精品解析：福建省连城县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

连城一中2025—2026学年第一学期月考2 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知直线经过点，则直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 3. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A. B. C. D. 4. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程为（  ） A. B. C. D. 5. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列中，，，则下列各式正确的是（    ） A. B. C D. 7. 直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（     ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 若取得最大值，则 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（    ） A. 圆方程是 B. 若，满足圆的方程，则的最小值是 C. 若圆上存在4个点到直线的距离为，则 D. 过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为 11. 已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（ ） A. 双曲线C的实轴长为 B. 存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C. 点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D. 直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 过点且与直线平行的直线方程为_________ 13. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线与C的右支相交于A，B两点，则C的离心率的取值范围为__________ 14. 已知数列满足：，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）不过原点直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值． 16. 已知数列，前项和为， （1）若是等差数列，求数列前项和； （2）若，求； 17. 已知圆经过和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 18. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）在等差数列中，，，求数列的前n项和. （3）记[x]表示不超过的最大整数，若，证明. 19. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点． (ⅰ)直线交于点N，求证：点N在定直线上； (ⅱ)若直线分别与直线相交于两点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城一中2025—2026学年第一学期月考2 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合直线倾斜角与斜率的关系及斜率公式计算解得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，则. 故选：B. 2. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 3. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出椭圆焦点坐标与抛物线焦点坐标可得，即可得准线方程. 【详解】，则椭圆的焦点坐标为， 又抛物线的焦点坐标为， 则，解得，则该抛物线的准线方程为. 故选：C. 4. 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆的圆心和半径，再根据两条直线垂直，斜率之积为，再利用点斜式求出直线方程即可. 【详解】由圆的方程可求出圆心， 又因为直线的斜率，且直线与直线垂直， 所以根据两条直线垂直，斜率之积为，可得直线的斜率是， 根据点斜式方程可知直线的方程是：,整理得. 故选：C 5. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出双曲线的标准方程，再根据条件求出，即可求出结果. 【详解】依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 6. 已知数列中，，，则下列各式正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递推关系可得，可得数列是等比数列，求出通项公式得解. 【详解】由，得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， ，得， . 故选：D 7. 直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，作出图象，利用直线与半圆有两个交点求出b的取值范围. 【详解】是斜率为1的直线， 曲线即，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时，，解得，或（舍去）， 当直线过时，，直线与半圆有两个公共点； 由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点. 故选：B. 8. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离，    所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（     ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 若取得最大值，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，求出，然后逐项分析即可. 【详解】当时，， 当时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，对称轴，所以当或时，取得最大值，故D错误. 故选：BC. 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（    ） A. 圆的方程是 B. 若，满足圆的方程，则的最小值是 C. 若圆上存在4个点到直线的距离为，则 D. 过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：设，根据化简方程可得圆的方程；选项B：设，根据点到直线的距离公式列出不等式可求结果；选项C：根据条件判断出圆心到直线的距离所满足的不等关系即可求解出结果；选项D：根据面积公式判断出取最小值时四边形的面积取最小值，由此可计算出结果. 【详解】选项A：设，由题意可得， 化简可得，故A正确； 选项B：由选项A知圆:的圆心为，半径长为， 设，则直线与圆:有公共点， 代入点到直线的距离公式，得：，解得， 所以的最小值是，故B错误； 选项C：圆的圆心为，半径为4，因为圆上存在4个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离小于3，所以，解得，故C正确； 选项D：如图所示，设，    因为， 当取最小值时，取最小值，即有最小值， 当时，此时取最小值，即为圆的圆心为到直线的距离， 所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（ ） A. 双曲线C的实轴长为 B. 存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C. 点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D. 直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件求出判断A，根据双曲线的定义判断B，由平行线间距离及渐近线的意义判断C，点差法判断D. 【详解】双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去），故实轴长为，故A正确； 由A知，，，即双曲线焦点为， 存在圆， 设动圆圆心为，由动圆与两圆都外切可得：， 所以只需存在，则点的轨迹在双曲线的一支上，故B正确； 因为直线与双曲线的渐近线平行， 而两条平行线间的距离为， 所以双曲线右支上点P到直线的距离，故C错误； 设，则由，相减可得： ，所以，即， 所以D在一条定直线上，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 过点且与直线平行的直线方程为_________ 【答案】 【解析】 【分析】设平行线方程，代入点坐标解得参数，即可求得结果. 【详解】设与直线平行的直线方程为， ∵直线经过点，∴，∴. ∴与直线平行的直线方程为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线与C的右支相交于A，B两点，则C的离心率的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 分析】根据题意作出图形，数形结合得，故，进而求得. 【详解】过点F且斜率为的直线与C的右支相交于A，B两点，如图所示， 由图像可知， ，又，， C的离心率的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知数列满足：，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式求出数列的通项公式，再根据数列是单调递增数列，可得不等式，解不等式即可得到答案； 【详解】由题可得， ，又， 是首项为2，公比为2的等比数列， ，， ，又， 数列是单调递增数列， ， 且对恒成立， . 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解； （2）设，联立方程组，结合韦达定理及即可求解． 【小问1详解】 点为抛物线上一点，则① 且，根据抛物线的定义可得②， 由①②解得， 抛物线的标准方程为 【小问2详解】 不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q， 设，联立得，得， ，解得． 由韦达定理，得，， 又，③， 又两点P，Q在直线l：上， 故式子③，化简得：， 即， 把韦达定理代入，得， 即， 解得或， 直线l不过原点，， 故m的值为． 16. 已知数列，前项和， （1）若是等差数列，求数列的前项和； （2）若，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出等差数列的通项公式，然后利用裂项相消法求出结果即可. （2）利用分组求和法和等差数列、等比数列的前项和公式进行计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意，所以， 所以； 【小问2详解】 由题意， 17. 已知圆经过和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程，列方程组求解即可； （2）由可得出弦长为2，由弦长公式求直线即可，注意讨论斜率是否存在. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为圆C经过和，且圆心在直线上， 所以， 解得： ， 所以圆C的方程为：． 【小问2详解】 ，且=弦长， ①当l斜率不存在时，l的方程为， 易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意． ②当l斜率存在时，设l的方程为，即， 又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则． 所以，解得， 所以直线l的方程为，即． 综上，l的方程为或． 18. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）在等差数列中，，，求数列的前n项和. （3）记[x]表示不超过的最大整数，若，证明. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据和的关系结合等比数列通项公式即可求解； （2）根据错位相减法即可求解； （3）首先证明当时，，进而得到，即可证明时成立，然后说明时也成立即可得证； 【小问1详解】 ①，当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列，所以 【小问2详解】 由（1）知，，， 设的公差为，则，解得，所以，                  两式作差得：             【小问3详解】 ，是递减数列，                 当时，         当时，     当时，          综上所述 19. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点． (ⅰ)直线交于点N，求证：点N在定直线上； (ⅱ)若直线分别与直线相交于两点，求的值． 【答案】（1） （2）(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)=1 【解析】 【分析】（1）设，然后表示出直线的斜率，根据已知条件列出等式进行化简即可. （2）（i）设的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理、直线的联立，可证明结论.（ii）方法一：先列出的表达式，然后化简即可得到答案；方法二：先列出的表达式，然后化简，根据韦达定理对其进行化简求值即可. 【小问1详解】 设，则直线的斜率，直线的斜率， 因为直线和直线的斜率乘积为，所以， 整理的方程为． 【小问2详解】 （i）依题意，直线的斜率不为0，设的方程为． 由得， 设，则，解得， ， 直线方程为，直线的方程为 直线交于点，则 (ⅱ) 方法一：直线的方程为，直线的方程为， 令得，， 所以． 所以，即的值为1． 方法二：直线的方程为，直线的方程为， 令得，即． 所以， 因为， 所以，即， 所以， 即的值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $