精品解析：北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

北京师大附中2025—2026学年（上）初三阶段性考试 数学试卷 考生须知 1．本试卷有三道大题，共8页．考试时长120分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（本大题共8小题，共16分） 1. 抛物线的对称轴为（ ） A. B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 点在上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 4. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的外切正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 一种测温枪原来的价格为120元/把，连续两次降价后，价格下降了．设平均每次降价的百分率为x，则（ ） A. B. C. D. 7. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是（ ） A. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2 B. 暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球 C. 从一副去掉大王、小王的扑克牌中任意抽取1张，这张牌的花色是“红心” D. 掷一枚硬币，正面朝上 8. 已知，点C满足，作射线，使得，作于点H，则长的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 10. 如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则______度． 11. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）. 12. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，则的长为______． 13. 若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是_________． 14. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，．以点C为旋转中心，把逆时针旋转，得到，则 ①点的坐标______； ②线段扫过的面积为______（结果保留）． 16. 如图是二次函数的图象，直线（）与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论： ①；②；③； ④若对于的任意值都有，则； ⑤当为定值时，若变大，则线段变长；其中正确的结论是______． 三、解答题（本大题共12小题，共68分） 17. 解方程： 18. 已知直线，在直线上方求作一点，使得． 下面是小张的作法： ①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点； ②以点为圆心，长为半径画圆； ③在上任取一点（不与，重合），连接，．即为所求． （1）使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：在直线下方的圆弧上任取一点（不与，重合）， 连接，，，． ， 是等边三角形． ． ，，在上， （）（填推理的依据）． ． 四边形内接于， （___）（填推理的依据）． ∴． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 20. 如图，在中，，，点在边上，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）若，直接写出的度数为______； （2）若，，求线段的长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根大于4，求m的取值范围． 22. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 23. 第十五届全运会于2025年11月17日至21日在粤港澳大湾区举行，小明和小红报名参加了志愿者的工作，他俩在同一个场馆工作，该场馆的志愿者被随机分到A组、B组、C组的其中一组． （1）小明被分配到A组是______事件（填“必然”、“随机”或“不可能”） 小红被分配到A组的概率是______． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小红被分配到同一组的概率． 24. 如图，内接于，为直径，点D在上，过点D作切线与的延长线交于点E，，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米． d（米） … 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … h（米） … 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度为______米； （3）该抛物线的解析式为____________；起跳点A距离地面的高度为______米； （4）在上述的条件下，有一次表演，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？______（填“成功”，“不成功”，“不确定”）；人梯移动到距离起跳点A的水平距离为______米时，成功且表演效果最佳． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线与x轴有两个交点，，其中． （1）当时，求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）点在抛物线上，若，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，点在边上，点为中点，点为中点，连接交于点，过点作的垂线交于点． （1）补全图形； （2）写出和的数量关系，并证明你的结论； （3）直接用等式表示线段、、之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，A为任意一点，B为上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为（规定：点在上时，），最大值为，那么把的值称为点与的“美好距离”，记作． （1）如图1，已知点，，． ①_____； ②若点M在线段EF上，直接写出的取值范围是_____； （2）若点在直线上，求的取值范围； （3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为2，最大值为6，直接写出的最小值和最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2025—2026学年（上）初三阶段性考试 数学试卷 考生须知 1．本试卷有三道大题，共8页．考试时长120分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（本大题共8小题，共16分） 1. 抛物线的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，根据顶点式得到对称轴即可． 【详解】∵抛物线方程为，即， ∴对称轴为． 故选：A． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故该选项符合题意， B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 3. 点在上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质， 通过代入x值计算y值，然后比较大小． 【详解】∵点在上， ∴； ∵点在上， ∴； ∵， ∴． 故选：A． 4. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 5. 如图，的外切正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论． 【详解】∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2， 设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB， ∴OG=OA∙sin60°=2× = ， ∴S 阴影 =S △OAB -S 扇形OMN = ×2× - ． 故选A． 【点睛】考核知识点：正多边形与圆.熟记扇形面积公式是关键. 6. 一种测温枪原来的价格为120元/把，连续两次降价后，价格下降了．设平均每次降价的百分率为x，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两次降价后，价格下降了列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意可得：， 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据平均变化率表示出变化后的量，经过两次变化后的数量关系为． 7. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是（ ） A. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2 B. 暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球 C. 从一副去掉大王、小王的扑克牌中任意抽取1张，这张牌的花色是“红心” D. 掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在，即左右，计算各项的概率即可得到正确答案，掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在，即左右， ．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是的概率为，故该选项不符合题意； ．暗箱中有个红球和个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球的概率为，故该选项符合题意； ．从一副去掉大王、小王的扑克牌中任意抽取1张，这张牌的花色是“红心”的概率是，故该选项不符合题意； ．掷一枚硬币，正面朝上的概率为，故该选项不符合题意； 故选：B． 8. 已知，点C满足，作射线，使得，作于点H，则长的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，切线的性质定理，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由四边形是矩形，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求得，从而可得，于是可得，从而可求得长的最大值． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点，连接， ∵，， ∴是圆的直径， ∴， 作于点，于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴长的最大值是， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则______度． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，， ∴， ∴； 故答案为：75． 11. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）. 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而减小可得m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：4（答案不唯一）． 12. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：的长为， 故答案为： 13. 若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的图象与x轴有交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，解题的关键在于掌握：的图象与x轴有交点，即有解． 14. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，．以点C为旋转中心，把逆时针旋转，得到，则 ①点的坐标______； ②线段扫过的面积为______（结果保留）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形旋转问题，扇形面积计算公式的运用，准确计算是解题的关键． （1）画出旋转图形后，即可得解； （2）根据扇形面积计算公式计算即可； 【详解】（1）把逆时针旋转，如图所示： ； 故答案是：． （2）如图所示，线段扫过的面积为扇形的面积， ，， ， ， ． 故答案是． 16. 如图是二次函数的图象，直线（）与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论： ①；②；③； ④若对于的任意值都有，则； ⑤当为定值时，若变大，则线段变长；其中正确的结论是______． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质；熟练掌握二次函数图像与函数表达式之间的关系是解题的关键．根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴的交于负半轴； ∴，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点， ∴该二次函数的对称轴为直线 ∴ 解得：；②正确 ∵ ∴ 由图像可知： ∴ 即：；③错误； ∵对于的任意值都有 ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线 ∴，即： ∵二次函数图像经过点 ∴ ∴该二次函数的表达式可化为： 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小 ∴线段变短；⑤错误 综上，正确的有①②； 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共12小题，共68分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，掌握公式法的应用是解决本题的关键． 先计算方程的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 18. 已知直线，在直线上方求作一点，使得． 下面是小张的作法： ①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点； ②以点为圆心，长为半径画圆； ③在上任取一点（不与，重合），连接，．即为所求． （1）使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：在直线下方的圆弧上任取一点（不与，重合）， 连接，，，． ， 是等边三角形． ． ，，在上， （）（填推理的依据）． ． 四边形内接于， （___）（填推理的依据）． ∴． 【答案】（1）见解析 （2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；；圆的内接四边形对角互补 【解析】 【分析】本题考查尺规作圆，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知识； （1）按照题目所给作法作出相应图形即可； （2）根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理可得，最后再根据圆的内接四边形的性质即可证得． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：在直线下方的圆弧上任取一点M（不与A，B重合），连接， ， 是等边三角形． ． ，，在上， （同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）． ． 四边形内接于， （圆的内接四边形对角互补）． ． 故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；；圆的内接四边形对角互补． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用配方法把二次函数化为顶点式，从而可得出答案； （2）根据题意画出图象即可； （3）由图象可得出答案． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 列表： … … … … 根据表中数值描点，画图． 【小问3详解】 由图象可知，当时，的取值范围是． 20. 如图，在中，，，点在边上，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）若，直接写出的度数为______； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）先由旋转的性质得，则，再根据可得的度数，进而求得，根据已知求得，再根据三角形的外角的性质，进而得出； （2）由得，，求得，再根据勾股定理可得到线段的长． 【小问1详解】 解：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∵ 又∵ ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根大于4，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方的非负性，即可证得结论； （2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴ 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∵方程有一个根大于4， ， ． 22. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出，根据圆周角定理得出，结论即可得证； （2）由弦与直径垂直，利用垂径定理得到为的中点，求出的长，在直角三角形中，设圆的半径，，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到圆的半径的值． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设的半径为， ∵， ∴，， ∵直径，， ∴， ∵在中，， ∴ 解得：. ∴的半径为． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理．熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 23. 第十五届全运会于2025年11月17日至21日在粤港澳大湾区举行，小明和小红报名参加了志愿者的工作，他俩在同一个场馆工作，该场馆的志愿者被随机分到A组、B组、C组的其中一组． （1）小明被分配到A组是______事件（填“必然”、“随机”或“不可能”） 小红被分配到A组的概率是______． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小红被分配到同一组的概率． 【答案】（1）随机； （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式 （1）根据随机事件的定义可得答案；由概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小红被分配到同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小明被分配到组是随机事件． 小红被分配到组的概率是． 故答案为：随机；． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小红被分配到同一组的结果有3种， 小明和小红被分配到同一组的概率为． 24. 如图，内接于，为直径，点D在上，过点D作切线与的延长线交于点E，，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、平行线的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识点，正确的作出辅助线、构造直角三角形或平行线是解题的关键． （1）如图：连接，由为的切线，根据切线的性质得到，由为的直径，得到，根据平行线的判定和性质可得，又因为得到，最后根据等量代换即可证明结论； （2）如图：连接，则，由勾股定理得到，根据三角函数的定义得到，由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 25. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米． d（米） … 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … h（米） … 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度为______米； （3）该抛物线的解析式为____________；起跳点A距离地面的高度为______米； （4）在上述的条件下，有一次表演，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？______（填“成功”，“不成功”，“不确定”）；人梯移动到距离起跳点A的水平距离为______米时，成功且表演效果最佳． 【答案】（1）见解析 （2）4.75 （3）； （4）不成功；1或4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的作图，解决本题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）建立直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接； （2）根据表格中的数据或函数图象分析的最大值即可； （3）利用待定系数法求出函数的解析式，令，求； （4）对比表格中的数据可知时，故不成功，只需计算当时的大小，由此可知调节人梯的方案． 【小问1详解】 解：如图所示. 【小问2详解】 解：由图可知，演员身体距离地面的最大高度为米； 故答案为：； 【小问3详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， 该抛物线为， 当时，， 起跳点离地面的高度为米； 故答案为：，1； 【小问4详解】 解：由表格可知，当时，，故不成功． 令，即， 解得或． 应调节人梯到起跳点的水平距离为米或米才能成功． 故答案为：不成功，1或4． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线与x轴有两个交点，，其中． （1）当时，求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）点在抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接将，代入抛物线解析式求解即可； （2）利用二次函数的图象和性质求解即可； 【小问1详解】 解：当，将点代入得： ， 解得：， 故抛物线的解析式为：，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵，是抛物线与x轴的两个交点，， ∴， ∵点在抛物线上，∴在抛物线上 ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵时，y随x增大而增大，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质的运用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 27. 如图，在中，，，点在边上，点为中点，点为中点，连接交于点，过点作的垂线交于点． （1）补全图形； （2）写出和的数量关系，并证明你的结论； （3）直接用等式表示线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，中位线的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意补充图形，即可求解； （2）连接，过点作交于点，证明，即可求解； （3）连接并延长交于点，证明得出是等腰直角三角形，则，设，由（2）得出，在中，，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图所示，连接，过点作交于点， ∵点为中点，点为中点， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点为中点，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 【小问3详解】 如图，连接并延长交于点， ∵，点为中点， ∴ ∴是的中点，则 ∵点为中点，点为中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，则是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， 由（2） ∴ 在中， ∴ ∴ 28. 在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，A为任意一点，B为上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为（规定：点在上时，），最大值为，那么把的值称为点与的“美好距离”，记作． （1）如图1，已知点，，． ①_____； ②若点M在线段EF上，直接写出的取值范围是_____； （2）若点在直线上，求的取值范围； （3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为2，最大值为6，直接写出的最小值和最大值． 【答案】（1）①4；② （2） （3）的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】此题考查了圆的性质和新定义、勾股定理、一次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想方法，寻找特殊位置解决数学问题． （1）①根据到的距离的最小值，最大值，即可求解； ②当M在点E处，，当M在点F处，，即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，再根据点与直线的位置关系求出和的取值范围，最后计算“美好距离”的取值范围． （3）根据“美好距离”的定义求出点到圆心的距离的取值范围，再结合正方形的性质，利用数形结合的方法，即可求出的最小值和最大值． 【小问1详解】 解：①到的距离的最小值，最大值， ， 故答案为：4； ②当在点处，到的距离的最小值，最大值， ∴， 当在点处，到的距离的最小值，最大值， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， ，， ， 点在直线上， 设直线交轴于点，交轴于点，如图1， 则时，；时，， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， ∴， 当时，最小， ，即， ， 无最大值， ； 【小问3详解】 解：如图2， 的最小值为2，最大值为6， 两个同心圆中，小圆的半径为2，大圆的半径为6， ①当点P在小正方形的边上运动时，m取得最小值， ， ∴，即， 的最小值是； ②当点P在大正方形的边上运动时，m取得最大值， 在中，，，， ， 解得：舍去负值）； 的最小值为，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $