第12章全等三角形 期末复习综合练习题 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

2025-2026学年华东师大版八年级数学上册《第12章全等三角形》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列命题：①若，，则；②若，则；③直角三角形两锐角互余；④相等的内错角的平分线互相平行．其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 3．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点、、三点在同一直线上，且；若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 7．如图，已知，，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．将命题“对顶角相等”改为“如果…，那么…”的形式为： ． 9．若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是 ． 10．如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则的周长为 11．如图，和分别是线段和的垂直平分线，若，，则的度数为 ． 12．如图所示，点D，E，F分别是的边，，上的点，其中，，要使，可以添加的条件是 ． 13．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为 ；的度数为 ． 14．如图，在中，点D在边上，点E在边上，，连接，，过点A作于点F，若，则的长是 ． 三、解答题 15．如图，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 16．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 17．如图1，在中，，，，交于点D． (1)求证：平分； (2)如图2，若的平分线交于点E，求证：． 18．在中，，，分别平分，，交，于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，交于点，作交延长线于点，若，请直接写出图中与相等的线段． 19．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 20．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 参考答案 1．C 【分析】本题考查命题的真假判断，熟知正确的命题是真命题是解题的关键． ①根据正数的性质判断；②举反例判断；③根据直角三角形性质判断；④根据角平分线定义及平行线的判定定理判断． 【详解】命题①：若 ，，则 ，故①正确； 命题②：反例，比如 ，，此时 ，但 ，故②错误； 命题③：直角三角形中，两锐角之和为 ，它们互余，故③正确； 命题④：当内错角相等时，其平分线会将内错角分成相等的小角，这些小角也能构成一组内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出“平分线互相平行”，故④正确； ∴ 真命题有①、③、④，共3个． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提．由尺规作图可得，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：由作图可得于， ， ， 又 ，， ， ， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质即可求出最后结果． 【详解】解：在与中， ， ， ，， ∵， ， ， 故选：B． 5．A 【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． 由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 7．C 【分析】①证明，再利用全等三角形的性质即可判断；②由可得，再由、证得即可判定；③分别过作、，根据全等三角形面积相等和，证得，即平分，即可判定；④由平分结合即可判定． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ，， ， ，即，故②正确； 分别过作、，垂足分别为、， ， ， ， ， ， 平分，无法证明平分．故③错误； 平分，， ，故④正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 8．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查命题的概念；将命题改为“如果…，那么…”的形式，需要先找出命题的条件和结论，“如果”后面接条件，“那么”后面接结论. 【详解】解：∵原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， ∴改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 9．10 【分析】本题考查绝对值的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系；根据绝对值的非负性，由等式求出m和n的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定三角形的边长，最后计算周长. 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得：，， ∵是等腰三角形，且m，n是两条边的边长， ∴分两种情况讨论： ①当腰长为2时，三角形三边为2，2，4， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况不成立； ②当腰长为4时，三角形三边为2，4，4， 满足三角形三边关系，周长为． 故答案为：10. 10．12 【分析】本题重点考查了线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键． 由垂直平分线的性质定理，得到，的周长为，等量代换其周长为，进而完成求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 11．/度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点．根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，根据等边对等角得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：连接，如图， ，分别是线段，的垂直平分线， ，， 即， ，， ， 故答案为：． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查的是添加条件判断三角形全等，根据全等三角形的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴添加或， ∴， 添加， ∴， ∴． 故答案为：（或，） 13． /76度 /52度 【分析】先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，可得，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练运用这些性质与定理是解题的关键． 14．1 【分析】延长至点G，使，根据等边三角形的性质证明，进而结合的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：延长至点G，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质和的直角三角形的性质，添加辅助线并灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作法、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握等角对等边和平行线的性质是解题的关键． （1）根据作角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）运用角平分线的定义和平行线的性质推导，从而得到，继而得解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求的作角平分线； （2）证明：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． 16．(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理和等边对等角进行计算即可． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 的周长为，即， ； （2）解：由题意得，，， ， ， ． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线进行角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）先由三角形内角和定理得到，再根据等边对等角得到，则，故，即可证明； （2）过点E作交于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：如图：过点E作交于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理． 根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 根据三角形内角和定理可以求出，，根据角平分线的定义可以求出，根据等腰三角形的性质可证三角形全等，利用全等三角形的性质可以找出与相等的线段． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， 在和中，， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 在中，， ，， ，分别平分，， ， 在和中，， ， ； ，， ， 又， ， ， ， 同理可证， ； ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； 综上所述，与相等的线段有，，，． 【点睛】 19．（1）见解析；（2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键． 20．（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，，进而可得；，代入数据，即可求解； （2）同（1）的方法证明即可； （3）同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $