期末难点05：比的应用问题“奥数思维训练版”（专项训练）-2025-2026学年六年级数学上册苏教版

期末难点05：比的应用问题“奥数思维训练版” 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．今年“重阳节”，巨子小学的少先队员到敬老院为爷爷、奶奶服务，原来室外人数和室内人数比为5∶3，后来从室外抽调18人到室内，这时室外与室内的人数比变为2∶3，一共有几名少先队员参加活动？ 2．《周髀（bì）算经》中记载：“勾广三，股修四，径隅（yú）五。”意思是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。一个直角三角形三条边的长度比是3∶4∶5，已知最长边比最短边长12厘米，则这个直角三角形的面积是多少平方厘米？ 3．“天问一号”探测器的零件加工需要十分精密，在“天问一号”探测器上有两个相互咬合的齿轮，大、小齿轮齿数的比是9∶5，已知大齿轮比小齿轮多40个齿，则大小齿轮各有多少个齿？ 4．为更好地体验“公园大渡口”的宜人环境，某小学六年级举行“citywalk”大滨路徒步活动。第一批到场的学生是全年级人数的，第二批到达了70人，此时已经到达和没到达的学生人数比为，这个小学六年级共多少人参加活动？ 5．小明的爸爸原来每天开车上班、外出办事，学习完“环保行为从我做起后”，爸爸开始选择骑自行车或乘坐地铁、公交等公共交通工具低碳出行。小明的爸爸上班时，先乘坐公交车，然后换乘地铁。原来他每月的出行费用需要600元，现在他每月的出行费用比原来减少了360元。乘坐公交车和乘坐地铁的费用比是1∶2，小明的爸爸现在每月乘坐地铁的费用是多少元？ 6．某校六年级举办庆“元旦”联欢会，联欢会上表演节目的同学与未表演节目的同学人数比是，已知六年级共有学生168人，表演节目的同学有多少人？ 7．某实验小学邀请交警叔叔在学校报告厅为学生们举办一场“交通安全”的法治报告。六年级三个班均需参加，刘主任按照27∶26∶25分别为三个班分配座位，已知三班比一班少分配4个座位，六年级一共要分配多少个座位？ 8．康康买了一瓶275毫升的果汁浓缩液来调配饮料，调配说明中写有“当果汁浓缩液与水的比为3∶7时，口感最佳。”康康打算用这瓶果汁浓缩液调配出1升饮料，能达到口感最佳的要求吗？ 9．“福”字是最具有代表性的春节符号，贴“福”字蕴含着人们对幸福生活强烈的渴望。皓皓和爸爸一起在红纸上写“福字，爸爸比皓皓多写了16张“福”字，皓皓和爸爸写的数量之比是3∶5，皓皓和爸爸分别写了多少张“福”字？ 10．小冬所在班级开展“书香进校园”整本书阅读活动，小冬利用周末时间阅读了《海底两万里》，已知小冬已看的页数和未看的页数的比是2∶3，再看90页后，刚好看完，这本故事书有多少页？ 11．每年的3月3日是世界野生动植物日。为了普及保护知识，小薇和同学们制作了一个面积是540平方分米的宣传栏，其中关于保护动植物的法律条例知识版面占总面积的，剩下的面积按3∶2分给野生植物图片和野生动物图片版面。野生动物图片和野生植物图片版面的面积各是多少平方分米？ 12．实验小学组织四、五、六年级的同学去敬老院献爱心，共108名同学参加。其中，四年级参加人数是总人数的，五年级和六年级参加人数的比是5∶6。六年级有多少名同学参加？ 13．端午节是中国的传统佳节，包粽子是端午节的一种传统风俗。小霞一家原来包的肉粽和豆沙粽的个数比是5∶3，后来又包了2个肉粽，这时肉粽与豆沙粽的个数比是7∶4，小霞计算了一下，说：“原来包了24个肉粽。”你认为小霞算对了吗？请通过计算说明理由。 14． 助推乡村振兴，打造最美村落。幸福村要对一条路实行道路硬化，已修的米数与未修的米数的比是4∶5，如果再修60米，就正好修到这条路的中点，这条公路长多少米？ 15．杭州亚运会期间中国体育代表团共获得了383枚奖牌，其中铜牌71枚，获得银牌的枚数与金牌的比是37∶67，中国体育代表团获得金牌和银牌各多少枚？ 16．张小乐办一张版面是180平方厘米的数学小报，其中“数学故事”的版面占，剩下的按3∶2的版面比办“数学乐园”和“生活趣题”。三个版块的版面面积分别是多少平方厘米？ 17．微山县水生经济作物种植面积与瓜菜种植面积的比是10∶11，与生态养殖种植面积的比是5∶7，三类作物总面积是1050公顷。三类作物种植面积各是多少公顷？ 18．绿化队用三周完成了一条路的绿化，第一周绿化了这条路的，第二周绿化了400米，第二周与第三周绿化的长度比是，这条路长多少米？ 19．为促进学生全面发展，某学校开展丰富多彩的社团活动。其中，六年级篮球小组的人数是足球小组的。调整后，足球小组中的6人转到了篮球小组，这时篮球小组的人数是足球小组的。现在篮球小组和足球小组各有多少人？ 20．快递员把一批货物从物流中心运往仓库，原计划3.5小时到达。在行驶过程中，有一段4.8千米的道路因暴雨受损，在这段路上的行驶速度仅为正常速度的，因此比原计划晚到了12分钟。物流中心到仓库的路程是多少千米？ 21．客车和货车分别从A地、B地同时出发，相向而行。客车每小时行驶75千米，货车行驶8小时才能到达目的地。当货车行到全程的时，客车已行了全程的。求AB两地的距离。 22．用甲、乙两个粮库存放大米，原来甲粮库存放大米的数量是乙粮库的。如果从乙粮库调30吨大米到甲粮库，那么甲粮库存放大米的数量与乙粮库的比是4∶5。原来甲、乙两个粮库各存放大米多少吨？ 23．有一杯90克的糖水，其中糖与水的质量比是2∶13，现在要增加糖水的甜度，使糖占糖水的。有以下两种方法：一是再增加一些糖，二是蒸发掉一些水。请你分别计算出要再增加多少克糖或蒸发掉多少克水？ 24．甲、乙、丙、丁献爱心，四人一共捐4200元，已知甲捐的钱是其他三人捐的总数的四分之一，乙捐的钱比其他三人捐的总数少50%，丙捐的钱占其他三人捐的总数的三分之一，那么丁捐了多少钱？ 25．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是6∶5，相遇后乙车每小时比相遇前多行驶33千米，甲车按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站。已知甲车一共行驶了5小时，A、B两地一共相距多少千米？ 期末专项·奥数题 期末专项·奥数题 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末难点05：比的应用问题“奥数思维训练版”-2024-2025学年六年级数学上册（苏教版）》参考答案 1．80名 【分析】从室外抽调18人到室内，则总人数不变；原来室外和室内的比为5∶3，总人数看作8份；现在室外和室内的比为2∶3，总人数看作5份；将总人数化为5×8＝40份，则原来的人数比是25∶15，现在人数比是16∶24，室外人数减少9份，减少18人，用18除以9求出1份的量，再乘40求出总量即可。 【详解】5∶3 ＝（5×5）∶（3×5） ＝25∶15 2∶3 ＝（2×8）∶（3×8） ＝16∶24 18÷（25－16） ＝18÷9 ＝2（名） 2×（25＋15） ＝2×40 ＝80（名） 答：一共有80名少先队员参加活动。 2．216平方厘米 【分析】一个直角三角形三条边的长度比是3∶4∶5，这个直角三角形的三边分别是3份，4份，5份时，已知最长边比最短边长12厘米，也就是（5－3）份对应12厘米，求出每份的长度，根据三角形的面积＝底×高÷2计算。 【详解】 ＝12÷2 ＝6（厘米）    ＝18×24÷2 ＝432÷2 ＝216（平方厘米） 答：这个直角三角形的面积是216平方厘米。 3．大齿轮90个；小齿轮50个 【分析】由题意可知，大、小齿轮齿数的比是9∶5，则大齿轮的齿数是9份，小齿轮的齿数是5份，大齿轮比小齿轮多（9－5）份，大齿轮比小齿轮多40个齿，由此求出比中每份的齿数，再乘大齿轮和小齿轮各自占的份数，据此解答。 【详解】每份的齿数：40÷（9－5） ＝40÷4 ＝10（个） 大齿轮的齿数：10×9＝90（个） 小齿轮的齿数：10×5＝50（个） 答：大齿轮有90个齿，小齿轮有50个齿。 4．175人 【分析】因为已经到达和没到达的学生人数之比是4∶1，已经到达的人数占总人数的比例为＝；又已知第一批到场的学生是全年级人数的，第二批到达的人数占总人数的比例是－＝；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，把全年级人数看作单位“1”，用第二批到达的人数除以第二批到达的人数占总人数的得出总人数。据此解答。 【详解】70÷（－） ＝70÷（－） ＝70÷ ＝70× ＝175（人） 答：这个小学六年级共175人参加活动。 5．160元 【分析】根据小明的爸爸每月的出行费用比原来减少了360元，先求出减少后每月的出行费用，这些费用就是小明的爸爸乘坐公交车和乘坐地铁一共的费用，然后根据乘坐公交车和乘坐地铁的费用比是1∶2，则乘坐地铁的费用占小明的爸爸乘坐公交车和乘坐地铁总费用的，根据求一个数几分之几，用乘法计算，求出小明的爸爸现在每月乘坐地铁的费用是多少元。 【详解】600－360＝240（元） （元） 答：小明的爸爸现在每月乘坐地铁的费用是160元。 6． 18人 【分析】已知六年级共有学生168人，联欢会上表演节目的同学与未表演节目的同学人数比是3∶25  ，表演节目的同学人数看作3份，未表演节目的同学人数是25份，共3＋25＝28份，用总人数除以28求出每份的人数，再用每份的人数乘3即可求出表演节目的同学人数。 【详解】168÷（3＋25） ＝168÷28 ＝6（人） 6×3＝18（人） 答：表演节目的同学有18人。 7． 156个 【分析】已知三个班座位比为27∶26∶25，则一班份数是27，三班份数是25，三班比一班少的份数为27－25＝2份；已知三班比一班少4个座位，即2份对应4个座位，可算出1份对应的座位数为4÷2＝2个；三个班份数和为27＋26＋25＝78份，用1份对应的座位数乘总份数即可求出总座位数。据此解答。 【详解】4÷（27－25） ＝4÷2 ＝2（个） 2×（27＋26＋25） ＝2×（53＋25） ＝2×78 ＝156（个） 答：六年级一共要分配156个座位。 8．不能 【分析】根据1升＝1000毫升，统一单位，将比的前后项看成份数，要调配的饮料体积÷总份数＝一份数，一份数×浓缩液的对应份数＝口感最佳需要的浓缩液体积，与这瓶果汁浓缩液的体积比较即可。 【详解】1升＝1000毫升 1000÷（3＋7）×3 ＝1000÷10×3 ＝300（毫升） 275＜300 答：不能达到口感最佳的要求。 9．24张；40张 【分析】已知皓皓和爸爸写的数量之比是3∶5，即皓皓写的数量占3份，爸爸写的数量占5份，爸爸比皓皓多写（5－3）份； 已知爸爸比皓皓多写了16张“福”字，对应（5－3）份，用除法求出一份数，再用一份数分别乘皓皓、爸爸所占的份数，即可求出皓皓和爸爸分别写“福”字的数量。 【详解】一份数： 16÷（5－3） ＝16÷2 ＝8（张） 爸爸：8×5＝40（张） 皓皓：8×3＝24（张） 答：皓皓写了24张“福”字，爸爸写了40张“福”字。 10．150页 【分析】将比的前后项看成份数，读题可知，90页是未看的页数，未看的页数÷对应份数＝一份数，一份数×总份数＝总页数，据此列式解答。 【详解】90÷3×（2＋3） ＝30×5 ＝150（页） 答：这本故事书有150页。 11．野生动物168平方分米；野生植物252平方分米 【分析】把宣传栏的总面积看作单位“1”，已知保护动植物的法律条例知识版面占总面积的，则剩下的面积占总面积的（1－），单位“1”已知，用总面积乘（1－），求出剩下的面积； 把剩下的面积按3∶2分给野生植物图片和野生动物图片版面，即野生植物图片的面积占3份，野生动物图片的面积占2份，一共是（3＋2）份；用剩下的面积除以（3＋2）份，求出一份数，再用一份数乘3、乘2，分别求出野生动物图片和野生植物图片版面各自的面积。 【详解】540×（1－） ＝540× ＝420（平方分米） 420÷（3＋2） ＝420÷5 ＝84（平方分米） 84×3＝252（平方分米） 84×2＝168（平方分米） 答：野生动物图片的面积是168平方分米，野生植物图片版面的面积是252平方分米。 12．54名 【分析】将总人数看作单位“1”，则五年级和六年级参加人数为整体人数108名的，求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；用总人数108名乘分率节课求出五、六年级的总人数。五年级和六年级参加人数的比是5∶6，则可以把五年级人数看作5份，六年级的人数看作6份，则六年级的人数看作，用剩余的人数乘对应分率即可求出六年级有多少名同学参加。 【详解】 （名） 答：六年级有54名同学参加。 13．小霞算错了，理由见详解 【分析】设原来肉粽为个，豆沙粽为个。增加2个肉粽后，肉粽数量变为，豆沙粽数量不变仍为。根据新的比例7∶4，列方程求解的值，进而计算原来的肉粽数量。 【详解】解：设原来肉粽为个，豆沙粽为个。 答：小霞算错了，理由见上。 14．1080米 【分析】已修的米数与未修的米数的比是4∶5，那么已修的占总长的；如果再修60米，就正好修到这条路的中点，中点表示修了总长的（即一半）。说明用减去就是这60米所占的比例，根据总长＝部分量÷对应比例，用60除以（－）即可得出这条路的总长。 【详解】中点表示修了总长的。 60÷（－） ＝60÷（－） ＝60÷（－） ＝60÷ ＝60×18 ＝1080（米） 答：这条公路长1080米。 15．金牌201枚；银牌111枚 【分析】共获得了383枚奖牌，其中铜牌71枚，那么银牌与金牌的枚数之和就是383－71＝312（枚），再按比分配银牌与金牌的枚数和，银牌占枚数和的，金牌占枚数和的，用乘法计算出银牌和金牌分别获得的枚数。据此解答。 【详解】383－71＝312（枚） 312× ＝312× ＝111（枚） 312× ＝312× ＝201（枚） 答：获得金牌201枚，获得银牌111枚。 16．数学故事：45平方厘米；数学乐园：81平方厘米；生活趣题：54平方厘米 【分析】（1）这张版面是180平方厘米的数学小报是本题的单位“1”。其中“数学故事”的版面占，用单位“1”的量乘“数学故事”版块的占比，先求出“数学故事”的面积。 （2）用总版块面积减去“数学故事”的版块面积得到剩下的版块面积。 根据“剩下的按3∶2的版面比办‘数学乐园’和‘生活趣题’”，算出 “数学乐园”的占比是，“生活趣题”的占比是，再用剩下版块的面积乘“数学乐园”和“生活趣题”的占比就可以求出两者的面积。 【详解】（平方厘米） 180－45＝135（平方厘米） 3＋2＝5（份） （平方厘米） （平方厘米） 答：“数学故事”版块面积是45平方厘米；“数学乐园”版块面积是81平方厘米；“生活趣题”版块面积是54平方厘米 17．水生经济作物300公顷；瓜菜330公顷；生态养殖420公顷 【分析】由题意可知，水生经济作物种植面积∶瓜菜种植面积＝10∶11，水生经济作物种植面积∶生态养殖种植面积＝5∶7＝10∶14，则水生经济作物种植面积∶瓜菜种植面积∶生态养殖种植面积＝10∶11∶14，根据三类作物的总面积求出比中每份的量，再乘它们各自占的份数，即可求得。 【详解】水生经济作物种植面积∶瓜菜种植面积＝10∶11 水生经济作物种植面积∶生态养殖种植面积 ＝5∶7 ＝（5×2）∶（7×2） ＝10∶14 水生经济作物种植面积∶瓜菜种植面积∶生态养殖种植面积＝10∶11∶14 1050÷（10＋11＋14） ＝1050÷35 ＝30（公顷） 水生经济作物种植面积：30×10＝300（公顷） 瓜菜种植面积：30×11＝330（公顷） 生态养殖种植面积：30×14＝420（公顷） 答：水生经济作物种植面积是300公顷，瓜菜种植面积是330公顷，生态养殖种植面积是420公顷。 18．875米 【分析】将比的前后项看成份数，第二周绿化的长度÷对应分率＝一份数，一份数×第三周对应份数＝第三周绿化长度；将这条路的长度看作单位“1”，第一周绿化了这条路的，则第二周和第三周绿化了这条路的（1－），第二周和第三周绿化的长度÷对应分率＝这条路的长度，据此列式解答。 【详解】400÷4×3＝300（米） （400＋300）÷（1－） ＝700÷ ＝700× ＝875（米） 答：这条路长875米。 19．篮球小组30人；足球小组42人 【分析】由题意可知，篮球小组和足球小组的总人数不变，把篮球小组和足球小组的总人数看作单位“1”，六年级篮球小组的人数是足球小组的，即原来篮球小组与足球小组的人数比是1∶2，调整后篮球小组的人数是足球小组的，即现在篮球小组与足球小组的人数比是5∶7。那么原来篮球小组的人数占两小组总人数的，现在篮球小组的人数占两小组总人数的，现在足球小组的人数占两小组总人数的，篮球小组现在的人数比原来的人数多6人，篮球小组和足球小组的总人数＝篮球小组现在比原来多的人数÷（－），最后用分数乘法求出现在篮球小组和足球小组的人数，据此解答。 【详解】篮球小组和足球小组的总人数：6÷（－） ＝6÷（－） ＝6÷ ＝6×12 ＝72（人） 现在篮球小组的人数：72× ＝72× ＝30（人） 现在足球小组的人数：72× ＝72× ＝42（人） 答：现在篮球小组有30人，足球小组有42人。 【点睛】本题可通过分析前后篮球小组人数占总人数的比例变化，结合人数的实际变化量来求解总人数，进而求出现在篮球小组和足球小组的人数。 20．28千米 【分析】4.8千米的道路因暴雨受损，走这段路时速度只有原来的，那么走这段路需要的时间与原来需要的时间比就是4∶3，则实际走这段路需要的时间比原来多用了份时间，是12分钟，即小时；求出1份时间占原来需要时间（3份）的几分之几，根据分数除法意义列式为÷求出原计划走这段路需要的时间；根据速度＝路程÷时间，用4.8千米除以原计划走这段路的时间即可求出邮递员原计划的速度；根据路程＝速度×时间列式计算即可解答。 【详解】12分钟＝小时 行4.8千米的道路，原计划需要的时间：（小时） 原计划的速度：（千米/时） 物流中心到仓库的路程：8×3.5＝28（千米） 答：物流中心到仓库的路程是是28千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，理解分数除法的意义。 21． 520千米 【分析】两车同时出发，在相同的时间内，两车的速度比等于路程比。货车行到全程的时，客车行全程的，用求出货车与客车的路程比为13∶15，则货车与客车的速度比也是13∶15； 将货车每小时的速度看作13份，客车每小时的速度看作15份，已知客车每小时行驶75千米，用75除以15可计算出每一份的速度；再用每一份的速度乘13，即可求货车的速度；最后根据“路程＝速度×时间”用货车的速度乘货车走完全程需要用的时间即可求AB两地的距离。据此解答。 【详解】 ＝ ＝13∶15 75÷15×13×8 ＝5×13×8 ＝65×8 ＝520（千米） 答：AB两地的距离是520千米。 【点睛】本题要求灵活使用速度比与路程比之间的关系。 22．甲450吨；乙630吨 【分析】根据题意，两个粮库的大米总吨数不变。已知原来甲粮库存放大米的数量是乙粮库的，则原来乙粮库大米的吨数占两个粮库大米总吨数的； 如果从乙粮库调30吨大米到甲粮库，那么甲粮库存放大米的数量与乙粮库的比是4∶5，则现在乙粮库大米的吨数占两个粮库大米总吨数的； 那么30吨大米占两个粮库大米总吨数的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出两个粮库大米的总吨数； 再根据求一个数的几分之几是多少，用两个粮库大米的总吨数乘，求出原来乙粮库大米的吨数；再用两个粮库大米的总吨数减去原来乙粮库大米的吨数，求出原来甲粮库存放大米的吨数。 【详解】两个粮库大米的总吨数： 30÷（－） ＝30÷（－） ＝30÷（－） ＝30÷ ＝30×36 ＝1080（吨） 原来乙粮库大米的吨数： 1080× ＝1080× ＝630（吨） 原来甲粮库大米的吨数： 1080－630＝450（吨） 答：原来甲粮库存放大米450吨，乙粮库存放大米630吨。 【点睛】抓住两个粮库的大米总吨数不变，求出30吨占两个粮库大米总吨数的几分之几，然后根据分数除法的意义求出总吨数是解题的关键。 23．7.5克；30克 【分析】无论是用方法一还是方法二解决此题，都可以根据糖与水的比是2∶13先求出糖的质量，90×＝12克； 方法一：在增加糖的过程中，要注意整杯糖水的总质量是随之增加的，所以找到等量关系式，设再增加克糖，则增加糖后的糖的总质量∶增加糖后的糖水的总质量＝，然后列出方程求解； 方法二：蒸发掉一些水，糖的质量没有改变，所以可以列出等量关系式，设设蒸发掉克水，则糖的质量∶蒸发掉一些水后的糖水的总质量＝，然后列出方程求解。 【详解】90× ＝90× ＝12（克） 方法一：解：设再增加克糖。 方法二：解：设蒸发掉克水。 答：要再增加7.5克的糖或蒸发掉30克的水，使糖占糖水的。 【点睛】此题要抓住不变量进行找等量关系，然后根据等量关系列出方程进行求解。 24．910元 【分析】已知甲捐的钱是其他三人捐的总数的四分之一，则甲∶其他三人＝1∶4，即甲占总钱数的，同理分析所得乙和丙占总钱数的分率，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用总钱数分别乘甲、乙、丙对应的分率，最后再用总钱数减去这三个人的钱数，即可得解。 【详解】甲占总钱数的 乙占总钱数的 ＝ 丙占总钱数的 （元） 答：丁捐了910元。 【点睛】本题的关键是统一单位“1”，把总钱数看作单位“1”。 25．450千米 【分析】 相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是6∶5，如图，相遇后，两车同时到达对方的出发站，说明相遇后甲、乙两车所行驶的路程比是5∶6，路程比＝速度比，甲车速度没变，将甲车速度看作单位“1”，相遇前乙车速度是甲车速度的，相遇后乙车速度是甲车速度的，乙车相遇前后的速度差占甲车速度的（－），乙车相遇前后的速度差÷对应分率＝甲车速度，甲车速度×总时间＝总路程，据此即可求出A、B两地距离。 【详解】33÷（－） ＝33÷ ＝33× ＝90（千米） 90×5＝450（千米） 答：A、B两地一共相距450千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，通过甲车速度不变，确定相遇前后乙车速度的对应分率，求出甲车速度，进行求出总路程。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $