1.4 整式的除法 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“整式的除法”，涵盖单项式除以单项式、多项式除以单项式核心知识点。课堂导入通过快速口答同底数幂除法与整式乘法，以“除法是乘法逆运算”搭建新旧知识联系，形成学习支架。 其亮点在于通过类比分数约分、乘法逆运算推导法则，培养数学思维；结合圆柱倒水等生活实例及中考新定义题，体现应用意识。课堂小结梳理运算步骤，学生提升运算与推理能力，教师可借助分层例题高效教学。

新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 1.4 整式的除法 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： . 时 间： . a i T u j m i a N g 1 快速口答： 新课导入 x15÷x10=______； (-c)13÷(-c) 11=______； 5a3·2a2b =______； abc·b2c =______； x5 c2 ab3c2 10a5b ab3c2÷b2c =______； 10a5b÷5a3 =______。 除法是乘法的逆运算。 abc 2a2b 思考：如何计算(3×108)÷300? 方法1：类比分数约分的方法。 (3×108)÷300= = =1000000 =1×106 方法2：因为除法是乘法的逆运算，从乘法角度思考。 因为 300×( ) = 即3×102×( ) = 所以(3×108)÷300= 1×106 1×106 1000000 1.3.4 完全平方公式的应用 教学课件 第1页：复习回顾 1. 完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b² 2. 结构口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中间，符号随括号内符号定 3. 提问：公式中a、b可以表示哪些数或式子？（引导学生明确a、b可表示单项式、多项式） 第2页：基础应用·直接套用 例1：计算下列各式 （1）(2x+3y)² （2）(m-5)² （3）(-a+2b)² 教学步骤： 1. 学生独立尝试，指名板演；2. 师生共评，强调找准“首、尾”，规范步骤；3. 小结：含负号时可转化为(a+b)²形式计算，如(-a+2b)²=(2b-a)² 第3页：进阶应用·简便计算 例2：用完全平方公式简便计算 （1）102² （2）99² 教学步骤： 1. 引导转化：102=100+2，99=100-1；2. 学生分组计算，分享思路；3. 小结：将接近整十、整百的数拆成“整十/百数±小数”，简化运算 第4页：易错辨析·避坑指南 常见错误展示与纠正： 1. 错误：(x+2)²=x²+4 纠正：遗漏中间项2·x·2=4x，正确结果x²+4x+4 2. 错误：(3a-2b)²=9a²-6ab+4b² 纠正：中间项系数应为2·3a·2b=12ab，正确结果9a²-12ab+4b² 3. 小组讨论：如何避免上述错误？（强化“积的2倍”不可漏，系数要乘满） 第5页：拓展应用·整体代入 例3：已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值 教学步骤： 1. 引导变形：a²+b²=(a+b)²-2ab；2. 代入数值计算：5²-2×3=25-6=19；3. 小结：利用公式变形，将未知转化为已知条件，渗透整体思想 第6页：课堂小结 1. 完全平方公式应用的三种常见类型：直接套用、简便计算、整体代入 2. 核心要点：找准首末项，牢记中间项，符号细分辨，变形巧应用 3. 思想方法：转化思想、整体思想、数形结合思想（回顾公式几何意义） 第7页：整式的除法·复习铺垫 1. 回顾相关知识：同底数幂的除法法则：aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n为正整数，m>n）；单项式乘单项式法则 2. 提问引入：已知两个单项式的积和其中一个单项式，如何求另一个单项式？（引导学生类比整数除法，提出整式除法的概念） 第8页：整式的除法·单项式除以单项式 例1：计算下列各式 （1）28x⁴y²÷7x³y （2）-5a⁵b³c÷15a⁴b 教学步骤： 1. 学生尝试计算，小组交流思路；2. 师生共析：将系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；3. 规范步骤：（1）(28÷7)·(x⁴÷x³)·(y²÷y)=4xy；（2）(-5÷15)·(a⁵÷a⁴)·b³·c=-⅓ab³c 4. 小结：单项式除以单项式，核心是“系数相除、同底数幂相除、单独字母保留” 第9页：整式的除法·多项式除以单项式 例2：计算（14x³-21x²+7x）÷7x 教学步骤： 1. 引导转化：类比乘法分配律，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；2. 学生独立计算：14x³÷7x -21x²÷7x +7x÷7x=2x²-3x+1；3. 验证：用商乘除数，看是否等于被除式（2x²-3x+1）×7x=14x³-21x²+7x，确认结果正确 4. 练习：（6a²b-4ab²+2ab）÷2ab（指名板演，师生互评） 第10页：易错辨析·整式除法常见误区 1. 错误：12x³y÷3x²=4x³（纠正：同底数幂相除指数相减，应为4xy，遗漏y） 2. 错误：(8a³-4a²)÷4a=2a²（纠正：多项式每一项都要除，应为2a² -a，遗漏常数项除法） 3. 小结：计算时注意“不漏项、不搞错指数、系数符号要留意” 第11页：整式的除法·课堂小结 1. 整式除法的两种类型：单项式÷单项式、多项式÷单项式 2. 核心法则：单项式相除分三部分，多项式相除转化为单项式相除再相加 3. 思想方法：转化思想（多项式÷单项式→单项式÷单项式）、类比思想（类比整数除法、同底数幂除法） 新课探究 计算下列各式，说说你的理由。 （1）x5y ÷ x2 ； （2）8m2n2 ÷ 2m2n ； （3）a4b2c ÷ 3a2b 。 你能类比上面的方法解答吗? 方法1： （1）原式= （2）原式= =4n （3）原式= =x·x·x·x·y=x3y 新课探究 计算下列各式，说说你的理由。 （1）x5y ÷ x2 ； （2）8m2n2 ÷ 2m2n ； （3）a4b2c ÷ 3a2b 。 方法2： （1）x2·( )=x5y x3y x5y÷x2=x3y （2）2m2n·( )=8m2n2 4n 8m2n2÷2m2n=4n （3）3a2b·( )=a4b2c a4b2c÷3a2b= 被除式 除式 商式 商式的转化 x5y x2 x3y x5-2·y 8m2n2 2m2n 4n (8÷2)·m2-2·n2-1 a4b2c 3a2b a2bc (1÷3)·a4-2·b2-1·c 分析上述计算过程，找出规律，并填写下表： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 如何进行单项式除以单项式的运算? 思考·交流 单项式相乘 单项式相除 第一步 系数相乘 系数相除 第二步 同底数幂相乘 同底数幂相除 第三步 其余字母不变连同其指数作为积的因式 只在被除式里含有的字母连同其指数一起作为商的因式 对比学习 法则实际分为三部分： 系数相除； 同底数幂相除； 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式. 结果仍为单项式 例1 计算： （1）x2y3÷3x2y ； （2）10a4b3c2÷5a3bc ； （3）(2x2y)3·(-7xy2) ÷ 14x4y3 ； （4）(2a+b)4÷(2a+b)2 . 解： （1） x2y3 ÷ 3x2y = (÷3)x2-2y3-1 =-y2 （2）10a4b3c2 ÷ 5a3bc = (10÷5)a4-3b3-1c2-1 =2ab2c （3）(2x2y)3·(-7xy2) ÷ 14x4y3 = 8x6y3·(-7xy2) ÷ 14x4y3 = -56x7y5÷ 14x4y3 = -4x3y2 （4）(2a+b)4÷(2a+b)2 = (2a+b)4-2 = (2a+b)2 = 4a2 + 4ab + b2 思考·交流 计算下列各式，说说你的理由。 （1）(ad + bd)÷d； （2）(a2b + 3ab)÷a； （3）(xy3－2xy)÷xy。 方法1：类比有理数的除法 (ad + bd)× （1）(ad + bd)÷d= =a+b （2）(a2b + 3ab)÷a= (a2b + 3ab)× =ab+3b （3）(xy3－2xy)÷xy= (xy3－2xy)× =y2－2 思考·交流 计算下列各式，说说你的理由。 （1）(ad + bd)÷d； （2）(a2b + 3ab)÷a； （3）(xy3－2xy)÷xy。 方法2： （1）因为( )·d= ad + bd， a+b （2）因为( )·a=a2b + 3ab， ab+3b （3）因为( )·xy=xy3－2xy， y2－2 所以(ad + bd)÷d=a+b； 所以(a2b + 3ab)÷a=ab+3b； 所以(xy3－2xy)÷xy=y2－2。 你能总结出多项式除以单项式的法则吗? 如何进行多项式除以单项式的运算?与同伴进行交流。 思考·交流 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 注意： （1）多项式的各项要包括它前面的符号，注意符号的变化； （2）（合并同类项之前）商的项数与多项式的项数相同，不要漏项。 例2 计算： （1）(9x2y－6xy2)÷3xy； （2）(3x2y－xy2 + xy)÷(xy) . 解：（1）(9x2y－6xy2)÷3xy = 9x2y ÷3xy －6xy2÷3xy = 3x－2y 解：（2） (3x2y－xy2 + xy)÷(xy) = 3x2y ÷(xy) －xy2÷(xy) + xy ÷(xy) = 6x+2y1 1.计算： （1）8a4b3c÷2a2b3·(-a3bc2)； （2）(3x2y)2·(-15xy3)÷(-9x4y2) ； （2）原式=9x4y2·(-15xy3)÷(-9x4y2) =-135x5y5÷(-9x4y2) =15xy3 ； 解:（1） 原式=4a2c·(-a3bc2)= -a5bc3； 随堂练习 （3）(-4a3+6a2b3+3a3b3)÷(-4a2) ； （4）( mn3-m2n2+n4)÷； （3） 原式=4a3÷4a2-6a2b3÷4a2-3a3b3÷4a2 =a-b3-ab3； （4） 原式= mn3÷ n2-m2n2÷ n2+ n4÷ n2 =mn-m2+n2； 随堂练习 （5） 原式= xy2÷ y+ y2÷ y - y÷ y = xy+ y - ； （6） 原式=(x2+2x+x+2-2)÷x=x+3。 （5）( xy2+ y2- y)÷； （6）[(x+1)(x+2)-2]÷x 。 随堂练习 2.一只圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面直径为a，高为b。又知另一个长方体形容器的长为b，宽为a。如果把这只圆柱形桶中的水全部倒入这个长方体形容器中(水不溢出)，那么水面的高度是多少? 解:水面的高度是 π()2b÷ab= 。 随堂练习 3.如图(单位:cm )，图(1)的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图(2)这样的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子? 解：瓶子中水的体积 π()2h+π()H =(πa2h+πa2H) cm3，一个杯子能盛的水的体积为π()2×8=πa2(cm3)。所以一共需要这样的杯子(πa2h+πa2H)÷πa2=(h+2H)个。 随堂练习 知识点1 单项式除以单项式 1.[重庆模拟] 计算 的结果是( ) C A. B.C. D. 中考考法 22 2.计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 中考考法 23 3. 若定义 表示， 表示 ， 则 的结果为( ) A A. B. C. D. 中考考法 24 4.若，则___, ___。 4 3 中考考法 25 5.（16分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） ； 解：原式 。 （4） 。 解：原式 。 中考考法 26 知识点2 多项式除以单项式 6.计算：______ ____-____ ____ ________。 中考考法 27 7.计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 中考考法 28 8. 若某个多项式与的积是 ，那么 这个多项式是( ) A A. B. C. D. 中考考法 29 9.一个长方形的面积是，一边长为 ,则与其相邻的另 一边长为( ) B A. B. C. D. 中考考法 30 10.（12分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ; 解：原式 。 （3） 。 解：原式 。 中考考法 31 11.已知，则 的值为( ) B A.6 B.9 C.12 D.81 中考考法 32 12.小明在做一个多项式除以的题时，由于粗心误认为乘 ，结果是 ，那么正确的结果是_________________。 中考考法 33 13.如图，某新建高铁站广场前有一块长为米、宽为 米 的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉 四周留有宽度均为 米的人行通道。 （1）用含， 的代数式表示喷泉的面积为 ________________________（需化简）； 平方米 （2）喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客 通行，每块地砖的面积是 平方米，若刚好铺满不留缝隙，则需要这 样的地砖_____________块。 中考考法 34 14.（8分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） 。 解：原式 。 中考考法 35 15.（8分） 【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖 式进行演算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列（即按某个字母的指数由高到 低的顺序来排列），并把所缺的项用零补齐（或留出空白）； ②用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项，写在被除 式的同次幂上方； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从 被除式中减去这个积； 中考考法 36 ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式 为零或余式的次数低于除式的次数为止，被除式除式×商式 余式， 若余式为零，则说明被除式能被除式整除。 中考考法 例如：计算 除 以 的商式和余式，可以用竖式演算， 如图。 所以 除以 的商式为 ，余式为 。 （1）计算 的商式为______________， 余式为_____； 中考考法 38 （2）若能被整除，求， 的值。 解：由题意得，如图， 因为能被 整除，所以 ， ， 所以， 。 中考考法 39 课堂小结 单项式除以单项式 多项式除以单项式 整式的除法 $