精品解析：江苏省扬州大学附属中学东部分校2025-2026学年高一上学期第二次模块考试（12月）数学试题

扬大附中东部分校2025-2026学年第一学期第二次模块考试 高一数学 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合、，由此求得. 【详解】， ， 所以. 故选：B 2. 已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的弧长为 A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形所在圆的半径为，得到，解得，即可得到扇形的弧长，得到答案. 【详解】由题意，设扇形所在圆的半径为，则扇形的弧长为， 所以，解得，所以扇形的弧长为， 故选C. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】因为3弧度的角在第二象限,4弧度的角在第三象限,利用同角三角函数的关系及三角函数值在各象限的符号即可求得. 【详解】 故选: 【点睛】本题考查同角三角函数的关系及三角函数值在各象限的符号,难度较易. 4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 为偶函数且在区间上单调递增 B. 为偶函数且在区间上单调递减 C. 为奇函数且在区间上单调递增 D. 为奇函数且在区间上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 故，定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为偶函数， 又因为，所以在区间上单调递减， 故选：B. 5. 已知函数，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，根据对数的单调性比较，即可根据单调性比较大小.. 【详解】由于函数均为上的单调递增函数，故在单调递增， ， 故， 所以 故选：B 6. 已知，且为第三象限角，则（ ） A. 2 B. 3 C. 或3 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由题设齐次式，化弦为切，解三角方程，求的值，检验即得. 【详解】由，可得， 解得或， 因为第三象限角，则，故. 故选：A. 7. 函数的单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 8. 已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数，利用函数单调性求最值或值域． 【详解】由已知，得或．当时，，当时，． 又在单调递增，， 在上的值域为在上的值域为， 因为函数时，总存在使得， 是的子集， ，即． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”是真命题 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定判断A；判断存在量词命题的真假，判断B； 利用充分条件的定义判断C；利用充分不必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，由存在量词命题的否定形式知命题正确，A正确； 对于B，当时，成立，B正确； 对于C，取，，满足，而，不是充分性条件，C错误； 对于D，能推出，而不能推出，“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 的值域为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，定义域为；B选项，根据定义域及得到B正确；C选项，表达出，根据且，得到不等式，求出值域；D选项，计算得到D正确. 【详解】A选项，由题意得，解得， 故的定义域为，A错误； B选项，的定义域为， ， 故为偶函数，B正确； C选项，由得， 由于且， 显然恒成立，故只需， 解得或，故的值域为，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 11. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据分段函数的定义及对数、指数的运算法则计算． 【详解】由已知， ，， 所以， 故答案为：2025． 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故答案为： 14. 已知函数满足以下三个条件①，②在定义域上是减函数，③，请写出一个同时符合上述三个条件的函数的解析式__________. 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意在学过的函数中找一个满足三个条件的函数即可. 【详解】由可考虑对数函数， 又因为在定义域上是减函数，所以的底数， 又因为，所以，所以. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. （1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义计算可得，再由同角三角函数之间的商数关系弦化切计算可得结果； （2）根据商数关系化简可得，再利用平方关系以及常数“1”的应用计算可得结果. 【详解】（1）由角的终边经过点，可知， 则. （2）由，化简得， 因此， 所以. 16. 已知集合． （1）当时，求和； （2）若是成立的充分不必要条件，这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）解不等式得到，再计算交集和补集即可． （2）确定，故集合是集合的真子集，得到不等关系，解得答案． 【小问1详解】 得，故集合， 把代入得，解得，故集合， 故； 【小问2详解】 ，且，得集合， 是成立的充分不必要条件，故集合是集合的真子集， 则有解得，故实数的取值范围是． 17. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 在上单调递增，证明如下： 由于，可得， 不妨令， 则， 由于，故因此 ， 故在上单调递增， （3） 【解析】 【分析】（1）结合奇函数的性质可知代入即可求解， （2）结合函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可判断， （3）结合（2）的单调性和奇偶性将问题转化为对任意实数恒成立，分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【小问1详解】 由于是上的奇函数， ，即，解得， 又，所以，解得， 经检验符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于为奇函数，故由可得， 又在上单调递增，因此对任意实数恒成立， 故， 由于对勾函数在单调递减，在上单调递增， 故当时取最小值， 因此，故. 18. 已知函数. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数a的范围. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集. （2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集. （3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围. 【小问1详解】 当时，则， 由，得， 原不等式的解集为； 【小问2详解】 由， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由即在上恒成立，得. 令，则， 当且仅当 ，即时取等号. 则，.故实数a的范围是 19. 已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． （1）求a的值以及解析式； （2）若，求的值 （3）若，求的最小值的表达式． 【答案】（1），，； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质，求得定点坐标，代入对数函数求参，可得答案； （2）由（1）所得函数解析式，利用换元法整理方程，可得答案； （3）整理函数解析式，明确二次函数的开口与对称轴，根据分类讨论，可得答案. 【小问1详解】 由，则，所以，解得， 故，. 【小问2详解】 由，则，代简可得， 令，则，，解得，即. 【小问3详解】 由题意可得， 化简可得，易知该二次函数开口向上，对称轴为直线， 当，时，函数在上单调递增，则； 当，时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则； 当，时，函数在上单调递减，则. 综上可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校2025-2026学年第一学期第二次模块考试 高一数学 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的弧长为 A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 为偶函数且在区间上单调递增 B. 为偶函数且在区间上单调递减 C. 为奇函数且在区间上单调递增 D. 为奇函数且在区间上单调递减 5. 已知函数，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且为第三象限角，则（ ） A. 2 B. 3 C. 或3 D. 2或 7. 函数的单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 8. 已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”是真命题 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 的值域为 D. 11. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________． 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 14. 已知函数满足以下三个条件①，②在定义域上是减函数，③，请写出一个同时符合上述三个条件的函数的解析式__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. （1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 16. 已知集合． （1）当时，求和； （2）若是成立的充分不必要条件，这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 17. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数m的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数a的范围. 19. 已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． （1）求a的值以及解析式； （2）若，求的值 （3）若，求的最小值的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $