第14讲 正余弦定理高级应用讲义（思维导图+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦正余弦定理高级应用，覆盖倍长中线、隐圆等12类高考核心题型，按“模型构建-典例精讲-变式迁移”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法提炼、真题训练，帮助学生突破边角互化、最值范围等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以题型化分类和模型化教学为特色，如“隐圆问题”结合阿波罗尼斯圆培养数学眼光，“角平分线模型”用斯库顿定理强化推理能力。设置分层练习与陷阱警示，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解三角形综合题的应考能力。

第14讲 正余弦定理在解三角形中的高级应用 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 题型归纳 5 题型01：倍长定比分线模型 6 题型02：倍角定理与正弦平方差 14 题型03：角平分线模型与张角定理 21 题型04：隐圆问题 34 题型05：正切比值与和差问题 41 题型06：四边形定值和最值与托勒密定理 48 题型07：边角特殊，构建坐标系 55 题型08：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 62 题型09：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 70 题型10：三角形的形状判定 76 题型11：三角形中的几何计算 84 题型12：中线长定理与余弦和为0 99 巩固提升 109 1. 命题定位与分值 正余弦定理是解三角形核心，高级应用为高考中档偏难题，多在选填压轴（11/12题）或解答题第17题后半问考查，分值5-8分；近3年新高考全国卷必考，常结合三角恒等变换、最值范围、几何建模考高级用法，区分度极高。 2. 核心高级考点分布（高考高频3大方向） 1. 边角互化进阶：非齐次式边角互化、多三角形联动边角转化（如四边形、折叠问题），2025新高考I卷17题考折叠三角形边角互化 2. 最值与范围问题：结合基本不等式、三角函数有界性求边长/周长/面积最值，近3年2考，是高级应用核心 3. 综合交汇应用：与平面向量（数量积）、三角函数图象性质、解三角形实际建模（测量、航海）交汇，2024新高考II卷12题考向量+余弦定理范围题 3. 命题特点 • 基础是“定理用对”，高级是“转化用活”：不直接考定理套用，侧重“条件化简→边角转化→限定范围→求解”逻辑链 • 陷阱隐蔽：常借“角的范围”“大边对大角”设坑，忽略则易漏解/错解 • 思想性强：强制考查数形结合、函数与方程、转化与化归思想，贴合高考能力导向 1. 能精准判断边角转化方向：齐次式优先正弦定理，求边长/夹角优先余弦定理，混合式按需互化 2. 掌握2类核心最值解法，攻克高级应用难点：基本不等式法（边的关系）、三角函数有界性法（角的关系） 3. 突破多三角形、折叠、向量交汇场景，能快速梳理条件，联动正余弦定理求解 4. 规避角的范围、大边对大角等高频陷阱，确保高级应用题不丢分 倍长定比分线模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．． 倍角定理与正弦平方差 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1： 推论2： 正弦平方差： 角平分线模型与张角定理 角平分线张角定理：如图，为平分线，（参考一轮复习） 斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积． 隐圆问题 若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上． 正切比值与和差问题 定理1： 定理2： 定理3：（正切恒等式）中，． 四边形定值和最值与托勒密定理 正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理． 托勒密定理：在四边形中，有，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立． 三角形中的几何计算 解决三角形中几何计算的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 中线长定理与余弦和为0 方向一：中线长定理 若分别为的中线，则有： 方向二：余弦和为0 在中，点为线段上一点，则有： 即． 解三角形问题作为每年高考数学中的必考内容，其考查频率颇高，尤其在选择题和填空题中占据重要地位。有时，它甚至以压轴小题的形式出现，挑战考生的思维极限。在综合考查方面，解三角形问题也常作为解答题的重点，难度适中，旨在全面检验考生的数学素养和解题能力。 1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． 2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式． 3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围． 4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识． 5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值． 6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解． 7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值． 题型01：倍长定比分线模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．． 【典型例题1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由，得， 如图，作出平行四边形ACBE，则与的面积相等.在中，，，则，∴. 又，∴， ∴， 故面积的最大值为. 故选：A 【典型例题2】在中，角所对的边分别为，且是的中点，，则 ， . 【答案】 / 【解析】空1： 在中，则，即， 整理得：，解得或（舍去）， 故， 在中，则， 故； 空2： 在中，由，则， 在中，由，则， 故. 故答案为：；. 【典型例题3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， (1)求角B的大小； (2)若，D为边AB上一点，且，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）， ， 所以，即， 故， 因为，所以； （2）因为，所以， ， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得：， 即，故，所以或， 当时，，， 当时，，. 所以的值为或1. 【变式训练1-1】在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在中，内角的对边分别为，且满足____． (1)求； (2)若的面积为在边上，且 ， ，求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分． 【答案】见解析 【解析】（1）方案一：选条件①. 由，可得 ， 由正弦定理得 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 故 ， 又 ，于是 ，即 ， 因为 ，所以 方案二：选条件②． ，由正弦定理得 ， 即 ， ， 由余弦定理得 又 ，所以 （2）由题意知 ，得．① ，即 ② 联立①②解得 而 ， 由余弦定理得 ，故 即的值为 【变式训练1-2】设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，． (1)求AD的长度； (2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度． 【答案】见解析 【解析】（1）依据题意，由可得 ，则，， ，，解得， ，解得AD为 （2）G为的重心，，， ，，，， ， 【变式训练1-3】设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，． (1)求AD的长度； (2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度． 【答案】见解析 【解析】（1）依据题意，由可得 ，则，， ，，解得， ，解得AD为 （2）G为的重心，，， ，，，， ， 【变式训练1-4】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， (1)求角B的大小； (2)若，D为边AB上一点，且，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）， ， 所以，即， 故， 因为，所以； （2）因为，所以， ， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得：， 即，故，所以或， 当时，，， 当时，，. 所以的值为或1. 【变式训练1-5】如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．    (1)求边、的长度； (2)求的面积； (3)点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以，，即， 所以，，即，即． 又因为，所以，. （2）设，因为为边上的中线， 所以，， 则， ， ，① 整理得，即， 得或， 由①，得，所以，，则， 故， 因此，． （3）由（2）知，，为的中点，则． 设，，其中、． 所以，得． 又、、三点共线，则、共线， 设，则，所以，， 因为、不共线，则，即， 由，得， 又， 所以， 即， 又因为， 所以，，所以，，解得， 所以：，， 所以． 题型02：倍角定理与正弦平方差 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1： 推论2： 正弦平方差： 【典型例题1】在锐角中，角所对的边为，且. (1)证明: (2)若，求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）∵， 由正弦定理，得， 即， ∴， ∴或（舍），即， （2）由锐角△ABC，可得，，． 即， ∴． 由正弦定理可得：， 所以. 所以的取值范围为：. 【典型例题2】从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题． 在锐角中，角所对的边分别为，且________． (1)证明：； (2)求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【解析】（1）选择①：由及余弦定理可得 ； 即， 又， 所以， 即，可得． 又易知，可得， 所以或， 即或（舍）， 故． 选择②：由及，得， 则由正弦定理得， 又， ， 即， 所以． 又，可得， 所以， 故． 选择③：由可得， 即，所以． 又，可得， 所以， 故． （2）令， 由（1）可知，可得． 由锐角可得， 即，解得， 所以． 令， 根据对勾函数的性质知在上单调递增， 可得， 即的取值范围是． 【变式训练2-1】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：∵， ∵，∴， ∴，∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴A，B，C∈（0，π），∴即． （2）∵，且a＝2，∴ ∵A＝2C，∴， ∵为锐角三角形，所以, ∴，∴， 由a＝2，，所以，则， 且， 设,， 设，则， ∴，， 所以,为减函数， ∴． 【变式训练2-2】在锐角中，角，，所对的边为，，，且． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）∵， 由正弦定理，得， 即， ∴， ∴或（舍），即， ∴， ∴． （2）由锐角△ABC，可得，，． 即， ∴． ∵． 令，， 因为在上单调递增， 所以当， 当， ∴． 【变式训练2-3】在中，AB＝4，AC＝3． (1)若，求的面积； (2)若A＝2B，求BC的长． 【答案】见解析 【解析】（1）在中，设角A、B、C所对的边分别为a，b，c． 由余弦定理得， 即，得或（舍）， 由，，得， 所以的面积． （2）在中，由正弦定理得， 所以． 在中，再由余弦定理得， 所以，解得． 【变式训练2-4】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，． （1）证明：； （2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)证明：由，即， ，，， ，， ，， ， ，， ， ，B，，． (2)，， ． 且， ， ， 为锐角三角形，， ，， 为增函数， ． 【变式训练2-5】记的内角的对边分别为，已知，且. (1)证明：； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）证明：依题意知， 故，即， 由余弦定理得， 代入可得， 因为，所以，即； （2）由题意为锐角三角形，且， 由（1）知，则， 由正弦定理得， ，其中为锐角，所以， 因为，则，解得， 则，则，即， 因此. ， 题型03：角平分线模型与张角定理 角平分线张角定理：如图，为平分线，（参考一轮复习） 斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积． 【典型例题1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求证：； (2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长． 【答案】见解析 【解析】（1）在中，由余弦定理及， 得，即，由正弦定理，得， 即， 由，得，则， 因此，即，则， 所以． （2）由，得，由，得． 在，中，由正弦定理，得， 则，解得，从而，又， 由余弦定理，得，解得， 所以BD的长为. 【典型例题2】在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得， 又因为，且， 即，解得. 【典型例题3】 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 【答案】见解析 【解析】（1）因为中，， 故 ， 因为，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①， 又②， 同理在中，③， ④， BD是的角平分线，则， 则， 又，故， 故①÷③得⑤，即， 由②④得， ， 则 ， 即； （ii）因为，故， 则由⑤得，则， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故，即的最大值为. 【典型例题4】已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理可得，即， 又因为，则， 因为，所以. （2）因为 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当时，取得最小值. 【变式训练3-1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求C； (2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC． 【答案】见解析 【解析】（1）由及， 有， 又由正弦定理，有， 有，有，有， 又由，可得； （2）由，有， 可得， 在△OAB中，由△OAB的面积为，有， 可得， 又由余弦定理及AB＝7，有， 有， 代入，有AO＋BO＝8， 联立解得或 由对称性不妨设 在△OAB中，有，可得， 又由OA为角A的角平分线，有， 在△OAC中，由正弦定理有，有， 可得． 【变式训练3-2】在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长. 【答案】见解析 【解析】（1）因为在中，， 所以， 所以由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为， 且 所以， 由余弦定理得：， 整理得， 解得或（舍去）， 所以， 所以的周长为. 【变式训练3-3】已知在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，的角平分线交于，求的值. 【答案】见解析 【解析】（1）∵， 由正弦定理得，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，∴. （2）由余弦定理得，， ∴，解得或（舍去）， 由， ∴， ∴. 【变式训练3-4】的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题： ①；②；③． (1)求的面积； (2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求． 【答案】见解析 【解析】（1）若选①，则， ，又． 若选②，，则，， ， 由正弦定理可得：． 若选③，由得，且， 则 ， 由得， 则， 由正弦定理可得：； （2）由角平分线的性质知：，∴，， 在中，，∵，∴，由余弦定理知： ， 故， 在中，由正弦定理知：， 即，故． 在中，，， 由余弦定理知： ， 故． 【变式训练3-5】在①；②边上的高为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答． 问题：记内角，，的对边分别为，，，已知，，______． (1)求的值； (2)设是的角平分线，求的长． 【答案】见解析 【解析】（1）选条件①：，， 由余弦定理，即，∴，； 选条件②；边上的高为， 由三角形的面积公式得，解得，； 选条件③：，由题意可知， 所以． 因为， 所以． 由正弦定理得，即，解得，． （2）选条件①：因为是的角平分线，所以， ，， 则， 由正弦定理，得； 选条件②；因为是的角平分线，所以， ， ，， 则， 由正弦定理，得； 选条件③：因为是的角平分线，所以， 由题意可知，，∴ 则， 由正弦定理，得． 【变式训练3-6】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设. (1)求A； (2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值. 【答案】见解析 【解析】（1）， 即：， 由正弦定理可得：， 所以， 又因为，所以. （2）为的角平分线，. 由，得， 又，所以，故， 所以， 当且仅当，即时，的最小值为9. 【变式训练3-7】在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且． (1)求角； (2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 即， ，故， ，即， 又，则． （2） 由（1）可知，，又外接圆的半径为； 由正弦定理可知， 所以， 因为是的平分线，故， 又， 由， 可得，即．① 由余弦定理可知，，即．② 由①②可知． 所以， 又，则， 所以. 【变式训练3-8】在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 【答案】见解析 【解析】（1）由题意可知：，则， 即， 且，整理可得，即或（舍去）， 所以的值为. （2）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即， 若为的角平分线，则，即， 且，则， 即，可知， 则，可知， 又因为，则，所以. （3）由（2）可知：，则， 且最短，即为最短， 设，则，，， 可知，可得， 由余弦定理可得， 则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 由（1）可知：，即， 可得，即（负值舍去） 所以当为何值时，最短. 题型04：隐圆问题 若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上． 【典型例题1】阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得，设的外接圆半径为， 则， 以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 则、， 设点，由，可得， 化简可得， 所以，的边上的高的最大值为，因此，. 故选：A. 【典型例题2】古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意设，，， 由得：， 化简得，故， ∵，∴当时，面积最大， 此时不妨设，则，. ∴. 故选：D. 【典型例题3】在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____． 【答案】 【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系. 则，， 设，则，， 因为 所以，即： 整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上. 在轴上取，连接 可得，所以，所以 由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小. 此时最小为. 故答案为． 若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上． 【典型例题4】若满足条件，，则面积的最大值为 . 【答案】 【解析】如图，以的中点为原点，为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，设，由， 得， 化简可得, 则点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 且去掉点，和，； 所以的面积的最大值为， 故答案为：. 【变式训练4-1】在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（    ） A．27 B．16 C．10 D．25 【答案】A 【解析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则,因为，，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧（因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理可得圆半径为， 因此对角线的最大值为 故选：A 【变式训练4-2】已知中，，为的重心，且满足，则的面积的最大值为______. 【答案】/ 【解析】以的中点为原点建立平面直角坐标系，，， 设，则， 当时要使，则在坐标原点，显然不成立， 当时要使，则，解得，显然不成立， 所以且，因为 所以，即 整理得，(且) 所以当点的纵坐标为时，的面积取得最大值为. 故答案为： 【变式训练4-3】已知等边的边长为2，点G是内的一点，且，点P在所在的平面内且满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】由，可知点G为的重心，以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，表示出的坐标，设，由可知在以为圆心，为半径的圆上，根据点与圆上的点的距离最值求出的最大值.由，可知点G为的重心. 以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，. 设，由可知P为圆上的动点， 所以的最大值为. 故答案为： 【变式训练4-4】在中，，则的面积最大值为 ． 【答案】3 【解析】因为，所以由正弦定理得，即， 以线段所在直线为x轴，以的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 由得， 因为，所以整理得， 由此可知点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以当点C在圆上运动时，点C到x轴的最大距离为半径， 所以的面积在上单调递减， 所以． 故答案为：. 【变式训练4-5】波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为 . 【答案】 【解析】，,即．根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为圆, 以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系,求出B的轨迹方程，进而得出结论．为非零常数， 根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹是圆. 以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系 则，设，∵ ∴ ，整理得 因此，当面积最大时，BC边上的高为圆的半径. 【变式训练4-6】阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值（）的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】由已知条件结合余弦定理，可求出，，建立坐标系求出点所在的圆的方程，求出点到距离的最大值，即可求出结论.依题意，，得， 即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴 建立直角坐标系，则，设， 由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为 ，边高的最大值为， ∴. 故答案为： 题型05：正切比值与和差问题 定理1： 定理2： 定理3：（正切恒等式）中，． 【典型例题1】已知的三个内角A，B，C满足，则（    ） A．是锐角三角形 B．角的最大值为 C．角的最大值为 D． 【答案】D 【解析】由得，则，所以是钝角三角形，故A不正确； 由得，则，整理得， 所以，当且仅当等号成立，∴，故B不正确； 由得，化简可得，则， 因为为钝角，所以为锐角，取，得，， 符合题意，即可以取大于的值，故C错误； 由得，，，所以，即，结合正弦定理可得，故D正确. 故选：D. 【典型例题2】在中，角所对的边分别为，若，且，则 ． 【答案】 【解析】中，，， ， 由正弦定理有，， 由，得， 有，即， ，得， 由，可得， 即，代入， 得，∴， 由余弦定理， ，得， 故答案为： 【典型例题3】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为 ． 【答案】12 【解析】由题意知，在锐角中，， ， 等式两边同时除以，得， 又， 所以， 得，且， 所以， 令，则， 故 ， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值为12. 故答案为：12 【典型例题4】在中，点D在边BC上，且，记. (1)当，，求； (2)若，求的值. 【答案】见解析 【解析】（1）当，时，，， 设，，，， ∴在△ACD中，根据余弦定理得：， ． （2）分别过作，，，， 易知， ，且， ，， ． 【变式训练5-1】已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的最小值为 . 【答案】 2 / 【解析】∵， ∴， ∴，. 又， ∴ ∴ 又∵在锐角ΔABC中， ∴， 当且仅当时取等号，检验可取， ∴， 故答案为：2， 【变式训练5-2】在△ABC中，且，则△ABC面积的最大值为 ． 【答案】6 【解析】因为，故， 又，所以， ，故，所以， 故同号，因 ，故． 设边上的高为，则， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立，所以即面积的最大值为，当且仅当时取最大值， 综上，填． 【变式训练5-3】在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由余弦定理，得，则由，得，所以， 由正弦定理，得，所以， 所以，，． 因为， 所以， 则． 令，而 则， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为： 【变式训练5-4】在中，角所对的边分别为，若，且，则 ． 【答案】 【解析】中，，， ， 由正弦定理有，， 由，得， 有，即， ，得， 由，可得， 即，代入， 得，∴， 由余弦定理， ，得， 故答案为： 【变式训练5-5】在锐角中，内角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，即， 即， 所以， 又， 因为为锐角三角形，所以，因此； 所以 ， 令，则 ， 当且仅当，即时，取等号； 【变式训练5-6】在锐角中，分别为角所对的边，，且的面积． (1)若，求； (2)求的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1），解得：； ，，， 由余弦定理得：，解得：. （2），即， 由正弦定理得：， ， ， ； ，，， 则当时，取得最小值，的最大值为. 【变式训练5-7】在锐角中，分别为角所对的边，，且的面积． (1)若，求； (2)求的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1），解得：； ，，， 由余弦定理得：，解得：. （2），即， 由正弦定理得：， ， ， ； ，，， 则当时，取得最小值，的最大值为. 题型06：四边形定值和最值与托勒密定理 正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理． 托勒密定理：在四边形中，有，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立． 【典型例题1】克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接AC，BD． 由，及正弦定理，得， 解得，． 在中，，，， 所以． 因为四边形ABCD内接于半径为的圆， 它的对角互补，所以， 所以,所以， 所以四边形ABCD的周长为．故选：A 【典型例题2】如图．在平面四边形中，．设，证明：为定值． 【答案】见解析 【解析】证明：设，则． 在中，因为，，所以． 在中，由余弦定理， 即， 则，即， 故为定值． 【典型例题3】如图，平面四边形的对角线分别为，，其中，，．    (1)若，的面积为，求的面积； (2)若，，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得，，， 在中，由余弦定理得，． 由余弦定理得，， ∵， ∴， ∴， 故， ∴． （2）在中，由正弦定理得，， ∴． 在中，，， 由正弦定理得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 又， 解得． 【变式训练6-1】托勒密是古希腊天文学家､地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.则图四边形为圆的内接凸四边形，，且为等边三角形，则圆的直径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，因为为等边三角形，所以, 在中，由余弦定理得到，，所以， 由题有，所以，解得，所以 由正弦定理知，，解得， 故选：D. 【变式训练6-2】克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 在中，由余弦定理得， 由题知，，即， 所以，当且仅当四点共圆时取等号， 所以的最大值为. 故选：D 【变式训练6-3】克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由托勒密定理，得． 因为，所以． 设圆的半径为，由正弦定理，得． 又，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，则，故． 故选：B 【变式训练6-4】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【解析】设，由托勒密定理可知， 即，所以，， 又因为，， 因此， . 故选：C. 【变式训练6-5】在四边形中，，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】见解析 【解析】（1）在三角形ABD中，根据余弦定理可得，， 由题得：，所以， 在三角形BCD中，根据余弦定理可得， ， 所以，. （2）设，在三角形ABD中，根据余弦定理可得， ， 在三角形BCD中，根据余弦定理可得，， 所以，得：或（舍）， 则. 题型07：边角特殊，构建坐标系 利用坐标法求出轨迹方程 【典型例题1】已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为. 故选：C 【典型例题2】在中，，，点在内部，，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】因为，，所以. 在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），所以，解得：. 如图所示：设的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系. 设E为AC的中点，所以，. 所以点M的轨迹为：，可写出（为参数）. 因为点在内部，所以（其中满足，）. 所以 因为满足，，所以， 所以当时最小. 故答案为：2 【变式训练7-1】在中，，点在边上，且，若，则长度的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】如图，以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 设，因为，则 ， 所以，即， 所以点轨迹是一个圆，圆心，半径， ，，， 求长度的最大值即为求长度的最大值,     在中，由正弦定理， 则，当时，即与圆相切时，， 则长度的最大值为4，长度的最大值为5. 故选：C. 【变式训练7-2】在等边 中，为内一动点，，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 以的BC边的中点O为原点，BC为x轴，过O点垂直于BC的直线为y轴，建立建立直角坐标系如图， 再将 延x轴翻折得 ，求得的外接圆的圆心为Q， ， M点的劣弧 上， 不妨设等边的边长为2，可得：，，，， 点所在圆的方程为：. 设参数方程为：， ， ， 其中 ， 即，解得，； 故选：C. 【变式训练7-3】已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为. 故选：C 【变式训练7-4】在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设，可得的坐标，根据数量积公式，可得的表达式，即可求得答案.以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示： 因为，，， 所以，设， 则， 所以 =， 当时，有最小值，且为， 故答案为： 【变式训练7-5】已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且. (1)若，求tan∠GAC的值； (2)求cos∠ACB的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设的中点为，则共线且， 设，则，，，， 故，故，故， 所以. （2）设，则， 故，， 故， 故，所以， 故，而， ， 故 ， 而，故，故， 所以，. 题型08：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式． 【典型例题1】记的内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求A； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】见解析 【解析】（1）由正弦定理及， 可得 ，因，则， 则，结合， 则； （2）因的面积为，则， 则，由正弦定理及， 则，则. 由余弦定理，， 则， 则三角形周长为. 【典型例题2】已知的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)若，求C； (2)若，，求的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以，则. 因为，由正弦定理可得， ， 所以，由为三角形内角，故， 所以，又， 故. （2）法一：由（1）知，， 则， 由正弦定理可得， 由，且代入可得 ，化简得，联立， 解得，又由可得， 则， 故. 法二：由可知，均为锐角，且， 所以， 如图在中，过点作边上的高，垂足为， 由可得，，则有， 由，可得. 设，则， ， 由可得， 解得，即，故高. 所以的面积为. 【变式训练8-1】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且. (1)求； (2)若的外接圆半径为，周长为，且，求. 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 故， 所以. 因为，所以， 又，所以. （2）由正弦定理可知，，， 因为，所以， 所以. 所以. 又，所以， 所以，故. 【变式训练8-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求的周长. 【答案】见解析 【解析】（1）由得， ， 即， 故， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 因为，所以； （2），由正弦定理得， 因为，所以， 由（1）知，，由余弦定理得， 解得，故，所以， 所以的周长为. 【变式训练8-3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长. 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 所以， 即，所以， 又，所以，所以， 又，所以. （2）由，又， 所以，所以， 由余弦定理得， 所以，所以， 所以，所以，所以， 即的周长为. 【变式训练8-4】已知的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】见解析 【解析】（1）依题意，， 所以， 因为，所以或，所以或. （2）由， 根据正弦定理和三角形内角和定理可得， 又，所以，即， 又，所以， 在中，因为，则，所以， 所以. 根据正弦定理可得，即， 所以， 所以的周长为. 【变式训练8-5】记内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，求的周长． 【答案】见解析 【解析】（1）由得，，即， 由于，； （2）由题设条件和正弦定理， 又，，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理得， 解得，， 故的周长为. 【变式训练8-6】在中，角对应的边分别为．已知． (1)求； (2)若点为边的中点，且，，求的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 化简可得， 又因为在中，， 所以有，即， 又，故，所以． （2）由余弦定理， 可得①， 易知，则， 即②， ②①可得，解得， 故的面积为． 【变式训练8-7】在中，内角的对边分别为，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的周长和面积． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：因为，所以， 则， 因为，所以， 又因为， 因为，所以， 所以，所以， 所以是等腰三角形． （2）因为， 所以， 所以的周长为， 的面积． 【变式训练8-8】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． (1)求； (2)若为的中点，且，求的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 化简得． 因为，，所以． 因为，所以． （2）因为为的中点，所以， 等式两边平方得， 即①． 在中，由余弦定理得②， 联立①②解得， 所以． 【变式训练8-9】在中，角所对的边分别是，若，且. (1)求的值； (2)若，求的面积. 【答案】见解析 【解析】（1）由可得：， ， 则. （2）由（1）可得， 在中，由正弦定理， 得：，则. 题型09：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围． 【典型例题1】在锐角中，内角的对边分别为，已知. (1)求A; (2)求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 因为为锐角三角形，可知， 则，所以， 且，所以. （2）因为，可知，即， 且为锐角三角形，则，解得， 又因为 ， 由，可知，则， 所以. 【典型例题2】已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，. (1)求的取值范围； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）因为为锐角三角形，所以，，. 又因为，所以， 由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以，即， 解得， 所以，即， 所以的取值范围为. （2）因为，由（1）知，， 由正弦定理，得 ， 故的周长， 令，由（1）知，则， 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为. 【变式训练9-1】已知在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，求的面积S的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意及正弦定理，得， 即， 因为，所以， 因为，所以，， 又因为，所以． （2）由（1）得， 由正弦定理，得， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 从而． 【变式训练9-2】记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是上的一点，且，求的最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）， 又，则或， 若，则； 若，则，又，不符合题意，舍去， 综上所述. （2） ①，又②， ①÷②得： 令，又， ， 令 令， 令， 当时，当时， 由对勾函数性质可得当时，为减函数，故， 同理当时， 所以当三角形为等边三角形时最小，最小值为 【变式训练9-3】已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求c的值以及的面积； (2)若，求的值以及的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）由，可得， 因为，所以，所以，可得， 由余弦定理得， 所以的面积． （2）因为，所以， 解得， 在中，由正弦定理得，则， 因为，故，所以， 即的取值范围为. 【变式训练9-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，从下面两个条件中选一个，求的最小值． ①点M，N分别是边，上的动点（不包含端点），且； ②点M，N是边上的动点（不包含端点且），且． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【解析】（1）由正弦边角关系得， 所以， 由余弦定理得，即， 所以，又，则． （2）由（1）及题设，则， 选①，此时，设，， 由余弦定理得，即， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 选②，此时，， 设，因为，则， 在中由余弦定理得， 在中由余弦定理得， 所以， 所以当时，取得最小值． 题型10：三角形的形状判定 余弦定理判定：三角形三条边从小到大排列，即， 若，则是锐角三角形； 若，则是直角三角形； 若，则是钝角三角形； 【典型例题1】在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 【典型例题2】在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形． 故选：． 【典型例题3】已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由余弦定理，可得 ， 整理，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或或，故三角形为等腰三角形. 故选：A 【变式训练10-1】在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形.故选：A 【变式训练10-2】已知分别是三个内角的对边，下列关于的形状判断一定正确的为（    ） A．，则为直角三角形 B．，则为等腰三角形 C．，则为直角三角形 D．，则为等腰三角形 【答案】C 【解析】对于AB，当时，由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以，即，得， 所以，则， 于是为直角三角形或钝角三角形，故AB错误； 对于CD，当时，由， 得， 整理得， 由正弦定理，，（是外接圆的半径） 由余弦定理，，即， 解得或，即， 解得或，故为直角三角形，故C正确，D错误；故选：C. 【变式训练10-3】在中，，，分别为角，，的对边，已知．若，，成等比数列，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不确定 【答案】B 【解析】因为，由诱导公式得， 由正弦定理得， 又，所以，即， 又，所以. 又因为，，成等比数列，所以， 由余弦定理得，解得， 所以为等边三角形.故选：B. 【变式训练10-4】中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．直角或钝角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【解析】因为，， 所以，即， 所以，即， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以为钝角三角形.故选：D. 【变式训练10-5】在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 【答案】D 【解析】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：D. 【变式训练10-6】已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以，所以， 因为.所以， 所以的形状为顶角为的等腰三角形.故选：B. 【变式训练10-7】在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D 【变式训练10-8】已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由余弦定理，可得 ， 整理，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A 【变式训练10-9】在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以，故选：B. 【变式训练10-10】在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形.故选：D. 题型11：三角形中的几何计算 解决三角形中几何计算的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典例例题1】在平面四边形中，，，且. (1)求的长； (2)若为的中点，求. 【答案】见解析 【解析】（1） 在三角形中，，， 所以由余弦定理得：， 所以，又，所以， 又，所以. （2）在三角形中，，所以， 所以， 所以在中，为的中点，所以，，， 所以由余弦定理得：， 所以， 在中，，，， 所以由余弦定理得： 所以， 所以在中，由余弦定理得：. 【典例例题2】如图，四边形中，已知，． (1)若的面积为，求的周长； (2)若，，，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）在中，， 因为，所以， 由，得， ∴，即， ∴，即的周长为； （2）设，则， 又，所以，， 在中，由，得， 在中，由，得， ∴，即， 即，， 即，即， ∴， ∵，∴， ∴，解得，即的值为. 【典例例题3】在中，. (1)求角B的大小； (2)若E为的中点，F是边上的点，且满足，，求的值. 【答案】见解析 【解析】（1）由， 得，即， 所以， 又，所以， 所以，所以； （2）由及正弦定理可得： ， 又，所以， 如图以点为原点建立平面直角坐标系， 设，则， 则， 所以，设， 则， 因为， 所以，解得， 所以. 【典例例题4】如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． (1)求角； (2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）由，联立方程组，解得， 不妨设，可得 由余弦定理得， 因为，所以. （2）由，由（1）知，可得， 因为过作的垂线并延长到点，使四点共圆， 在直角中，可得，则， 因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以， 所以， 所以四边形的面积为. 【典例例题5】如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【答案】见解析 【解析】(1)设，在中，由余弦定理得： ，即，而x>0，解得， 所以，则的面积， 梯形中，，与等高，且， 所以的面积， 则梯形的面积； (2)在梯形中，设，而， 则，，，， 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 两式相除得：， 整理得， 即 解得或， 因为，则，即． 【变式训练11-1】如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【答案】见解析 【解析】(1)设，在中，由余弦定理得： ，即，而x>0，解得， 所以，则的面积， 梯形中，，与等高，且， 所以的面积， 则梯形的面积； (2)在梯形中，设，而， 则，，，， 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 两式相除得：， 整理得， 即 解得或， 因为，则，即． 【变式训练11-2】如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】见解析 【解析】（1）如图， 由题意知，则， 由余弦定理得， 即，整理得， 因为，所以． （2）因为，所以， 因为，所以，所以． 又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以． 设，则，解得． ． 在中，由正弦定理可得， 又因为，所以． 【变式训练11-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)已知，D为边上的一点，若，，求的长． 【答案】见解析 【解析】（1）∵，根据正弦定理得，， 即， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以． （2）因为，，，根据余弦定理得 ，∴． ∵，∴． 在中，由正弦定理知，，∴， ∴，，所以 ∴，∴． 【变式训练11-4】如图，在中，为的中点，且,    (1)证明：； (2)若，求． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：在中，为的中点，所以， 则， 即，又因为， 则，则． （2）设，则，因为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 两式相加得： 在中，由余弦定理得：， 得：， 又，所以． 【变式训练11-5】记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且． （1）若，求； （2）若，求，． 【答案】见解析 【解析】（1）为中点，， 则， 过作，垂足为，如图所示： 中，，，，解得， ，， 故； （2）， ， ，， 则， ①， ，即②， 由①②解得， ， ，又， ． 【变式训练11-6】如图，在平面四边形中，，，．    (1)若，求； (2)若，求． 【答案】见解析 【解析】（1）在中，，所以， 在中，，所以，又， 所以， 在中由余弦定理， 即， 所以. （2）由已知可得，又，所以，， 设，，则， 在中由正弦定理，即，所以， 在中由正弦定理，即，所以， 又，所以，解得或， 由， 当时， 当时， 所以或. 【变式训练11-7】如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 【变式训练11-8】如图，四边形中，．    (1)求； (2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式作差得：，解得， 因为，所以． （2）因为 由（1）知，可得，且， 则所以， 在中，可得，所以， 在中，可得， 在中，可得， 可得,所以，则， 所以，解得， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，解得， 所以的外接圆半径为． 【变式训练11-9】已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】见解析 【解析】（1）如图所示， 在中，，所以. 所以. 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）如图所示， 当时，. 设，则. 在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即， 整理得，即，解得，即. 题型12：中线长定理与余弦和为0 方向一：中线长定理 若分别为的中线，则有： 方向二：余弦和为0 在中，点为线段上一点，则有： 即． 【典型例题1】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 【答案】见解析 【解析】（1）因为为BC的中点，， ， . （2）因为 , ， . （3）为中线的交点，为重心， ， ，， . 【典型例题2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)若，求边上的中线的长． 【答案】见解析 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 即， 由正弦定理可得， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴．∴. （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 【典型例题3】在中，内角所对边的长分别为，且满足． (1)求； (2)若，是的中线，求的长． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 又，故 又，所以； （2）因为，由余弦定理得，， 因为， 所以， 因为是的中线，所以， 所以， 故． 【典型例题4】在中，内角所对的边分别为且 (1)求角； (2)若，是的中线，，求的面积. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，由正弦定理，得， 所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以. （2）解法1：因为，是的中线，所以， 设，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，可得， 所以， 故的面积 ． 解法2：因为，是的中线，所以， 可得，即， 整理得，所以， 在中，可得， 所以， 故的面积 ． 【变式训练12-1】记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】见解析 【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 【变式训练12-2】在中，内角的对边分别为，． (1)求角； (2)是边上的点，若，，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）由得：， 由正弦定理得：， ，又，， ； 有意义，，，即， 又，. （2） ，， 设，则， 在中，由正弦定理得：，即； 在中，由余弦定理得：； ，解得：， 即，又，. 【变式训练12-3】在中，，且边上的中线长为1. (1)若，求的面积； (2)若，求的长. 【答案】见解析 【解析】（1）由题可知， 由勾股定理得，，所以是直角三角形， 又，所以， 又边上中线， 所以，，， 所以. （2）方法一：由题可知， 设，则， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，① 在和中，由余弦定理得 所以，② 在中，由余弦定理得， 即，即，③ 将代入得，④ 由①④得，即，即， 即，即， 因为，所以，则，所以. 故的长为2. 方法二：作的角平分线，交与， 设，则， 在和中，由正弦定理可得， 又，所以， 所以. 由题可知，所以， 在和中，， 所以，所以， 则，即，即， 所以（舍）或. 在和中，由余弦定理得 所以， 则，解得. 故的长为2. 方法三：延长到，使，连接， 由题可知， 设，则， 在和中，， 所以，所以，则， 所以， 即，即， 所以（舍）或. 在和中，由余弦定理得 所以， 则，解得. 故的长为2. 【变式训练12-4】在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）由余弦定理得， 即， 由正弦定理得 ， ，即， . （2）由余弦定理得：，则. 由正弦定理得 所以， 因为是锐角三角形，所以，即， 则. 中线长的取值范围是. 巩固提升 1．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为．故选：C 2．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得， 设AB的中点为D，则， 则 ， 则， 故AB边上的中线长为.故选：D. 3．在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 4．在中，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．24 D．48 【答案】C 【解析】设，根据余弦定理， 已知，，，代入可得： ，即，解得， 由于，则为直角三角形， 则. 故选：C. 5．记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理与可得． 整理，得． 由余弦定理的推论，得． 因为，所以．故选：B． 6．在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得：， 即：，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则.故选：C. 7．在中，为边的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，如图AM 中点为N，过N做AB垂线NO，使，以O为圆心， OA为半径做圆O.由题可得，则，即C点部分轨迹为优弧 （还有部分轨迹为优弧关于AM的对称优弧）.如图，设CB与圆O交于D，连接AD， 由外角定理，，当且仅当C与D重合，即CB与圆O相切时取等号. 由圆幂定理，当CB与圆O相切时可知， 由弦切角定理可知，设. 在中，由正弦定理可得， 又注意到， 则， 解得，结合图形可得，则此时． 故选：B 8．在中，内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题可得， ，，当且仅当取等号， 所以.故选：B. 9.在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 10.（多选题）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【解析】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确.故选：BCD. 11．（多选题）△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．，则△ABC是锐角三角形 B．若，则△ABC是直角三角形 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】选项A，因为， 所以，因为，所以为钝角，故是钝角三角形，故A错误； 选项B，因为， 所以，化简得：， 由正弦定理得：，所以为直角三角形，故B正确； 选项C，因为，所以，可得：， 又因为在上单增，所以， 所以，故C正确； 选项D，因为，所以为锐角， 又因为，所以为锐角， 所以，可得，所以 同理可得：． 所以，所以，故D正确．故选：BCD. 12．（多选题）设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的外接圆的面积是 C．的面积的最大值是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【解析】对于A项，因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故A项错误． 对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 则的外接圆的面积是，故B项正确． 对于C项，由余弦定理可得，即①． 因为②，当且仅当时，等号成立， 所以由①②得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，则C项正确． 对于D项，由正弦定理可得，则，， 所以 又因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故D项正确．故选：BCD. 13．（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．若，则为等腰直角三角形 C．若，则的面积为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 【答案】AB 【解析】对于A：因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以或， 当时，此时显然不成立，所以，即，故A正确； 对于B：因为，所以， 因为，所以，所以，所以，所以， 所以为等腰直角三角形，故B正确； 对于C：因为，所以， 因为，所以，所以，所以，所以，， 所以，所以，故C错误； 对于D：， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，此时无最小值，故D错误；故选：AB. 14．在中，是边的中点，若，，，则 ． 【答案】/ 【解析】 如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点， 则四边形为平行四边形，，， ∴， ∴ .故答案为：. 15．在中，的平分线为与交于点，，则 ． 【答案】 【解析】方法一：设， 因为， 所以， 化简得，， 故， 因为，所以， 所以，则． 因为，所以， 所以，故答案为：. 方法二：由余弦定理得， 由角平分线定理得， 所以，， 所以，故答案为：. 16．在中，为边上一点，且满足，则 ． 【答案】 【解析】 如图，因为，所以， 由，知， 化简得， 因，则有， 因,故得，解得． 在中，． 故答案为：． 17．在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 . 【答案】/ 【解析】由，则由正弦定理可得，， 所以或，而，且，即， 所以，且，即， ， 令，则，所以， 当时，，则在上递增； 当时，，则在上递减； 所以.故答案为：. 18.在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】见解析 【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 20.．在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小; (2)若的面积为，求. 【答案】见解析 【解析】（1）由题设，故， 所以，则， 又，可得. （2）由（1）及题设，有， 又，则. 21．的内角的对边分别为，已知，且． (1)若，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）由，得． 因为，所以，即． ． （2）由，得， 因为为锐角三角形，所以 则，解得，即的取值范围为． 22.．在中，内角所对的边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，为的中点，当取得最小值时，求的长. 【答案】见解析 【解析】（1）通由及正弦定理， 得， 即， 即， 因为，所以，所以. 优因为， 所以， 由题意得，即， 所以，得，即， 所以， 又，所以. （2）由（1）得， 所以. 在中，由余弦定理可得， ， 当且仅当，即，时等号成立， 此时，故. 23．的内角，，的对边分别是，，，，，____________. (1)若在横线处填入，求； (2)给出两个条件： ①内角的平分线长为； ②BC边上的中线长为. 从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）. 【答案】见解析 【解析】（1）由，得， 因为中，， 所以或， 又因为，所以，所以. （2）选择①：设的平分线交BC于点， 则，， ， ， ，即， 在中，由余弦定理， ， ，， ，，. 选择②：以AB、AC为邻边作平行四边形，记作平行四边形， 则有，两式平方相加得：， 即 又结合已知：，， 可解得，即， 在中，由余弦定理得：， 将，，代入解得：， . 24．已知中，． (1)求证：； (2)如图，在中，，在边上存在一点，使得，，的平分线交于，求． 【答案】见解析 【解析】（1）证法一：由，则， ． 证法二：因为， 所以， 所以 ． （2）解法一：在中，由正弦定理得，解得． 又因为，所以或． 当时，．因为，所以； 当时，．因为，所以， 由，则不符合题意，舍去， 所以，则． ， 在中，由正弦定理，得，解得． 又因为为的平分线，所以，则， 由，则， 由正弦定理可得， 所以，即， 解得． 解法二：在中，由正弦定理得，解得． 又因为，所以或． 当时，．因为，所以； 当时，．因为，所以， 由，则不符合题意，舍去， 所以，则，所以． 在中，由正弦定理得． 因为，，所以． 又因为，所以，所以． 25.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】见解析 【解析】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 26.记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 27.在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】见解析 【解析】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 28.已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】见解析 【解析】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 29.在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以.故选：B. 30.在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则.故选：C. 31.在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【解析】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 32.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ． 【答案】. 【解析】因为，所以． 故答案为：. 33.已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】/ 【解析】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 34.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 35.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【答案】见解析 【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 36.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 37.在中，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】由正弦定理为三角形外接圆半径）可得： ，，， 所以可化为， 即， ， 又，．故选：． 38.在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】由得， 得， 即， 即，得， 在中，， ，即， 则．故选：． 39.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高　　 A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【答案】 【解析】，，故，即， 解得，， 故表高． 另如图所示，连接并延长交于点， ， ， 表高． 故选：． 40.已知在中，，，，则的外接圆半径为 　　． 【答案】． 【解析】在中，，，， 利用余弦定理，整理得， 所以，解得．故答案为：． 41.已知中，角，，所对的边，，，则　　． 【答案】． 【解析】，，， 由余弦定理得，， 又， ， ．故答案为：． 42.记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　． 【答案】． 【解析】的内角，，的对边分别为，，，面积为，，， ， 又，（负值舍） 故答案为：． 43.在中，，，是的中点，，则　　；　　． 【答案】；． 【解析】在中：，，，解得：或（舍去）． 点是中点，，，在中：，； 在中：． 故答案为：；． 44.已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，　　． 【答案】． 【解析】设，， 在三角形中，，可得：， 在三角形中，，可得：， 要使得最小，即最小， ， 其中，此时， 当且仅当时，即或（舍去），即时取等号，故答案为：． 45.记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，． （1）求的面积； （2）若，求． 【答案】见解析 【解析】（1）， ， ， ， 解得：， ，，即， ， ， 解得：， ． 的面积为． （2）由正弦定理得：， ，， 由（1）得， 已知，，，解得：． 46.记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，，求的周长． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：中，， 所以， 所以， 即， 所以， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以； （2）当，时，，， 所以，解得， 所以的周长为． 47．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】见解析 【解析】解（1）因为，，， 由余弦定理可得， 解得：； （2），，所以， 由，可得， 由正弦定理可得，即， 可得， 所以； （3）因为，， 所以，， ，可得， 所以，所以的值为． 1 / 76 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 正余弦定理在解三角形中的高级应用 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 题型归纳 5 题型01：倍长定比分线模型 6 题型02：倍角定理与正弦平方差 14 题型03：角平分线模型与张角定理 21 题型04：隐圆问题 34 题型05：正切比值与和差问题 41 题型06：四边形定值和最值与托勒密定理 48 题型07：边角特殊，构建坐标系 55 题型08：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 62 题型09：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 70 题型10：三角形的形状判定 76 题型11：三角形中的几何计算 84 题型12：中线长定理与余弦和为0 99 巩固提升 109 1. 命题定位与分值 正余弦定理是解三角形核心，高级应用为高考中档偏难题，多在选填压轴（11/12题）或解答题第17题后半问考查，分值5-8分；近3年新高考全国卷必考，常结合三角恒等变换、最值范围、几何建模考高级用法，区分度极高。 2. 核心高级考点分布（高考高频3大方向） 1. 边角互化进阶：非齐次式边角互化、多三角形联动边角转化（如四边形、折叠问题），2025新高考I卷17题考折叠三角形边角互化 2. 最值与范围问题：结合基本不等式、三角函数有界性求边长/周长/面积最值，近3年2考，是高级应用核心 3. 综合交汇应用：与平面向量（数量积）、三角函数图象性质、解三角形实际建模（测量、航海）交汇，2024新高考II卷12题考向量+余弦定理范围题 3. 命题特点 • 基础是“定理用对”，高级是“转化用活”：不直接考定理套用，侧重“条件化简→边角转化→限定范围→求解”逻辑链 • 陷阱隐蔽：常借“角的范围”“大边对大角”设坑，忽略则易漏解/错解 • 思想性强：强制考查数形结合、函数与方程、转化与化归思想，贴合高考能力导向 1. 能精准判断边角转化方向：齐次式优先正弦定理，求边长/夹角优先余弦定理，混合式按需互化 2. 掌握2类核心最值解法，攻克高级应用难点：基本不等式法（边的关系）、三角函数有界性法（角的关系） 3. 突破多三角形、折叠、向量交汇场景，能快速梳理条件，联动正余弦定理求解 4. 规避角的范围、大边对大角等高频陷阱，确保高级应用题不丢分 倍长定比分线模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．． 倍角定理与正弦平方差 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1： 推论2： 正弦平方差： 角平分线模型与张角定理 角平分线张角定理：如图，为平分线，（参考一轮复习） 斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积． 隐圆问题 若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上． 正切比值与和差问题 定理1： 定理2： 定理3：（正切恒等式）中，． 四边形定值和最值与托勒密定理 正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理． 托勒密定理：在四边形中，有，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立． 三角形中的几何计算 解决三角形中几何计算的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 中线长定理与余弦和为0 方向一：中线长定理 若分别为的中线，则有： 方向二：余弦和为0 在中，点为线段上一点，则有： 即． 解三角形问题作为每年高考数学中的必考内容，其考查频率颇高，尤其在选择题和填空题中占据重要地位。有时，它甚至以压轴小题的形式出现，挑战考生的思维极限。在综合考查方面，解三角形问题也常作为解答题的重点，难度适中，旨在全面检验考生的数学素养和解题能力。 1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． 2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式． 3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围． 4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识． 5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值． 6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解． 7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值． 题型01：倍长定比分线模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．． 【典型例题1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由，得， 如图，作出平行四边形ACBE，则与的面积相等.在中，，，则，∴. 又，∴， ∴， 故面积的最大值为. 故选：A 【典型例题2】在中，角所对的边分别为，且是的中点，，则 ， . 【答案】 / 【解析】空1： 在中，则，即， 整理得：，解得或（舍去）， 故， 在中，则， 故； 空2： 在中，由，则， 在中，由，则， 故. 故答案为：；. 【典型例题3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， (1)求角B的大小； (2)若，D为边AB上一点，且，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）， ， 所以，即， 故， 因为，所以； （2）因为，所以， ， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得：， 即，故，所以或， 当时，，， 当时，，. 所以的值为或1. 【变式训练1-1】在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在中，内角的对边分别为，且满足____． (1)求； (2)若的面积为在边上，且 ， ，求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分． 【变式训练1-2】设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，． (1)求AD的长度； (2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度． 【变式训练1-3】设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，． (1)求AD的长度； (2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度． 【变式训练1-4】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， (1)求角B的大小； (2)若，D为边AB上一点，且，求的值． 【变式训练1-5】如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．    (1)求边、的长度； (2)求的面积； (3)点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值． 题型02：倍角定理与正弦平方差 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1： 推论2： 正弦平方差： 【典型例题1】在锐角中，角所对的边为，且. (1)证明: (2)若，求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）∵， 由正弦定理，得， 即， ∴， ∴或（舍），即， （2）由锐角△ABC，可得，，． 即， ∴． 由正弦定理可得：， 所以. 所以的取值范围为：. 【典型例题2】从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题． 在锐角中，角所对的边分别为，且________． (1)证明：； (2)求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【解析】（1）选择①：由及余弦定理可得 ； 即， 又， 所以， 即，可得． 又易知，可得， 所以或， 即或（舍）， 故． 选择②：由及，得， 则由正弦定理得， 又， ， 即， 所以． 又，可得， 所以， 故． 选择③：由可得， 即，所以． 又，可得， 所以， 故． （2）令， 由（1）可知，可得． 由锐角可得， 即，解得， 所以． 令， 根据对勾函数的性质知在上单调递增， 可得， 即的取值范围是． 【变式训练2-1】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的取值范围． 【变式训练2-2】在锐角中，角，，所对的边为，，，且． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【变式训练2-3】在中，AB＝4，AC＝3． (1)若，求的面积； (2)若A＝2B，求BC的长． 【变式训练2-4】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，． （1）证明：； （2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围． 【变式训练2-5】记的内角的对边分别为，已知，且. (1)证明：； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 题型03：角平分线模型与张角定理 角平分线张角定理：如图，为平分线，（参考一轮复习） 斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积． 【典型例题1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求证：； (2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长． 【答案】见解析 【解析】（1）在中，由余弦定理及， 得，即，由正弦定理，得， 即， 由，得，则， 因此，即，则， 所以． （2）由，得，由，得． 在，中，由正弦定理，得， 则，解得，从而，又， 由余弦定理，得，解得， 所以BD的长为. 【典型例题2】在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得， 又因为，且， 即，解得. 【典型例题3】 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 【答案】见解析 【解析】（1）因为中，， 故 ， 因为，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①， 又②， 同理在中，③， ④， BD是的角平分线，则， 则， 又，故， 故①÷③得⑤，即， 由②④得， ， 则 ， 即； （ii）因为，故， 则由⑤得，则， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故，即的最大值为. 【典型例题4】已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理可得，即， 又因为，则， 因为，所以. （2）因为 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当时，取得最小值. 【变式训练3-1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求C； (2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC． 【变式训练3-2】在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长. 【变式训练3-3】已知在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，的角平分线交于，求的值. 【变式训练3-4】的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题： ①；②；③． (1)求的面积； (2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求． 【变式训练3-5】在①；②边上的高为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答． 问题：记内角，，的对边分别为，，，已知，，______． (1)求的值； (2)设是的角平分线，求的长． 【变式训练3-6】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设. (1)求A； (2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值. 【变式训练3-7】在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且． (1)求角； (2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【变式训练3-8】在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 题型04：隐圆问题 若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上． 【典型例题1】阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得，设的外接圆半径为， 则， 以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 则、， 设点，由，可得， 化简可得， 所以，的边上的高的最大值为，因此，. 故选：A. 【典型例题2】古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意设，，， 由得：， 化简得，故， ∵，∴当时，面积最大， 此时不妨设，则，. ∴. 故选：D. 【典型例题3】在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____． 【答案】 【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系. 则，， 设，则，， 因为 所以，即： 整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上. 在轴上取，连接 可得，所以，所以 由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小. 此时最小为. 故答案为． 若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上． 【典型例题4】若满足条件，，则面积的最大值为 . 【答案】 【解析】如图，以的中点为原点，为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，设，由， 得， 化简可得, 则点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 且去掉点，和，； 所以的面积的最大值为， 故答案为：. 【变式训练4-1】在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（    ） A．27 B．16 C．10 D．25 【变式训练4-2】已知中，，为的重心，且满足，则的面积的最大值为______. 【变式训练4-3】已知等边的边长为2，点G是内的一点，且，点P在所在的平面内且满足，则的最大值为________. 【变式训练4-4】在中，，则的面积最大值为 ． 【变式训练4-5】波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为 . 【变式训练4-6】阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值（）的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为 ． 题型05：正切比值与和差问题 定理1： 定理2： 定理3：（正切恒等式）中，． 【典型例题1】已知的三个内角A，B，C满足，则（    ） A．是锐角三角形 B．角的最大值为 C．角的最大值为 D． 【答案】D 【解析】由得，则，所以是钝角三角形，故A不正确； 由得，则，整理得， 所以，当且仅当等号成立，∴，故B不正确； 由得，化简可得，则， 因为为钝角，所以为锐角，取，得，， 符合题意，即可以取大于的值，故C错误； 由得，，，所以，即，结合正弦定理可得，故D正确. 故选：D. 【典型例题2】在中，角所对的边分别为，若，且，则 ． 【答案】 【解析】中，，， ， 由正弦定理有，， 由，得， 有，即， ，得， 由，可得， 即，代入， 得，∴， 由余弦定理， ，得， 故答案为： 【典型例题3】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为 ． 【答案】12 【解析】由题意知，在锐角中，， ， 等式两边同时除以，得， 又， 所以， 得，且， 所以， 令，则， 故 ， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值为12. 故答案为：12 【典型例题4】在中，点D在边BC上，且，记. (1)当，，求； (2)若，求的值. 【答案】见解析 【解析】（1）当，时，，， 设，，，， ∴在△ACD中，根据余弦定理得：， ． （2）分别过作，，，， 易知， ，且， ，， ． 【变式训练5-1】已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的最小值为 . 【变式训练5-2】在△ABC中，且，则△ABC面积的最大值为 ． 【变式训练5-3】在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是 ． 【变式训练5-4】在中，角所对的边分别为，若，且，则 ． 【变式训练5-5】在锐角中，内角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 【变式训练5-6】在锐角中，分别为角所对的边，，且的面积． (1)若，求； (2)求的最大值． 【变式训练5-7】在锐角中，分别为角所对的边，，且的面积． (1)若，求； (2)求的最大值． 题型06：四边形定值和最值与托勒密定理 正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理． 托勒密定理：在四边形中，有，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立． 【典型例题1】克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接AC，BD． 由，及正弦定理，得， 解得，． 在中，，，， 所以． 因为四边形ABCD内接于半径为的圆， 它的对角互补，所以， 所以,所以， 所以四边形ABCD的周长为．故选：A 【典型例题2】如图．在平面四边形中，．设，证明：为定值． 【答案】见解析 【解析】证明：设，则． 在中，因为，，所以． 在中，由余弦定理， 即， 则，即， 故为定值． 【典型例题3】如图，平面四边形的对角线分别为，，其中，，．    (1)若，的面积为，求的面积； (2)若，，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得，，， 在中，由余弦定理得，． 由余弦定理得，， ∵， ∴， ∴， 故， ∴． （2）在中，由正弦定理得，， ∴． 在中，，， 由正弦定理得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 又， 解得． 【变式训练6-1】托勒密是古希腊天文学家､地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.则图四边形为圆的内接凸四边形，，且为等边三角形，则圆的直径为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练6-2】克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式训练6-4】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B．16 C． D．12 【变式训练6-5】在四边形中，，. (1)若，求； (2)若，求. 题型07：边角特殊，构建坐标系 利用坐标法求出轨迹方程 【典型例题1】已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为. 故选：C 【典型例题2】在中，，，点在内部，，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】因为，，所以. 在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），所以，解得：. 如图所示：设的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系. 设E为AC的中点，所以，. 所以点M的轨迹为：，可写出（为参数）. 因为点在内部，所以（其中满足，）. 所以 因为满足，，所以， 所以当时最小. 故答案为：2 【变式训练7-1】在中，，点在边上，且，若，则长度的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练7-2】在等边 中，为内一动点，，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练7-3】已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练7-4】在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________． 【变式训练7-5】已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且. (1)若，求tan∠GAC的值； (2)求cos∠ACB的取值范围. 题型08：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式． 【典型例题1】记的内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求A； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】见解析 【解析】（1）由正弦定理及， 可得 ，因，则， 则，结合， 则； （2）因的面积为，则， 则，由正弦定理及， 则，则. 由余弦定理，， 则， 则三角形周长为. 【典型例题2】已知的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)若，求C； (2)若，，求的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以，则. 因为，由正弦定理可得， ， 所以，由为三角形内角，故， 所以，又， 故. （2）法一：由（1）知，， 则， 由正弦定理可得， 由，且代入可得 ，化简得，联立， 解得，又由可得， 则， 故. 法二：由可知，均为锐角，且， 所以， 如图在中，过点作边上的高，垂足为， 由可得，，则有， 由，可得. 设，则， ， 由可得， 解得，即，故高. 所以的面积为. 【变式训练8-1】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且. (1)求； (2)若的外接圆半径为，周长为，且，求. 【变式训练8-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求的周长. 【变式训练8-3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长. 【变式训练8-4】已知的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，求的周长. 【变式训练8-5】记内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，求的周长． 【变式训练8-6】在中，角对应的边分别为．已知． (1)求； (2)若点为边的中点，且，，求的面积． 【变式训练8-7】在中，内角的对边分别为，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的周长和面积． 【变式训练8-8】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． (1)求； (2)若为的中点，且，求的面积． 【变式训练8-9】在中，角所对的边分别是，若，且. (1)求的值； (2)若，求的面积. 题型09：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围． 【典型例题1】在锐角中，内角的对边分别为，已知. (1)求A; (2)求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 因为为锐角三角形，可知， 则，所以， 且，所以. （2）因为，可知，即， 且为锐角三角形，则，解得， 又因为 ， 由，可知，则， 所以. 【典型例题2】已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，. (1)求的取值范围； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）因为为锐角三角形，所以，，. 又因为，所以， 由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以，即， 解得， 所以，即， 所以的取值范围为. （2）因为，由（1）知，， 由正弦定理，得 ， 故的周长， 令，由（1）知，则， 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为. 【变式训练9-1】已知在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，求的面积S的取值范围． 【变式训练9-2】记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是上的一点，且，求的最小值． 【变式训练9-3】已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求c的值以及的面积； (2)若，求的值以及的取值范围． 【变式训练9-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，从下面两个条件中选一个，求的最小值． ①点M，N分别是边，上的动点（不包含端点），且； ②点M，N是边上的动点（不包含端点且），且． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题型10：三角形的形状判定 余弦定理判定：三角形三条边从小到大排列，即， 若，则是锐角三角形； 若，则是直角三角形； 若，则是钝角三角形； 【典型例题1】在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 【典型例题2】在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形． 故选：． 【典型例题3】已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由余弦定理，可得 ， 整理，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或或，故三角形为等腰三角形. 故选：A 【变式训练10-1】在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练10-2】已知分别是三个内角的对边，下列关于的形状判断一定正确的为（    ） A．，则为直角三角形 B．，则为等腰三角形 C．，则为直角三角形 D．，则为等腰三角形 【变式训练10-3】在中，，，分别为角，，的对边，已知．若，，成等比数列，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不确定 【变式训练10-4】中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．直角或钝角三角形 D．钝角三角形 【变式训练10-5】在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 【变式训练10-6】已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练10-7】在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式训练10-8】已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练10-9】在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练10-10】在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型11：三角形中的几何计算 解决三角形中几何计算的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典例例题1】在平面四边形中，，，且. (1)求的长； (2)若为的中点，求. 【答案】见解析 【解析】（1） 在三角形中，，， 所以由余弦定理得：， 所以，又，所以， 又，所以. （2）在三角形中，，所以， 所以， 所以在中，为的中点，所以，，， 所以由余弦定理得：， 所以， 在中，，，， 所以由余弦定理得： 所以， 所以在中，由余弦定理得：. 【典例例题2】如图，四边形中，已知，． (1)若的面积为，求的周长； (2)若，，，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）在中，， 因为，所以， 由，得， ∴，即， ∴，即的周长为； （2）设，则， 又，所以，， 在中，由，得， 在中，由，得， ∴，即， 即，， 即，即， ∴， ∵，∴， ∴，解得，即的值为. 【典例例题3】在中，. (1)求角B的大小； (2)若E为的中点，F是边上的点，且满足，，求的值. 【答案】见解析 【解析】（1）由， 得，即， 所以， 又，所以， 所以，所以； （2）由及正弦定理可得： ， 又，所以， 如图以点为原点建立平面直角坐标系， 设，则， 则， 所以，设， 则， 因为， 所以，解得， 所以. 【典例例题4】如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． (1)求角； (2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）由，联立方程组，解得， 不妨设，可得 由余弦定理得， 因为，所以. （2）由，由（1）知，可得， 因为过作的垂线并延长到点，使四点共圆， 在直角中，可得，则， 因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以， 所以， 所以四边形的面积为. 【典例例题5】如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【答案】见解析 【解析】(1)设，在中，由余弦定理得： ，即，而x>0，解得， 所以，则的面积， 梯形中，，与等高，且， 所以的面积， 则梯形的面积； (2)在梯形中，设，而， 则，，，， 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 两式相除得：， 整理得， 即 解得或， 因为，则，即． 【变式训练11-1】如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【变式训练11-2】如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 【变式训练11-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)已知，D为边上的一点，若，，求的长． 【变式训练11-4】如图，在中，为的中点，且,    (1)证明：； (2)若，求． 【变式训练11-5】记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且． （1）若，求； （2）若，求，． 【变式训练11-6】如图，在平面四边形中，，，．    (1)若，求； (2)若，求． 【变式训练11-7】如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【变式训练11-8】如图，四边形中，．    (1)求； (2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 【变式训练11-9】已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 题型12：中线长定理与余弦和为0 方向一：中线长定理 若分别为的中线，则有： 方向二：余弦和为0 在中，点为线段上一点，则有： 即． 【典型例题1】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 【答案】见解析 【解析】（1）因为为BC的中点，， ， . （2）因为 , ， . （3）为中线的交点，为重心， ， ，， . 【典型例题2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)若，求边上的中线的长． 【答案】见解析 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 即， 由正弦定理可得， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴．∴. （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 【典型例题3】在中，内角所对边的长分别为，且满足． (1)求； (2)若，是的中线，求的长． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 又，故 又，所以； （2）因为，由余弦定理得，， 因为， 所以， 因为是的中线，所以， 所以， 故． 【典型例题4】在中，内角所对的边分别为且 (1)求角； (2)若，是的中线，，求的面积. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，由正弦定理，得， 所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以. （2）解法1：因为，是的中线，所以， 设，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，可得， 所以， 故的面积 ． 解法2：因为，是的中线，所以， 可得，即， 整理得，所以， 在中，可得， 所以， 故的面积 ． 【变式训练12-1】记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【变式训练12-2】在中，内角的对边分别为，． (1)求角； (2)是边上的点，若，，求的值． 【变式训练12-3】在中，，且边上的中线长为1. (1)若，求的面积； (2)若，求的长. 【变式训练12-4】在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 巩固提升 1．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 3．在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．24 D．48 5．记的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 6．在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，为边的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．2 9.在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 10.（多选题）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 11．（多选题）△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．，则△ABC是锐角三角形 B．若，则△ABC是直角三角形 C．若，则 D．若，则 12．（多选题）设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的外接圆的面积是 C．的面积的最大值是 D．的取值范围是 13．（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．若，则为等腰直角三角形 C．若，则的面积为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 14．在中，是边的中点，若，，，则 ． 15．在中，的平分线为与交于点，，则 ． 16．在中，为边上一点，且满足，则 ． 17．在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 . 18.在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 20.．在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小; (2)若的面积为，求. 21．的内角的对边分别为，已知，且． (1)若，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 22.．在中，内角所对的边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，为的中点，当取得最小值时，求的长. 23．的内角，，的对边分别是，，，，，____________. (1)若在横线处填入，求； (2)给出两个条件： ①内角的平分线长为； ②BC边上的中线长为. 从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）. 24．已知中，． (1)求证：； (2)如图，在中，，在边上存在一点，使得，，的平分线交于，求． 25.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 26.记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 27.在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 28.已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 29.在中，，则（    ） A． B． C． D． 30.在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 31.在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 32.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ． 33.已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 34.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 35.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 36.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 37.在中，，则　　 A． B． C． D． 38.在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则　　 A． B． C． D． 39.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高　　 A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 40.已知在中，，，，则的外接圆半径为 　　． 41.已知中，角，，所对的边，，，则　　． 42.记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　． 43.在中，，，是的中点，，则　　；　　． 44.已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，　　． 45.记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，． （1）求的面积； （2）若，求． 46.记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，，求的周长． 47．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 1 / 76 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $