家园，人人有责。前进小学开展“做讲卫生小卫士”活动，六年级男同学收废纸20千克，比女同学少收。六年级同学一共收废纸多少千克？ 【答案】45千克 【分析】把六年级女同学收废纸的质量看作单位“1”，六年级男同学比女同学少收，则男同学收废纸的质量是女同学的（1－），单位“1”未知，用男同学收废纸的质量除以（1－），即可求出女同学收废纸的质量，再加上男同学收废纸的质量，即是六年级同学一共收废纸的质量。 【详解】女同学收废纸： 20÷（1－） ＝20÷ ＝20× ＝25（千克） 一共：20＋25＝45（千克） 答：六年级同学一共收废纸45千克。 【考点09】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数 【典型例题】 1. 学校舞蹈队有48人，比合唱队人数的多3人，合唱队有多少人？ 【答案】（48－3） 【分析】由“比合唱队人数的多3人”可知，合唱队的人数是单位“1”，求单位“1”用除法计算，即已知量÷已知量所对应的分率＝单位“1”的量。（48－3）人所对应的分率是，二者相除可求出合唱队的人数。 【详解】（48－3） ＝45×3 ＝135（人） 答：合唱队有135人。 【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”未知，用除法解答。列除法算式时要注意量率对应。 2. 某小学在6月5日“世界环境日”这一天，举办“爱护环境，从我做起”的活动。五年级共收集塑料瓶80个，比六年级收集塑料瓶的少10个。六年级收集了多少个塑料瓶？（列方程解答） 【答案】x×－10＝80 【分析】假设六年级收集了x个塑料瓶，求一个数的几分之几是多少，用乘法，有数量关系：六年级收集塑料瓶的数量×－10＝五年级收集塑料瓶的数量，据此列出方程，解方程即可求出六年级收集了多少个塑料瓶。 【详解】解：设六年级收集了x个塑料瓶， x×－10＝80 x＝80＋10 x＝90 x＝90÷ x＝90× x＝150 答：六年级收集了150个塑料瓶。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把六年级收集塑料瓶的数量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 【对应练习】 1. 养殖场今年养鸡1805只，今年养的只数是去年养的只数的多5只。去年养鸡多少只？（列方程计算） 【答案】2700只 【分析】假设去年养鸡x只，根据题目中的数量关系：去年养鸡的只数×＋5＝今年养鸡的只数，据此列出方程，解方程即可求出去年养鸡多少只。 【详解】解：设去年养鸡x只， x×＋5＝1805 x＝1805－5 x＝1800 x＝1800÷ x＝1800× x＝2700 答：去年养鸡2700只。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把去年养鸡的只数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 2. 某车间加工一批零件，已经加工了510个，比计划加工的少90个。计划加工多少个零件？（列方程解） 【答案】1050个 【分析】假设计划加工x个零件，求一个数的几分之几是多少，用乘法，可列出数量关系：计划加工的零件数×－90＝已经加工的零件数，据此列出方程，解方程即可求出计划加工的零件数。 【详解】解：设计划加工x个零件， 答：计划加工1050个零件。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把计划加工的零件数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 【考点10】分数除法中的和差倍问题 【典型例题】 六年级举行篮球比赛，六（1）班全场得了48分，其中下半场得分是上半场的。六（1）班上半场和下半场各得多少分？ 【答案】上半场36分；下半场12分 【分析】可以设上半场得分为x分，则下半场得分为分，根据六（1）班全场得了48分，列方程求解。 【详解】解：设上半场得分为x分，则下半场得分为分。 下半场得分：（分） 答：六（1）班上半场得36分，下半场得12分。 【对应练习】 1. 姐妹二人做幸运星，姐姐做的颗数是妹妹的，姐妹两人一共做了72颗幸运星，姐姐做了多少颗幸运星？（用方程解决问题） 【答案】45颗 【分析】解：设妹妹做了x颗幸运星，姐姐做的颗数是妹妹的，则姐姐做了x颗幸运星；姐妹两人一共做了72颗幸运星，列方程：x＋x＝72，解方程，即可解答。 【详解】解：设妹妹做了x颗幸运星，则姐姐做了x颗幸运星。 x＋x＝72 x＝72 x＝72÷ x＝72× x＝27 姐姐：27×＝45（颗） 答：姐姐做了45颗幸运星。 2. 合唱团共有54人，其中男生人数是女生人数的。男生和女生各有多少人？（列方程解答） 【答案】男生：18人；女生：36人 【分析】设女生人数是x人，男生人数是女生人数的，则男生人数是x人；合唱团共有54人，即女生人数＋男生人数＝54人，列方程：x＋x＝54，解方程，即可解答。 【详解】解：设女生人数是x人，则男生人数是x人。 x＋x＝54 x＝54 x＝54÷ x＝54× x＝36 男生人数：36×＝18（人） 答：男生人数18人，女生人数36人。 【预测命题方向三】典型问题·量率对应问题 命题趋势 1. 期末重点考察问题，算术法、方程法、画线段图法等多方法解决问题，趋向于补充线段图，再解决问题。 2 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 分数除法应用题从解题形式上来看，一般使用两种方法解决问题。 一种是方程法，即分析已知条件，找出等量关系式，再设未知数列方程解决问题，但列方程解决分数应用题较为抽象，不易为大多数同学理解，而且步骤相对较多，容易出错；有鉴于此，我们常常采用另外一种方法，即算术法，本篇内容介绍使用量率对应法列算式解决分数除法应用题。 2. 量率对应问题。 由于分数乘法应用题的学习，我们对分量、分率、单位“1”等概念已经有了充分的认识。在分数乘法应用题中，我们已知单位“1”，使用乘法计算，而在分数除法应用题中，我们未知单位“1”，使用除法计算，其中量率对应原则便是使用算术方法解决分数除法应用题的核心，首先要明确分量和分率各自的含义，其次要分析分量和分率是否一一对应，最后用对应分量÷对应分率=单位“1”。 考察形式 应用 动态评价 【考点01】七种常考量率对应问题 【典型例题】 1. 某修路队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修了240米。这条路全长多少米？ 【答案】320米 【分析】由题意可知，先求出两天共修全长的＋，正好对应修了240米，根据分数除法的意义，用除法解答即可。 【详解】240÷（＋） ＝240÷ ＝320（米） 答：这条路全长320米。 【点睛】本题考查分数除法，明确部分的量÷所对应的分率＝单位“1”的量是解题的关键。 2. 修路队修一段公路，第一天修了50米，第二天修了70米，两天正好修了全长的，这段路共多少米？ 【答案】280米 【分析】把这段公路的全长看作单位“1”，已知两天一共修了（50＋70）米，正好修了全长的，单位“1”未知，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用两天一共修的长度除以，即可求出这段公路的全长。 【详解】（50＋70）÷ ＝120÷ ＝120× ＝280（米） 答：这段路共280米。 【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 3. 新学期开学时，小明把他积蓄的用来买文具，用来买课外读物，他发现买课外读物的钱比买文具多花了20元，小明有积蓄多少钱？ 【答案】400元 【分析】把小明的积蓄看作单位“1”，买课外读物用的钱数比买文具用的钱数多占积蓄的（－），且买课外读物比买文具多花20元，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出小明的积蓄，据此解答。 【详解】20÷（－） ＝20÷ ＝20×20 ＝400（元） 答：小明有积蓄400元。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 4. 小明买了一个笔记本和一支钢笔，共花了24元，其中笔记本的价格正好是钢笔价格的，一个笔记本和一支钢笔的价格各是多少元？ 【答案】9元；15元 【分析】将钢笔的价格看成单位“1”，笔记本的价格正好是钢笔价格的，则24元对应钢笔价格的（1＋）＝，根据分数除法的意义，用24÷即可求出一支钢笔的价格；继而求出一个笔记本的价格；据此解答。 【详解】24÷（1＋） ＝24÷ ＝24× ＝15（元） 24－15＝9（元） 答：一个笔记本的价格是9元，一支钢笔的价格是15元。 【点睛】此题考查了分数除法的应用，找出与已知量对应的分率是解答此类问题的关键。 5. 鲜蜜果园的橘子树比枇杷树多120棵，已知枇杷树的棵数是橘子树的。鲜蜜果园的枇杷树有多少棵？ 【答案】80棵 【分析】把橘子树的棵数看作单位“1”，橘子树棵数的（1）是120棵，根据分数除法的意义，用120棵除以（1），就是橘子树的棵数；再根据分数乘法的意义，用橘子树的棵数乘，就是枇杷树的棵数。 【详解】120÷（1 ＝120 ＝200 ＝80（棵） 答：鲜蜜果园的枇杷树有80棵。 【点睛】此题是考查分数乘、除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率；求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。 6. 工地有一批水泥，第一天运走，第二天运走，还剩下25吨，这批水泥有多少吨？ 【答案】吨 【分析】把水泥的总量看作单位“1”，单位“1”减去前两天运走的部分占总量的分率求出剩下的部分占总量的分率，剩下的部分占总量的分率对应25吨，已知一个数的几分之几是多少，用除法计算。 【详解】1－－ ＝ ＝ 25÷ ＝25× ＝（吨） 答：这批水泥有吨。 【点睛】本题考查分数除法的实际应用，此题中求单位“1”用除法计算。 7. 修路队修一段公路，第一天修了320米，第二天修了400米，还剩下这段路的。这段公路全长多少米？ 【答案】1620米 【分析】把这段公路的全长看作单位“1”，先用加法求出两天共修的长度，两天修的占这段公路的，单位“1”未知，用两天共修的长度除以，即可求出这段公路的全长。 【详解】 （米） 答：这段公路全长1620米。 【点睛】本题考查分数除法的意义及应用，找清单位“1”，明确已知一个数的几分之几是多少， 求这个数，用除法解答。 【对应练习】 1. 小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了72页。这本书共有多少页？ 【答案】105页 【分析】把全书的总页数看作单位“1”，用＋即可求出两天一共看了全书的几分之几；根据分数除法的意义，用72÷（＋）即可求出总页数。 【详解】72÷（＋） ＝72÷ ＝72× ＝105（页） 答：这本书共有105页。 【点睛】本题考查了分数除法的计算和应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 2. 一条公路，修路队第一天修了20米，第二天修了24米，两天共修了这条公路的，这条公路全长多少米？ 【答案】99米 【分析】把这条公路的总长度看作单位“1”，把第一天和第二天修的具体长度加起来，等于（20＋24）米，对应着两天修的长度占总长度的，根据量÷对应的分率＝单位“1”，代入数据，即可求出这条公路的全长是多少米。 【详解】（20＋24）÷ ＝44÷ ＝99（米） 答：这条公路全长99米。 【点睛】本题考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 3. 李老师打一篇稿件，第一天打了这篇稿件的，第二天打了这篇稿件的，第二天比第一天多打了9页。这篇稿件一共有多少页？ 【答案】60页 【分析】将这篇稿件总页数看作单位“1”，第二天比第一天多打了这篇稿件的（－），且第二天比第一天多打了9页，第二天比第一天多打的页数÷对应分率＝总页数，据此列式解答。 【详解】9÷（－） ＝9÷ ＝60（页） 答：这篇稿件一共有60页。 【点睛】关键是确定单位“1”，部分数量÷对应分率＝整体数量。 4. 今年植树节六年级共植树280棵，男生植树棵数比女生的多10棵，六年级女生共植树多少棵？ 【答案】150棵 【分析】根据“男生植树棵数比女生的多10棵”，设六年级女生植树棵，则六年级男生植树（＋10）棵； 根据“六年级共植树280棵”可得出等量关系：六年级女生植树的棵数＋六年级男生植树的棵数＝六年级植树的总棵数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设六年级女生植树棵，则六年级男生植树（＋10）棵。 ＋＋10＝280 ＋10＝280 ＋10－10＝280－10 ＝270 ÷＝270÷ ＝270× ＝150 答：六年级女生共植树150棵。 【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 5. 仓库里篮球的个数是足球的，足球比篮球多12个，足球和篮球各有多少个？ 【答案】足球：30个；篮球：18个 【分析】将足球的个数看成单位“1”，篮球的个数是足球的，则12个对应足球个数的（1－）＝，根据分数除法的意义，用12÷即可求出足球的个数，继而求出篮球的个数；据此解答。 【详解】12÷（1－） ＝12÷ ＝12× ＝30（个） 30－12＝18（个） 答：足球有30个，篮球有18个。 【点睛】此题考查了分数除法的应用，找出与已知量对应的分率是解答此类问题的关键。 6. 果园里有一批苹果，上午运走全部的，下午运走全部的，还剩下140千克没运。这批苹果共有多少千克？ 【答案】480千克 【分析】把这批苹果的质量看作单位“1”，求这批苹果的质量；求单位“1”的量用除法解答，即已知量÷已知量所对应的分率＝单位“1”的量；140千克所对应的分率是（1－－），所以140÷（1－－）可求出这批苹果的质量。 【详解】140÷（1－－） ＝140÷（1－－） ＝140÷（－） ＝140÷ ＝140× ＝480（千克） 答：这批苹果共有480千克。 【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”未知，可以列方程解答或用除法解答，列除法算式时要注意量率对应。 7. 赵师傅安装电话，一捆电话线第一次用去了16米，第二次用去了12米，还剩下这捆电话线的。这捆电话线原来长多少米？ 【答案】70米 【分析】把这捆电话线的全长看作单位“1”，第一次、第二次各用去了16米、12米，还剩下这捆电话线的，则前两次共用去（16＋12）米占全长的（1－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出这捆电话线的全长。 【详解】（16＋12）÷（1－） ＝28÷ ＝28× ＝70（米） 答：这捆电话线原来长70米。 【考点02】与“比”结合的量率对应问题 【典型例题】 某食堂第一周用去面粉总袋数的，第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是3∶10，现在还剩50袋面粉，食堂一共有多少袋面粉？ 【答案】250袋 【分析】将面粉总袋数看作单位“1”，根据第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是3∶10，可以确定第二周用去面粉总袋数的，还剩面粉总袋数的（1－－），还剩下的袋数÷对应分率＝总袋数，据此列式解答。 【详解】50÷（1－－） ＝50÷ ＝50×5 ＝250（袋） 答：食堂一共有250袋面粉。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。 【对应练习】 一本科技书，小明第一天看了全书的，第二天又看了42页，这时已看的页数与剩下页数的比是2∶3。小明第一天看了多少页？ 【答案】70页 【分析】把这本书的页数看作单位“1”，小明第一天看了全书的，第二天又看了42页，这时看了总页数的，则42页占总页数的。根据分数除法的意义，用42页除以就是这本书的页数。再根据分数乘法的意义，用总页数乘就是第一天看的页数。 【详解】42÷× ＝42÷× ＝42÷× ＝280× ＝70（页） 答：小明第一天看了70页。 【考点03】与“百分数”结合的量率对应问题 【典型例题】 修一段公路，第一天修了全长的26%，第二天修了全长的40%，第二天比第一天多修420米，这段公路有多少米？ 【答案】3000米 【分析】用第二天修的长度占全长的百分率减去第一天修的长度占全长的百分率，求出第二天比第一天多修米数所占全长的百分率，将全长看作单位“1”，已知第二天比第一天多修米数所占全长的百分率，也知道第二天比第一天多修的具体米数，根据百分数除法的意义，用具体数值除以其所占全长的百分率，可以求出单位“1”，即公路的全长。 【详解】由分析可得： 420÷（40%26%） ＝420÷14% ＝3000（米） 答：这段公路有3000米。 【点睛】本题考查了百分数除法的应用，已知具体数值和其对应的百分率，求单位“1”用除法。 【对应练习】 1. 果园里苹果树比梨树多120棵，已知梨树的棵数是苹果树的80%。果园里苹果树和梨树分别有多少棵？ 【答案】苹果树有600棵；梨树有480棵 【分析】分析题意知：以苹果树的棵数为单位“1”，梨树的棵数是苹果树的80%，也就是梨树比苹果树少1－80%＝20%，少的20%对应的棵数是120棵。用120除以对应的百分率20%，可求得单位“1”的量，也就是苹果树的棵数，再用苹果树的棵数乘80%即是梨树的棵数。据此解答。 【详解】120÷（1－80%） ＝120÷20% ＝120÷0.2 ＝600（棵） 600×80%＝480（棵） 答：苹果树有600棵，梨树有480棵。 【点睛】本题考查了百分数除法的应用及求一个数的百分之几是多少。理解已知一个数及这个数对应的百分率，用除法计算得单位“１”的量是解答的关键。 2. 李老师看一本书，第一天看了全书的20%，第二天看了全书的25%，还剩下88页没有看，这本书共有多少页？（用方程解答） 【答案】160页 【分析】设这本书共有x页，将这本书的总页数看作单位“1”，总页数－总页数×第一天看的对应百分率－总页数×第二天看的对应百分率＝剩下的页数，据此列出方程解答即可。 【详解】解：设这本书共有x页。 x－20%x－25%x＝88 0.55x＝88 0.55x÷0.55＝88÷0.55 x＝160 答：这本书共有160页。 【点睛】关键是确定单位“1”，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 3. 雷老师开车从A城到B城，第一天行了全程的44%，第二天行了全程的，已知第二天比第一天少行了56千米。第一天行了多少千米？ 【答案】308千米 【分析】把从A城到B城的路程看作单位“1”，第二天比第一天少行了全程的（44%－），又知第二天比第一天少行了56千米，用除法计算即可得从A城到B城的路程，再乘第一天行了全程的百分率，即可得第一天行了多少千米。 【详解】56÷（44%－）×44% ＝56÷（44%－36%）×44% ＝56÷8%×44% ＝700×44% ＝308（千米） 答：第一天行了308千米。 【点睛】本题主要考查了分数百分数复合应用题，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算；已知一个数，求它的百分之几是多少，用乘法计算。 【预测命题方向四】典型问题·单位“1”转化问题 命题趋势 1. 期末难点问题，凸显综合性和分析能力。 2 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 关于单位“1”转化问题。 单位“1”作为一个抽象表示概念，在分数问题中作为基准量，如果出现动态变化时，是不能够直接使用量率对应法解决问题的，这时候，就需要根据条件动态调整单位“1”，确保分量与分率严格对应，这样的一类需要动态调整单位“1”的问题，我们把它叫做单位“1”转化问题。 2. 解题方法。 单位“1”转化问题，本质上是在量率对应问题的进基础上调整了单位“1”，因此，在分析分率条件时，比较抽象，难以理解，但是核心解题思路仍然是量率对应法，在实际解决问题时，可以多采用数形结合的方式进行理解，另外，注意抓取关键词，以作为区别普通量率对应问题的特征。 考察形式 填空、应用 动态评价 【考点01】分数（百分数）乘法中的单位“1”转化问题 【典型例题】 1. 一台电视机原价是2400元，先提价后再降价销售，现在的售价比原价高还是比原价低？ 【答案】低 【分析】根据题意，把原价看作单位“1”，则提价后的价格＝原价×（1＋），然后把提价后的价格看作单位“1”，降价后的价格＝提价后的价格×（1－），把数代入计算出降价后的价格，再与原价比较即可得出结论。 【详解】2400×（1＋） ＝2400× ＝2640（元） 2640×（1－） ＝2640× ＝2376（元） 2400＞2376，现在售价比原价低。 答：现在的售价比原价低。 2. 一本书有225页，小红第一天看了，第二天看了剩下的，第三天应从多少页看起？ 解析： 225×＝50（页） （225－50）× ＝175× ＝70（页） 50＋70＋1＝121（页） 答：第三天应从121页看起。 【对应练习】 1. 李师傅准备加工240个零件，第一天加工了30个，第二天加工了余下了，还剩下多少个零件没有加工？ 【答案】150个 【分析】由题意可知，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用零件的总个数减去第一天加工的个数，再乘即可求出第二天加工的零件个数，最后用零件的总个数分别减去第一天和第二天加工的个数即可求解。 【详解】（240－30）× ＝210× ＝60（个） 240－30－60 ＝210－60 ＝150（个） 答：还剩下150个零件没有加工。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 2. 水果超市运进2000千克西瓜，第一天卖出25%，第二天卖出剩余的。超市还剩下多少千克的西瓜？ 【答案】900千克 【分析】利用减法先求出超市剩下的西瓜占总量的几分之几，再利用乘法求出剩下的西瓜重量即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝（千克） 答：超市还剩下900千克的西瓜。 【点睛】本题考查了含百分数的运算，求一个数的百分之几，用乘法。 3. 工程队修一条公路，第一个月修了全长的，第二个月修了剩余部分的50%，还剩下780米没有修完，这条公路全长多少米？ 【答案】1950米 【分析】把这条公路的全长看作单位“1”，第一个月修了全长的，还剩下（1－），第二个月修了剩余部分的50%，相当于修了（1－）×50%，则还剩下这条公路的[1－－（1－）×50%）]没有修完，已知还剩下780米没有修完，根据量÷对应的分率＝单位“1”的量，代入数据即可求出这条公路全长多少米。 【详解】780÷[1－－（1－）×50%）] ＝780÷[1－0.2－（1－0.2）×0.5）] ＝780÷[0.8－0.8×0.5] ＝780÷[0.8－0.4] ＝780÷0.4 ＝1950（米） 答：这条公路全长1950米。 【点睛】此题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 【考点02】分数除法中的单位“1”转化问题 【典型例题】 1. 六年级一班的男生占全班人数的，女生比男生少( )，男生比女生多( )。 【答案】 【分析】把全班人数看作单位“1”，男生占全班人数的，女生占全班人数的，女生比男生少几分之几＝（男生占全班人数的分率－女生占全班人数的分率）÷男生占全班人数的分率，男生比女生多几分之几＝（男生占全班人数的分率－女生占全班人数的分率）÷女生占全班人数的分率。 【详解】1－＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 所以，女生比男生少，男生比女生多。 【点睛】本题考查求一个数比另一个数多或少几分之几的问题，重点是掌握求这类问题的计算公式。 2. 一段路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，这时还剩下300米没有修，这段路全长多少米？ 【答案】500米 【分析】这段路的全长＝还剩下没修的米数÷[1－第一天修了全长的几分之几－第二天修了全长的几分之几]，第二天修了全长的几分之几＝（1－第一天修了全长的几分之几）×第二天修了余下的几分之几，代入数值计算即可。 【详解】300÷[1－－（1－）×] ＝300÷[1－－×] ＝300÷[1－－] ＝300÷ ＝500（米） 答：这段路全长500米。 【点睛】找到单位“1”，根据分数除法的意义进行解答即可。 3. 耀华印刷公司某打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的，第二天打了余下稿件的，这时已打好的比余下的多4500字，求第一、二天各打了多少字？ 【答案】第一天2700字；第二天3600字 【详解】＋（1－）× ＝＋× ＝＋ ＝ 4500÷[－（1－）] ＝4500÷[－] ＝4500÷ ＝8100（字） 8100×＝2700（字） （8100－2700）× ＝5400× ＝3600（字） 答：第一天打了2700字，第二天打了3600字。 4. 家家乐水果店运进一批苹果，第一天卖出37.5%，第二天卖出剩下的，还剩下210千克苹果，第一天卖出多少千克苹果？ 【答案】180千克 【分析】把这批苹果的总质量看作单位“1”，第一天卖出37.5%，那么还剩下总质量的1－37.5%＝62.5%；已知第二天卖出剩下的，则第二卖出总质量的62.5%×＝18.75%； 根据减法的意义，用“1”减去第一天、第二天卖出总质量的百分比，求出还剩下的苹果质量占总质量的百分比；然后根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出苹果的总质量； 最后根据求一个数的百分之几是多少，用苹果的总质量乘第一天卖出的百分比，即可求出第一天卖出苹果的质量。 【详解】第二天卖出全部的： （1－37.5%）× ＝62.5%×0.3 ＝18.75% 苹果的总质量： 210÷（1－37.5%－18.75%） ＝210÷0.4375 ＝480（千克） 第一天卖出： 480×37.5% ＝480×0.375 ＝180（千克） 答：第一天卖出180千克苹果。 【点睛】本题考查百分数乘除法的意义及应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义列式计算，求出苹果的总质量是解题的关键。 【对应练习】 1. 女生人数比男生人数多，女生人数是男生人数的( )。 【答案】 【分析】把男生的人数看作单位“1”，则女生的人数为1×（1＋），然后用女生人数除以男生人数即可。 【详解】假设男生人数为1 1×（1＋） ＝1× ＝ ÷1＝ 则女生人数是男生人数的。 【点睛】本题考查求一个数是另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 2. 一本文艺书，小明第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天看了再余下的，还剩下80页。这本书共有多少页？ 【答案】300页 【分析】把全书看成“1”，那么第一天看后剩下（1一）。再把第一天看后余下的部分看成“1”，求出第二天看后余下的部分是全书的。最后把第二天看后余下的部分看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的，正好是80页，再根据分数除法的意义解答即可。 【详解】 ； （页）； 答：这本书共有300页。 【点睛】解答本题的关键是明确每天看的页数所占的分率中单位“1”不同，据此求出余下的部分占全书的分率，再根据分数除法的意义解答即可。 3. 小明假期做作业，第一天完成了全部的，第二天完成了剩余部分的，第一天比第二天多做了1页，小明还有多少页作业没做？ 【答案】4页 【分析】把全部作业作为单位“1”，第一天完成，第二天完成，多出的1页对应，用1除以的差可以求出单位“1”，再求有多少作业没做。 【详解】第二天： ＝ ＝ 总页数： ＝ ＝1×9 ＝9（页） 剩下的页数： 9×（1－） ＝ ＝ ＝4（页） 答：小明还剩4页作业没做。 4. 梅岭镇要修一条红色旅游路，第一天修了全长的25%多50米，第二天修了剩下的40%少20米，这时还剩下890米没有修，这条红色旅游路全长多少米？ 【答案】2000米 【分析】首先把第一天修完剩下的看作单位“1”，这时还剩下的（890－20）米占第一天修完剩下的（1－40%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法求出第一天修完剩下的是多少米，再把这条红色旅游路的全长看作单位“1”，第一天修完剩下的加上50米占这条公路全长的（1－25%），再根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】[（890－20）÷（1－40%）＋50]÷（1－25%） ＝[870÷60%＋50]÷75% ＝1500÷75% ＝2000（米） 答：这条红色旅游路全长2000米。 【点睛】解答本题时要注意：首先把第一天修完剩下的部分看作单位“1”，再把这条公路的全长看作单位“1”，再据题中的数量关系列式解答。 【预测命题方向五】典型问题·求比问题 命题趋势 1. 多结合不同类型问题进行综合考察，凸显综合性和开放性。 2. 设置实际情境，结合生活实际，凸显生活化。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 求比问题是设置情境，根据问题中的数量或份数，求出相对应的比，一种是直接情境求比，相对轻松，考察比的化简和基本性质；一种是在典型问题中求比，例如行程问题、工程问题、图形几何问题等，需要我们熟悉相关问题的基本解法，并分析条件，再进行最终解答。 考察形式 填空、选择 动态评价 【考点01】在实际情境中转化比与分数，求比 【典型例题】 1. 女同学人数是男同学的。 （1）男、女同学人数之比是( )，女同学和总人数之比是( )。 （2）男同学人数比女同学多，女同学人数比男同学少。 【答案】（1）5∶4；4∶9 （2）； 【分析】（1）根据“女同学人数是男同学的”，把女同学的人数看作4份，男同学的人数看作5份，总人数是4＋5＝9份，由此写出男、女同学人数之比；女同学人数和总人数之比； （2）用男同学人数的份数减去女同学人数的份数，再除以女同学人数的份数求出男同学人数比女同学多几分之几；男同学人数的份数减去女同学人数的份数，再除以男同学人数的份数求出女同学人数比男同学少几分之几。 【详解】（1）把女同学的人数看作4份，男同学的人数看作5份，则总人数是4＋5＝9份 即男、女同学人数之比是5∶4，女同学和总人数之比是4∶9。 （2）（5－4）÷4 ＝1÷4 ＝ （5－4）÷5 ＝1÷5 ＝ 则男同学人数比女同学多，女同学人数比男同学少。 【点睛】关键是把比看作份数，再根据比的意义和求比一个数多（或少）几分之几的计算方法进行解答。 2. 实验小学六（3）班男生人数比女生人数多，则男生人数是女生人数的( )，女生人数比男生人数少( )，女生人数与全班人数的比是( )。 【答案】 3∶7 【分析】把女生的人数看作单位“1”，则男生人数有1×（1＋）；然后用男生人数除以女生人数即可；先求出女生人数比男生人数少多少，再除以男生人数即可；用女生人数比上全班人数即可。 【详解】假设女生的人数为1。 1×（1＋） ＝1× ＝ ÷1＝ （－1）÷ ＝÷ ＝× ＝ 1∶（1＋） ＝1∶ ＝（1×3）∶（×3） ＝3∶7 则男生人数是女生人数的，女生人数比男生人数少，女生人数与全班人数的比是3∶7。 【点睛】本题考查比的意义和求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法计算是解题的关键。 3. 一箱苹果，吃了，已吃了的和剩下的比是( )，比值是( )。 【答案】 2∶1 2 【分析】把这箱苹果的重量看作单位“1”，吃了，还剩下这箱苹果重量的（1－），进而根据题意，进行比； 求比值，根据比值的含义，用比的前项除以后项，求出商即可。 【详解】∶（1－） ＝∶ ＝2∶1 2∶1＝2÷1＝2 【点睛】此题考查的是比的应用，解答此题的关键：判断出单位“1”，进而求出还剩下这箱苹果重量的（1－），然后结合题意，根据比的意义和比值的含义进行解答。 4. 甲数的和乙数的相等，则甲∶乙＝( )∶( )，比值是( )。 【答案】 4 5 /0.8 【分析】根据分数乘法的意义，可知甲数×＝乙数×，假设甲数×＝乙数×＝1，分别求出甲数和乙数，再写出它们的比即可。求比值用比的前项除以比的后项即可。 【详解】假设甲数×＝乙数×＝1。 甲：1÷ ＝1×4 ＝4 乙：1÷ ＝1×5 ＝5 4÷5＝ 甲∶乙＝4∶5，比值是。 【点睛】本题主要考查了比和分数的混合应用，掌握求比值和分数除法的计算方法是解答本题的关键。 5. 六（1）班男女生人数比是4∶3，则女生占全班的，男生比女生多。 【答案】； 【分析】已知男女生人数比是4∶3，可以把男生人数看作4份，女生人数看作3份； 求女生占全班的几分之几，先用男生人数加上女生人数，求出全班人数，再用女生人数除以全班人数即可； 求男生比女生多几分之几，先用减法求出多的份数，再除以女生的份数即可。 【详解】3÷（4＋3） ＝3÷7 ＝ （4－3）÷3 ＝1÷3 ＝ 女生占全班的，男生比女生多。 【点睛】关键是把男女生人数比看作份数，明确求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算；求一个数比另一个数多或少几分之几，用两数的差值除以另一个数。 【对应练习】 1. 六（1）班女生人数是男生人数的，女生人数与全班人数的比是( )，男生人数比女生人数多。 【答案】2∶5； 【分析】由题意可知，六（1）班女生人数是男生人数的，则假设女生的人数为2，男生的人数为3，则全班的人数为（2＋3），然后用女生人数比上全班人数即可；先求出男生人数比女生人数多多少人，再除以女生的人数即可。 【详解】假设女生的人数为2，男生的人数为3 2∶（2＋3） ＝2∶5 （3－2）÷2 ＝1÷2 ＝ 则女生人数与全班人数的比是2∶5，男生人数比女生人数多。 【点睛】本题考查比的意义，结合分数的意义是解题的关键。 2. 甲数比乙数多，甲数与乙数的比是( )，乙数与两数之和的比是( )。 【答案】 【分析】甲数比乙数多，乙数是单位“1”，甲数是乙数的，根据比的意思，写出甲数与乙数的比，乙数与两数之和的比，化简即可。 【详解】甲数∶乙数 甲数比乙数多，甲数与乙数的比是，乙数与两数之和的比是。 【点睛】关键是理解分数和比的意义，掌握化简比的方法。 3. 一堆大米，已经运走35吨，还剩下总数的。运走的与剩下的吨数比是( )，还剩下( )吨。 【答案】 5∶2 14 【分析】把一堆大米的总数看作单位“1”，剩下总数的，那么已经运走总数的（1－），求运走的与剩下的吨数比，即（1－）∶，化简比为5∶2； 已知大米运走35吨，占5份，用除法求出一份数，再用一份数乘剩下的份数，即可求出大米还剩下的吨数。 【详解】（1－）∶ ＝∶ ＝（×7）∶（×7） ＝5∶2 一份数：35÷5＝7（吨） 还剩下：7×2＝14（吨） 4. 有两堆小麦，甲堆小麦质量的正好等于乙堆质量的。甲乙两堆小麦质量的比是( )∶( )。 【答案】 2 3 【分析】根据“甲堆小麦质量的正好等于乙堆质量的”可得出，甲堆小麦质量×＝乙堆质量×，两个乘法算式的积相等，可以设它们积都等于1； 然后根据“因数＝积÷另一个因数”，分别求出甲堆小麦质量、乙堆小麦质量的值； 再根据比的意义，写出甲乙两堆小麦质量的比，并根据比的基本性质化简比。 【详解】设甲堆小麦质量×＝乙堆质量×＝1； 甲堆小麦质量＝1÷＝1×＝ 乙堆质量＝1÷＝1×4＝4 甲堆小麦质量∶乙堆质量 ＝∶4 ＝（×3）∶（4×3） ＝8∶12 ＝（8÷4）∶（12÷4） ＝2∶3 甲乙两堆小麦质量的比是2∶3。 【点睛】运用赋值法，根据乘法中各部分的关系计算出甲堆小麦质量、乙堆小麦质量的值，再根据比的意义和比的化简解答。 5. 篮球、排球、足球个数的比是5∶3∶2，排球占总数的( )，篮球是足球的( )，篮球比排球多( )，足球比排球少( )。 解析： 排球占总数的：3÷（5＋3＋2） ＝3÷10 ＝ 篮球是足球的：5÷2＝ 篮球比排球多：（5－3）÷3 ＝2÷3 ＝ 足球比排球少：（3－2）÷3 ＝1÷3 ＝ 【考点02】在实际问题中求比 【典型例题1】 5克的盐完全溶解在45克水中，水与盐质量的最简比是( )，盐和盐水质量的最简比是( )。 【答案】 9∶1 1∶10 【分析】根据题意可知，水有45克，盐有5克，则盐水有50克。据此直接写出水与盐、盐与盐水质量的比即可，再根据比的基本性质进行化简。 【详解】45＋5＝50（克）； 水与盐质量的比是45∶5＝（45÷5）∶（5÷5）＝9∶1； 盐和盐水质量的最简比是5∶50＝（5÷5）∶（50÷5）＝1∶10。 【点睛】本题考查比的意义和化简比。先明确盐、水以及盐水的质量是关键。 【对应练习】 20克糖和100克水调制成糖水，糖和水的质量比化简后是( )。如果再加入20克水和20克糖后，调制的糖水会更甜吗？( )（填写“会”或“不会”）。 【答案】 1∶5 会 【分析】已知糖有20克，水有100克，根据比的意义，可求出糖和水的质量比，再根据比的基本性质化成最简整数比即可。先求出糖水的含糖率是，再求出加入20克水和20克糖后的含糖率，用糖的重量除以糖水的重量，再与比较大小，即可得解。 【详解】20∶100 ＝（20÷20）∶（100÷20） ＝1∶5 20÷（20＋100） ＝20÷120 ＝ （20＋20）÷（20＋100＋20＋20） ＝40÷160 ＝ ＞ 即糖和水的质量比化简后是1∶5，调制的糖水会更甜。 【点睛】此题主要考查比的意义，根据比的基本性质化简比；比较糖水的甜度，就是比较糖占糖水的分率，用除法计算。 【典型例题2】 一件工程，甲独做8天完成，乙独做10天完成，甲和乙工作效率的比是( )。 【答案】 【分析】将工作总量看作单位“1”，工作总量÷工作时间＝工作效率，根据比的意义，写出甲乙工作效率比，化简即可。 【详解】 甲、乙的工作效率之比是。 【点睛】关键是理解比的意义，理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 【对应练习】 一项劳动任务，小明独做小时完成，小华独做小时完成，小明、小华的工作效率最简整数比是( )。 【答案】4∶3 【分析】把这项劳动任务的工作量看作“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”分别求出小明、小华的工作效率，再根据比的意义即可得出小明、小华的工作效率比。 【详解】（1÷）：（1÷）＝4∶3 所以，小明、小华的工作效率最简整数比是4∶3。 【点睛】此题考查了比的意义及化简。关键是根据工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系求出二人的工作效率。 【典型例题3】 一辆汽车时行驶20千米，这辆汽车行驶的路程和所用时间的比是( )，比值是( )。 【答案】 40∶1 40 【分析】根据比的意义，先求出这辆汽车行驶的路程和所用时间的比，然后化成最简整数比；再用前项除以后项，求出比值即可。 【详解】 40∶1＝40÷1＝40 这辆汽车行驶的路程和所用时间的比是40∶1，比值是40。 【对应练习】 1. 走完一段900米长的小路，小军用15分，小伟用20分，小军和小伟所用时间的比是( )，速度的比是( )。 【答案】 3∶4 4∶3 【分析】速度＝路程÷时间，分别求出他们的速度，再求出他们的时间比以及速度比，结果化简成最简整数比。 【详解】时间比： 15∶20 ＝（15÷5）∶（20÷5） ＝3∶4 900÷15＝60（米/分） 900÷20＝45（米/分） 60∶45 ＝（60÷15）∶（45÷15） ＝4∶3 时间比是3∶4，速度比是4∶3。 【点睛】熟练掌握利用比的基本性质进行比的化简是解题的关键。 2. 爸爸与小明跑的路程比是4∶3，爸爸与小明用的时间比是4∶5，则爸爸和小明的速度比是( )。 【答案】5∶3 【分析】根据爸爸与小明的路程比和时间比假设出他们的路程和用的时间，再根据“速度＝路程÷时间”表示出爸爸的速度和小明的速度，最后根据比的意义求出爸爸和小明速度的最简整数比，据此解答。 【详解】假设爸爸跑的路程为4s，小明跑的路程为3s，爸爸用的时间为4t，小明用的时间为5t。 爸爸的速度：4s÷4t＝v 小明的速度：3s÷5t＝v 爸爸的速度∶小明的速度 ＝v∶v ＝1∶ ＝（1×5）∶（×5） ＝5∶3 所以，爸爸和小明的速度比是5∶3。 【点睛】掌握路程、时间、速度之间的关系以及比的意义和化简方法是解答题目的关键。 【典型例题4】 1. 小正方形的边长是4厘米，大正方形的边长是6厘米，则大、小正方形的周长之比是( )，面积之比是( )。 【答案】 3∶2 9∶4 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，以及正方形的面积＝边长×边长，分别求出大正方形和小正方形的周长和面积，进而写出大正方形与小正方形周长比和面积的比，再化简即可；化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。 【详解】（6×4）∶（4×4） ＝（6×4÷8）∶（4×4÷8） ＝3∶2 （6×6）∶（4×4） ＝（6×6÷4）∶（4×4÷4） ＝9∶4 大、小正方形的周长之比是3∶2，大正方形与小正方形面积的比是9∶4。 【点睛】此题主要考查了正方形周长、面积公式的应用以及化简比的方法，要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。 2. 两个大、小正方体的棱长之比是5∶4，则表面积之比是( )，体积之比是( )。 【答案】 25∶16 125∶64 【分析】假设大正方体的棱长为5厘米，小正方体的棱长为4厘米，根据正方体的表面积公式，以及正方体的体积公式，代入数据计算，再据题意求比并化简即可。 【详解】假设大正方体的棱长为5厘米，小正方体的棱长为4厘米。 两个大、小正方体的棱长之比是5∶4，则表面积之比是25∶16，体积之比是125∶64。 【对应练习】 如图，两个正方体的棱长比是1∶2，那么它们的表面积的比是( )，体积的比是( )。 【答案】 1∶4 1∶8 【分析】假设出这两个正方体的棱长，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出它们的体积和表面积，最后根据比的意义求出它们的体积比和表面积比，据此解答。 【详解】假设这两个正方体的棱长分别为1厘米和2厘米。 表面积：1×1×6＝6（平方厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 6∶24 ＝（6÷6）∶（24÷6） ＝1∶4 体积：1×1×1＝1（立方厘米） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方厘米） 两个正方体的棱长比是1∶2，那么它们的表面积的比是1∶4，体积的比是1∶8。 【典型例题5】 1．一个减法算式中，减数是差的，被减数与差的比是( )。 【答案】7∶5 【分析】根据比与分数的关系可知：减数是差的，即减数与差的比是2∶5。再根据“被减数＝差＋减数”可知：被减数与差的比是（2＋5）∶5。 【详解】（2＋5）∶5＝7∶5 所以被减数与差的比是7∶5。 【点睛】明确比与分数的关系、减法各部分间的关系是解决此题的关键。 2．A除以B的商是1.6，A与B的最简整数比是( )。 【答案】8∶5 【分析】假设B是1，则A＝1×1.6＝1.6，再写出A与B的最简整数比即可。 【详解】假设B是1； A：1×1.6＝1.6； A∶B＝1.6∶1＝（1.6×10）∶（1×10）＝16∶10＝8∶5； A与B的最简整数比是8∶5。 【点睛】本题采用假设法，使题目具体化，简单化。 【对应练习】 一道减法算式中，如是差是减数的，那么被减数与减数的比是( )。 【答案】7∶4 【分析】把减数看作单位“1”，则差是，根据被减数＝减数＋差，则被减数是1＋＝，然后用被减数比上减数即可。 【详解】（1＋）∶1 ＝∶1 ＝（×4）∶（1×4） ＝7∶4 则被减数与减数的比是7∶4。 【点睛】本题考查比的意义，求出被减数是解题的关键。 【典型例题6】 香蕉千克数与芒果千克数的比是3∶4，单价的比是5∶4，香蕉与芒果总价的比是( )，比值是( )。 【答案】 15∶16 【分析】已知香蕉千克数与芒果千克数的比是3∶4，单价的比是5∶4，则香蕉的千克数看作3，单价看作5，芒果的千克数看作4，单价看作4，根据单价×数量＝总价，据此求出香蕉和芒果的总价，根据比的意义写出总价的比，再用香蕉与芒果总价比的前项除以后项，即可求出比值。 【详解】3×5＝15 4×4＝16 15∶16 ＝15÷16 ＝ 香蕉千克数与芒果千克数的比是3∶4，单价的比是5∶4，香蕉与芒果总价的比是15∶16，比值是。 【对应练习】 1. 学校购回的A、B两种型号电脑台数比是5：6，总价比是3：4，则A、B两种型号电脑单价比是( )。 【答案】9：10 【详解】试题分析：假设A型号的电脑台数为5，则B型号的电脑台数为6；假设A型号的电脑价格为3，则B型号的电脑价格为4，根据“总价×数量=单价”分别求出A型号和B型号的电脑单价，然后比即可． 解：（3÷5）：（4÷6）=：=9：10； 答：A、B两种型号电脑单价比是9：10． 故答案为9：10． 点评：解答此题的关键：认真分析题意，找出题中数量间的关系式，根据关系式，求出所需量，进而根据题意进行比即可． 2. 笑笑买水果，她带的钱正好可以买3千克苹果或5千克桔子。苹果和桔子的单价比是( )。 【答案】5∶3 【分析】假设笑笑带的钱数为1，根据“单价＝总价÷数量”表示出苹果的单价和桔子的单价，再根据比的意义化简求出苹果和桔子的单价比，据此解答。 【详解】假设笑笑带的钱数为1。 苹果的单价：1÷3＝ 桔子的单价：1÷5＝ ∶ ＝（×15）∶（×15） ＝5∶3 所以，苹果和桔子的单价比是5∶3。 【点睛】掌握比的意义和化简方法以及总价、单价、数量之间的关系是解答题目的关键。 【预测命题方向六】典型问题·按比例分配问题 命题趋势 1. 期末重点考察问题，考点变式较多。 2. 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 按比例分配问题的含义。 在工业生产和现实生活中，常常把一个总量按照一定的比进行分配，这种分配的方法叫作按比分配。 2. 按比例分配问题的三种基本类型。 按比例分配问题主要分为和比问题、差比问题、单一量与比的问题等三种基本问题，三种问题的解答方法大同小异，关键在于分析已知条件，判断不同题型，再根据方法解答。 3. 按比例分配问题常用的两种解答方法。 一是平均分法，即把比看作份数之比，先求出总份数，然后求出每份的数量(总数量÷总份数)，再求出各部分对应的具体数量(每份的数量×各部分对应的份数)。 二是转化法，即把比转化为分数，先求出各部分的量占总量的几分之几，再求出各部分对应的具体数量，也就是把问题转化为求一个数的几分之几是多少，用分数乘法解决。 考察形式 应用 动态评价 【考点01】三种基础按比例分配问题 【典型例题1】 某条公路上，停着小客车、小轿车共56辆，这两种车的辆数比为3∶4，求客车、轿车各有多少辆？（用两种方法解答） 【答案】客车：24辆；货车：32辆 【分析】由题意可知：把56辆按3∶4分配可求出客车、轿车的辆数。方法一：平均分法。把比的各项之和看作平均分的份数，先求出每份是多少，再解答。方法二：转化法。转化成分数乘法来解答。 【详解】方法一： 总份数：3＋4＝7（份） 每份数：56÷7＝8（辆） 客车的辆数：8×3＝24（辆） 货车的辆数：8×4＝32（辆） 方法二： 客车的辆数：56× ＝56× ＝24（辆） 货车的辆数：56× ＝56× ＝32（辆） 答：客车有24辆，货车有32辆。 【点睛】可以把按比分配问题转化成“平均分”问题来解答，也可以转化成分数问题来解答。 【对应练习】 小红一家4口和小明一家5口到餐厅用餐，餐费总共是450元，两家决定按人数分摊餐费。两家各应付多少钱？ 【答案】小红家应分摊200元，小明家应分摊250元 【分析】根据比的意义，可知餐费按人口比来分配，也就是按4∶5来分配，把小红家分摊的餐费看作4份，小明家分摊的餐费看作5份，据此用总餐费除以总份数，即可求出每份是多少，进而用乘法分别求出两家分摊的餐费。 【详解】450÷（4＋5） ＝450÷9 ＝50（元） 50×4＝200（元） 50×5＝250（元） 答：小红家应分摊200元，小明家应分摊250元。 【典型例题2】 某果园桃树和李树的棵数比是3∶8，桃树比李树少90棵，该果园共有桃树和李树多少棵？ 【答案】桃树有54棵；李树有144棵 【分析】由题意可知，桃树和李树的棵数比是3∶8，即桃树占3份，李树占8份，所以桃树比李树少（8－3）份，即90棵，据此求出1份表示的棵数，进而求出桃树和李树分别有多少棵。 【详解】90÷（8－3） ＝90÷5 ＝18（棵） 18×3＝54（棵） 18×8＝144（棵） 答：该果园桃树有54棵，李树有144棵。 【点睛】本题考查比的应用，求出1份表示的棵数是解题的关键。 【对应练习】 水果店运来苹果比橙子少240千克，已知苹果与橙子的质量比是3∶5，水果店运来苹果和橙子一共多少千克？ 【答案】960千克 【分析】已知苹果与橙子的质量比是3∶5，则把苹果的质量看作3份，橙子的质量看作5份，则苹果比橙子少（5－3）份，又已知运来苹果比橙子少240千克，则用240÷（5－3）即可求出每份是多少，进而求出（3＋5）份是多少，也就是水果店运来苹果和橙子一共多少千克。 【详解】240÷（5－3）×（3＋5） ＝240÷2×8 ＝120×8 ＝960（千克） 答：水果店运来苹果和橙子一共960千克。 【点睛】本题主要考查了比的应用，关键是求出每份的量是多少。 【典型例题3】 计算器的单价是24元，笔记本的单价与计算器的单价比是3∶8。买一本笔记本需要多少元？ 【答案】9元 【分析】已知笔记本的单价与计算器的单价比是3∶8，把笔记本的单价看作3份，计算器的单价看作8份，用计算器的单价除以8份，即可求出每份是多少，进而用乘法求出3份，也就是笔记本的单价。 【详解】24÷8×3 ＝3×3 ＝9（元） 答：买一本笔记本需要9元。 【对应练习】 一件上衣的售价是60元，裤子与上衣单价的比是2∶3。每条裤子多少元？ 【答案】40元 【分析】已知裤子与上衣单价的比是2∶3，则说明上衣的价格有3份，裤子的价格有2份，已知上衣售价是60元，用60除以3可求出每份代表的价格，再跟裤子价格的份数相乘即可求出结果。 【详解】60÷3×2 ＝20×2 ＝40（元） 答：每条裤子40元。 【考点02】和比问题进阶 【典型例题】 1. 学校的劳动实践基地共500平方米，学校准备用种西红柿，剩下的按3∶2的面积比种黄瓜和茄子。黄瓜和茄子的占地面积分别是多少平方米？ 【答案】180平方米；120平方米 【分析】将劳动实践基地的面积看作单位“1”，劳动实践基地的面积－劳动实践基地的面积×西红柿对应分率＝种黄瓜和茄子的面积，将比的前后项看成份数，种黄瓜和茄子的面积÷总份数＝一份数，一份数分别乘黄瓜和茄子的对应份数，即可求出黄瓜和茄子的占地面积。 【详解】 （平方米） 300÷（3＋2） ＝300÷5 ＝60（平方米） 黄瓜：60×3＝180（平方米） 茄子：60×2＝120（平方米） 答：黄瓜和茄子的占地面积分别是180平方米、120平方米。 2. 新世纪小学四、五、六年级共有27个班，平均每个班35人，三个年级的人数比是2∶3∶4。四、五、六年级各有多少人？ 【答案】四年级210人；五年级315人；六年级420人 【分析】平均每个班人数×班数＝四五六年级总人数，将比的各项看成份数，总人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘四、五、六年级的对应份数，即可求出四、五、六年级的人数。 【详解】35×27÷（2＋3＋4） ＝945÷9 ＝105（人） 105×2＝210（人） 105×3＝315（人） 105×4＝420（人） 答：四年级有210人、五年级有315人、六年级有420人。 3. 有一块长方形的菜地，长方形的长和宽的比是，它的周长为24米，求这块长方形菜地的面积是多少？ 【答案】35平方米 【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，据此求出长方形的长与宽的和，然后根据按比分配问题，求出长方形菜地的长和宽，最后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此求出长方形菜地的面积。 【详解】 （米） （平方米） 答：这块长方形菜地的面积是35平方米。 【点睛】本题考查按比分配问题，结合长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。 4. 一个三角形的三个内角度数比为1∶2∶1，最大的内角是( )°，它是( )三角形（按边分）。 【答案】 90 等腰 【分析】三角形内角和为180°，三个内角度数比为1∶2∶1，则总份数为1＋2＋1＝4份。每份对应的角度是：180°÷4＝45°。最大内角占2份，度数为：45°×2＝90°。三个内角度数比为1∶2∶1，说明有两个角的度数相等。根据“等角对等边”的性质，相等角所对的边也相等，因此这个三角形有两条边长度相等，属于等腰三角形。 【详解】三角形内角和为180°。 1＋2＋1＝4（份） 180°÷4＝45° 45°×2＝90° 相等角所对的边也相等，属于等腰三角形。 最大的内角是90°它是等腰三角形。 5. A、B两地相距750千米，甲．乙两车同时从A、B两地相对开出，相向而行，经过5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是8∶7。求甲车每小时行多少千米？ 【答案】80千米 【分析】总路程÷相遇时间＝两车速度和，将比的前后项看成份数，速度和÷总份数，求出一份数，一份数×甲车对应份数＝甲车速度，据此列式解答。 【详解】750÷5＝150（千米/时） 150÷（8＋7）×8 ＝150÷15×8 ＝10×8 ＝80（千米/时） 答：甲车每小时行80千米。 【对应练习】 1. 王老伯家的菜地共800平方米，他准备用种西红柿，剩下的按5∶3的面积比种黄瓜和茄子。三种蔬菜的占地面积分别是多少平方米？ 【答案】西红柿320平方米；黄瓜300平方米；茄子180平方米 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，先计算出西红柿的占地面积，再用总面积减去西红柿的占地面积，求出剩下的面积，把剩下的面积看作单位“1”，剩下的按5∶3的面积比种黄瓜和茄子，即黄瓜的占地面积是剩下面积的，茄子的占地面积是剩下面积的，再用乘法计算，分别求出黄瓜和茄子的占地面积，据此解答。 【详解】西红柿：（平方米） 黄瓜： （平方米） 茄子： （平方米） 答：西红柿占地面积是320平方米，黄瓜占地面积是300平方米，茄子占地面积是180平方米。 2. 某文具店第一季度平均每月销售额为9000元，其中一月、二月和三月销售额之比是3∶4∶2。这个文具店三月份的销售额是多少万元？ 【答案】0.6万元 【分析】用第一季度平均每月销售额乘一个季度的月数，先求出文具店第一季度的总钱数，然后再按比例分配即可解答。 【详解】（元） 27000元万元 （万元） 答：这个文具店三月份的销售额是0.6万元。 【点睛】求出第一季度的总钱数是解题的关键。 3. 小明用250厘米长的铁丝做了一个长方形框架，长、宽的比是3∶2，这个长方形的面积是多少？ 【答案】3750平方厘米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，用周长除以2求出长与宽的和，长、宽的比是3∶2，求出比中每份的量，再乘长和宽占的份数求出长和宽各是多少，最后根据“长方形的面积＝长×宽”求出这个长方形的面积，据此解答。 【详解】250÷2＝125（厘米） 125÷（3＋2） ＝125÷5 ＝25（厘米） 长：25×3＝75（厘米） 宽：25×2＝50（厘米） 面积：75×50＝3750（平方厘米） 答：这个长方形的面积是3750平方厘米。 【点睛】掌握按比例分配问题的解题方法，并熟记长方形的周长和面积的计算公式是解答题目的关键。 4. 一个三角形的三个内角度数比是2∶1∶2，则这个三角形的最大角是( )°；若按角分类，这是一个( )三角形。 【答案】 72 锐角 【分析】根据三角形内角和为180°，按比例分配计算各角度数。比例2∶1∶2的总份数为5份，每份度数为180°÷5＝36°。最大角对应2份，为72°。三个角分别为72°、36°、72°，均小于90°，因此是锐角三角形。 【详解】总份数：2＋1＋2＝5（份） 每份度数：180°÷5＝36° 最大角：2×36°＝72° 三个角：72°、36°、72°，所有角均小于90°，所以是锐角三角形。 因此，这个三角形的最大角是72°；若按角分类，这是一个锐角三角形。 5. 甲、乙两车从相距350千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇。已知甲车的速度与乙车的速度比是2∶3，乙车每小时行多少千米？ 【答案】105千米 【分析】总路程÷相遇时间＝两车速度和，将比的前后项看成份数，速度和÷总份数，求出一份数，一份数×乙车对应份数＝乙车速度，据此列式解答。 【详解】350÷2＝175（千米） 175÷（2＋3）×3 ＝175÷5×3 ＝105（千米） 答：乙车每小时行105千米。 【考点03】和比问题拓展 【典型例题】 1. 一个等腰三角形顶角与底角的度数比是1∶4，则这个三角形底角是多少度？ 【答案】80度 【分析】三角形内角和180度，等腰三角形两底角相等，根据顶角与底角的度数比是1∶4，可得三个内角的度数比是1∶4∶4，将比的各项看成份数，内角和÷总份数＝一份数，一份数×底角对应份数＝底角度数。 【详解】180÷（1＋4＋4） ＝180÷9 ＝20（度） 20×4＝80（度） 答：这个三角形底角是80度。 2. 一个长方体棱长总和为96厘米，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的长、宽、高各是多少？ 【答案】长是12厘米，宽是8厘米，高是4厘米。 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4， 先求出长方体的长、宽、高之和；接下来利用按比分配的方法求出长方体的长、宽、高与长、宽、高和的比，结合上步所得，用乘法即可得解。 【详解】长：96÷4 ＝24× ＝12（厘米） 宽：96÷4 ＝24× ＝8（厘米） 高：96÷4 ＝24× ＝4（厘米） 答：这个长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是4厘米。 【点睛】此题考查了按比分配应用题，解题的关键是利用按比分配的方法求出长、宽、高所占的分率。 3. 光明小学六年级有学生140人，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2:3，第二小组和第三小组的人数比4:5，这三个小组各是多少人？ 解析：由题意可得，第一组:第二组:第三组=8:12:15 因此，第一组：140×=32（人） 第二组：140×=48（人） 第三组：140×=60（人） 【对应练习】 1. 一个等腰三角形底角和顶角的度数比是1∶3，这个三角形最大的角是多少度？ 【答案】108度 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，又因为等腰三角形底角和顶角的度数比是1∶3，所以三角形的三个内角的比为1∶1∶3，即这个三角形最大的角的度数占三角形内角和的，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。 【详解】180× ＝180× ＝108（度） 答：这个三角形最大的角是108度。 2. 小红用一根长144厘米的铁丝围成了一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高的比是5∶4∶3，这个长方体的长、宽、高各是多少？ 【答案】15厘米；12厘米；9厘米 【分析】铁丝长度是长方体棱长总和，长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，根据比的意义，长宽高的和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份数，即可求出长、宽、高。 【详解】144÷4÷（5＋4＋3） ＝36÷12 ＝3（厘米） 3×5＝15（厘米） 3×4＝12（厘米） 3×3＝9（厘米） 答：这个长方体的长、宽、高各是15厘米、12厘米、9厘米。 【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用长方体棱长总和公式。 3. 箱子里有大中小零件共140个，其中大零件与中零件的个数比是2∶3，中零件与小零件的个数比是4∶5。这三种零件各有多少个？ 解析： 大零件∶中零件＝2∶3＝8∶12 中零件∶小零件＝4∶5＝12∶15 大零件∶中零件∶小零件＝8∶12∶15 8＋12＋15＝35 140×＝32（个） 140×＝48（个） 140×＝60（个） 答：大零件有32个，中零件有48个，小零件有60个。 【预测命题方向七】典型问题·不变量问题 命题趋势 难度较大，综合性较强，侧重应用分析能力。 方法点拨 寻找不变量是解决含比不变量问题的关键。 考察形式 应用 动态评价 【考点01】三种基本不变量问题 【典型例题1】单量不变 今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的，毕业生走后，又招进新生220人，这时全校总人数是原来总人数的，原来学校共有多少人？ 解析： ＝220÷[] ＝220÷ ＝2475（人） 答：原来学校共有2475人。 【对应练习】 幸福里小学上学期六年级女生人数是男生的，下学期转来3名女生，这时女生人数是男生人数的。阳光小学下学期六年级男生比女生多多少人？ 解析： ＝3÷ ＝126（人） 126 ＝ ＝18（人） 答：阳光小学下学期六年级男生比女生多18人。 【典型例题2】差不变 甲、乙两人原有书籍数量之比是25:13，后来两人都被借走了20本书，借完后甲、乙两人书籍数量的比是7:3，问：甲、乙两人原来共有多少本书籍？ 解析： 甲乙原来份数之差为25-13=12，现在份数之差为7-3=4 12和4的1最小公倍数为12 所以，现在数量之比变为21:9 每一份：20÷（25-21）=5（本） 甲原来：5×25=125（本） 乙原来：5×13=65（本） 甲乙原来一共：125+65=190（本） 【对应练习】 小明的课外书与小芳课外书之比为6:1，如果两人再各买2本后，小明现有的课外书与小芳的课外书之比为5:1，小明原有课外书多少本？ 解析： 份数差统一为（6-1）×（5-1）=20（份） 原来小明与小芳课外书之比为24:4,现在之比为25:5 每一份：2÷（25-24）=2（本） 小明原来：2×24=48（本） 答：略。 【典型例题3】和不变 小红和小明一共有105元钱。小红给小明18元后，小红与小明钱数的比正好是2∶3。小红、小明原来各有多少元钱？ 解析： 105÷（2＋3） ＝105÷5 ＝21（元） 小红现有钱：21×2＝42（元） 小明现有钱：21×3＝63（元） 小红原来有钱数：42＋18＝60（元） 小明原来有钱数：63－18＝45（元） 答：小红原来有60元，小明原来有45元。 【对应练习】 六年级一班和二班原有图书本数的比是5∶3，一班给二班63本后，一班图书本数就是二班的，原来二班有图书多少本？ 解析： 3＋5＝8（份） 2＋3＝5（份） 63÷（－） ＝63÷ ＝63× ＝280（本） 280×＝105（本） 答：原来二班有图书105本。 【考点02】综合性不变量问题 【典型例题】 仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物重量比为2∶7，如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的60%。仓库原有货物多少吨？ 【答案】360吨 【分析】把仓库原有货物看作单位“1”，运走的货物与剩下的货物的重量比为2∶7，也就是剩余货物占总重量的，又运走64吨，剩下的货物只有仓库原有货物的60%，先求出第二次剩余货物重量比运走第一次后剩余货物占的分率，也就是64吨占货物重量的分率，依据分数除法意义即可解答。 【详解】2＋7＝9 64÷（－60%） ＝64÷ ＝64× ＝360（吨） 答：仓库原有货物360吨。 【点睛】根据按比例分配问题以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数的知识进行解答。 【对应练习】 小红看一本课外读物，看了的页数与未看的页数比是1∶3，如果再看24页，就可以看完全书的40%，这本课外读物一共有多少页？ 【答案】160页 【分析】看了的页数与未看的页数比是1∶3，把看了的页数看作1份，未看的页数看作3份，总页数是4份，则看了的页数占全书的。如果再看24页，就可以看完全书的40%，则24页站全书的40%－ ，最后求出课外读物的总页数即可。 【详解】24÷（40%－） ＝24÷（） ＝24÷ ＝160（页） 答：这本课外读物一共有160页。 【点睛】本题考查按比例分配、百分数，解答本题的关键是掌握按比例分配解决问题的方法。 【预测命题方向八】典型问题·百分数典型问题一 命题趋势 1. 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 百分率问题。 求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，结果写成百分数，不带单位。 2. 百分率问题通用公式。 部分量÷总数量×100%=百分率 例如：合格率是指合格的产品数量占产品总数量的百分之几；发芽率是指发芽种子数占种子总数的百分之几。 3. 常见的百分率公式。 小麦的出粉率= ×100%；出勤率=×100% 花生的出油率=×100%；达标率=×100% 发芽率=×100%；成活率=×100%  合格率=×100%；投球的命中率=×100% 利润率= ×100%（利润=售价-进价） 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【考点01】百分率问题 【典型例题1】求百分率 科研人员培育了一种治沙植物“红柳”，在离沙漠边缘40千米处种了8000株红柳，成活了6800株。这批红柳的成活率是多少？ 解析： 6800÷8000×100% ＝0.85×100% ＝85% 答：这批红柳的成活率是85%。 【对应练习】 450千克大豆可榨油162千克，大豆的出油率是多少？ 解析： ×100%＝36%； 答：大豆的出油率是36%。 【典型例题2】求部分量或总量 300kg的小麦可以磨出面粉225kg，小麦的出粉率是( )，照这样计算，480kg小麦可以磨出面粉( )kg；要磨出面粉1050kg，需要( )kg的小麦。 解析： 小麦的出粉率是： 225÷300×100% ＝0.75×100% ＝75% 480kg小麦可以磨出面粉： 480×75% ＝480×0.75 ＝360（kg） 要磨出面粉1050kg，需要小麦： 1050÷75% ＝1050÷0.75 ＝1400（kg） 【对应练习】 一批树苗，种100棵，有97棵成活，这批树苗的成活率是( )；照这样计算，若要有582棵成活，则至少要种( )棵树苗。 解析： 97÷100×100%＝97% 这批树苗的成活率是97%。 582÷97%＝600（棵） 至少要种600棵树苗。 【考点02】变化幅度问题 【典型例题】 西瓜的均价8月份比7月份上涨11%，受季节影响，9月份价格比8月份下降10%，9月份的价格和7月份价格相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？ 【答案】降了；降低了0.1% 【分析】设7月份的西瓜价格是5元，8月份的西瓜价格是7月份的（1＋11%），用7月份西瓜的价格×（1＋11%），求出8月份西瓜的价格；再把8月份西瓜价格看作单位“1”，9月份西瓜价格是8月份的（1－10%），用8月份西瓜价格×（1－10%），求出9月份西瓜的价格；比较7月份和9月份西瓜的价格，是涨了还是降了；再用9月份西瓜价格与7月份西瓜价格的差，除以7月份西瓜的价格，再乘100%，即可求出变化幅度，据此解答。 【详解】设7月份西瓜价格是5元。 5×（1＋11%）×（1－10%） ＝5×1.11×0.9 ＝5.55×0.9 ＝4.995（元） 5＞4.995，价格降了。 （5－4.995）÷5×100% ＝0.005÷5×100% ＝0.001×100% ＝0.1% 答：9月份的价格和7月份价格相比是降了，变化幅度是降低了0.1%。 【对应练习】 博物院修文物，10月比9月少修10%，11月比10月多修20%，11月与9月相比是多修还是少修了？变化幅度是多少？ 【答案】多修了；8% 【分析】10月比9月少修10%，将9月看成单位“1”，假设9月份修了100件，则10月就是9月的（1－10%），求一个数的百分之几用乘法，得出10月份修了90件。11月比10月多修20%，以10月份为单位“1”，11月份是10月份的（1＋20%），则11月份是108件，对比11月份和9月份，是多修了。求一个数比另外一个数多（少）百分之几，用（大数－小数）÷单位“1”。 【详解】设9月份修了100件 1－10%＝90% 100×90%＝90（件） 90×（1＋20%） ＝90×120% ＝108（件） （108－100）÷100×100% ＝8÷100×100% ＝8% 答：11月与9月相比是多修了，多修了8%。 【考点03】计算盈利或亏损 【典型例题】 某超市在“6·18”大促期间出售两件不同的商品，标价都是300元，其中一件盈利20%，另一件亏本20%。超市卖出这两件商品后，是赚了还是亏了？请用数据说明。 【答案】亏了；说明见解析 【分析】先其中一件的进价看作单位“1”，标价相当于进价的（1＋20%），根据百分数除法的意义，用标价除以（1＋20%）就是进价；再把另一件的进价看作单位“1”，标价相当于进价的（1一20%），根据百分数除法的意义，用标价除以（1－20%）就是进价。求出这两件商品的进价之和，标价之和，通过比较即可确定赚了还是亏了。 【详解】300÷（1＋20%） ＝300÷1.2 ＝250（元） 此件盈利：300－250＝50（元） 300÷（1－20%） ＝300÷0.8 ＝375（元） 此件亏损：375－300＝75（元） 总共亏损：75－50＝25（元） 答：超市卖出这两件商品后，是亏了，亏损25元。 【点睛】此题主要考查了百分数除法的意义及应用。已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的百分率。 【对应练习】 某商店同时卖出两件商品，每件各得300元，其中一件盈利20%，另一件亏本20%。这个商店卖出这两件商品的总价是盈利，还是亏本？盈利或亏本多少元？ 【答案】亏本；亏本25元 【分析】盈利20%，把原价看作单位“1”，则卖价是原价的（1＋20%），卖价÷（1＋20%）即可求出原价；亏本20%，把原价看作单位“1”，则卖价是原价的（1－20%），卖价÷（1－20%）即可求出原价，卖价之和与原价之和比较即可。 【详解】300÷（1＋20%） ＝300÷（1＋0.2） ＝300÷1.2 ＝250（元） 300÷（1－20%） ＝300÷（1－0.2） ＝300÷0.8 ＝375（元） 250＋375＝625（元） 300＋300＝600（元） 625＞600 625－600＝25（元） 答：这个商店卖出这两件商品的总价是亏本，亏本25元。 【点睛】把原价看作单位“1”，根据分数除法的意义，分别求出原价是解题关键。 【考点04】浓度问题 【典型例题】 1. 将20克含盐量是5%的盐水倒入80克的水中，混合后盐水的含盐量是( )%。 解析： 20×5%÷（20＋80）×100% ＝1÷100×100% ＝0.01×100% ＝1% 2. 在40克水中放入10克糖，这时糖占糖水的( )%；再加入( )克水，糖水浓度降为10%。 解析： 10÷（40＋10）×100% ＝10÷50×100% ＝0.2×100% ＝20% 10÷10%－（40＋10） ＝10÷10%－50 ＝100－50 ＝50（克） 3. 丁丁现有浓度为10%的糖水20克，牛牛往里面加入了5克的糖，那么现在这杯糖水的浓度变成了多少？ 解析： 糖：20×10%=2（克） 新的糖：2+5=7（克） 糖水：20+5=25（克） 浓度：7÷25×100%=28% 答：略。 4. 现有浓度为20%的糖水60g，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？ 解析： 水：60×（1-20%）=48（克） 现在的糖水：48÷（1-40%）=80（克） 加糖：80-60=20（克） 答：略。 【对应练习】 1. 田田现有浓度为30%的糖水500克，牛牛往里面加入了500克水，浓度变为了多少? 解析： 5000×30%=150（克） 500＋500=1000（克） 150÷1000×100%=15% 答：略。 2. 在10千克含盐15%的盐水中，加入( )千克水后，可得到含盐5%的水。 解析： 10×15%÷5%－10 ＝1.5÷5%－10 ＝30－10 ＝20（千克） 3. 有一份浓度为15%的盐水200克，加入50克盐，这时盐水的浓度变为多少？ 解析：200×15%=30（克） （30+50）÷（200+50）×100%=32% 答：略。 4. 将浓度为20%的盐水中加入50克盐，浓度变为36%，那么现在盐水的质量是多少？ 解析： 加盐之前：盐水:水=1:（1-20%）=5:4 加盐之后：盐水:水=1:（1-36%）=25:16 因为水不变，所以两个比的后项统一。 加盐之前：盐水:水=20:16 每一份：50÷（25-20）=10（克） 现在的盐水：10×25=250（克） 答：略。 【预测命题方向九】典型问题·百分数典型问题二 命题趋势 1. 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 折扣问题的基本数量关系。 (1)已知原价和折扣，求现价：现价=原价×折扣； (2)已知现价和折扣，求原价：原价=现价÷折扣； (3)已知原价和现价，求折扣：折扣=现价÷原价； (4)已知原价和折扣，求便宜的钱数：便宜的钱数=原价－原价×折扣或便宜的钱数=原价×(1－折扣)。 2. 纳税问题通用公式。 （1）税率= ×100%； （2）应纳税额=总收入×税率； （3）总收入=应纳税额÷税率。 3. 储蓄问题通用公式。 已知本金、利息、利率和存期中的任意三项可以求出其他项。 利息=本金×利率×时间；利息税＝本金×利率×时间×利息税税率。 4. 利润问题通用公式。 （1）利润=售价－进价（成本） （2）售价=进价（成本）＋利润 （3）利润率=利润÷成本×100% （4）利润=成本×利润率 （5）成本=利润÷利润率 （6）售价=成本×（1＋利润率） （7）成本=售价÷（1＋利润率） 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【考点01】折扣和成数的意义及多类型数转化 【典型例题】 ∶( )＝( )（填折扣）＝( )（填成数）。 【答案】20；30；八折；八成 【分析】分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此先将小数化成分数，根据分数与比的关系，以及它们通用的基本性质进行填空。小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可，根据几折或几成就是百分之几十，确定折数和成数即可。 【详解】0.8＝ 25÷5×4＝20 24÷4×5＝30 0.8＝80%＝八折＝八成 ∶30＝八折＝八成 【对应练习】 ＝0.75＝( )%＝( )∶24＝( )折＝( )（成数）。 【答案】6；75；18；七五；七成五 【分析】分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此先将小数化成分数，根据分数与比的关系，以及它们通用的基本性质进行填空，小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可，根据几折就是百分之几十，几成就是百分之几十，确定折数和成数。 【详解】0.75＝，8÷4×3＝6；24÷4×3＝18；0.75＝75%＝七五折＝七成五 ＝0.75＝75%＝18∶24＝七五折＝七成五 【考点02】折扣问题 【典型例题1】 1. 一台电脑4000元，现在打八五折出售，现在购买要花多少钱？ 【答案】3400元 【分析】打八五折是指现价是原价的85%，把原价看成单位“1”，用原价乘85%就是现价，运用百分数乘法计算得出答案。 【详解】八五折＝85%， 4000×85%＝3400（元） 答：现在购买要花3400元。 2. 某商店开展季末促销活动，所有商品一律八折，小涵买了一架飞机模型，原价120元，现价比原价便宜了多少钱？ 【答案】24元 【分析】结合所学知识，商店商品折扣一律八折，已知原价是120元，要求现价比原价便宜多少，就要求出现价，也就是折扣后的价格，用商品原价乘折扣即可算出，最后用原价减去现价即可。 【详解】120×80%＝120×0.8＝96（元） 120－96＝24（元） 答：现价比原价便宜了24元。 3. 一种儿童学习机，“双十一”期间打八折销售，售价为1600元，这台学习机的原价是多少元？ 【答案】2000元 【分析】打八折就是按照原价的80%出售，即原价×折扣＝现价，利用现价÷折扣＝原价计算解答。 【详解】八折＝80% 1600÷80%＝2000（元） 答：这台学习机的原价是2000元。 4. 一本书原价12元，现在的售价是8.4元。这本书是按几折出售的？ 【答案】七折 【分析】把原价看作单位“1”，根据求一个数是另一个数的百分之几，求出现价是原价的百分之几，然后根据折扣与百分数之间的联系，把百分数改写成折数。 【详解】8.4÷12 ＝0.7 ＝70% ＝七折 答：这本书是按七折出售的。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握百分数与折扣之间的联系及应用。 【对应练习】 1. 一件羽绒服原价是450元，现换季打七折，现价是多少元？ 【答案】315元 【分析】打七折销售就是按原价的百分之七十销售，即现价＝原价×70%，据此求出现价即可。 【详解】现价：（元） 答：现价是315元。 2. 一种商品如果打八折，可便宜24元，这种商品原价多少元？ 【答案】120元 【分析】八折＝80%，把商品原价看作单位“1”，打折就是按原价的80%出售，那么就便宜了原价的（1－80%），也就是原价的（1－80%）是24元，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，可以计算出原价。 【详解】八折＝80% 24÷（1－80%） ＝24÷20% ＝120（元） 答：这种商品原价120元。 3. 商场“五一”假期推出了“每满300减50”的促销活动，妈妈买了一件标价为500元的衣服。“满减”后相当于打了几折？ 【答案】（500－50）÷500×100% 【分析】几折表示百分之几十，已知每满300减50，500里面有1个300，所以用500－50即可求出实际价格，再根据求一个数占另一个数的百分之几，用一个数除以另一个数再乘100%，则用（500－50）÷500×100%即可求出实际价格是标价的百分之几，进而得出打了几折。 【详解】（500－50）÷500×100% ＝450÷500×100% ＝90% 90%＝九折 答：“满减”后相当于打了九折。 【点睛】本题主要考查了折扣问题，明确折扣的含义是解答本题的关键。 【考点03】促销问题 【典型例题】 李老师准备为学校买10个篮球。 甲商店：每个篮球18元，买四送一。 乙商店：每个篮球18元，买6个以上，多买的打八折。 李老师去哪个商店买比较划算？ 【答案】甲商店 【分析】甲商店：把“买四送一”看作一组，先用除法求出10里面有几组，再用每组买的个数乘组数，求出实际需买篮球的个数；已知每个篮球18元，根据“单价×数量＝总价”，求出在甲商店买篮球所需的钱数。 乙商店：先根据“单价×数量＝总价”求出原价买6个篮球所需的钱数；其余的10－6＝4个篮球打八折，即原价购买4个篮球所需的钱数乘80%，然后两个价钱相加，即是在乙商店买篮球所需的钱数。 最后比较两家商店买10个篮球所需的钱数，得出在哪家商店买比较划算。 【详解】甲商店： 10÷（4＋1） ＝10÷5 ＝2（组） 实际购买数量：4×2＝8（个） 18×8＝144（元） 乙商店： 10－6＝4（个） 18×6＋18×4×80% ＝108＋72×0.8 ＝108＋57.6 ＝165.6（元） 144＜165.6 答：李老师去甲商店买比较划算。 【点睛】根据两家商店不同的优惠方案分别求出每家商店买10个篮球需要的钱数，再比较即可。 掌握打几折即现价是原价的百分之几十，以及单价、数量、总价之间的关系是解题的关键。 【对应练习】 某品牌足球定价为每个120元。张老师上网查阅了四家店铺的促销情况（如下表）。如果要买5个，在哪家网店购买最省钱？至少需要多少钱？ 网店 促销方式（免运费） A 每满100元减30元 B 打七五折 C 先打八折后再每满200元减20元 D 买四赠一 【答案】A网店；420元 【分析】“每满100元减30元”也就是看120×5元里面满几个100就减几个30元，即可求出A网店的价钱；根据原价×折扣＝现价，即可求出B和C网店的价钱；买四赠一，那么付四盒的钱可以买到五盒，即可求出D网店的价钱，然后进行对比即可。 【详解】A网店：120×5＝600（元） 600÷100＝6（个） 600－6×30 ＝600－180 ＝420（元） B网店：七五折就是75% 120×5×75% ＝600×75% ＝450（元） C网店：八折就是80% 120×5×80% ＝600×80% ＝480（元） 480÷200＝2（个）……80（元） 480－2×20 ＝480－40 ＝440（元） D网店：120×4＝480（元） 480＞450＞440＞420 答：在A网店购买最省钱，至少需要420元。 【考点04】成数问题 【典型例题】 某县前年秋粮产量2.8万吨，去年比前年增产了三成，去年秋粮产量是多少万吨？ 【答案】2.8×（1＋30%） 【分析】根据题意可知，几成表示百分之几十，则三成表示30%，把前年秋粮产量看作单位“1”，去年秋粮产量是前年的（1＋30%），根据百分数乘法的意义，用2.8×（1＋30%）即可求出去年秋粮产量。 【详解】2.8×（1＋30%） ＝2.8×1.3 ＝3.64（万吨） 答：去年秋粮产量是3.64万吨。 【点睛】本题主要考查了百分数的应用，明确成数的含义是解答本题的关键。 【对应练习】 1. 为践行习爷爷“绿水青山就是金山银山”的理念，希望小学前年植树5000棵，去年的植树棵数比前年增加了三成。希望小学去年植树多少棵？ 【答案】6500棵 【分析】把前年植树的棵数看作单位“1”，则去年植树的棵数是前年的（1＋30%），然后根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算即可。 【详解】5000×（1＋30%） ＝5000×1.3 ＝6500（棵） 答：希望小学去年植树6500棵。 【点睛】本题考查成数问题，明确几成就是百分之几十是解题的关键。 2. 某市2022年出境旅游人数为12000人次，比上一年增长五成。该市2021年出境旅游人数为多少人次？ 【答案】8000人次 【分析】成数表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”，如：“五成”就是十分之五，改写成百分数是50%，把2021年出境旅游的人数看作单位“1”，已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数用除法计算，据此解答。 【详解】五成＝50% 12000÷（1＋50%） ＝12000÷1.5 ＝8000（人次） 答：该市2021年出境旅游人数为8000人次。 【点睛】本题主要考查成数问题，掌握已知比一个数多百分之几的数是多少求这个数的计算方法是解答题目的关键。 【考点05】纳税问题 【典型例题】 祥云小区一套普通商品房的售价为40万元。如果一次付清房款，可按九五折优惠付款。但是购买这套房子还要按照实际一次付清房款的1.5%缴纳契税。如果晨晨家一次付清房款，她家购买这套商品房需缴纳契税多少万元？ 【答案】0.57万元 【分析】根据题意，一次付清房款，可按九五折优惠付款，即实际一次付清的房款是售价40万元的95%，把售价看作单位“1”，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，即可求出实际一次付清的房款； 又已知还要按照实际一次付清房款的1.5%缴纳契税，根据百分数乘法的意义，用实际一次付清的房款乘1.5%，即是需缴纳的契税。 【详解】40×95%×1.5% ＝40×0.95×0.015 ＝38×0.015 ＝0.57（万元） 答：她家购买这套商品房需缴纳契税0.57万元。 【点睛】本题考查折扣和税率问题，明白几几折即百分之几十几；找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义解答。 【对应练习】 1. 某饭店按2018年第三季度营业额的5%纳税，税后余额为38000元。这家饭店第三季度的营业额是多少元？ 【答案】40000元 【分析】把某饭店第三季度的营业额看作单位“1”，按5%纳税，则税后余额占营业额的（1－5%），单位“1”未知，用税后余额除以（1－5%），求出第三季度的营业额。 【详解】38000÷（1－5%） ＝38000÷（1－0.05） ＝38000÷0.95 ＝40000（元） 答：这家饭店第三季度的营业额是40000元。 2. 我国规定，月收入超过5000元的按下面的标准收费。 应纳税额 税率 不超过1500元的部分 3% 超过元的部分 10% 超过元的部分 20% …… … 小红的妈妈某月的收入是9000元，她应该缴多少元的个人所得税？ 【答案】295元 【分析】用实际月收入的9000元，减去免税的5000元，求出需要缴纳税的钱数：即9000－5000＝4000（元），4000元分成两部分，第一部分，1500元以内，按照3%的税率交税，即用1500×3%即可，第二部分，用4000减去1500，求出钱数，乘这个阶段该缴纳的税率10%，即可得出第二部分该缴纳的税，将两部分税相加即可。 【详解】由分析可得： 9000－5000＝4000（元） 1500×3%＋（4000－1500）×10% ＝1500×3%＋2500×10% ＝45＋250 ＝295（元） 答：她应该缴295元的个人所得税。 【考点06】储蓄问题 【典型例题】 爸爸在银行存入了17000元，定期3年，年利率是2.60%，到期时可以实际得到利息多少元？ 【答案】1326元 【分析】根据利息＝本金×利率×存期，列式解答即可。 【详解】17000×2.6%×3 ＝17000×0.026×3 ＝1326（元） 答：到期时可以实际得到利息1326元。 【对应练习】 1. 2022年2月8日，小丽把她的3000元压岁钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%。到期支取时，她一共可以取回多少钱？ 【答案】3247.5元 【分析】根据利息公式：利息＝本金×利率×时间，代入数据，求出到期的利息，再加上本金，即可解答。 【详解】3000×2.75%×3＋3000 ＝82.5×3＋3000 ＝247.5＋3000 ＝3247.5（元） 答：她一共可以取回3247.5元。 2. 两年定期存款的年利率是2.70%，妈妈存款到期后取回本金和利息共2108元。妈妈当时存款多少元？ 【答案】2000元 【分析】到期取款时银行多支付的钱叫利息，利息＝本金×利率×存期，取回本金和利息总钱数＝本金＋本金×利率×存期＝本金×（1＋利率×存期），根据积÷因数＝另一个因数，因此本金＝取回本金和利息总钱数÷（1＋利率×存期），据此列式解答。 【详解】2108÷（1＋2.70%×2） ＝2108÷（1＋0.027×2） ＝2108÷（1＋0.054） ＝2108÷1.054 ＝2000（元） 答：妈妈当时存款2000元。 3. 利用收集到的存款利率算一算：甲用2000元先存一年定期，到期后连本带息再存一年定期；乙用2000元直接存了二年定期，哪种存款方式到期后获得的利息多？（银行的利率分别为：定期一年3.25%，定期两年3.75%） 【答案】直接存两年定期 【分析】根据本金及存期分别按两种储蓄办法计算分析即能确定哪种办法得到的利息多一些： 甲的方法：先存入一年期的，年利率是3.25%，等一年到期时再把本金和利息取出来合在一起，再存入银行一年。则先存一年后可得利息2000×3.25%×1＝65元，第二年本金和利息共有2000＋65元，加在一起再存一年可得利息（2000＋65）×3.25%×1≈67.11元，两年共得利息65＋67.11＝132.11元。 乙的方法：年利率是3.75%，则存两年后可得利息：2000×3.75%×2＝150元； 150元＞132.11元，所以直接存两年定期的方式到期后获得的利息多。 【详解】甲的方法可得利息： 2000×3.25%×1＝65（元） （2000＋65）×3.25%×1≈67.11（元） 两年共得利息：65＋67.11＝132.11（元） 乙的方法可得利息： 2000×3.75%×2＝150（元） 150元＞132.11元 所以乙的存款方式得到的利息多一些。 答：直接存两年定期的方式到期后获得的利息多。 【点睛】根据利息＝本金×年利率×时间，按两种方法分别进行分析计算得出结果是完成本题的关键。 【预测命题方向十】典型问题·工程问题 命题趋势 1. 期末重点考察问题，涉及多种类型数和多种数量关系、运算关系，以体现综合能力。 2. 结合生活实际，凸显综合性和开放性。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 工程问题的关键解法和基本步骤。 （1）关键解法 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 （2）基本步骤 步骤1：明确工作总量为单位“1”； 步骤2：根据单独完成时间表示效率； 步骤3：合作时效率和相加； 步骤4：1÷效率和求合作时间。 2. 工程问题的基本数量关系。 ①工作效率×工作时间=工作总量； ②工作效率=工作总量÷工作时间； ③工作时间=工作总量÷工作效率。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【考点01】工程问题基本题型 【典型例题】 一项工程，甲乙合作需要12天完成，甲单独做需要36天完成，那么： （1）甲的工作效率是多少？ 解析： 甲的工作效率：1÷36= （2）甲乙合作的工作效率是多少？ 解析： 合作效率：1÷12= （3）乙的工作效率是多少？ 解析：-= 【对应练习】 1. 某建筑队承包一项工程，8天完成它的，每天完成这项工程的几分之几？14天一共完成这项工程的几分之几？ 【答案】； 【分析】（1）工作效率＝工作总量÷工作时间； （2）工作总量＝工作效率×工作时间，据此解答。 【详解】（1）÷8 ＝× ＝ （2）×14＝ 答：每天完成这项工程的，14天一共完成这项工程的。 【点睛】掌握工程问题中工作时间、工作效率、工作总量之间的数量关系是解答题目的关键。 2. 学校开展劳动基地实践活动，六（1）中队每天能翻整块菜地的，六（2）中队每天能翻整块菜地的，两个中队合作，几天能翻好整块菜地？ 【答案】7.2天 【分析】把翻菜地总量看作单位“1”，根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，求得两中队合作完成这项工作需要的时间。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝7.2（天） 答：两个中队合作，7.2天能翻好整块菜地。 【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。 【考点02】合作问题 【典型例题】 1. 生产一批零件，师傅单独做要10小时完成，徒弟单独做要12小时完成，现在师徒两人合做，需要多少小时完成这份零件的？ 【答案】小时 【分析】把这批零件的工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷10求出师傅的工作效率，用1÷12求出徒弟的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，用÷（）即可求出师徒两人合做几小时完成这份零件的。 【详解】1÷10＝ 1÷12＝ ＝ ＝ ＝ ＝（小时） 答：现在师徒两人合做，需要小时完成这份零件的。 【点睛】本题考查知识点：依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。 2. 一项工程，甲队单独做15天可以完成，甲队做了10天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做完需要6天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 解析： （1－×10）÷6 ＝（1－）÷6 ＝× ＝ 1÷＝18（天） 答：乙队单独完成这项工作需18天。 3. 一段路，甲单独修需要8天完成，乙单独修需要10天完成，甲乙两队合修2天后，剩下的乙单独修，还需要修几天？ 【答案】5.5天 【分析】由题意可知，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，先用（＋）×4，求出两个队合修2天的工作总量；再用“1”减去两个队合修2天的工作总量，求出剩下的工作量；最后用剩下的工作量除以乙的工作效率即可。 【详解】1÷8＝ 1÷10＝ （＋）×2 ＝×2 ＝ （1）÷ ＝ ＝ ＝5.5（天） 答：乙队还需要做5.5天。 【点睛】解答本题需熟练掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系。 【对应练习】 1. 加工一批零件，甲单独做要6天完成，乙单独做要8天完成。现在甲、乙两人合作，多少天能完成这批零件的？ 【答案】3天 【分析】把这项工程总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用1÷6和1÷8求得甲和乙各自的工作效率，然后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，用除以两人的工作效率和，即可求出多少天能完成这批零件的。 【详解】1÷6＝ 1÷8＝ ÷（＋） ＝÷ ＝ × ＝3（天） 答：现在甲、乙两人合作，3天能完成这批零件的。 【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。 2. 工程队要给幸福村修一条3000米的路。如果甲队单独修，需要8天修完，如果乙队单独修，需要10天修完。甲队修了4天后接到新的任务，剩下的由乙队修，还需要多少天可以修完？ 【答案】5天 【分析】把整条路长看作单位“1”，用工作总量除以工作时间，求出两队的工作效率，甲队修了4天，求出甲队完成的工作量，再用单位“1”减去甲队完成的，剩下的就是乙队要完成的，用乙队完成的工作量除以乙队的工作效率，求出剩下的由乙队修，还需要多少天可以修完。 【详解】1÷8＝；1÷10＝ 时间： ＝（1－）÷ ＝×10 （天） 答：还需要5天可以修完。 【点睛】本题考查工程问题，解答本题的关键是掌握工程问题中的数量关系。 3. 修建一条隧道，甲工程队单独修建需要12个月，乙工程队单独修建需要10个月。现在甲乙两队合修3个月后，剩下的由乙工程队独修，还需要几个月完成？ 【答案】4.5月 【分析】工作时间＝工作总量÷工作效率，将工作总量看做“1”，先求出甲乙合作3个月之后还剩下多少工作量，用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求解。 【详解】1÷12＝ 1÷10＝ 1－3×（＋） ＝1－3× ＝1－ ＝ ÷ ＝×10 ＝4.5（月） 答：剩下的由乙工程队独修，还需要4.5个月完成。 【点睛】此题考查工程问题，求出剩余的工作量是解题的关键。 【考点03】请假问题 【典型例题】 1. 一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了6天才完成任务，求乙队修了几天？ 解析： （1-）÷（）=10（天） 答：略。 2. 一项工程，单独做甲队用20天，乙队用30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因事调走，甲队继续工作，从开工到完成一共用了14天，求乙队调走了几天？ 解析： （1－×14）÷ ＝（1－）÷ ＝÷ ＝×30 ＝9（天） 14－9＝5（天） 答：乙队调走5天。 【对应练习】 1. 师傅每小时加工15个零件，徒弟每小时加工12个零件．师徒俩合作加工6小时后师傅因事离开，徒弟又工作了3小时才完成．完成这次任务一共加工了多少个零件？ 【答案】198个 【详解】15×6+12×（3+6） ＝90+12×9 ＝90+108 ＝198（个）， 答：完成这次任务一共加工了198个零件。 2. 甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做，12天可完成，若由乙队单独做则需20天完成．现开始由甲、乙两队合作，中途甲队因另有任务派遣，剩下的任务由乙队单独完成．已知从开工到结束共用10天，问：乙队单独做了几天？ 【答案】6天 【详解】1÷20= ×10= 1-= 1÷12= ÷=6（天） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 没有路的时候，我们会迷路；路多了的时候，我们也会迷路， 因为我们不知道该到哪里去。故事总要有结東的时候，但不是每个 人都有尾声的。 —迟子建《额尔古纳河右岸》 第1页共108页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期末复习专题二：应用与解决问题分数、比、百分数的应用 【10个方向42个考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 期末复习专题二：应用与解决问题·分数、比、百分数的应用 团专题内容 本专题以应用与解决问题为主，其中包括分数和百分数的应用、比的应用等 内容。 ©评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★：重难点：★★★★★ 旦讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资 料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高。综合性强。题型多样，建议作 为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 10个方向42个考点 第二篇章 考点导航篇 【预测命题方向一】分数（百分数）乘法基本应用题：六种问题 原【考点01】单位"1”与等量关系式… .6 只【考点2】求一个数的几分之几是多少 7 只【考点03】连续求一个数的几分之几是多少 …8 原【考点04】已知单位"1”，求比一个数的几分之几多或少多少，是多少…9 只【考点0S】已知单位"1”，求比一个数多或少几分之几，是多少…11 只【考点06】分率变化问题… 12 第2页共108页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 果【考点07】分量和分率的区分问题… .14 【预测命题方向二】分数（百分数）除法基本应用题：十种问题 只【考点01】求一个数是（占）另一个数的几分之几… 17 原【考点02】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几… .17 原【考点03】已知一个数的几分之几是多少，求这个数… 原【考点04)已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） .20 月【考点0S】分数乘除混合应用题21 月【考点06】分量和分率区分问题22 只【考点07】分数除法中的归一问题… .23 原【考点08】已知此一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数 .24 原【考点9】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数… .26 冥【考点10】分数除法中的和嗟倍问题… .28 【预测命题方向三】典型问题•量率对应问题 原【考点01】七种常考量率对应问题… .31 原【考点02】与“比”结合的量率对应问题… .38 只【考点03】与“百分数”结合的量率对应问题… …39 【预测命题方向四】典型问题单位“1”转化问题 原【考点01】分擞（百分擞）乘法钟的单位”1”转化问题42 只【考点02】分数除法中的单位“1”转化问题 ….45 【预测命题方向五】典型问题求比问题 冥【考点01】在实际情境中转化比与分数，求比… 50 原【考点2】在实际问题中求比… ...57 第3页共108页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【预测命题方向六】典型问题按比例分配问题 只【考点01】三种基础按批例分配问题… .65 只【考点02】和此问题进阶 68 具【考点3】和比问题拓展。 .73 【预测命题方向七】典型问题•不变量问题 原【考点01】三种基本不变量问题… ..77 月【考点02】综合性不变量问题79 【预测命题方向八】典型问题百分数典型问题一 只【考点01】百分率问题… 81 原【考点2】变化幅踱问题、 .83 只【考点3】计算盈利或污损… 84 果【考点04】浓度问题… ..86 【预测命题方向九】典型问题·百分数典型问题二 原【考点01】折扣和成数的意义及多类型数转化… ....90 原【考点02】折扣问题 90 原【考点03】促销问题… .93 月【考点04)】成擞问题 95 原【考点0S】纳税问题 96 只【考点06】储蓄问题 …98 【预测命题方向十】典型问题·工程问题 第4页共108页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 考点预测篇 【预测命题方向一】分数（百分数）乘法基本应用题：六种问题 如命题趋势 1.设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 2.命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 兵方法点拨 1.寻找单位“1”。 (1)“占”、“是”、“比”的后面。 (2)在分率句中，“分率”的前面。 2.写等量关系式。 (1)“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； (2)分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量： (3)分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×(1士分率)=分率对应量。 (己知单位“1”的量（用乘法)，求单位“1”的几分之几是多少) 3.画线段图。 (1)两个量的关系：画两条线段图； (2)部分和整体的关系：画一条线段图。 4.求一个数的几分之几是多少的解题方法。 求一个数的几分之几是多少，单位“1”的量×对应的分率=对应分量 5.连续求一个数的几分之几是多少的解题方法。 单位“1”的量×分数=对应量（比较量）。 6.已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法。 方法一：单位“1”的量±单位1的量×另一个数量比单位“1”多（或少）的几 分之几=另一个数量： 方法二：单位“1”的量×1±另一个数量比单位“1”多（或少）的几分之几=另一 个数量。 目考察形式 应用 過动态评价 ★★ 第5页共108页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点01】单位“1“与等量关系式 吕【典型例题】 1.松树棵数相当于柏树棵数的子是把( )看作单位1：“九月份用水量比八月份节约 了巾，单位1( )。 【答案】 柏树棵数 八月份用水量 【分析】根据判断单位1的方法：一般是把比、占、是、相当于”后面的量看作单位1，即 分数“的字前面的量看作单位1”，进行解答即可。 【详解】“松树棵数相当于柏树棵数的是把（柏树棵数）看作单位1：九月份用水量比八 月份节约了”中，单位是（八月份用水量）。 【点晴】掌握判断单位1的方法是解题的关键。 2.红花朵数是黄花朵数的子，把( )的朵数看作单位“1”，等量关系式是( 【答案】 黄花 黄花的朵数×2=红花的朵数 【分析】主要考虑两个量之间单位“1的确定：找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相 当于、等于、是、占 通用关系式：（分率和具体数量要对应）单位“1的量×分率=具体数量，根据“红花朵数是黄 花朵数的找出单位“1八再进一步写出对应的等量关系即可。 【详解】黄花的朵数<=红花的朵数 红花朵数是黄花朵数的行，把黄花的朵数看作单位1，等量关系式是黄花的朵数号=红花的 朵数。 肥【对应练习】 1“女生人数相当丁男生人数的是把( )看作单位1”：9月的用水量比8月节约了 9月的加水量是8月的 3 【答案】男生人数： 3 第6页共108页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 【分析】一般把的字之前的物体看作单位1”，即把谁平均分成若干份谁就是单位1；把8 月份的用水量看作单位1，则9月的用水量是8月的1-子，据此填空即可。 【详解11-} 则女生人数相当于男生人数的子“是把男生人数看作单位，9月的用水量比8月节约了兮 9月的用水量是8月的， 【点睛】本题考查单位“1的确定，明确把谁平均分成若干份谁就是单位“1”是解题的关键。 2“小强的身高是m,比妈妈的身高矮，这句话中把( )看作单位1”，数量关系式 是( )。 【答案】 妈妈的身高 妈妈的身高×(1一)=小强的身高 【分析】确定单位“1”，找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、等于、是、占.…： 将妈妈身高看作单位，小强身高是妈妈的1-)，根据整体数量×部分对应分率=祁分 数量，写出数量关系式。 【详解】“小强的身高是m,比妈妈的身高矮；”。这句话中把妈妈的身高看作单位“1，数量 关系式是妈妈的身高×1一之）=小强的身高，或小强的身高÷(1一)=妈妈的身高。 【点睛】关键是掌握确定单位1的方法，理解分数乘除法的意义。 原【考点02】求一个数的几分之几是多少 吕【典型例题】 青奥会在江苏省南京市举办，青奥村的食堂运来0.54吨大米，两天用去了总量的号，用去了 多少吨？ 【答案】0.24吨 【分析】把大米的总吨数看作单位1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用大米的总吨 数乘两天用去了总量的分率，即可求出用去了多少吨。 【详解】04×号024（吨） 答：用去了0.24吨。 肥对应练习】 第7页共108页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 新华小学报名兴趣小组的人数占学校总人数的子，其中有品的学生报名书法兴趣小组。报名书 法兴趣小组的人数占学校总人数的几分之几？ 【答案】日 【分析】从其中有的学生报名书法兴趣小组可知，以兴趣小组的人数为单位，兴趣小 组的人数占学校总人数的子，书法兴趣小组的人数占兴趣小组的人数的，也就是求号的品是 2×5即可求解。 多少，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用×2 【详解】 2×5=5 31218 答：报名书法兴趣小组的人数占学校总人数的 8。 原【考点03】连续求一个数的几分之几是多少 吕【典型例题】 脱贫致富，我们在路上。李爷爷的养殖场今年养鸭12000只，养的鸡的只数是鸭的：， 养的鹅 的只数是鸡的，李爷爷的养殖场今年养鹅多少只？（先画线段图，再列式解答。） 【答案】图见详解 3200只 【分析】把鸭的只数看作单位1”，画一条线段表示鸭的只数，把它平均分成5份，鸡的只数 是鸭的；，表示鸡的线段是4份，鸡的只数是鸭的，根据分数乘法的意义，用鸭的只数乘 求出鸡的只数，把鸡的只数看作单位1”，平均分成3份，鹅的只数占1份，养的鹅的只数是 鸡的，根据分数乘法的意义，再用鸡的只数乘即可求出鹅的只数。 【详解】如下图： 12000只 鸭 鸡 鹅 ?只 41 12000×5×3 第8页共108页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =960*号 =3200(只) 答：李爷爷的养殖场今年养鹅3200只。 肥【对应练习】 实验小学科技节一共收到132件科技作品，其中有的作品获奖，一等奖占获奖总数的高，获 等奖的作品有多少件？ 【答案】33件 【分析】先把科技作品的总件数看作单位“1，获奖作品占总件数的，单位1已知，用总件 数乘名，求出获奖作品的件数： 再把获奖作品的件数看作单位1，一等奖占获奖总数的品，单位1已知，用获奖作品的件数 乘品求出获一等奖作品的件数。 【详解】132×6*10 53 =110×10 3 =33(件) 答：获一等奖的作品有33件。 原【考点04】已知单位“1”，求此一个数的几分之几多或少多少，是多少 吕【典型例题】 1月亮乡去年退耕还林45公顷，今年退耕还林比去年的还多2公顷。月亮乡今年退耕还 林多少公顷？ 【答案】5.3公顷 【分析】根据题意可知，把去年退耕还林的公顷数看作单位1，根据分数乘法的意义，用45× 15 即可求出去年退耕还林的公顷数的是多少，再加上2公顷即可求出月亮乡今年退耕还林的 15 公顷数。据此解答。 【详解】45号+2 第9页共108页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =3.3+2 =5.3(公顷) 答：月亮乡今年退耕还林5.3公顷。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 2.疫情期间，大华学校储备了200支测温枪，明星学校的储备量比大华学校的。少50支。明 星学校储备了多少支测温枪？ 【答案】110支 【分析】把大华学校的测温枪数量看作单位“1，明星学校的储备量比大华学校的！少50支， 单位“1已知，用大华学校的测温枪数量乘，再减去50，即可求出明星学校储备的测温枪数 量。 【详解】200号-50 =160-50 =110(支) 答：明星学校储备了110支测温枪。 【点睛】本题考查分数乘法的意义及应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 肥【对应练习】 武汉有一江三镇”，这里一座座跨江大桥凌空而起。汉江湾桥是武汉首座矮塔单索面斜拉桥， 也是汉江上最宽的桥梁，桥面宽度达525米。它的主桥长比武汉长江大桥主桥全长的多4 米，武汉长江大桥主桥全长1670米，汉江湾桥主桥全长多少米？ 【答案】672米 【分析】把武汉长江大桥主桥的全长看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用1670x即可求出 武汉长江大桥主桥全长的二是多少，再加上4米即可求出汉江湾桥主桥的全长。 【详解】1670号+4 =668+4 =672(米) 答：汉江湾桥主桥全长672米。 第10页共108页 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末复习专题二：应用与解决问题·分数、比、百分数的应用 【10个方向42个考点】 专题名称 期末复习专题二：应用与解决问题·分数、比、百分数的应用 专题内容 本专题以应用与解决问题为主，其中包括分数和百分数的应用、比的应用等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 10个方向42个考点 【预测命题方向一】分数（百分数）乘法基本应用题：六种问题 【考点01】单位“1”与等量关系式 6 【考点02】求一个数的几分之几是多少 6 【考点03】连续求一个数的几分之几是多少 7 【考点04】已知单位“1”，求比一个数的几分之几多或少多少，是多少 7 【考点05】已知单位“1”，求比一个数多或少几分之几，是多少 8 【考点06】分率变化问题 9 【考点07】分量和分率的区分问题 9 【预测命题方向二】分数（百分数）除法基本应用题：十种问题 【考点01】求一个数是（占）另一个数的几分之几 12 【考点02】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几 12 【考点03】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 13 【考点04】已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） 13 【考点05】分数乘除混合应用题 13 【考点06】分量和分率区分问题 14 【考点07】分数除法中的归一问题 14 【考点08】已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数 14 【考点09】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数 15 【考点10】分数除法中的和差倍问题 16 【预测命题方向三】典型问题·量率对应问题 【考点01】七种常考量率对应问题 17 【考点02】与“比”结合的量率对应问题 19 【考点03】与“百分数”结合的量率对应问题 20 【预测命题方向四】典型问题·单位“1”转化问题 【考点01】分数（百分数）乘法中的单位“1”转化问题 21 【考点02】分数除法中的单位“1”转化问题 22 【预测命题方向五】典型问题·求比问题 【考点01】在实际情境中转化比与分数，求比 24 【考点02】在实际问题中求比 25 【预测命题方向六】典型问题·按比例分配问题 【考点01】三种基础按比例分配问题 27 【考点02】和比问题进阶 29 【考点03】和比问题拓展 31 【预测命题方向七】典型问题·不变量问题 【考点01】三种基本不变量问题 32 【考点02】综合性不变量问题 33 【预测命题方向八】典型问题·百分数典型问题一 【考点01】百分率问题 35 【考点02】变化幅度问题 36 【考点03】计算盈利或亏损 36 【考点04】浓度问题 37 【预测命题方向九】典型问题·百分数典型问题二 【考点01】折扣和成数的意义及多类型数转化 39 【考点02】折扣问题 39 【考点03】促销问题 40 【考点04】成数问题 41 【考点05】纳税问题 41 【考点06】储蓄问题 42 【预测命题方向十】典型问题·工程问题 【预测命题方向一】分数（百分数）乘法基本应用题：六种问题 命题趋势 1. 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 寻找单位“1”。 （1）“占”、“是”、“比”的后面。 （2）在分率句中，“分率”的前面。 2. 写等量关系式。 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图。 （1）两个量的关系：画两条线段图； （2）部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 求一个数的几分之几是多少的解题方法。 求一个数的几分之几是多少，单位“1”的量×对应的分率=对应分量 5. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法。 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量）。 6. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法。 方法一：单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； 方法二：单位“1”的量×1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量。 考察形式 应用 动态评价 【考点01】单位“1”与等量关系式 【典型例题】 1. “松树棵数相当于柏树棵数的”是把( )看作单位“1”；“九月份用水量比八月份节约了”中，单位“1”是( )。 2. 红花朵数是黄花朵数的，把( )的朵数看作单位“1”，等量关系式是( )。 【对应练习】 1. “女生人数相当于男生人数的”是把( )看作单位“1”；“9月的用水量比8月节约了”，9月的用水量是8月的。 2. “小强的身高是m，比妈妈的身高矮”。这句话中把( )看作单位“1”，数量关系式是( )。 【考点02】求一个数的几分之几是多少 【典型例题】 青奥会在江苏省南京市举办，青奥村的食堂运来0.54吨大米，两天用去了总量的，用去了多少吨？ 【对应练习】 新华小学报名兴趣小组的人数占学校总人数的，其中有的学生报名书法兴趣小组。报名书法兴趣小组的人数占学校总人数的几分之几？ 【考点03】连续求一个数的几分之几是多少 【典型例题】 脱贫致富，我们在路上。李爷爷的养殖场今年养鸭12000只，养的鸡的只数是鸭的，养的鹅的只数是鸡的，李爷爷的养殖场今年养鹅多少只？（先画线段图，再列式解答。） 【对应练习】 实验小学科技节一共收到132件科技作品，其中有的作品获奖，一等奖占获奖总数的，获一等奖的作品有多少件？ 【考点04】已知单位“1”，求比一个数的几分之几多或少多少，是多少 【典型例题】 1. 月亮乡去年退耕还林4.5公顷，今年退耕还林比去年的还多2公顷。月亮乡今年退耕还林多少公顷？ 2. 疫情期间，大华学校储备了200支测温枪，明星学校的储备量比大华学校的少50支。明星学校储备了多少支测温枪？ 【对应练习】 武汉有“一江三镇”，这里一座座跨江大桥凌空而起。汉江湾桥是武汉首座矮塔单索面斜拉桥，也是汉江上最宽的桥梁，桥面宽度达52.5米。它的主桥长比武汉长江大桥主桥全长的多4米，武汉长江大桥主桥全长1670米，汉江湾桥主桥全长多少米？ 【考点05】已知单位“1”，求比一个数多或少几分之几，是多少 【典型例题】 1. 一个饲养场养鸡2000只，养的鸭比鸡多，养的鸭有多少只？ 2. 菜场运来白菜750千克，运来的萝卜比白菜少，运来萝卜多少千克？ 【对应练习】 1. 一个捕鱼队九月份捕鱼63吨，十月份比九月份多捕。十月份捕鱼多少吨？ 2. 某小学五年级有学生288人，四年级的人数比五年级少，四年级有多少人？ 【考点06】分率变化问题 【典型例题】 2025年植树节，学校领回了600棵树苗，分给了六年级全部树苗的，余下树苗分给了五年级，五年级分得了多少棵树苗？ 【对应练习】 1. 在2022年北京冬奥会期间，某商场进了880个“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，其余的在第二天和第三天卖完，该商场第二天和第三天共卖了多少个“冰墩墩”吉祥物玩偶？ 2. 一堆西瓜共2100千克，第一天运走了全部的，第二天运走了全部的，两天共运走了多少千克？ 【考点07】分量和分率的区分问题 【典型例题】 一根电线长26.4米，第一次用去，第二次用去米，两次一共用去多少米？ 【对应练习】 1．「总量确定」两根长5米长的绳子，第一根用去米，第二根用去它的，两根绳子剩下部分比较( )。 A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．无法比较 2．「总量不确定」两根同样长的绳子，第一根用去了它的，第二根用去了米，它们余下的部分( )。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法比较 【预测命题方向二】分数（百分数）除法基本应用题：十种问题 命题趋势 1. 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 求一个数是（占）另一个数的几分之几。 求一个数是（占）另一个数的几分之几，直接用除法计算，即一个数÷另一个数（单位“1”）=分率。 2. 已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几。 求一个数比另一个数多或少几分之几，口诀是（“作差除（以）比后”）。 3. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 单位“1”未知，用除法，分量÷分率=单位“1”。 4. 已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） 分数连除应用一般在题目中会有两个及以上单位“1”，且都未知，要求我们找准不同分量对应的分率，进而求得最终结果。 5. 分数乘除混合应用题。 解题关键是找出单位“1”，分清单位“1”是否已知，如果单位“1”已知，用分数乘法计算，如果单位“1”未知，用分数除法计算。 6. 分量和分率区分问题。 （1）求平均每份是多少，即总数÷份数=每份数量。 （2）求每份占几分之几，即把总数看作单位“1”，用单位“1”÷份数=几分之几。 7. 已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数。 （1）分量÷（1+分率）=单位“1”；（2）分量÷（1－分率）=单位“1”。 8. 已知两个量的和或差，其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量（分数除法中的和差倍问题）。 (1)设其中一个未知量为x，用含有x的式子表示另一个未知量； (2)根据“一个数±另一个数=和(差)”列出方程； (3)求出x的值，并根据两个数的倍数关系求出另一个数。 考察形式 应用 动态评价 【考点01】求一个数是（占）另一个数的几分之几 【典型例题】 小红有故事书120本，有文艺书180本，小红故事书的本数是文艺书的几分之几？ 【对应练习】 鹰的视力非常强大。鹰眼每立方厘米有视觉细胞150万个，人眼每立方厘米有视觉细20万个，人眼视觉细胞的数量相当于鹰眼的几分之几？ 【考点02】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几 【典型例题】 1. 山前村计划造林200公顷，实际造林250公顷，实际造林增加了几分之几？ 2. 17.5吨比20吨少几分之几？ 【对应练习】 1. 某工厂计划生产2000双鞋子，实际生产了2400双，实际比计划多生产几分之几？ 2. 学校食堂有大米60千克，面粉45千克，面粉比大米少几分之几？ 【考点03】已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题】 甲汽车每小时行60千米，是乙汽车速度的，乙汽车每小时行多少千米？ 【对应练习】 一头小牛早上喝了3升水，是全天饮水量的，这头小牛一天喝多少升水？ 【考点04】已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） 【典型例题】 朝晖小学生物小组的同学收集标本，收集到的蝴蝶是蜻蜓的，蜻蜓是甲壳虫的，蝴蝶有12只，甲壳虫有多少只？ 【对应练习】 水果店运来一批水果，苹果的重量是梨的，梨的重量相当于香蕉的，运来苹果135吨，运来香蕉多少吨？ 【考点05】分数乘除混合应用题 【典型例题】 学校美术组有48人，合唱组的人数是美术组的，又是书法组的，书法组有多少人？ 【对应练习】 师徒二人共同生产一批零件，师傅每小时生产128个，占零件总数的。完成任务时，徒弟生产的零件个数占零件总数的，徒弟生产了多少个零件？ 【考点06】分量和分率区分问题 【典型例题】 一袋糖重千克，平均分成4份，每份是这袋糖重的，每份糖重( )千克。 【对应练习】 把米的丝带平均截成3段，每段是米的( )，每段长( )米。 【考点07】分数除法中的归一问题 【典型例题】 一种铁丝米重千克，这种铁丝1米重( )千克，1千克长( )米。 【对应练习】 王阿姨小时织了米长的布，照这样计算，王阿姨1小时织布( )米，织1米长的布需要( )小时。 【考点08】已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数 【典型例题】 1. 红星小学六年级有48人参加学校社团活动，比五年级多，六年级参加社团活动的人数比五年级多多少人？ 2. 一列高铁的速度是220千米/时，比一架直升机的速度慢，这架直升机的速度是多少？ 【对应练习】 1. 植树节到了，星空小学的同学们计划到文化公园开展“播种绿色，播撒文明”植树活动。六（1）班种了60棵小树苗，比六（2）班多种了，六（2）班种了多少棵小树苗？ 2. 保护家园，人人有责。前进小学开展“做讲卫生小卫士”活动，六年级男同学收废纸20千克，比女同学少收。六年级同学一共收废纸多少千克？ 【考点09】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数 【典型例题】 1. 学校舞蹈队有48人，比合唱队人数的多3人，合唱队有多少人？ 2. 某小学在6月5日“世界环境日”这一天，举办“爱护环境，从我做起”的活动。五年级共收集塑料瓶80个，比六年级收集塑料瓶的少10个。六年级收集了多少个塑料瓶？（列方程解答） 【对应练习】 1. 养殖场今年养鸡1805只，今年养的只数是去年养的只数的多5只。去年养鸡多少只？（列方程计算） 2. 某车间加工一批零件，已经加工了510个，比计划加工的少90个。计划加工多少个零件？（列方程解） 【考点10】分数除法中的和差倍问题 【典型例题】 六年级举行篮球比赛，六（1）班全场得了48分，其中下半场得分是上半场的。六（1）班上半场和下半场各得多少分？ 【对应练习】 1. 姐妹二人做幸运星，姐姐做的颗数是妹妹的，姐妹两人一共做了72颗幸运星，姐姐做了多少颗幸运星？（用方程解决问题） 2. 合唱团共有54人，其中男生人数是女生人数的。男生和女生各有多少人？（列方程解答） 【预测命题方向三】典型问题·量率对应问题 命题趋势 1. 期末重点考察问题，算术法、方程法、画线段图法等多方法解决问题，趋向于补充线段图，再解决问题。 2 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 分数除法应用题从解题形式上来看，一般使用两种方法解决问题。 一种是方程法，即分析已知条件，找出等量关系式，再设未知数列方程解决问题，但列方程解决分数应用题较为抽象，不易为大多数同学理解，而且步骤相对较多，容易出错；有鉴于此，我们常常采用另外一种方法，即算术法，本篇内容介绍使用量率对应法列算式解决分数除法应用题。 2. 量率对应问题。 由于分数乘法应用题的学习，我们对分量、分率、单位“1”等概念已经有了充分的认识。在分数乘法应用题中，我们已知单位“1”，使用乘法计算，而在分数除法应用题中，我们未知单位“1”，使用除法计算，其中量率对应原则便是使用算术方法解决分数除法应用题的核心，首先要明确分量和分率各自的含义，其次要分析分量和分率是否一一对应，最后用对应分量÷对应分率=单位“1”。 考察形式 应用 动态评价 【考点01】七种常考量率对应问题 【典型例题】 1. 某修路队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修了240米。这条路全长多少米？ 2. 修路队修一段公路，第一天修了50米，第二天修了70米，两天正好修了全长的，这段路共多少米？ 3. 新学期开学时，小明把他积蓄的用来买文具，用来买课外读物，他发现买课外读物的钱比买文具多花了20元，小明有积蓄多少钱？ 4. 小明买了一个笔记本和一支钢笔，共花了24元，其中笔记本的价格正好是钢笔价格的，一个笔记本和一支钢笔的价格各是多少元？ 5. 鲜蜜果园的橘子树比枇杷树多120棵，已知枇杷树的棵数是橘子树的。鲜蜜果园的枇杷树有多少棵？ 6. 工地有一批水泥，第一天运走，第二天运走，还剩下25吨，这批水泥有多少吨？ 7. 修路队修一段公路，第一天修了320米，第二天修了400米，还剩下这段路的。这段公路全长多少米？ 【对应练习】 1. 小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了72页。这本书共有多少页？ 2. 一条公路，修路队第一天修了20米，第二天修了24米，两天共修了这条公路的，这条公路全长多少米？ 3. 李老师打一篇稿件，第一天打了这篇稿件的，第二天打了这篇稿件的，第二天比第一天多打了9页。这篇稿件一共有多少页？ 4. 今年植树节六年级共植树280棵，男生植树棵数比女生的多10棵，六年级女生共植树多少棵？ 5. 仓库里篮球的个数是足球的，足球比篮球多12个，足球和篮球各有多少个？ 6. 果园里有一批苹果，上午运走全部的，下午运走全部的，还剩下140千克没运。这批苹果共有多少千克？ 7. 赵师傅安装电话，一捆电话线第一次用去了16米，第二次用去了12米，还剩下这捆电话线的。这捆电话线原来长多少米？ 【考点02】与“比”结合的量率对应问题 【典型例题】 某食堂第一周用去面粉总袋数的，第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是3∶10，现在还剩50袋面粉，食堂一共有多少袋面粉？ 【对应练习】 一本科技书，小明第一天看了全书的，第二天又看了42页，这时已看的页数与剩下页数的比是2∶3。小明第一天看了多少页？ 【考点03】与“百分数”结合的量率对应问题 【典型例题】 修一段公路，第一天修了全长的26%，第二天修了全长的40%，第二天比第一天多修420米，这段公路有多少米？ 【对应练习】 1. 果园里苹果树比梨树多120棵，已知梨树的棵数是苹果树的80%。果园里苹果树和梨树分别有多少棵？ 2. 李老师看一本书，第一天看了全书的20%，第二天看了全书的25%，还剩下88页没有看，这本书共有多少页？（用方程解答） 3. 雷老师开车从A城到B城，第一天行了全程的44%，第二天行了全程的，已知第二天比第一天少行了56千米。第一天行了多少千米？ 【预测命题方向四】典型问题·单位“1”转化问题 命题趋势 1. 期末难点问题，凸显综合性和分析能力。 2 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 关于单位“1”转化问题。 单位“1”作为一个抽象表示概念，在分数问题中作为基准量，如果出现动态变化时，是不能够直接使用量率对应法解决问题的，这时候，就需要根据条件动态调整单位“1”，确保分量与分率严格对应，这样的一类需要动态调整单位“1”的问题，我们把它叫做单位“1”转化问题。 2. 解题方法。 单位“1”转化问题，本质上是在量率对应问题的进基础上调整了单位“1”，因此，在分析分率条件时，比较抽象，难以理解，但是核心解题思路仍然是量率对应法，在实际解决问题时，可以多采用数形结合的方式进行理解，另外，注意抓取关键词，以作为区别普通量率对应问题的特征。 考察形式 填空、应用 动态评价 【考点01】分数（百分数）乘法中的单位“1”转化问题 【典型例题】 1. 一台电视机原价是2400元，先提价后再降价销售，现在的售价比原价高还是比原价低？ 2. 一本书有225页，小红第一天看了，第二天看了剩下的，第三天应从多少页看起？ 【对应练习】 1. 李师傅准备加工240个零件，第一天加工了30个，第二天加工了余下了，还剩下多少个零件没有加工？ 2. 水果超市运进2000千克西瓜，第一天卖出25%，第二天卖出剩余的。超市还剩下多少千克的西瓜？ 3. 工程队修一条公路，第一个月修了全长的，第二个月修了剩余部分的50%，还剩下780米没有修完，这条公路全长多少米？ 【考点02】分数除法中的单位“1”转化问题 【典型例题】 1. 六年级一班的男生占全班人数的，女生比男生少( )，男生比女生多( )。 2. 一段路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，这时还剩下300米没有修，这段路全长多少米？ 3. 耀华印刷公司某打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的，第二天打了余下稿件的，这时已打好的比余下的多4500字，求第一、二天各打了多少字？ 4. 家家乐水果店运进一批苹果，第一天卖出37.5%，第二天卖出剩下的，还剩下210千克苹果，第一天卖出多少千克苹果？ 【对应练习】 1. 女生人数比男生人数多，女生人数是男生人数的( )。 2. 一本文艺书，小明第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天看了再余下的，还剩下80页。这本书共有多少页？ 3. 小明假期做作业，第一天完成了全部的，第二天完成了剩余部分的，第一天比第二天多做了1页，小明还有多少页作业没做？ 4. 梅岭镇要修一条红色旅游路，第一天修了全长的25%多50米，第二天修了剩下的40%少20米，这时还剩下890米没有修，这条红色旅游路全长多少米？ 【预测命题方向五】典型问题·求比问题 命题趋势 1. 多结合不同类型问题进行综合考察，凸显综合性和开放性。 2. 设置实际情境，结合生活实际，凸显生活化。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 求比问题是设置情境，根据问题中的数量或份数，求出相对应的比，一种是直接情境求比，相对轻松，考察比的化简和基本性质；一种是在典型问题中求比，例如行程问题、工程问题、图形几何问题等，需要我们熟悉相关问题的基本解法，并分析条件，再进行最终解答。 考察形式 填空、选择 动态评价 【考点01】在实际情境中转化比与分数，求比 【典型例题】 1. 女同学人数是男同学的。 （1）男、女同学人数之比是( )，女同学和总人数之比是( )。 （2）男同学人数比女同学多，女同学人数比男同学少。 2. 实验小学六（3）班男生人数比女生人数多，则男生人数是女生人数的( )，女生人数比男生人数少( )，女生人数与全班人数的比是( )。 3. 一箱苹果，吃了，已吃了的和剩下的比是( )，比值是( )。 4. 甲数的和乙数的相等，则甲∶乙＝( )∶( )，比值是( )。 5. 六（1）班男女生人数比是4∶3，则女生占全班的，男生比女生多。 【对应练习】 1. 六（1）班女生人数是男生人数的，女生人数与全班人数的比是( )，男生人数比女生人数多。 2. 甲数比乙数多，甲数与乙数的比是( )，乙数与两数之和的比是( )。 3. 一堆大米，已经运走35吨，还剩下总数的。运走的与剩下的吨数比是( )，还剩下( )吨。 4. 有两堆小麦，甲堆小麦质量的正好等于乙堆质量的。甲乙两堆小麦质量的比是( )∶( )。 5. 篮球、排球、足球个数的比是5∶3∶2，排球占总数的( )，篮球是足球的( )，篮球比排球多( )，足球比排球少( )。 【考点02】在实际问题中求比 【典型例题1】 5克的盐完全溶解在45克水中，水与盐质量的最简比是( )，盐和盐水质量的最简比是( )。 【对应练习】 20克糖和100克水调制成糖水，糖和水的质量比化简后是( )。如果再加入20克水和20克糖后，调制的糖水会更甜吗？( )（填写“会”或“不会”）。 【典型例题2】 一件工程，甲独做8天完成，乙独做10天完成，甲和乙工作效率的比是( )。 【对应练习】 一项劳动任务，小明独做小时完成，小华独做小时完成，小明、小华的工作效率最简整数比是( )。 【典型例题3】 一辆汽车时行驶20千米，这辆汽车行驶的路程和所用时间的比是( )，比值是( )。 【对应练习】 1. 走完一段900米长的小路，小军用15分，小伟用20分，小军和小伟所用时间的比是( )，速度的比是( )。 2. 爸爸与小明跑的路程比是4∶3，爸爸与小明用的时间比是4∶5，则爸爸和小明的速度比是( )。 【典型例题4】 1. 小正方形的边长是4厘米，大正方形的边长是6厘米，则大、小正方形的周长之比是( )，面积之比是( )。 2. 两个大、小正方体的棱长之比是5∶4，则表面积之比是( )，体积之比是( )。 【对应练习】 如图，两个正方体的棱长比是1∶2，那么它们的表面积的比是( )，体积的比是( )。 【典型例题5】 1．一个减法算式中，减数是差的，被减数与差的比是( )。 2．A除以B的商是1.6，A与B的最简整数比是( )。 【对应练习】 一道减法算式中，如是差是减数的，那么被减数与减数的比是( )。 【典型例题6】 香蕉千克数与芒果千克数的比是3∶4，单价的比是5∶4，香蕉与芒果总价的比是( )，比值是( )。 【对应练习】 1. 学校购回的A、B两种型号电脑台数比是5：6，总价比是3：4，则A、B两种型号电脑单价比是( )。 2. 笑笑买水果，她带的钱正好可以买3千克苹果或5千克桔子。苹果和桔子的单价比是( )。 【预测命题方向六】典型问题·按比例分配问题 命题趋势 1. 期末重点考察问题，考点变式较多。 2. 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 按比例分配问题的含义。 在工业生产和现实生活中，常常把一个总量按照一定的比进行分配，这种分配的方法叫作按比分配。 2. 按比例分配问题的三种基本类型。 按比例分配问题主要分为和比问题、差比问题、单一量与比的问题等三种基本问题，三种问题的解答方法大同小异，关键在于分析已知条件，判断不同题型，再根据方法解答。 3. 按比例分配问题常用的两种解答方法。 一是平均分法，即把比看作份数之比，先求出总份数，然后求出每份的数量(总数量÷总份数)，再求出各部分对应的具体数量(每份的数量×各部分对应的份数)。 二是转化法，即把比转化为分数，先求出各部分的量占总量的几分之几，再求出各部分对应的具体数量，也就是把问题转化为求一个数的几分之几是多少，用分数乘法解决。 考察形式 应用 动态评价 【考点01】三种基础按比例分配问题 【典型例题1】 某条公路上，停着小客车、小轿车共56辆，这两种车的辆数比为3∶4，求客车、轿车各有多少辆？（用两种方法解答） 【对应练习】 小红一家4口和小明一家5口到餐厅用餐，餐费总共是450元，两家决定按人数分摊餐费。两家各应付多少钱？ 【典型例题2】 某果园桃树和李树的棵数比是3∶8，桃树比李树少90棵，该果园共有桃树和李树多少棵？ 【对应练习】 水果店运来苹果比橙子少240千克，已知苹果与橙子的质量比是3∶5，水果店运来苹果和橙子一共多少千克？ 【典型例题3】 计算器的单价是24元，笔记本的单价与计算器的单价比是3∶8。买一本笔记本需要多少元？ 【对应练习】 一件上衣的售价是60元，裤子与上衣单价的比是2∶3。每条裤子多少元？ 【考点02】和比问题进阶 【典型例题】 1. 学校的劳动实践基地共500平方米，学校准备用种西红柿，剩下的按3∶2的面积比种黄瓜和茄子。黄瓜和茄子的占地面积分别是多少平方米？ 2. 新世纪小学四、五、六年级共有27个班，平均每个班35人，三个年级的人数比是2∶3∶4。四、五、六年级各有多少人？ 3. 有一块长方形的菜地，长方形的长和宽的比是，它的周长为24米，求这块长方形菜地的面积是多少？ 4. 一个三角形的三个内角度数比为1∶2∶1，最大的内角是( )°，它是( )三角形（按边分）。 5. A、B两地相距750千米，甲．乙两车同时从A、B两地相对开出，相向而行，经过5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是8∶7。求甲车每小时行多少千米？ 【对应练习】 1. 王老伯家的菜地共800平方米，他准备用种西红柿，剩下的按5∶3的面积比种黄瓜和茄子。三种蔬菜的占地面积分别是多少平方米？ 2. 某文具店第一季度平均每月销售额为9000元，其中一月、二月和三月销售额之比是3∶4∶2。这个文具店三月份的销售额是多少万元？ 3. 小明用250厘米长的铁丝做了一个长方形框架，长、宽的比是3∶2，这个长方形的面积是多少？ 4. 一个三角形的三个内角度数比是2∶1∶2，则这个三角形的最大角是( )°；若按角分类，这是一个( )三角形。 5. 甲、乙两车从相距350千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇。已知甲车的速度与乙车的速度比是2∶3，乙车每小时行多少千米？ 【考点03】和比问题拓展 【典型例题】 1. 一个等腰三角形顶角与底角的度数比是1∶4，则这个三角形底角是多少度？ 2. 一个长方体棱长总和为96厘米，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的长、宽、高各是多少？ 3. 光明小学六年级有学生140人，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2:3，第二小组和第三小组的人数比4:5，这三个小组各是多少人？ 【对应练习】 1. 一个等腰三角形底角和顶角的度数比是1∶3，这个三角形最大的角是多少度？ 2. 小红用一根长144厘米的铁丝围成了一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高的比是5∶4∶3，这个长方体的长、宽、高各是多少？ 3. 箱子里有大中小零件共140个，其中大零件与中零件的个数比是2∶3，中零件与小零件的个数比是4∶5。这三种零件各有多少个？ 【预测命题方向七】典型问题·不变量问题 命题趋势 难度较大，综合性较强，侧重应用分析能力。 方法点拨 寻找不变量是解决含比不变量问题的关键。 考察形式 应用 动态评价 【考点01】三种基本不变量问题 【典型例题1】单量不变 今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的，毕业生走后，又招进新生220人，这时全校总人数是原来总人数的，原来学校共有多少人？ 【对应练习】 幸福里小学上学期六年级女生人数是男生的，下学期转来3名女生，这时女生人数是男生人数的。阳光小学下学期六年级男生比女生多多少人？ 【典型例题2】差不变 甲、乙两人原有书籍数量之比是25:13，后来两人都被借走了20本书，借完后甲、乙两人书籍数量的比是7:3，问：甲、乙两人原来共有多少本书籍？ 【对应练习】 小明的课外书与小芳课外书之比为6:1，如果两人再各买2本后，小明现有的课外书与小芳的课外书之比为5:1，小明原有课外书多少本？ 【典型例题3】和不变 小红和小明一共有105元钱。小红给小明18元后，小红与小明钱数的比正好是2∶3。小红、小明原来各有多少元钱？ 【对应练习】 六年级一班和二班原有图书本数的比是5∶3，一班给二班63本后，一班图书本数就是二班的，原来二班有图书多少本？ 【考点02】综合性不变量问题 【典型例题】 仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物重量比为2∶7，如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的60%。仓库原有货物多少吨？ 【对应练习】 小红看一本课外读物，看了的页数与未看的页数比是1∶3，如果再看24页，就可以看完全书的40%，这本课外读物一共有多少页？ 【预测命题方向八】典型问题·百分数典型问题一 命题趋势 1. 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 百分率问题。 求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，结果写成百分数，不带单位。 2. 百分率问题通用公式。 部分量÷总数量×100%=百分率 例如：合格率是指合格的产品数量占产品总数量的百分之几；发芽率是指发芽种子数占种子总数的百分之几。 3. 常见的百分率公式。 小麦的出粉率= ×100%；出勤率=×100% 花生的出油率=×100%；达标率=×100% 发芽率=×100%；成活率=×100%  合格率=×100%；投球的命中率=×100% 利润率= ×100%（利润=售价-进价） 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【考点01】百分率问题 【典型例题1】求百分率 科研人员培育了一种治沙植物“红柳”，在离沙漠边缘40千米处种了8000株红柳，成活了6800株。这批红柳的成活率是多少？ 【对应练习】 450千克大豆可榨油162千克，大豆的出油率是多少？ 【典型例题2】求部分量或总量 300kg的小麦可以磨出面粉225kg，小麦的出粉率是( )，照这样计算，480kg小麦可以磨出面粉( )kg；要磨出面粉1050kg，需要( )kg的小麦。 【对应练习】 一批树苗，种100棵，有97棵成活，这批树苗的成活率是( )；照这样计算，若要有582棵成活，则至少要种( )棵树苗。 【考点02】变化幅度问题 【典型例题】 西瓜的均价8月份比7月份上涨11%，受季节影响，9月份价格比8月份下降10%，9月份的价格和7月份价格相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？ 【对应练习】 博物院修文物，10月比9月少修10%，11月比10月多修20%，11月与9月相比是多修还是少修了？变化幅度是多少？ 【考点03】计算盈利或亏损 【典型例题】 某超市在“6·18”大促期间出售两件不同的商品，标价都是300元，其中一件盈利20%，另一件亏本20%。超市卖出这两件商品后，是赚了还是亏了？请用数据说明。 【对应练习】 某商店同时卖出两件商品，每件各得300元，其中一件盈利20%，另一件亏本20%。这个商店卖出这两件商品的总价是盈利，还是亏本？盈利或亏本多少元？ 【考点04】浓度问题 【典型例题】 1. 将20克含盐量是5%的盐水倒入80克的水中，混合后盐水的含盐量是( )%。 2. 在40克水中放入10克糖，这时糖占糖水的( )%；再加入( )克水，糖水浓度降为10%。 3. 丁丁现有浓度为10%的糖水20克，牛牛往里面加入了5克的糖，那么现在这杯糖水的浓度变成了多少？ 4. 现有浓度为20%的糖水60g，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？ 【对应练习】 1. 田田现有浓度为30%的糖水500克，牛牛往里面加入了500克水，浓度变为了多少? 2. 在10千克含盐15%的盐水中，加入( )千克水后，可得到含盐5%的水。 3. 有一份浓度为15%的盐水200克，加入50克盐，这时盐水的浓度变为多少？ 4. 将浓度为20%的盐水中加入50克盐，浓度变为36%，那么现在盐水的质量是多少？ 【预测命题方向九】典型问题·百分数典型问题二 命题趋势 1. 设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 折扣问题的基本数量关系。 (1)已知原价和折扣，求现价：现价=原价×折扣； (2)已知现价和折扣，求原价：原价=现价÷折扣； (3)已知原价和现价，求折扣：折扣=现价÷原价； (4)已知原价和折扣，求便宜的钱数：便宜的钱数=原价－原价×折扣或便宜的钱数=原价×(1－折扣)。 2. 纳税问题通用公式。 （1）税率= ×100%； （2）应纳税额=总收入×税率； （3）总收入=应纳税额÷税率。 3. 储蓄问题通用公式。 已知本金、利息、利率和存期中的任意三项可以求出其他项。 利息=本金×利率×时间；利息税＝本金×利率×时间×利息税税率。 4. 利润问题通用公式。 （1）利润=售价－进价（成本） （2）售价=进价（成本）＋利润 （3）利润率=利润÷成本×100% （4）利润=成本×利润率 （5）成本=利润÷利润率 （6）售价=成本×（1＋利润率） （7）成本=售价÷（1＋利润率） 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【考点01】折扣和成数的意义及多类型数转化 【典型例题】 ∶( )＝( )（填折扣）＝( )（填成数）。 【对应练习】 ＝0.75＝( )%＝( )∶24＝( )折＝( )（成数）。 【考点02】折扣问题 【典型例题1】 1. 一台电脑4000元，现在打八五折出售，现在购买要花多少钱？ 2. 某商店开展季末促销活动，所有商品一律八折，小涵买了一架飞机模型，原价120元，现价比原价便宜了多少钱？ 3. 一种儿童学习机，“双十一”期间打八折销售，售价为1600元，这台学习机的原价是多少元？ 4. 一本书原价12元，现在的售价是8.4元。这本书是按几折出售的？ 【对应练习】 1. 一件羽绒服原价是450元，现换季打七折，现价是多少元？ 2. 一种商品如果打八折，可便宜24元，这种商品原价多少元？ 3. 商场“五一”假期推出了“每满300减50”的促销活动，妈妈买了一件标价为500元的衣服。“满减”后相当于打了几折？ 【考点03】促销问题 【典型例题】 李老师准备为学校买10个篮球。 甲商店：每个篮球18元，买四送一。 乙商店：每个篮球18元，买6个以上，多买的打八折。 李老师去哪个商店买比较划算？ 【对应练习】 某品牌足球定价为每个120元。张老师上网查阅了四家店铺的促销情况（如下表）。如果要买5个，在哪家网店购买最省钱？至少需要多少钱？ 网店 促销方式（免运费） A 每满100元减30元 B 打七五折 C 先打八折后再每满200元减20元 D 买四赠一 【考点04】成数问题 【典型例题】 某县前年秋粮产量2.8万吨，去年比前年增产了三成，去年秋粮产量是多少万吨？ 【对应练习】 1. 为践行习爷爷“绿水青山就是金山银山”的理念，希望小学前年植树5000棵，去年的植树棵数比前年增加了三成。希望小学去年植树多少棵？ 2. 某市2022年出境旅游人数为12000人次，比上一年增长五成。该市2021年出境旅游人数为多少人次？ 【考点05】纳税问题 【典型例题】 祥云小区一套普通商品房的售价为40万元。如果一次付清房款，可按九五折优惠付款。但是购买这套房子还要按照实际一次付清房款的1.5%缴纳契税。如果晨晨家一次付清房款，她家购买这套商品房需缴纳契税多少万元？ 【对应练习】 1. 某饭店按2018年第三季度营业额的5%纳税，税后余额为38000元。这家饭店第三季度的营业额是多少元？ 2. 我国规定，月收入超过5000元的按下面的标准收费。 应纳税额 税率 不超过1500元的部分 3% 超过元的部分 10% 超过元的部分 20% …… … 小红的妈妈某月的收入是9000元，她应该缴多少元的个人所得税？ 【考点06】储蓄问题 【典型例题】 爸爸在银行存入了17000元，定期3年，年利率是2.60%，到期时可以实际得到利息多少元？ 【对应练习】 1. 2022年2月8日，小丽把她的3000元压岁钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%。到期支取时，她一共可以取回多少钱？ 2. 两年定期存款的年利率是2.70%，妈妈存款到期后取回本金和利息共2108元。妈妈当时存款多少元？ 3. 利用收集到的存款利率算一算：甲用2000元先存一年定期，到期后连本带息再存一年定期；乙用2000元直接存了二年定期，哪种存款方式到期后获得的利息多？（银行的利率分别为：定期一年3.25%，定期两年3.75%） 【预测命题方向十】典型问题·工程问题 命题趋势 1. 期末重点考察问题，涉及多种类型数和多种数量关系、运算关系，以体现综合能力。 2. 结合生活实际，凸显综合性和开放性。 3. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 工程问题的关键解法和基本步骤。 （1）关键解法 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 （2）基本步骤 步骤1：明确工作总量为单位“1”； 步骤2：根据单独完成时间表示效率； 步骤3：合作时效率和相加； 步骤4：1÷效率和求合作时间。 2. 工程问题的基本数量关系。 ①工作效率×工作时间=工作总量； ②工作效率=工作总量÷工作时间； ③工作时间=工作总量÷工作效率。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【考点01】工程问题基本题型 【典型例题】 一项工程，甲乙合作需要12天完成，甲单独做需要36天完成，那么： （1）甲的工作效率是多少？ （2）甲乙合作的工作效率是多少？ （3）乙的工作效率是多少？ 【对应练习】 1. 某建筑队承包一项工程，8天完成它的，每天完成这项工程的几分之几？14天一共完成这项工程的几分之几？ 2. 学校开展劳动基地实践活动，六（1）中队每天能翻整块菜地的，六（2）中队每天能翻整块菜地的，两个中队合作，几天能翻好整块菜地？ 【考点02】合作问题 【典型例题】 1. 生产一批零件，师傅单独做要10小时完成，徒弟单独做要12小时完成，现在师徒两人合做，需要多少小时完成这份零件的？ 2. 一项工程，甲队单独做15天可以完成，甲队做了10天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做完需要6天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 3. 一段路，甲单独修需要8天完成，乙单独修需要10天完成，甲乙两队合修2天后，剩下的乙单独修，还需要修几天？ 【对应练习】 1. 加工一批零件，甲单独做要6天完成，乙单独做要8天完成。现在甲、乙两人合作，多少天能完成这批零件的？ 2. 工程队要给幸福村修一条3000米的路。如果甲队单独修，需要8天修完，如果乙队单独修，需要10天修完。甲队修了4天后接到新的任务，剩下的由乙队修，还需要多少天可以修完？ 3. 修建一条隧道，甲工程队单独修建需要12个月，乙工程队单独修建需要10个月。现在甲乙两队合修3个月后，剩下的由乙工程队独修，还需要几个月完成？ 【考点03】请假问题 【典型例题】 1. 一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了6天才完成任务，求乙队修了几天？ 2. 一项工程，单独做甲队用20天，乙队用30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因事调走，甲队继续工作，从开工到完成一共用了14天，求乙队调走了几天？ 【对应练习】 1. 师傅每小时加工15个零件，徒弟每小时加工12个零件．师徒俩合作加工6小时后师傅因事离开，徒弟又工作了3小时才完成．完成这次任务一共加工了多少个零件？ 2. 甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做，12天可完成，若由乙队单独做则需20天完成．现开始由甲、乙两队合作，中途甲队因另有任务派遣，剩下的任务由乙队单独完成．已知从开工到结束共用10天，问：乙队单独做了几天？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 没有路的时候，我们会迷路；路多了的时候，我们也会迷路， 因为我们不知道该到哪里去。故事总要有结東的时候，但不是每个 人都有尾声的。 —迟子建《额尔古纳河右岸》 第1页共47页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期末复习专题二：应用与解决问题•分数、比、百分数的应用 【10个方向42个考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 期末复习专题二：应用与解决问题·分数、比、百分数的应用 团专题内容 本专题以应用与解决问题为主，其中包括分数和百分数的应用、比的应用等 内容。 ©评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★：重难点：★★★★★ 旦讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资 料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高。综合性强。题型多样，建议作 为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 10个方向42个考点 第二篇章 考点导航篇 【预测命题方向一】分数（百分数）乘法基本应用题：六种问题 原【考点01】单位"1”与等量关系式… .6 只【考点2】求一个数的几分之几是多少… .6 只【考点03】连续求一个数的几分之几是多少… 7 原【考点04】已知单位"1”，求比一个数的几分之几多或少多少，是多少…7 只【考点0S】已知单位"1”，求比一个数多或少几分之几，是多少…8 只【考点06】分率变化问题… .9 第2页共47页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 果【考点07】分量和分率的区分问题…。 .9 【预测命题方向二】分数（百分数）除法基本应用题：十种问题 只【考点01】求一个数是（占）另一个数的几分之几… 12 原【考点02】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几… …,12 原【考点03】已知一个数的几分之几是多少，求这个数… ..13 原【考点04)已知一个数连续的几分之几是多少，求这个数（分数连除应用题） .13 月【考点0S】分数乘除混合应用题3 月【考点06】分量和分率区分问题14 只【考点07】分数除法中的归一问题… .14 原【考点08】已知此一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数… .14 原【考点09】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数… .15 冥【考点10】分数除法中的和嗟倍问题… .16 【预测命题方向三】典型问题•量率对应问题 原【考点01】七种常考量率对应问题… .17 原【考点02】与“比”结合的量率对应问题… ....19 只【考点03】与“百分数”结合的量率对应问题… 20 【预测命题方向四】典型问题单位“1”转化问题 原【考点01】分擞（百分擞）乘法钟的单位”1”转化问题…21 只【考点02】分数除法中的单位“1”转化问题.… …22 【预测命题方向五】典型问题求比问题 冥【考点01】在实际情境中转化比与分数，求比… 24 原【考点2】在实际问题中求比… .25 第3页共47页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【预测命题方向六】典型问题按比例分配问题 只【考点01】三种基础按批例分配问题… .27 只【考点2】和此问题进阶… .29 具【考点3】和比问题拓展。 .31 【预测命题方向七】典型问题•不变量问题 原【考点01】三种基本不变量问题… 32 月【考点02】综合性不变量问题33 【预测命题方向八】典型问题百分数典型问题一 只【考点01】百分率问题… .35 原【考点2】变化幅踱问题、 .36 只【考点3】计算盈利或污损… .36 果【考点04】浓度问题… .…37 【预测命题方向九】典型问题·百分数典型问题二 原【考点01】折扣和成数的意义及多类型数转化… ...39 原【考点02】折扣问题.… ...39 原【考点03】促销问题… .40 月【考点04)】成擞问题。 41 原【考点0S】纳税问题 41 只【考点06】储蓄问题 .42 【预测命题方向十】典型问题·工程问题 第4页共47页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 考点预测篇 【预测命题方向一】分数（百分数）乘法基本应用题：六种问题 如命题趋势 1.设置情境，结合生活实际，凸显数学素养。 2.命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 兵方法点拨 1.寻找单位“1”。 (1)“占”、“是”、“比”的后面。 (2)在分率句中，“分率”的前面。 2.写等量关系式。 (1)“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”： (2)分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量： (3)分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×(1士分率)=分率对应量。 (己知单位“1”的量（用乘法)，求单位“1”的几分之几是多少) 3.画线段图。 (1)两个量的关系：画两条线段图； (2)部分和整体的关系：画一条线段图。 4.求一个数的几分之几是多少的解题方法。 求一个数的几分之几是多少，单位“1”的量×对应的分率=对应分量 5.连续求一个数的几分之几是多少的解题方法。 单位“1”的量×分数=对应量（比较量）。 6.已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法。 方法一：单位“1”的量±单位1的量×另一个数量比单位“1”多（或少）的几 分之几=另一个数量： 方法二：单位“1”的量×1±另一个数量比单位“1”多（或少）的几分之几=另一 个数量。 目考察形式 应用 過动态评价 ★★ 第5页共47页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点01】单位“1“与等量关系式 吕【典型例题】 1松树棵数相当于柏树棵数的号是把( )看作单位1”：“九月份用水量比八月份节约 了中，单位1是( ) 2.红花朵数是黄花朵数的，把( )的朵数看作单位1”，等量关系式是( ) 即【对应练习】 1.“女生人数相当于男生人数的是把( )看作单位1”：9月的用水量比8月节约了 专9月的加水益是8月的 2.“小强的身高是了m,比妈妈的身高矮”。这句话中把( )看作单位1”，数量关系式 是( )。 原【考点02】求一个数的几分之几是多少 吕【典型例题】 青奥会在江苏省南京市举办，青奥村的食堂运来0.54吨大米，两天用去了总量的。，用去了 多少吨？ 肥《对应练习】 新华小学报名兴趣小组的人数占学校总人数的行，其中有品的学生报名书法兴趣小组。报名书 法兴趣小组的人数占学校总人数的几分之几？ 第6页共47页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点03】连续求一个数的几分之几是多少 吕【典型例题】 脱贫致富，我们在路上。李爷爷的养殖场今年养鸭12000只，养的鸡的只数是鸭的，养的鹅 的只数是鸡的；，李爷爷的养殖场今年养鹅多少只？（先画线段图，再列式解答。） 即【对应练习】 实验小学科技节共收到152竹科技作品，其巾有的作品获奖，等奖占获奖总数的品，获 一等奖的作品有多少件？ 原【考点04】已知单位“1”，求比一个数的几分之几多或少多少，是多少 侣【典型例题】 1.月亮乡去年退耕还林45公顷，今年退耕还林比去年的还多2公顷。月亮乡今年退耕还 15 林多少公顷？ 2.疫情期间，大华学校储备了200支测温枪，明星学校的储备量比大华学校的少50支。明 星学校储备了多少支测温枪？ 第7页共47页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 武汉有一江三镇”，这里一座座跨江大桥凌空而起。汉江湾桥是武汉首座矮塔单索面斜拉桥， 也是汉江上最宽的桥梁，桥面宽度达52.5米。它的主桥长比武汉长江大桥主桥全长的二多4 米，武汉长江大桥主桥全长1670米，汉江湾桥主桥全长多少米？ 原【考点5】已知单位“1”，求比一个数多或少几分之几，是多少 吕【典型例题】 1.一个饲养场养鸡2000只，养的鸭比鸡多，养的鸭有多少只？ 2.莱场运来白菜750千克，运来的萝卜比白莱少}，运来萝卜多少千克？ 肥【对应练习】 1.一个捕鱼队九月份捕鱼63吨，十月份比九月份多捕号。十月份捕鱼多少吨？ 2某小学五年级有学生28人，四年级的人数比五年级少号，四年级有多少人？ 第8页共47页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点06】分率变化问题 吕【典型例题】 2025年植树节，学校领回了600棵树苗，分给了六年级全部树苗的号，余下树苗分给了五年 级，五年级分得了多少棵树苗？ 肥《对应练习】 1.在2022年北京冬奥会期间，某商场进了880个冰墩墩吉祥物玩偶，卖完这批玩偶用了3 天。第一天卖了这批玩偶的(，其余的在第二天和第三天卖完，该商场第二天和第三天共卖了 多少个冰墩墩吉祥物玩偶？ 2.一堆西瓜共2100千克，第一天运走了全部的行，第二天运走了全部的}，两天共运走了多 少千克？ 原【考点07】分量和分率的区分问题 吕【典型例题】 一根电线长264米，第一次用去4，第二次用去号米，两次一共用去多少米？ 第9页共47页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.「总量确定」两根长5米长的绳子，第一根用去米，第二根用去它的}，两根绳子剩下 部分比较( )。 A.第一根长B.第二根长 C.一样长 D.无法比较 2.「总量不确定」两根同样长的绳子，第一根用去了它的}，第二根用去了}米，它们余下 的部分( ) A.第一根长B.第二根长 C.同样长 D.无法比较 第10页共47页