精品解析：江苏省南通市海安市十三校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025～2026学年度第一学期第二次阶段性联合测试 初二数学试题 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 5. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则代数式的值为（ ） A. B. 30 C. D. 7. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的角平分线，，于，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分．） 11. 计算：＝____________． 12. 若是一个完全平方式，则的值是__________． 13. 关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为______． 14. 如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为______． 15. 已知实数a，b满足，，且a≠b，则的值为__________． 16. 如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则_______，若，则的长为_______． 三、解答题（共98分） 17. （1）因式分解：； （2）计算：． 18. （1）解分式方程：； （2）先化简，从，，中选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值． 19. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）． （1）画出的中线； （2）作出关于直线对称的； （3）在直线上找到一点，使的值最小． 20. 如图，是边上一点，满足，连接并延长到点，使得，连接． （1）用尺规作图作出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 21. 如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． （1）请你补全小海同学的证明过程； （2）如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 22. 若一个正整数能表示成两个正整数的平方差的形式，则称这个数可“平方差表示”．每一种表示方法叫做一个平方差分解． 例：∵，∴可平方差表示．是的一个平方差分解． （1）请写出的另一个平方差分解； （2）试证明：若，（其中是正整数），则可平方差表示； （3）已知（是正整数，是常数，且），要使可平方差表示，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 23. 海安是 “中国麻虾之乡”，麻虾酱是本地知名特产．小安为走访亲友购买了相同数量的甲、乙两种麻虾酱，分别花去元和元．回家后小安告诉妈妈 “每盒甲型麻虾酱比乙型贵元”，妈妈听完后说 “你肯定是搞错了”．设每盒乙型麻虾酱的单价为x 元． （1）请通过计算分析，妈妈为什么说小安搞错了？ （2）小安核实账单后，发现甲、乙两种麻虾酱的单价均为整数，每盒甲型与乙型的单价差值算错了，其他信息都正确．若每盒甲型麻虾酱比乙型贵 m（且为整数）元，求每盒乙型麻虾酱的单价． 24. 综合与实践：探究代数式的 “奥秘”． x 1 2 3 2 观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题： （1）补全上面表格中的数据； （2）已知当和时，分式的值相等，则___________． （3）试说明的值一定不小于2． 25. 【问题提出】如图1，在中，，D是延长线上的点．连接，以为边作（E、D在同侧），使、，连接．若，判断的形状，并说明理由． （1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段上，时，直接写出的度数 ； （2）再探究具体情形、如图1，判断的形状，并说明理由． （3）如图3，在中，，，点D是的中点，点P是边上的一个动点，连接，以为边在的上方作等边三角形，连接，当的最小值为时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期第二次阶段性联合测试 初二数学试题 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为（-2，-3）． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．，计算错误； B、根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方，再将所得幂相乘．，计算错误； C、根据合并同类项法则：合并同类项时，同类项系数相加，字母和字母指数不变．，计算错误； D、根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，计算正确． 3. 在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故选：B． 4. 如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：若腰长为3时，三边长为3，3，6， 此时，无法构成三角形，不符合题意； 若腰长为6时，三边长为3，6，6， 此时； 综上所述，它的周长为15． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边长关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键． 5. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，，，，从而利用即可证明，从而得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，，， ∴， ∴判定的依据是， 故选：A． 6. 已知，，则代数式的值为（ ） A. B. 30 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ； 故选C． 7. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，则A不符合题意； 无法进行约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一次分钱的人数为人，根据题意列出即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：． 9. 如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键．设四个长方形的面积均为S，，则，得出，，求出，，根据求出结果即可． 【详解】解：设四个长方形的面积均为S，，则， ∴，， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 10. 如图，为的角平分线，，于，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义，延长至点，使得，连接，则，由角平分线的定义可得，证明，得出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分．） 11. 计算：＝____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据负指数幂和零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：原式＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查负指数幂和零指数幂的计算，解题的关键是掌握负指数幂和零指数幂的运算法则． 12. 若是一个完全平方式，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而确定系数m的值． 根据完全平方公式的结构，将与对比，确定首尾项分别对应和求出a和b的值，再通过中间项系数与的关系计算注意完全平方公式有“和”与“差”两种形式，故m有两个值． 【详解】若是一个完全平方式， 根据完全平方公式 式子中对应则对应则， 中间项对应即， 化简得 因此，即m ． 故答案为：． 13. 关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，通过解分式方程得到的表达式，根据解为非正数且分母不为零的条件，列出不等式求解． 【详解】解：解分式方程， 两边同乘（需保证），得， 所以， 由于分母，即， 代入，得，即， 又因为解为非正数，即， 所以，即， 因此，且， 故答案为：且． 14. 如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点作交的延长线于点，由角平分线的性质定理可得，再由计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ， ∵平分，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 已知实数a，b满足，，且a≠b，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了平方差公式、等式的基本性质以及一元二次方程的求解等知识． 可先根据已知条件得到关于、的等式，再通过变形求出的值． 【详解】解：已知，， 将两式相减可得： 去括号得： 合并同类项得：． 对因式分解得； 对提取公因式得． 则． 因为，所以，等式两边同时除以， 可得：． 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则_______，若，则的长为_______． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、折叠的性质，由题意可得，由角平分线的定义可得，由折叠的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得出的度数，延长和延长线相交于点，证明，得出，从而可得，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵将沿翻折，点E的对应点为， ∴，， ∴， ∴； 如图，延长和延长线相交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（共98分） 17. （1）因式分解：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解及整式混合运算，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，熟记因式分解及整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案； （2）先由平方差公式及完全平方公式展开，再去括号，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. （1）解分式方程：； （2）先化简，从，，中选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值． 【答案】（1）；（2），1 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去分母，再解整式方程并检验即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再选择符合题意的值代入计算即可得出结果． 【详解】解：（1）方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解是； （2） ， ∵或时分式无意义， ∴x不能是1或， ∴当时，原式． 19. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）． （1）画出的中线； （2）作出关于直线对称的； （3）在直线上找到一点，使的值最小． 【答案】（1）即为所求； （2）即为所求； （3）点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据网格特点，找出中点，然后连接即可； （2）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可； （3）连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； 本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． 【小问1详解】 如图，找出中点，然后连接， 【小问2详解】 如图，利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点， 【小问3详解】 如图， 连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短即可， 20. 如图，是边上一点，满足，连接并延长到点，使得，连接． （1）用尺规作图作出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1） 如图所示： 线段即为所求； （2） 证明：， ， 由（1）知，，则由等腰三角形三线合一可得， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，则， ， ． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，恰当长度为半径画弧，与边交于两点，再以这两点为圆心，恰当长度为半径画弧交于一点，作射线交边于点即可得到答案； （2）根据题意，由等腰三角形性质求出相关角度及线段关系，进而得到，再由全等三角形的判定定理得到，则，在中，由含的直角三角形性质得到，等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查基本尺规作图-作垂线、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、含的直角三角形性质等知识，熟记基本尺规作图、三角形相关性质是解决问题的关键． 21. 如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． （1）请你补全小海同学的证明过程； （2）如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】（1），， （2） 成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 22. 若一个正整数能表示成两个正整数的平方差的形式，则称这个数可“平方差表示”．每一种表示方法叫做一个平方差分解． 例：∵，∴可平方差表示．是的一个平方差分解． （1）请写出的另一个平方差分解； （2）试证明：若，（其中是正整数），则可平方差表示； （3）已知（是正整数，是常数，且），要使可平方差表示，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵是正整数， ∴也是正整数， ∴可平方差表示； （3） 【解析】 【分析】（）根据“平方差表示”的定义解答即可； （）由证明即可求证； （）由可知当时，可平方差表示，据此解答即可求解； 本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴的另一个平方差分解为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵ ， ∴当时，为“平方差表示”，此时． 23. 海安是 “中国麻虾之乡”，麻虾酱是本地知名特产．小安为走访亲友购买了相同数量的甲、乙两种麻虾酱，分别花去元和元．回家后小安告诉妈妈 “每盒甲型麻虾酱比乙型贵元”，妈妈听完后说 “你肯定是搞错了”．设每盒乙型麻虾酱的单价为x 元． （1）请通过计算分析，妈妈为什么说小安搞错了？ （2）小安核实账单后，发现甲、乙两种麻虾酱的单价均为整数，每盒甲型与乙型的单价差值算错了，其他信息都正确．若每盒甲型麻虾酱比乙型贵 m（且为整数）元，求每盒乙型麻虾酱的单价． 【答案】（1） 解：设每盒乙型麻虾酱的单价为 x元，则每盒甲型麻虾酱的单价为元， 根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解． 由于不是整数，所以小安搞错了． （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设每盒乙型麻虾酱的单价为 x元，则每盒甲型麻虾酱的单价为元，根据“购买了相同数量的甲、乙两种麻虾酱，分别花去元和元”列出分式方程，求解即可； （2）根据题意列出分式方程，解分式方程即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得． 经检验：是分式方程的解． ∵m为整数，、也是整数，是整数，且． ∴． ∴． 答：每盒乙型麻虾酱的单价为20元． 24. 综合与实践：探究代数式的 “奥秘”． x 1 2 3 2 观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题： （1）补全上面表格中的数据； （2）已知当和时，分式的值相等，则___________． （3）试说明的值一定不小于2． 【答案】（1）；；2； （2）或或或 （3） 证明：∵． ∴． 即的值一定不小于2． 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将，，，分别代入计算即可得解； （2）由表格中的规律可以看出，当和，相等、互为倒数，互为相反数、互为负倒数时，分式的值相等，由此计算即可得出结果； （3）结合完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：由表格中的规律可以看出，当和，相等、互为倒数、互为相反数、互为负倒数时，分式的值相等． ∴或或或， ∴或或或， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 综上所述，的值为或或或． 【小问3详解】 略 25. 【问题提出】如图1，在中，，D是延长线上的点．连接，以为边作（E、D在同侧），使、，连接．若，判断的形状，并说明理由． （1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段上，时，直接写出的度数 ； （2）再探究具体情形、如图1，判断的形状，并说明理由． （3）如图3，在中，，，点D是的中点，点P是边上的一个动点，连接，以为边在的上方作等边三角形，连接，当的最小值为时，求的长． 【答案】（1） （2） 是直角三角形，理由如下： 过D作，交的延长线于F，如图所示：则， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （3）4 【解析】 【分析】（1）根据题意可得、为等边三角形即可知，，证明，得； （2）过D作，交的延长线于F，根据证明可得，从而可得结论； （3）如图在的上方作等边，证明得，则，则点Q在射线上运动（点T是定点，是定值），当时，的值最小，最小值，进而可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图在的上方作等边， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点Q在射线上运动（点T是定点，是定值）， 当时，的值最小，最小值， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $