1.3乘法公式（第4课时）完全平方公式的应用课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦完全平方公式的应用，通过复习公式及口诀导入，结合102²、197²等简便计算实例，搭建从公式到应用的学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于融合几何直观与运算能力，如点阵点数比较问题让学生直观理解公式本质，中考考法题目培养推理意识。多样化例题与分层练习助力学生巩固知识，教师可借助其丰富素材提升教学效率，促进学生数学思维发展。

新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 1.3.4完全平方公式的应用 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： . 时 间： . a i T u j m i a N g 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 前面我们学习了完全平方公式： 复习导入 口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。 (1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404 新课探究 怎样计算1022，1972更简单呢? (2)1972=(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809 你是怎样做的?与同伴进行交流。 1.3.4 完全平方公式的应用 教学课件 第1页：复习回顾 1. 完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b² 2. 结构口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中间，符号随括号内符号定 3. 提问：公式中a、b可以表示哪些数或式子？（引导学生明确a、b可表示单项式、多项式） 第2页：基础应用·直接套用 例1：计算下列各式 （1）(2x+3y)² （2）(m-5)² （3）(-a+2b)² 教学步骤： 1. 学生独立尝试，指名板演；2. 师生共评，强调找准“首、尾”，规范步骤；3. 小结：含负号时可转化为(a+b)²形式计算，如(-a+2b)²=(2b-a)² 第3页：进阶应用·简便计算 例2：用完全平方公式简便计算 （1）102² （2）99² 教学步骤： 1. 引导转化：102=100+2，99=100-1；2. 学生分组计算，分享思路；3. 小结：将接近整十、整百的数拆成“整十/百数±小数”，简化运算 第4页：易错辨析·避坑指南 常见错误展示与纠正： 1. 错误：(x+2)²=x²+4 纠正：遗漏中间项2·x·2=4x，正确结果x²+4x+4 2. 错误：(3a-2b)²=9a²-6ab+4b² 纠正：中间项系数应为2·3a·2b=12ab，正确结果9a²-12ab+4b² 3. 小组讨论：如何避免上述错误？（强化“积的2倍”不可漏，系数要乘满） 第5页：拓展应用·整体代入 例3：已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值 教学步骤： 1. 引导变形：a²+b²=(a+b)²-2ab；2. 代入数值计算：5²-2×3=25-6=19；3. 小结：利用公式变形，将未知转化为已知条件，渗透整体思想 第6页：课堂小结 1. 完全平方公式应用的三种常见类型：直接套用、简便计算、整体代入 2. 核心要点：找准首末项，牢记中间项，符号细分辨，变形巧应用 3. 思想方法：转化思想、整体思想、数形结合思想（回顾公式几何意义） 例6 计算： （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3) (a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 解： （1）(x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9； （2）(a+b+3) (a+b-3) = [(a+b)+3][(a+b)-3] = (a+b)2-32 = a2+2ab+b2-9 例6 计算： （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3) (a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 （4） [(a+b)(a-b)]2 = (a2- b2)2 = a4-2a2b2+b4。 （3）(x+5)2-(x-2)(x-3) = x2+10x+25-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6 = 15x+19 利用整式乘法公式计算： (1) 962 (2) (a-b-3) (a-b+3) 解：962 =(100-4)2 =1002-2×100×4+42 =10000-800+16 =9216 解：(a-b-3) (a-b+3) =(a-b)2-32 =a2-2ab+b2-9 随堂练习 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。 观察·思考 … 1×1 2×2 3×3 解:m×m 点阵中的点数:m2； n×n 点阵中的点数:n2； m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和:m2+n2； (m+n)×(m+n)点阵中的点数:(m+n)2。 (m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。 所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和不一样多。 … 1×1 2×2 3×3 1.计算： （1）(x+7y)(x-7y)； （3）(mn-3n)(mn+3n) ； （5）(-x-2y)(-x+2y) ； （2）(0.2x-0.3)(0.2x+0.3)； （4） (-2x+3y)(-2x-3y) ； （6） (5m-n)(-5m-n) 。 解：（1）原式= x2-49y2； （2）原式= 0.04x2-0.09； （3）原式= m2n2-9n2； （4）原式= 4x2-9y2； （5）原式= x2-4y2； （6）原式= n2-25m2。 随堂练习 2.计算： （1）(2m+3)(2m-3)； （2）x(x+1)+(2-x)(2+x) ； （3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y) ； （4）(a+ b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)。 解：（1） 原式=4m2-9； （2） 原式=x2+x+4-x2=x+4； （3） 原式=9x2-y2+xy+y2=9x2+xy； 随堂练习 2.计算： （1）(2m+3)(2m-3)； （2）x(x+1)+(2-x)(2+x) ； （3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y) ； （4）(a+ b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)。 （4） 原式=a2- b2- (9a2- 4b2)=a2- b2- 9a2+4b2 =-8a2+b2； 随堂练习 3.计算： （1） (2x+5y)2； （4） (x+)2 ； （2）(m-)2； （5）(7ab+2)2 ； （3）(-2t-1)2； （6）(-cd+)2 。 解：（1）原式=4x2+20xy+25y2； （2）原式= m2-m+； （3）原式= 4t2+4t+1； 随堂练习 3.计算： （1） (2x+5y)2； （4） (x+)2 ； （2）(m-)2； （5）(7ab+2)2 ； （3）(-2t-1)2； （6）(-cd+)2 。 （5）原式= 49a2b2+28ab+4 ； （4）原式= x2+y+y2； （6）原式= c2d2-cd+。 随堂练习 4.一个圆的半径为r(r>2)cm，半径减少 2 cm 后， 这个圆的面积减少多少? 解：πr2-π(r-2)2=πr2-π(r2-4r+4) =πr2-πr2+4πr-4π =(4πr-4π)cm2。 所以这个圆的面积减少了(4πr-4π)cm2。 随堂练习 5.计算： （1） (2x+y+1)(2x+y-1) ； （3） (ab+1)2-(ab-1)2； （2）(x-2)(x+2)-(x+1) (x-3)； （4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。 解：（1）原式=(2x+y)2-12=4x2+4xy+y2-1； （2）原式=x2-4-(x2-3x+x-3)=2x-1； 随堂练习 5.计算： （1） (2x+y+1)(2x+y-1) ； （3） (ab+1)2-(ab-1)2； （2）(x-2)(x+2)-(x+1) (x-3)； （4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。 （4）原式=4x2-4xy+y2-4(x2+2xy-xy-2y2) =4x2-4xy+y2-4x2-4xy+8y2 =9y2-8xy。 （3）原式=[(ab+1)+(ab-1)]·[(ab+1)-(ab-1)] =2ab·2=4ab； 随堂练习 6.利用平方差公式计算： （1）1 007×993 ； （2）108×112。 解：（1）1007×993 =(1000+7)(1000-7) =10002-72 =1 000 000-49 =999 951； （2）108×112 =(110-2)(110+2) =1102-22 =12 100-4 =12 096。 随堂练习 7. 一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm。如果它的高不变，底面正方形边长增加a cm，那么它的体积增加多少? 解： (5+a)2×6-52×6 =(25+10a+a2)×6-25×6 =150+60a+6a2-150 =(60a+6a2) cm3 所以它的体积增加了(60a+6a2)cm3。 随堂练习 8.利用完全平方公式计算： （1）632； （2）9982。 解：（1） 632=(60+3)2 =602+2×60×3+32 =3969； （2） 9982=(1000-2)2 =10002-2×1000×2+22 =996004。 随堂练习 9.借助几何图形可以直观解释平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是否也可以用几何图形直观解释呢? 请举例说明你的思考。 解：略。 随堂练习 10.计算： （1） (an+ b)(an-b) ； （2） (a+1)(a-1)(a2+1)。 解：（1） (an+ b)(an-b)=(an)2 - b2 =a2n - b2； （2） (a+1)(a-1)(a2+1)=(a2-1) (a2+1) = a4-1。 随堂练习 11.观察下列各式： 152=225，252=625，352=1225，······ 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律?为什么? 你还能找到哪些类似的规律?试举一例。 解：末尾的两个数都是 25。理由:设个位数字是5 的两位数为 10a+5，则(10a+5)2=(10a)2+2·10a·5+52= 100a2+100a+25。由此可知此数末尾的两个数为25。举例略。 随堂练习 12.计算：(a+b)4。 解：(a+b)4=(a+b)2(a+b)2 =(a2+2ab+b2) (a2+2ab+b2) =a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+2ab3+b4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。 随堂练习 ※13.计算：(a+b+c)2。 解： (a+b+c)2=[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =(a2+2ab+b2)+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。 随堂练习 知识点1 利用完全平方公式进行简便计算 1.计算： （1）（________）________ ________ ___ ； （2）（________）_______ ________ ____ 。 100 2 100 2 100 2 2 10 0.2 10 2 10 0.2 0.2 中考考法 25 2.（8分）用完全平方公式计算： （1） ； 解： 。 （2） 。 解： 。 中考考法 26 知识点2 与完全平方公式有关的综合运算 3.计算： ________。 中考考法 27 4.下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 中考考法 28 5.（16分）［教材 例6变式］计算： （1） ； 解： 。 （2） ； 解： 。 中考考法 29 （3） ； 解： （4） 。 解： 。 。 中考考法 30 6.（4分）[太原模拟] 先化简，再求值： ，其中, 。 解：原式 。 当, 时， 原式 。 中考考法 31 7. 等于( ) C A. B. C. D. 中考考法 32 8.如图，在长为、宽为 的长 方形铁片上，挖去边长为 的正方形铁 片，则剩余部分的面积为( ) D A. B. C. D. 中考考法 33 9.（8分）计算： （1） ； 解： 。 （2） 。 解： 。 中考考法 34 10.（4分）有这样一道题：“化简求值： ，其中 。”小浩同学 在解题时错误地把“”抄成了“ ”，但计算的结果也 是正确的，你能解释一下这是怎么回事吗？ 解：原式 。 因为结果中不含字母 ， 所以小浩同学在解题时错误地把“”抄成了“ ”，但 计算的结果也是正确的。 中考考法 35 11.（8分） 将完全平方公式： ， 进行适当变形， 可以解决很多数学问题。例如：若，，求 的值。 解：因为， ， 所以， 。 所以 。 所以 。 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 中考考法 36 （1）①若，，则 ____； ②若，，则 的值为___； ③若，，则 ____； ④若，则 _____； 中考考法 37 （2）如图，点是线段上的一点，以， 为边向两边作正方形， 已知，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积。 中考考法 38 解：设，，则， 。 因为，所以 。 因为，所以，所以 ，所以 ，所以 ， 所以，即 ， 所以阴影部分的面积为 。 中考考法 39 课堂小结 简便运算 混合运算 平方差公式的应用 实际应用:运用完全平方公式进行推理 $