第02讲 活用不等式妙解高考最值题（思维导图+4大技巧总结+10大题型+模拟题测试）-2026年新高考数学二轮复习重难点讲义（全国通用版）

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式求最值核心考点，涵盖基本不等式、柯西不等式等四大技巧及十种典型题型，按“方法技巧-题型归纳-真题应用”逻辑架构，通过技巧总结、题型变式、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破高考难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于融合多不等式工具与创新解法，如齐次化思想、对偶式换元等，通过分层设计（真题回归+名校模拟题）培养数学思维，设置“技巧精讲-题型变式-综合应用”教学活动，助力学生高效掌握解题规范（数学语言），提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第02讲 活用不等式妙解高考最值题 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 方法技巧与总结归纳 5 技巧一：基本不等式 5 技巧二：柯西不等式 5 技巧三：权方和不等式 5 技巧四：拉格朗日乘数法 5 04 真题回归 6 05 题型归纳，举一反三 9 题型一：基本不等式求最值 9 题型二：柯西不等式求最值 10 题型三：权方和不等式求最值 13 题型四：齐次化思想与不等式最值 14 题型五：将双变量转化为单变量 16 题型六：万能K法 18 题型七：对偶式换元 20 题型八：待定系数法 22 题型九：三角代换思想 25 题型十：拉格朗日乘数法 26 06 精选名校模拟题 30 技巧一：基本不等式 基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 重要不等式串： 技巧二：柯西不等式 设，，，，有当且仅当时等号成立． 技巧三：权方和不等式 设，，，，，当且仅当：时等号成立。 技巧四：拉格朗日乘数法 给定二元函数和限制性条件，为寻找二元函数在附加条件下的极值点，对分别求导即可求出，那么二元函数的最值在此处取得. 1．（2025年高考北京卷数学真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 3．（2025年高考天津卷数学真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【解析】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 4．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））设，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 5．（2022年上海秋季高考数学试题（网络收集版）），，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 题型一：基本不等式求最值 【例1】（2025·陕西汉中·一模）已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【解析】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 【变式1-1】（2025·四川泸州·一模）若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 【答案】C 【解析】由， 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 【变式1-2】（2025·高三·江西上饶·月考）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由题意，，设， 则，当且仅当时等号成立， 因为，所以，解得， 当时，，即时等号成立， 故的最大值为2. 故选：B. 【变式1-3】（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【解析】由题可知，，又因为, 则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 故选：D. 题型二：柯西不等式求最值 【例2】（2025·高三·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【变式2-1】已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：因为， 所以，且， 又因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，且， 所以 ， 所以的最小值为． 故选：D． 【变式2-2】柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与曲线相切的切点为， 由得，则，即， 则，得， 所以，代入得， 因为，所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立. 故选：B. 【变式2-3】柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 题型三：权方和不等式求最值 【例3】（2025·高三·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 【答案】B 【解析】因为，所以，即 故根据题意，， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：B 【变式3-1】（2025·高三·广东深圳·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【解析】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 【变式3-2】（2025·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 【变式3-3】（2025·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【解析】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 故选：D 题型四：齐次化思想与不等式最值 【例4】若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 【变式4-1】（2025·高三·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 【变式4-2】已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是； 故选：B 题型五：将双变量转化为单变量 【例5】已知抛物线的焦点为，若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由，得，令得，，令，则，当且仅当，即时取等号． 故选：B． 【变式5-1】设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由题意，所以， 得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为． 故选：A. 【变式5-2】（多选题）（2025·高三·重庆·月考）已知正实数、满足，则下列说法正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A，，∴， 则，当且仅当，时取等，即的最小值为，故A错误； 对于B，由选项A知，所以，故的最小值为，则B正确； 对于C，， 由得，故， 令，则，，所以， 则， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故C正确； 对于D，由选项C,得 ，当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【变式5-3】（多选题）（2025·高三·湖北·月考）已知正实数满足，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A：正实数满足，得， 即，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：由，得，因， 所以，且.同理可得，且. 所以，所以B错误； 对于C：， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 对于D：，由C可知， 所以，所以存在，使得，所以D错误. 故选：AC. 【变式5-4】（2025·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 题型六：万能K法 【例6】（2025·高三·贵州·月考）已知函数，若实数，满足，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【解析】由题意，，则，所以函数为奇函数. 又，所以在上严格单调递减. 又知，则，故， 令，得，所以，整理得， 此时，解得，即的最大值为， 当且仅当时取等号. 故选：D. 【变式6-1】已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式6-2】（2025·高三·江苏苏州·月考）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【变式6-3】已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【解析】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 题型七：对偶式换元 【例7】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：∵， ∴可设，， ∴，代入所求式子得， ， 当且仅当，时等号成立.所以的最小值为. 法二：设，， 代入已知等式得，， ∴ ， 其中，. ∴，所以的最小值为. 故选：D 【变式7-1】（2025·高三·重庆渝北·月考）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【解析】因为，所以，， 构造，整理可得， 则，解得，故， 得到 ， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值是9，故C正确. 故选：C 【变式7-2】若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 因为， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：B． 【变式7-3】已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】正数满足，则， 令，，则有，，， 则， 由， 当且仅当时等号成立，由解得， 即当，时，，即的最小值为. 故选：C. 题型八：待定系数法 【例8】已知，则（1）最大值为 ；（2）的最大值为 【答案】 【解析】为求的最大值，需满足同号，则， 令， 得， 所以， 由于的系数与题设比例相同，故，解得，则， 当且仅当且同号时等号成立. 由于的系数与题设比例相同，故，解得， 则， 当且仅当，即且同号时等号成立. 故答案为：；. 【变式8-1】（2025·高三·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【解析】设，， 令，解得，所以， 即，当且仅当，时，等号成立． 故选：D. 【变式8-2】已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【解析】因为，所以， 又，，为正数， 所以，所以； 所以，由， 当且仅当，即时取等号， 所以， 当且仅当，即，时，取最小值. 所以的最小值为，当且仅当，，时取等号. 故选：D. 【变式8-3】（2025·高三·安徽·月考）已知实数a，b，c满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由基本不等式可得 ： ， 当且仅当 时等号成立，可取 ， 所以 的最大值为 2 ． 故选：B. 【变式8-4】（2025·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：A． 题型九：三角代换思想 【例9】（2025·高三·浙江温州·月考）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果. 令 ，等号在时取到． 故选：A 【变式9-1】（2025·高三·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】，由， 得， 令，且， 所以，有， 即，故， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1. 故选：A 【变式9-2】实数a，b满足，则使恒成立的实数的最大值为 ． 【答案】 【解析】由可得， 令, 则， 要使恒成立，故，解得， 故的最大值为， 故答案为： 题型十：拉格朗日乘数法 【例10】（2025·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下： ，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值． 补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导． (1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值． (2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值． (3)①若为实数，且，证明：． ②设，求的最小值． 【解析】（1）函数，对变量求导得：， 当时，. （2）令， 则，解得或， 于是函数在约束条件的可能极值点是，， 当时，函数的一个极值为函数， 当时，函数的一个极值为函数， 方程视为关于x的方程：，则，解得， 视为关于y的方程：，则，解得， 因此函数对应的图形是封闭的，而， 所以的最大值为. （3）①由，，设， 则， 当且仅当时取等号， 所以. ②当时， ，当且仅当时取等号， 所以时，取得最小值4. 【变式10-1】已知正实数 满足 ,则 的最小值是_____. 【解析】设 , 。 设 代入解得最小值为 4 【变式10-2】 满足 ,求 的最大值. 【解析】 分别求导联立得 故 的最大值为 【变式10-3】已知实数 满足: ，则 的最大值是_____. 【解析】本题欲使得 最大 等价于 均为正数的条件 令 对 , 求偏导可得： 故 1．（2025·浙江温州·一模）若a，，且，则ab的最小值为（   ） A．5 B．17 C．25 D．36 【答案】C 【解析】由，，得， 则，解得，因此， 当且仅当时取等号，所以当时，ab取得最小值25. 故选：C 2．（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 3．（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 【答案】C 【解析】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 4．已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】，，， 所以， ， 当时可取等号. 因此所求代数式的最大值为1． 故选：A. 5．（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于选项A：因为正实数满足， 设，则， 因为， 即，整理可得得， 将其看为关于的一元二次方程，则，解得， 即，故A正确； 对于选项D：因为，且，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 对于选项B：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为 ， 因为，则，， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，可得， 即，当且仅当时，等号成立 所以，故C正确； 故选：ACD. 6．（多选题）（2025·高三·福建宁德·月考）若，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于AB，令，则，把代入， 得，整理得，而， 则，解得，A正确，B错误； 对于CD，，解得， 当且仅当且时取等号，C错误； ，解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 7．（2025·高三·广东·月考）权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】， 当且仅当时，即时，取等号. 故答案为：8 8．设为正实数，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】设， 则， 则， ， ， 故 ， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 验证取等条件，显然， ，，故，，， 代入可得，故等号成立 . 故答案为： 9．已知正实数 满足 ，则的最小值是 . 【答案】 【解析】对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数， 所以，联立方程组，解得，因为所以，故， 所以 ，当且仅当，时取最小值. 故答案为: 10．已知正数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意，，故， 因为正数a，b满足，故. 令，则，， 故. 又，故当且仅当，即时， 取最大值. 故答案为： 11．已知正实数，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】已知正实数，要求的最大值， 即求的最小值， ， 令，则原式子变为， 要求的最小值，可判定应在时， 当，即， ， ，当且仅当即时取等， 则， 即的最小值为， 则的最大值是． 故答案为： 12．已知，且满足，则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】由可得，即， 令，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 活用不等式妙解高考最值题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 方法技巧与总结归纳 4 技巧一：基本不等式 4 技巧二：柯西不等式 4 技巧三：权方和不等式 4 技巧四：拉格朗日乘数法 4 04 真题回归 5 05 题型归纳，举一反三 6 题型一：基本不等式求最值 6 题型二：柯西不等式求最值 6 题型三：权方和不等式求最值 7 题型四：齐次化思想与不等式最值 7 题型五：将双变量转化为单变量 8 题型六：万能K法 8 题型七：对偶式换元 9 题型八：待定系数法 9 题型九：三角代换思想 10 题型十：拉格朗日乘数法 10 06 精选名校模拟题 12 技巧一：基本不等式 基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 重要不等式串： 技巧二：柯西不等式 设，，，，有当且仅当时等号成立． 技巧三：权方和不等式 设，，，，，当且仅当：时等号成立。 技巧四：拉格朗日乘数法 给定二元函数和限制性条件，为寻找二元函数在附加条件下的极值点，对分别求导即可求出，那么二元函数的最值在此处取得. 1．（2025年高考北京卷数学真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025年高考天津卷数学真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 4．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））设，则的最小值为 ． 5．（2022年上海秋季高考数学试题（网络收集版）），，则的最小值是 . 题型一：基本不等式求最值 【例1】（2025·陕西汉中·一模）已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【变式1-1】（2025·四川泸州·一模）若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 【变式1-2】（2025·高三·江西上饶·月考）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式1-3】（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 题型二：柯西不等式求最值 【例2】（2025·高三·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 题型三：权方和不等式求最值 【例3】（2025·高三·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 【变式3-1】（2025·高三·广东深圳·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【变式3-2】（2025·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 题型四：齐次化思想与不等式最值 【例4】若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式4-1】（2025·高三·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 题型五：将双变量转化为单变量 【例5】已知抛物线的焦点为，若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式5-2】（多选题）（2025·高三·重庆·月考）已知正实数、满足，则下列说法正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式5-3】（多选题）（2025·高三·湖北·月考）已知正实数满足，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2025·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为 ． 题型六：万能K法 【例6】（2025·高三·贵州·月考）已知函数，若实数，满足，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【变式6-1】已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高三·江苏苏州·月考）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 题型七：对偶式换元 【例7】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高三·重庆渝北·月考）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．11 【变式7-2】若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 题型八：待定系数法 【例8】已知，则（1）最大值为 ；（2）的最大值为 【变式8-1】（2025·高三·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 【变式8-2】已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【变式8-3】（2025·高三·安徽·月考）已知实数a，b，c满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式8-4】（2025·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型九：三角代换思想 【例9】（2025·高三·浙江温州·月考）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 【变式9-1】（2025·高三·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】实数a，b满足，则使恒成立的实数的最大值为 ． 题型十：拉格朗日乘数法 【例10】（2025·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下： ，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值． 补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导． (1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值． (2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值． (3)①若为实数，且，证明：． ②设，求的最小值． 【变式10-1】已知正实数 满足 ,则 的最小值是_____. 【变式10-2】 满足 ,求 的最大值. 【变式10-3】已知实数 满足: ，则 的最大值是_____. 1．（2025·浙江温州·一模）若a，，且，则ab的最小值为（   ） A．5 B．17 C．25 D．36 2．（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 3．（2025·高三·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 4．已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．以上答案都不对 5．（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2025·高三·福建宁德·月考）若，满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·广东·月考）权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 . 8．设为正实数，则的最小值是 ． 9．已知正实数 满足 ，则的最小值是 . 10．已知正数a，b满足，则的最大值为 . 11．已知正实数，则的最大值是 ． 12．已知，且满足，则的最小值为 ． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $