专题05 相似三角形热考几何模型（知识必备+5大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）九年级数学上学期北师大版

该初中数学期末复习讲义聚焦相似三角形热考几何模型，通过表格梳理核心考点、复习目标及考情规律，结合模型结构图呈现A字、8字、三角形内接矩形等五大几何模型的条件、结论及内在联系，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层设计典例与变式练习，如A字模型结合动态几何问题，一线三等角模型融入函数综合题，培养推理能力与几何直观。配套基础通关、重难突破等分层训练，助力学生自主建构知识网络，教师可据此实施精准复习教学。

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似三角形热考几何模型（期末复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 能识别A字模型结构并能利用相似三角形的 高频考点，多在几何证明题或与线段长 A字模型 判定与性质解决线段比例、相关证明等问题。 度相关计算中出现。 高频考点，常与A字模型结合以解答形 能识别8字模型结构，相似三角形判定与性质 8字模型 式考查，多用于推导线段之间的比例关 常与对顶角相等、平行线性质等结合解决问题 系及向量的线性运算中出现。 三角形内接 能识别三角形内接矩形结构，结合相似三角形性 易错考点，常以填空、解答形式查考。 矩形模型 质定理快速求解矩形的边长、面积等问题。 需要较强的建模使简化计算。 一线三等角 能识别”一线三等角”的结构，利用角的关系证 核心考点，常以压轴题形式与其他模型 模型 明三角形相似，解决综合问题。 结合综合考查。 旋转与手拉 掌握旋转中的不变量，利用相似三角形的判定与 核心考点，常以压轴题形式与其他模型 手模型 性质，解决线段和角的数量关系问题。 结合综合考查。 记·必备知识 昼知识点01A字模型 1A字模型 如图一 模型一：平行A字型 如图一，在△ABC中，DE//BC台 AD AE DE AB AC BC 1/80 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图二 模型二：非平行A字型（也称为反A字型） 如图二，在AABC中，∠AED=∠C台D-AE=DE AB AC BC 如图三 模型三：非平行A字型（也称为母子型）》 AD AB DB 1) 如图三，在△ABC中，∠ABD=∠C⊙ AB AC BO (2)AB2=AD·AC 局知识点028字模型 18字 一平行型 D 条件：CD川AB, 结论：△PAB~△PCD(上下相似)； 左右不一定相似，不一定全等，但面积相等； 四边形ABCD为一般梯形. 2/80 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件：CDIIAB,PD=PC 结论：△PAB~△PCD~△PDC(上下相似) △PAD=△PBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字一一不平行型 条件：∠CDP=∠BAP, 结论：△APB~△DPC(上下相似)： I△APD~△BPC(左右相似)； 尽模型3三角形内接矩形模型 :模型展示： 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在△ABC中，若水平底边BC=x,对应高AN=y 在正方形GFED中，边长为a,则a=y x+y 3/80 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在矩形GFED中，竖直边长为ma,水平边长为a,则a= Xy mx+ny 同知识点04 一线三等角模型 模型展示：如图，己知：∠A=∠CPD=∠B,则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称 为“一线三等角”型相似 D D B 局知识点05手拉手模型 模型展示： 将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形 ① ② 结论：△ABD∽△ACE,△ADE∽△ABC 破·重难题型 题型一A字模型 【典例1-1】(24-25九年级上·贵州六盘水期末)如图，点D,E分别是ABC的边AC,AB上的点， ∠B+∠CDE=180°. 4/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C (1)求证：△ADEn△ABC; 2诺BC=6AD号48，求DE的长。 【详解】(1)证明：：∠ADE+∠CDE=180°，∠B+∠CDE=180°， ∠ADE=∠B, 又：∠DAE=LBAC, △ADE∽△ABC: (2)解：：AD=名4B, :D、2 AB 3' △ADE∽△ABC, DE AD 2 BC AB3' DE=2BC=2×6=4. 3 3 【典例1-2】(23-24九年级上浙江金华.期末)如图，在口ABCD中，点E在AD的延长线上，BE与CD交 于点F E D B (1)求证：△ABE∽△CFB;: 2诺0EP的面积为4.S-子，求。8E的面积 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∠A=∠C, :ZCBE ZE .△ABE∽△CFB; 5/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：四边形ABCD是平行四边形， .ABII CD,AB=CD, .△DEF∽△AEB, DF 2 CF 3 DFDF 2 CD AB5' 4 S。AEB S.DEF =4, SE=25. 【典例1-3】(24-25九年级上·湖南永州期末)如图，在ABC中，D是边AB上一点，∠BDC=∠BCA. B D (1)求证：△BDC∽△BCA; (2)若BC=3,AB=6,△BCD的面积为5，求ABC的面积. 【详解】(1)解：：LBDC=∠BCA,∠B=∠B, .△BDC∽△BCA (2)解：：△BDCn△BCA,BC=3,AB=6 SAB= BC2321 SANC BA64 S.BCD =5, S4Bc=20. 【典例1-4】(22-23九年级上江苏南京·期末)如图，⊙0的弦AB,CD的延长线交于点P,连接AC, BD 6/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O. C (1)求证△PAC∽△PDB: (2)若PB=3,PD=4,AB=7.求CD的长。 【详解】(1)证明：：四边形ABDC是⊙0的内接四边形， ∠A+∠BDC=180°. .∠BDC+∠PDB=180°， ∠A=∠PDB. 又∠P=∠P, △PAC∽△PDB; (2)解：：△PACPDB, PA PC PD PB 10 PC 43 4.PC= 2 CD=PC-PD= 【典例1-5】（24-25九年级上广东清远期末)【建立模型】 (1)如图①，已知ABC中，AB=9,AC=6,点D在AB上，且AD=2,点E是AC的中点，证明： △AED∽△ABC 【知识拓展】 (2)如图②，己知ABC中，AB=BC=8,AC=6,点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，连接 DE,当△AED与ABC相似时，求DE的长度. 【问题解决】 (3)密室逃脱是一种实景逃脱游戏.在游戏中，玩家会被“关”在一个主题房间里，玩家在规定时间内，通 过观察、推理和论证来解开一系列谜题，找到逃出房间的方法.如图③，一间地面为边长3米的正方形房 间沿对角线BD分成两间密室，在△BCD密室中，墙BD底部嵌有一面可沿BD左右滑动的小镜子P(镜面 7/80 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 与墙平行)，墙CD底部中间位置E处有一固定激光笔（激光可射向BD的任何位置），当C处光感器能接 收到激光时，密室解开.请计算密室解开时，镜子P与激光笔E的距离。 D 图① 图② 图③ 【详解】解：(1)：AB=9,AC=6,点D在AB上，且AD=2,点E是AC的中点， 1 .AE=-AC=3, AD 2 1 AE 3 4C634D9 AD AE AC AD :∠A=∠A, ·△AEDM△ABC; (2)如图，：AB=BC=8,AC=6,点D是AB的中点， :.AD=1AB=4, 当△ADE∽△ABC时， D B DE AD 1 BC AB2' ÷DE=BC=4: 2 如图，当△ADE∽△ACB时， 8/80 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B DE AD 4 BC AC6' :DE= 16 综上：0E的K为4或9 (3)如图，由题意可得：PQ为CE的垂直平分线， D P E D B ·∠EPQ=∠CP'Q, :边长3米的正方形，E为CD的中点， 8CC3.CE-DEC0EDFOD :∠P'DQ=∠BDC, .△DP'Q∽△DBC, PO DO 3 BC DC4' P0=4 9 .P'E= 3V10 4 ∴密室解开时，镜子P与激光笔E的距离为30 (米)· 【变式1-1】(24-25九年级上浙江杭州期末)如图，在ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，连接 DE,有以下四个条件：①LAED=∠B;②LBDE+LC=I80;③AD-AB=AE-AC;④4D-DE AC CB 9/80 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)请你从中任选一个条件，使得△ABC∽△AED,，并说明理由. 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分. (2)在(1)的前提下，若点E为AC中点，AE=2AD=6,求线段AB的长. 【详解】(1)解：若选择①∠AED=∠B, :∠AED=∠B,∠A=∠A, .△ABC∽△AED: 若选择②∠BDE+∠C=180°， :∠BDE+∠C=180°，∠BDE+∠ADE=180°， ∠C=LADE, :∠A=LA, ∴△ABC∽△AED; 若选择③AD·AB=AE·AC, :AD·AB=AE·AC, :D、AE AC AB :∠A=∠A, .△ABC∽△AED: 若选择④AD-DE AC CB AD DE AC CB ,而夹角不一定相等， ·△ABC与△AED不一定相似； (2)解：：AE=2AD=6, AD=3, :点E为AC中点， AC=12, :△ABC∽△AED, :B、AC AE AD 10/80 专题05 相似三角形热考几何模型（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 A 字模型 能识别 A 字模型结构并能利用相似三角形的判定与性质解决线段比例、相关证明等问题。 高频考点，多在几何证明题或与线段长度相关计算中出现。 8 字模型 能识别 8 字模型结构，相似三角形判定与性质常与对顶角相等、平行线性质等结合解决问题 高频考点，常与A字模型结合以解答形式考查，多用于推导线段之间的比例关系及向量的线性运算中出现。 三角形内接矩形模型 能识别三角形内接矩形结构，结合相似三角形性质定理快速求解矩形的边长、面积等问题。 易错考点，常以填空、解答形式查考。需要较强的建模使简化计算。 一线三等角模型 能识别 “一线三等角” 的结构，利用角的关系证明三角形相似，解决综合问题。 核心考点，常以压轴题形式与其他模型结合综合考查。 旋转与手拉手模型 掌握旋转中的不变量，利用相似三角形的判定与性质，解决线段和角的数量关系问题。 核心考点，常以压轴题形式与其他模型结合综合考查。 知识点01 A字模型 A字模型 如图一 如图二 如图三 知识点02 8字模型 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 模型03 三角形内接矩形模型 模型展示： 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在正方形GFED中，边长为a，则， 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na，则 知识点04 一线三等角模型 模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称为“一线三等角”型相似． 知识点05 手拉手模型 模型展示： 将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 题型一 A字模型 【典例1-1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点分别是的边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【典例1-2】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【典例1-3】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在中，是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，的面积为5，求的面积． 【典例1-4】（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，的弦，的延长线交于点，连接，．    (1)求证； (2)若，，．求的长． 【典例1-5】（24-25九年级上·广东清远·期末）【建立模型】 （1）如图①，已知中，，，点D在上，且，点E是的中点，证明： 【知识拓展】 （2）如图②，已知中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，当与相似时，求的长度． 【问题解决】 （3）密室逃脱是一种实景逃脱游戏．在游戏中，玩家会被“关”在一个主题房间里，玩家在规定时间内，通过观察、推理和论证来解开一系列谜题，找到逃出房间的方法．如图③，一间地面为边长3米的正方形房间沿对角线分成两间密室，在密室中，墙底部嵌有一面可沿左右滑动的小镜子P（镜面与墙平行），墙底部中间位置E处有一固定激光笔（激光可射向的任何位置），当C处光感器能接收到激光时，密室解开．请计算密室解开时，镜子P与激光笔E的距离． 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④． (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． (2)在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【变式1-2】（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 【变式1-3】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，已知是的直径，弦于点，是线段延长线上的一点，连接交于点，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)在（）的条件下，设，． 求关于的函数表达式； 若为的中点，求的值． 【变式1-4】（25-26九年级上·全国·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 题型二 8字模型 【典例2-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．求证： 【典例2-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的边延长线上一点，与交于点． (1)求证：． (2)若的面积为4，求的面积． 【典例2-3】（24-25九年级上·全国·期末）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点O．    (1)求证：； (2)点P从点A出发沿边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，试问：当t为何值时，？ 【变式2-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求平行四边形的面积． 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·期末）抛物线交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于点C． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)已知． ①如图1，点D在第二象限抛物线上，交AC于点E．若，求点D的坐标； ②如图2，过点分别作直线和直线，直线交抛物线于F，G两点，直线交抛物线于M，N两点．设线段，的中点分别为P，Q，若，且，求证：直线必经过一定点． 题型三 三角形内接矩形模型 【典例3-1】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边，上，是边上的高，与相交于点O，已知，，则正方形的边长是多少？ 【典例3-2】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点、分别在、上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少? (2)在矩形中， 设，． ①求y与x的函数关系，并求出自变量的取值范围； ②x取多少时，有最大值，最大值是多少? 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东清远·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 题型四 一线三等角模型 【典例4-1】（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在矩形中，分别是的中点，连接，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 【典例4-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【典例4-3】（23-24九年级上·广西梧州·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 【变式4-1】（25-26九年级上·全国·期末）（1） 已知抛物线的图象经过点，其对称轴为．求抛物线的解析式． （2）如图，在中，，点，分别是，边上的点，且． 求证： 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）（1）如图1，已知于点A，于点B，P是上一点，，，求证：； （2）如图2，已知，，点D，E分别在边和上，P是上一点，且，，求的值． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北·期末）已知抛物线过点和点，与y轴交于点A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，点D在线段上（与点A，B不重合），点F是的中点，连接，过点D作交于点E，连接，当面积是面积的3倍时，求点D的坐标； (3)如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，是x轴正半轴上的动点，若线段上存在点G（与点O，B不重合），使得，求m的取值范围． 题型五 手拉手模型 【典例5-1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题． 请你解决这些问题： (1)把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____； (2)如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由； (3)如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数． 【典例5-2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．线段，之间的数量关系为______；的度数为______． （2）将图1中的和均变为等腰直角三角形如图2，，，，直线和直线交于点． ①线段，之间的数量关系为______；的度数为______． ②若，，，求的长． （3）如图3，若和均为直角三角形，，且，，．当点在线段的延长线上时，则的长度为______． 【典例5-3】（24-25九年级上·四川达州·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．则与的数量关系是：______； 【问题提出】≌ （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为6，，求正方形的边长． 【典例5-4】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 【变式5-1】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况． （1）一组：和是等腰直角三角形，． 连接，构建“手拉手”模型（如图1），得到了；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的划斜线部分，得到了． 二组：如图3，和是等边三角形，，连接的延长线与相交于点．猜想也能构建上述两种模型得到结论． 请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论； 【类比分析】 （2）三组：如图4，在和中，，连接． 则与的数量关系为_______，直线与直线的夹角为_______； 【变式拓展】 （3）四组：只需用，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______； （4）四组：如图5，和是等腰直角三角形，，，连接是线段的中点，连接．若，请你求出的长． 【变式5-2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接．将绕点顺时针旋转，记旋转角为． 【问题发现】 （1）①当时，______；②当时，______； 【拓展研究】 （2）试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； 【问题解决】 （3）当旋转至，，三点共线时，线段的长为______． 【变式5-3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．    【类比分析】 （2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；    ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．    【变式5-4】（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3） 如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则边长x为 ． 3.（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，是等边三角形，，点，分别是边，上 的点，且，，求的长． 4．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，于点，于点，连接，求证：． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，已知．在边上取点，连结．过点作，与边的延长线交于点． (1)证明：△△． (2)若，，，求线段的长． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点A逆时针旋转角度，得到图2，其中，连结、．    (1)求证：； (2)当，时，求的长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，弦与弦交于点且，．已知，，若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，D是上一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，是的平分线．    (1)与相似吗？请说明理由； (2)求的值． 5．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 6．（24-25九年级上·河北保定·期末）数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级下·全国·期末）如图1，在中，点为中点，点在上，、交于点，． (1)写出与相等的角：　　　　　． (2)若，求的值． (3)如图2，若，，，求（用含的式子表示）． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期末）【问题发现】 （1）在数学活动课上，老师给出如下问题：“如图1所示，是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路 将线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在中，易得，由，得，，之间的数量关系为________ 【类比分析】 （2）如图2所示，当点D在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点D在射线上，且，，请直接写出的长度． 5．（24-25九年级上·四川广元·期末）【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $