模块一 基础核心知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）达标测试-2026年新高考数学二轮复习（全国通用版）

该高中数学高考复习资料聚焦集合、常用逻辑用语、不等式、复数等基础核心考点，按高考命题规律分模块整合，构建从概念辨析到综合应用的知识网络。通过考点梳理、方法指导、分层训练等环节，配合达标测试落实基础，帮助学生系统突破高频难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料特色在于融入数学思维与创新意识培养，如不等式最值问题通过拆项添项等配凑技巧训练逻辑推理能力，新定义集合问题激发探究兴趣。设置基础选择、综合多选、创新填空等分层练习，结合真题题型设计，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应试能力和数学核心素养。

模块一 基础核心知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）达标测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．已知、为两条不重合直线，、为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 5．，，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 6．若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 7．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 8．已知，（为虚数单位，）．若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 10．设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数满足，则 . 13．已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为 . 14．设集合，其中，，则集合中满足条件“”的元素个数为 （结果用含有的式子表示）. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 16．（15分） 设命题，不等式恒成立;命题. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知集合，． (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18．（17分） 19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）､“补”（添项）､“打磨”（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）. 例如：1.求函数的最小值.可作如下处理： ，当且仅当时，等号成立. 2.已知为正实数，且，求的最大值.可作如下处理： ， 当且仅当且，即时，等号成立. 根据以上信息解决以下问题： 已知. (1)若，证明：. (2)若恒成立，求参数的取值范围. (3)若，求的最小值. 19．（17分） 已知数列，，记集合的元素个数为. (1)若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值； (2)若为1，3，a，b，且，求和集合； (3)若数列项数为，满足，求证：“”的充要条件是“为等比数列”. 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块一 基础核心知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）达标测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由，得或， 即：或； 由，解得,即：， 是的充分不必要条件，或， 即或． 实数的取值范围是或． 故选：A． 2．已知、为两条不重合直线，、为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】对于A选项，因为，，，则与可能平行，也可能相交，因此A中条件不是的充分条件； 对于B选项，因为，，所以，结合，知，因此B中条件是的充分条件； 对于C选项，由，知或，结合， 知与可能平行，也可能相交，因此C中条件不是的充分条件； 对于D选项，由，知或，结合，知， 所以D中条件不是的充分条件． 故选：B． 3．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，则， 解不等式，得，则， 所以. 故选：D 4．已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【解析】由，即，则或，可得或， 当，在集合中，不满足集合元素的互异性， 当，则，满足题设. 故选：C 5．，，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 6．若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【解析】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 7．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】设，由，得, 因，故，当且仅当即时取最大值. 此时，代入， 得 则当时，取得最大值为. 故选：A 8．已知，（为虚数单位，）．若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【解析】由题意得： ， ，解得 . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【解析】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 10．设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A：设，，其中，，，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B：设，，其中，，，， 则， ， 所以，故B正确； 对于C：若，则， 同理可得，故C正确； 对于D：若，取，，满足条件， 但，故D错误. 故选：ABC. 11．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 【答案】ACD 【解析】对于A，由正数满足，可得，解得， 则，当且仅当，即时等号成立，即的最大值为1，故A正确； 对于B，由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B错误； 对于C，因，则， 当且仅当时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于D，由可得，则， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数满足，则 . 【答案】 【解析】由，得，所以. 故答案为： 13．已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】设 :＂ ，不等式 恒成立＂，其等价于 恒成立， 若 为真命题，则 ，解得 ． 又 为假命题，故 的取值范围是命题 为真时的补集， 即 或 ． 故答案为：． 14．设集合，其中，，则集合中满足条件“”的元素个数为 （结果用含有的式子表示）. 【答案】 【解析】由题意可知，所以集合共有个. 因为，，且满足条件“”， 所以，中至少有2个1，最多有个1. 从反面考虑，若，均取1，即取1或，则集合共有个； 若，均取0，则集合有1个； 若，中只有一个取1，其余全部为0，则集合有个， 所以满足条件的集合有个. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 【解析】（1）(方法一)因为是方程的根， 所以，整理得， 因为，所以 (方法二)依题意，，则， 由根与系数的关系，得. （2），， 所以方程化为，. 由求根公式得， 所以，. 16．（15分） 设命题，不等式恒成立;命题. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立. 当时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. （2）由得， 所以，解得. 若真假，则“”且“或”，则. 若假真，则“或”且“”，则. 综上所述，的取值范围是或. 17．（15分） 已知集合，． (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，即，解得， 所以， 当时，， 所以，或， 所以或. （2）因为，， 所以由，得， 当时，，解得； 当时，则，解得； 综上可得，故实数的取值范围为． （3）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又，， 则或， 解得或， 综上可得， 故实数的取值范围是． 18．（17分） 19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）､“补”（添项）､“打磨”（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）. 例如：1.求函数的最小值.可作如下处理： ，当且仅当时，等号成立. 2.已知为正实数，且，求的最大值.可作如下处理： ， 当且仅当且，即时，等号成立. 根据以上信息解决以下问题： 已知. (1)若，证明：. (2)若恒成立，求参数的取值范围. (3)若，求的最小值. 【解析】（1）由题意可得,所以, 当且仅当即时等号成立； （2）因为，根据基本不等式,当且仅当时等号成立， 若恒成立，则恒成立，因为, 得到,解得或, 故参数的取值范围为; （3）题干条件可变形为,而, 注意到, 当且仅当时等号成立，故,所以, 即的最小值为. 19．（17分） 已知数列，，记集合的元素个数为. (1)若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值； (2)若为1，3，a，b，且，求和集合； (3)若数列项数为，满足，求证：“”的充要条件是“为等比数列”. 【解析】（1）集合，. （2）由为1，3，，，当之一为2时，不妨令，则互不相等， 是集合中元素，又，则，，解得，不符合题意， 则必有，得，，互不相等， 则3，，都是集合中的元素，又，则，解得，， 因此为1，3，9，27，所以. （3）充分性：若是递增的等比数列，设的公比为， 当时，， 所以，且，故充分性成立； 必要性：若是递增数列，且，则， 于是，且互不相等，又， 则，且互不相等， 因此，， 从而，所以为等比数列，故必要性成立， 综上，“”的充要条件是“为等比数列”. 第2页，共11页 第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $