第一章 整式的乘除【章末复习】 课件--2025--2026学年北师大版七年级数学下册

该初中数学课件系统梳理整式的乘除知识，以幂的运算为基础，串联整式乘除与乘法公式，通过知识框架图整合同底数幂乘除、幂的乘方、平方差公式等核心内容，构建“概念-公式-应用”的逻辑网络。 其亮点在于分层设计随堂练习，从基础运算到几何面积问题，如通过阴影部分面积计算培养数学眼光，利用乘法公式简化2001²计算提升运算能力，结合中考真题强化应用意识，助力教师精准复习，学生巩固知识。

新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】 章末复习 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： . 时 间： . a i T u j m i a N g 1 知识框图 幂的运算 am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn am÷an=am-n 整式的乘法 整式的除法 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 单项式除以单项式 多项式除以单项式 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b)2=a2±2ab+b2 特殊形式 互逆运算 同底数幂的乘法：am·an=_____ (m，n都是正整数) 幂的乘方：(am)n=_____ (m，n都是正整数) 积的乘方：(ab)n=_____ (n是正整数) 同底数幂的除法：am÷an= _____ (a≠0，m，n都是正整数，且m＞n) 零指数幂：a0 =____(a≠0) 负整数指数幂：a-p =_____ (a≠0，p是正整数) 幂的运算 知识回顾 am+n amn anbn am-n 1 用科学记数法表示绝对值小于1的数： 一般地，一个绝对值小于1的数可以表示为a×10n，其中____≤|a|≤_____，n是负整数。 1 10 整式的乘法 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 单项式与单项式 相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 同底数幂的乘法 转化 单项式乘单项式 转化 单项式乘多项式 转化 乘法公式 完全平方公式 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们积的2倍。 整式的除法 单项式除以单项式 多项式除以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 (a+b)÷m=a÷m+b÷m (m≠0) 1.计算： （1）(-)2·(-)3； （3）(a+b)3÷(a+b) ； （5） (-a)2·(a2)2； （2） (-a5)5 ； （4）(-a2·b)3； （6） (y2)3÷y6； （7）an+1·an-1(n＞1)； （8）(-c2)2n。 解:（1）原式=(-)5=- ； （2）原式=-a25； （3）原式=(a+b)2=a2+2ab+b2； （4）原式=-a6b3 ； 随堂练习 1.计算： （1）(-)2·(-)3； （3）(a+b)3÷(a+b) ； （5） (-a)2·(a2)2； （2） (-a5)5 ； （4）(-a2·b)3； （6） (y2)3÷y6； （7）an+1·an-1(n＞1)； （8）(-c2)2n。 （5）原式=a2·a4=a6 ； （6）原式=y6÷y6=1； （7）原式=a2n； （8）原式=c4n。 随堂练习 2.计算： （1）105÷10-1×100； （3）()0÷()-2。 （2）16×2-4； 解:（1）原式=105÷×1=105×10=106； （2）原式=16× = 16×=1； （3）原式=1÷=1× 。 随堂练习 3.一个正方体的棱长为2×102 mm。 (1)它的表面积是多少平方米? (2)它的体积是多少立方米? 解:（1）(2×102÷103)2×6=0.04×6=0.24(m2)，所以它的表面积是0.24m2 。 （2）(2×102÷103)3=0.008 (m3)，所以它的体积是0.008 m3 。 随堂练习 4.计算： （1）(x+a) (x+b)； （2）(3x+7y) (3x-7y) ； 解:（1）原式=x2+ax+bx+ab； （2）原式=9x2-49y2； 随堂练习 （3）(3x+9) (6x+8) ； （4）( x2y-2xy+y2)·3xy； （3）原式=18x2+24x+54x+72=18 x2+78x+72； （4） 原式= x3y2-6x2y2+3xy3； 随堂练习 （5） a2b3·(-15a2b2) ； （6）(4a3b-6a2b2+12ab3) ÷2ab； （5）原式=-5a4b5； （6）原式=2a2-3ab+6b2； 随堂练习 （7） (a2bc)2÷ab2c ； （8）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2。 （7）原式=a4b2c2÷ab2c=a3c； （8）原式=9m2n2-1-8m2n2=m2n2-1。 随堂练习 5.计算： （1）107÷(103÷102)； （2）(x-y)3(x-y)2(x-y) ； 解:（1）原式=107÷10=106； （2）原式=-(x-y)5·(x-y) =-(x-y)6 ； 随堂练习 （3）4×2n×2n-1 (n＞1) ； （4） (-x)3·x2n-1+x2n·(-x)2； （3）原式=22×2n×2n-1=22n+1 ； （4）原式=-x3·x2n-1+x2n·x2=-x2n+2+x2n+2 =0 ； 随堂练习 （5）(y2·y3)÷(y·y4) ； （6） x2·x3+x7÷x2； （5）原式=y5÷y5=1； （6）原式=x5+x5=2x5 ； 随堂练习 （7）m5÷m2·m； （8）a4+(a2)4-(a2)2 。 （7）原式=m3·m=m4 ； （8）原式=a4+a8-a4=a8； 随堂练习 6.计算： （1）(2x2)3-6x3(x3+2x2+x)； （3）[(x+y)2-(x-y)2]÷2xy； （2）(x+y+z)(x+y-z)； （4）a2(a+1)2-2(a2-2a+4) 。 解:（1） (2x2)3-6x3(x3+2x2+x) =8x6-6x6-12x5-6x4 =2x6-12x5-6x4 ； （2） (x+y+z)(x+y-z) =[(x+y)+z][ (x+y)-z] =(x+y)2-z2 =x2+2xy+y2-z2； 随堂练习 6.计算： （1）(2x2)3-6x3(x3+2x2+x)； （3）[(x+y)2-(x-y)2]÷2xy； （2）(x+y+z)(x+y-z)； （4）a2(a+1)2-2(a2-2a+4) 。 （3） [(x+y)2-(x-y)2]÷2xy =[(x2+2xy+y2)-(x2-2xy+y2)]÷2xy =4xy÷2xy =2； （4） a2(a+1)2-2(a2-2a+4) =a2(a2+2a+1) -2a2+4a-8 =a4+2a3+a2-2a2+4a-8 =a4+2a3-a2+4a-8 。 随堂练习 7.求下列各式的值： （1）3x2+(- x+ y2)(2x- y) ，其中 x=2，y=-1； （2）[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷xy ，其中 x=10，y=- ； （3）x(x+2y)-(x+1)2+2x，其中 x= ，y=-25 。 解:（1） 3x2+(- x+ y2)(2x- y) = 3x2-3x2+xy+xy2- y3=xy+xy2- y3 。 当x=2，y=-1时，原式=2×(-1)+×2×(-1)2- ×(-1)3=- ； 随堂练习 7.求下列各式的值： （1）3x2+(- x+ y2)(2x- y) ，其中 x=2，y=-1； （2）[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷xy ，其中 x=10，y=- ； （3）x(x+2y)-(x+1)2+2x，其中 x= ，y=-25 。 （2） [(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷xy = (x2y2-4-2x2y2+4)÷xy=-x2y2÷xy=-xy。 当x=10，y=-时，原式=-10×(-)=- ； 随堂练习 7.求下列各式的值： （1）3x2+(- x+ y2)(2x- y) ，其中 x=2，y=-1； （2）[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷xy ，其中 x=10，y=- ； （3）x(x+2y)-(x+1)2+2x，其中 x= ，y=-25 。 （3） x(x+2y)-(x+1)2+2x =x2+2xy-(x2+2x+1)+2x =x2+2xy-x2-2x-1+2x=2xy-1。 当x= ，y=-25时，原式=2××(-25)-1=-3。 随堂练习 8.利用整式乘法公式计算： （1）2 0012； （3）992-1 ； （5）1232-124×122。 （2）2 001×1 999； （4）889×901+1 ； 解:（1） 2 0012= (2000+1)2= 20002+2×2000×1+12 = 4004001； （2）2 001×1 999 =(2000+1) (2000-1) = 20002-12= 3999999； 随堂练习 8.利用整式乘法公式计算： （1）2 0012； （3）992-1 ； （5）1232-124×122。 （2）2 001×1 999； （4）889×901+1 ； （3） 992-1 =(99+1) (99-1) = 100×98 = 9800； （4） 889×901+1 =(900-1) (900+1) +1 =9002-12+1 = 810000； （5） 1232-124×122 =1232-(123+1) (123-1) =1232-1232+1 = 1。 随堂练习 9.把下图左框里的整式分别乘(a+2b)，将所得的积写在右框相应的位置上。 a2+4ab+4b2 a2-4b2 -a2+4b2 -a2-4ab-4b2 随堂练习 10.分别计算下图中阴影部分的面积。 解:（1）图中S阴影=(3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(a+b) = 6a2+3ab+4ab+2b2-(a2+ab+2ab+2b2) = 6a2+3ab+4ab+2b2-a2-ab-2ab-2b2 = 5a2+4ab； 随堂练习 10.分别计算下图中阴影部分的面积。 （2）图中S阴影=(2a+3b)(2a+b)-2a·3b = 4a2+2ab+6ab+3b2-6ab = 4a2+2ab+3b2。 随堂练习 11.如图，4个长为a、宽为b的小长方围成了一个大正方形，请用不同方法计算阴影部分的面积。你能得到怎样的等式？请验证它的正确性。 解:方法1：S阴影=S小长方形=4ab。 方法2：S阴影=S大正方形-S小正方形 =(a+b)2 - (a-b)2。 因此，可以得到(a+b)2 - (a-b)2 =4ab 。 验证:(a+b)2 - (a-b)2 =(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2)=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab。 随堂练习 12.请在下列横线上填上适当的式子： （1）(___+3b) (2a-3b) =4a2-___； （2）(2x+___)2=___+20xy+___ ； （3）(x+2) (x+___)=x2+___x+2 ； （4）(___+4y) (x+2y)=3x2+___xy+8y2 。 2a 9b2 5y 25y2 4x2 1 3 3x 10 随堂练习 13.如图，我国自主研发的 500m 口径球面射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为 2.5×105m2；一个 11人制正规足球场的面积约为7.14×103 m2。“中国天眼”的反射面面积大约相当于多少个11人制正规足球场的面积(结果精确到1个)? 解:2.5×105÷(7.14×103) ≈0.35×102=35(个)。 随堂练习 14.某种原子的质量为 0.000 000 000 000 000 000 000 019 93g，请用科学记数法把它表示出来。 解:1.993×10-23g。 随堂练习 15. 分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片。 （1）用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积； 解:（1）拼成如图①所示的新长方形，此新长方形的面积为(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2。 随堂练习 15. 分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片。 （2）从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为(2a2+3ab)的长方形。 （2）面积为(2a2+3ab)的长方形如图②所示。 随堂练习 16.请在图中指出面积为(a+3b)2的图形，并指出图中有多少个边长为a的正方形，有多少个边长为b的正方形，有多少个两边分别为a和b的长方形，然后用相应的公式进行验证。 解:图中大正方形的面积为(a+3b)2， 有1个边长为a的正方形，有9个边长为b的正方形，有6个两边长分别为a和b的长方形，验证:(a+3b)2=a2+6ab+9b2。 随堂练习 17.两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗?若不相等，相差多少? 解:不相等。 设这两个数分别是n，n+1，则()2=n2+n+，=n2+n+，所以它们相差 随堂练习 18. 根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体。如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩。当这种坍缩使得它的半径达到施瓦西(Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体——黑洞。施瓦西半径(单位:m)的计算公式是R=，其中G=6.67×10-11N·m2/kg2，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位:kg)；c=3×108 m/s，为光在真空中的传播速度。 随堂练习 已知太阳的质量为2×1030kg，计算太阳的施瓦西半径。 解:R==2×6.67×10-11 ×2×1030÷( 3×108)2 ≈ 2.964×103(m)。 随堂练习 19. 整式乘法运算的研究思路是什么?整式乘法运算与幂的运算、数的运算之间有什么联系?请撰写一篇小短文阐述你的观点。 略 随堂练习 一、核心考点巩固 考点1 幂的乘除 1.[宜宾中考] 下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 中考考法 41 2. 世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”， 在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为 秒。数 据 用科学记数法可以表示为( ) A A. B. C. D. 中考考法 42 3.若，，， ，则( ) B A. B. C. D. 中考考法 43 4.（8分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） 。 解：原式 。 中考考法 44 5.（8分）已知， 。 （1）求 的值； 解：因为， ，所以 。 （2）求 的值。 解：因为， ，所以 。 中考考法 45 考点2 整式的乘除 6.计算： ( ) B A. B. C. D. 中考考法 46 7.下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 47 8.[长沙期末] 某青少年活动中心的场地为长为，宽为 的长方形。现在 要把四周都向外扩建，长增加2，宽增加1，那么这个场地的面积增加 ( ) D A.2 B. C. D. 中考考法 48 9.（16分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） ； 解：原式 。 中考考法 49 （4） 。 解：原式 。 中考考法 50 10.（8分）小明计算一道整式乘法的题 ，由于小明在 解题过程中，抄错了第一个多项式中前面的符号，把“-”写成了“ ”， 得到的结果为 。 （1）求 的值； 解：根据题意，得 ， 所以，解得 。 （2）计算这道整式乘法的题。 解： 。 中考考法 51 考点3 乘法公式 11.［教材习题变式］计算 的结果是( ) C A. B.0 C. D. 中考考法 52 12.若，，则 ___。 4 中考考法 53 13.（8分）利用乘法公式进行计算： （1） ； 解：原式 。 （2） 。 解：原式 。 中考考法 54 14.（4分）先化简，再求值： ,其中, 。 解： 。当， 时，原式 。 中考考法 55 二、思想方法演练 思想1 整体思想 15.（4分）已知 ，求代数式 的值。 解：。因为,所以 ，所以原式 。 中考考法 56 思想2 转化思想 16.若，则 的值是( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 中考考法 57 17.（4分）已知，求, 的值。 解： 。因为 ,所以 。所以, ,解得 ， 。 中考考法 58 $