第13讲三角函数与解三角形解答题讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数解答题，覆盖图象性质、解三角形及综合应用等15个核心题型，按“基础公式-定理应用-交汇创新”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法归纳、真题精讲等环节，帮助学生系统突破三角恒等变换、正余弦定理应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义特色在于分层目标设计与核心素养融合，基础保底版夯实公式应用，高分突破版强化边角互化与最值求解，满分冲刺版攻克创新交汇题型。通过“题型归类-模型建构-变式训练”培养数学思维，设置梯度练习适配不同学生，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

第13讲三角函数解答题归纳 目录 思维导图… 高考分析… 2 学习目标… 2 题型归纳 题型01：三角函数的图像及其性质… …2 题型02：解三角形中的有关三角恒等变换问题 .14 题型03：结构不良试题 24 题型04正弦定理与余弦定理的综合应用 36 题型05：三角形中的最值或取值范围…。 40 题型06：三角形凋长（边长）（定值，最值，范围问题） 77 题型07：三角形面积（定值，最值，范围问题） 91 题型08：三角形冲线问题… 137 题型09：三角形角平分线问题… 146 题型10：三角形高线…。 167 题型11：三角形中外接圆，内切圆有关问题. 170 题型12：四边形问题… 177 题型13：几何图形问题… 195 题型14：解三角形冲与平面向量结合有关问题 206 题型15：证明题… 220 1/216 思维导图 8:三角形中线问题 1:三角函数的图象及其性质 9:三角形角平分线问题 2:解三角形中的有关三角恒等变换问 题 10:三角形高线 3:结构不良试题 11:三角形中外接圆，内切圆有关问 题 三角函数解答题归 ←：正弦定理与余弦定理的综合应用 12:四边形问题 纳(15题型) 5：三角形中的最值或取值范围 13:几何图形问题 6:三角形周长（边长）（定值，最 值，范围问题) 14:解三角形中与平面向量结合有关 问题 7:三角形面积（定值，最值，范围问 题) 15:证明题 高考分析 一、命题定位与分值 三角函数解答题是高考核心基础中档题，稳定占据解答题前3题（多为17题），偶见与导数、解析几何交汇的压轴 问，分值固定812分，是得分性价比极高的模块，近5年新高考全国卷必考，命题基调“稳中有新，立足基础”。 二、核心考点分布（高频3大主线） 1.三角恒等变换综合：必考公式活用（和差、倍角公式为主），结合同角三角函数关系化简求值，常联动函数性质 考查，是解答题基础得分点。 2.三角函数图象与性质：聚焦y=Asi(ox+中)的单调性、最值、周期性、对称性，需掌握“五点法”核心逻辑，近 3年新高考全覆盖。 3.解三角形应用：正余弦定理与三角形面积公式综合，高频考边长/角度求解、面积最值，近年新增实际建模（测 量、航海)及多图形联动题型，部分试卷呈现与解三角形融合或交汇命题趋势。 三、命题核心特点 1.基础导向，公式活用为核心：不考偏难公式，侧重和差、倍角、正余弦定理的逆用、变用，强调运算准确性， 基础实即可拿全基础分。 2/216 2.综合交汇，凸显素养考查：常与平面向量（数量积转化边角）、基本不等式（最值求解）交汇，2025年全国！卷 创新结合导数命题，强化逻辑推理、数学运算素养。 3.题型稳定，设问层次清晰：多为2-3小问分层设问，第1问侧重化简、求解析式或求边角，第2-3问考性质、最 值或实际应用，梯度明确，区分度合理。 4.应用强化，贴合实际情境：实际建模题占比提升，需将生活场景转化为三角问题，考查数学建模能力，关键是 精准提炼几何图形中的边角关系。 四、命题趋势 1.基础考点（恒等变换、图象性质、解三角形）考查持续稳定，难度以中低档为主，无大幅波动。 2.创新交汇成新方向，除向量、不等式外，与导数、解析几何的跨界融合题型逐渐增多，提升选拔性。 3.实际应用场景更贴近生活与科技，图形拆解、条件转化的能力要求逐步提高，规避机械套用公式。 学习目标 一：基础保底版（冲8-10分/适配100分以下考生） 1.熟记三角核心公式，能快速化简解析式，搞定解答题第1问满分 2.会用正余弦定理/面积公式，精准求三角形边角、面积，不丢基础分 3.掌握y=Asin(ox+Φ)基本性质，能求周期、单调区间、最值 4.运算零失误，步骤完整，不丢过程踩分点 5.避开公式符号、角的范围2大核心陷阱 二： 高分突破版（冲11-12分/适配100-120分考生） 1.形成「化简→求值→综合应用」解题闭环，20分钟内搞定全题 2.灵活玩转边角互化，轻松破解解三角形与恒等变换综合题 3.熟练用2种最值解法（三角有界性+基本不等式），搞定第2/3问难点 4.能拆解向量、实际建模等交汇题型，快速转化为三角常规题 5.自主排查陷阱，会验证最值等号条件、角的范围约束 三：满分冲刺版（稳拿12分/适配120+冲高分考生） 1.秒判题型考向，一眼定解题思路，提速提准，15分钟内满分结题 2.攻克创新交汇压轴问（导数联动、多三角形/折叠题），实现难题抢分 3.精准把控答题规范，踩分点全覆盖，过程分一分不丢 4.能自主变式拓展，举一反三，应对高考创新题型 3/216 5.突破所有高频陷阱，做到解题零失误、答案零偏差 极简背诵版（考场速记，贴书桌用） 1.熟公式，快化简；2.用定理，求边角；3.判性质，算最值； 2.破交汇，转模型；5.避陷阱，稳踩分；6.保基础，冲满分。 题型归纳 题型01：三角函数的图象及其性质 此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为y=Asi(x+p)+B的形式，再结合正弦函数y=Sinx的性质研究 其相关性质. (1)已知三角函数解析式求单调区间 ①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如y=Asin(Ox+p)或y=AC0s(Ox+p)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx十p”为一个整体，通过解不等式 求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错 (2)函数图象的平移变换解题策略： ①对函数y=sinx,y=Asin(ox+p)或y=Ac0s(ox+p)的图象，无论是先平移再仲缩，还是先仲缩再平移，只要 平移1pl个单位，都是相应的解析式中的x变为x士pl,而不是0x变为0r士p。 ②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移。 【典型例题1】己知函数f(x)=2 sinxcosx-」 π)√3 -32 xER (1)求∫(x)的最小正周期： (2)求f(x在区间气π 上的最大值和最小值： ,求cos2x,的值， 【答案】()刀2最大值为5，最小值为-13- 2 5 【解标】（1Dfx)=2 2si(5+sinxsin-V5 3 2 =2sinr(cosx+ -sinx)- ) 2 -sinrcosx+sin 4/216 in2xco2xsin2x 2 2 22 cos2r=sin(2r-争. :72 =π，：f(x)的最小正周期为刀 2 2)因为re哼小.所以2x晋e昏智 令2受，得.◆2晋e经1.得x, 3 23 12 3 32 所以国在，]上单调递减，在 212 2,上单调递增。 且停告=..所以.的最大值为最卧值为1 12 2 2 (3)因为，f(x,+ 10 10 又因为x,∈ π7π 48 10 π 所以， 5 【臭塑倒腿2】小=a受如(+)子已如店么B是画煮的修与直线y=片的丙个交在且的 最小值为刀. (1)求函数∫(x)的单调递增区间： (2)若对于x∈ 都有之m2-m子，求m的取值范周 7 12'3 【答类u红-+ke2-L 6 【解析】f(x)=cos x sinx+）-1 气264 cos x/ sin coscos sin 2 2 2 6 2 64 3. 2 sin ox 1 -cos- s20x_1-V 1 2 22 244 sin ax+ ，1 15 1 1 sinx+cosox= 4 22 2 r=-ao=答-2小-2r+别 T 6 当2-号s2r+后52+eZ时单调期，厘xeka-骨6红+8】0使e2 时单调递增； 2 6 2 6 5/216 2当[引s+g,-g引 原不等式等价于： 12m2-m- 4 ，即m2-m-2≤0，解得-1≤m≤2； m的取值范围是[-1,2. 【典型例题3】已知函数f(x)=sin(ox+p)在区间 π 6’2 )单调。其中o为正数，φ水号，且/=) (1)求y=f(x)图像的一条对称轴； ,求4 【答案】见解析 【解析】(1)因为函数f(x)=sin(ox+p)在区间 单 所以线甲为y=心国象的一条对， 12 (2)由(1)知T≥ 3，故0 2π 2r≤3，由0eN,得0=l,2或3. 三2为/Cd三sin(ox+p)的一条对称轴，所以7rd 由x= 以径a+0-受+kxeZ. 因为f[月)-5，所g+9-景r2x或号o+0-各+255e2. 3 3 若君0+0音+24，测管0=君+6-2x,即0=子+号-21 6 3 12 6 不存在整数k1,k2,使得0=1,2或3； 若80+9+26，则受=君-2，耳0=号号4-2达。 6 3 6 55 不存在整数k,k3,使得0=1或3.当k=2k3+1时，0=2. 此时p=号+2，p水受得0=子 【典型例题4】已知函数f(x)=Asin xcosx-V5cos2x的一个零点为 (1)求A的值和函数∫(x)的最小正周期； 6/216 ②当x到时，若a≤到5n恒成立，求m-n的取值范围， 【答案】见解析 【解析】(1)因为函数fx)=Asin xcosx-5cos2x的一个零点为元， 6 所以f =Asin亚cos”-5cos=0,解得A=2, 6 66 所以f到=2 sin-5co2x=sin2x-5cos2x=2sm2x- 所以函数∫(x)的最小正周期T=2=元 2 (2)因为xe 所以f(x)∈「-5,2]. 因为n≤f(x)≤m恒成立，所以m≥2，n≤-√5，则-n≥√5， 所以m-n≥2+√5 【变式训练1-1】已知函数f(x=2sin(ox+o)(o>0,p<无)的部分图象如图所示. 7π 12 (1)求f(x)的解析式，并求∫(x)的单调递增区间： ②存对在意xe:都国-君}s1, 求实数t的取值范围。 【答案】见解析 【解析】(1)由图象可得∫(x)的最小正周期T= 4侣引，2树年-2.又0>0可知8=2 T 2x7+0-3π+2km,kEZ解得0=+2a,k∈Z, 2 因为p<号得0-音八=2如2r+到 2ka2x+s2红+kEZ,解得伍元Sx≤伍kZ 2 3 12 7/216 所以两数的鲜单调造场区同为红一径红+哥 (k EZ 12 (2)=2sin2x+2sin2x-4 2sin 2+ 2-cos 2xsin 2x =2sin2x+25sin 2xcos2x=3sin 4x-cos4x+1=2sin4x-+1. 6 -}1胸p41.sn君引时 作出y=sinx的部分图像如下： =sinx/5π 1 612 y2 /7π 6’-2 y=-2 结合图像可知： 5π < 6 41-<7，解得 6 6 t 4 3 所以实数t的取值范围为 π 4'3 【变式训练1-2】设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R), (1)求函数y 的最小正周期； 2)求=-到[0到 上的最大值 【答案】见解析 【解行】1)由辅助角公式得()=smx+cos=5sm（x+号)】 [[-}1-mx-1m 所以该函数的最小正周期T= 2π 2 =元 2由题：y=f-5sm+引s=2sn+ 2 2sin x. sinx+ -cosx=2 sin2x+2 sin xcosx 2 8/216 .1-cos2sin2xsin2xc 2 s2x+V =sim2x-+V2 2 421 由x0,2 可得2x-π∈「π3π7 44’4」 所以当2x-交=即x= 时，函数取最大值1+万 42 8 【变式训练1-3】已知函数f(x)=2sin2 r+ 4 √3cos(2ox)-1(o>0),f(x的最小正期为n (1)求∫(x的单调增区间和对称中心 (2)方程f(x-2n+1=0在0， 77 上有解，求实数的取值范围. 12 【答案】(1)单调增区间为 5π k∈Z;对称中心为 元+k,0 1-V53 12 62 k∈Z:(2) 2’2 【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数∫(x),再结合三角函数的图象及性质求解即可； (2)将问题转化为函数y=f(x)与函数y=2n-1有交点，求出函数∫(x的值域，进而求解 ）函数f=sin20x-5co20x=-2sn2ax-》 因为f(x)的最小正周期为刀，o>0, 所以2江=元，即0=1. 20 所议1的解桥式刘=2sn2x-引： 令2km-T≤2x-TsT+2km,k∈Z, 32 得：m-及sxs红+ 12 12 所以的单藏区铜为红音红+阅 12 ,k∈Z. 令2x-元-m,keZ,得：x=+, 3 6 2 所以x的对称中心为工+红，0，keZ. (62 (2)方程f(x)-2n+1=0在0， 7π 12 上有解， 转化为函数y=∫(x)与函数y=2n-1有交点. 9/216 7π 因为x∈0 12 所以-s2x-元s5π 3 36 上的值域为[-V5,2]。 所以-V5≤2n-1≤2，即1-5 3 ≤n≤ 2 1-33 所以实数的取值范围为 22 【变式训练1-4】已知函数f(x)=cos4x-2 sin x cosx-sinx, (1)求f(x)的最小正周期： (2)求f(x)的最大值、最小值. 【答案】(1)T=π；(2)f(x)的最大值为√2，最小值为一2 【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式对∫(x)进行化简，即可得到周期： (2)利用三角函数的性质即可求得最值 (1)f(x)=cos x-2sinxcosx-sinx=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-2sin xcosx =cos2x-sin2x=5cos2x+} :f(x)的最小正周期T=π； 2由1)可特/@5ew2x+ 所以当2x+ 子-2keZ,即x=受keZ时，fm=5 当2x+及=2kx+元，k∈Z,即x=k红+3江，keZ时，fx=-万. 8 【变式训练1-5】已知函数f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5. (1)当a=1时，求函数f(x)的最大值； (2)若函数f(x)有最大值2，求实数a的值. 【答案】(1)29 ：2a=3+成a=-4 2 3 【解析】(1)根据正余弦的平方和关系得f(x)=-sin2x+sinx+7=- 1)2 sinx-2) 29,根据二次函数的性质即可求 4 解， (2)分类讨论-1≤t≤1与对称轴的关系，即可根据二次函数的单调性求解最值. (1)f(x)=cos2x+asin x-a2+2a+5=-sin2x+asinx-a2+2a+6, 10/216 第13讲 三角函数解答题归纳 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 题型归纳 2 题型01：三角函数的图象及其性质 2 题型02：解三角形中的有关三角恒等变换问题 14 题型03：结构不良试题 24 题型04: 正弦定理与余弦定理的综合应用 36 题型05：三角形中的最值或取值范围 40 题型06: 三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题） 77 题型07：三角形面积（定值，最值，范围问题） 91 题型08：三角形中线问题 137 题型09：三角形角平分线问题 146 题型10: 三角形高线 167 题型11：三角形中外接圆，内切圆有关问题 170 题型12：四边形问题 177 题型13：几何图形问题 195 题型14：解三角形中与平面向量结合有关问题 206 题型15：证明题 220 一、命题定位与分值 三角函数解答题是高考核心基础中档题，稳定占据解答题前3题（多为17题），偶见与导数、解析几何交汇的压轴问，分值固定8-12分，是得分性价比极高的模块，近5年新高考全国卷必考，命题基调“稳中有新，立足基础”。 二、核心考点分布（高频3大主线） 1. 三角恒等变换综合：必考公式活用（和差、倍角公式为主），结合同角三角函数关系化简求值，常联动函数性质考查，是解答题基础得分点。 2. 三角函数图象与性质：聚焦y=A sin(ωx+φ)的单调性、最值、周期性、对称性，需掌握“五点法”核心逻辑，近3年新高考全覆盖。 3. 解三角形应用：正余弦定理与三角形面积公式综合，高频考边长/角度求解、面积最值，近年新增实际建模（测量、航海）及多图形联动题型，部分试卷呈现与解三角形融合或交汇命题趋势。 三、命题核心特点 1. 基础导向，公式活用为核心：不考偏难公式，侧重和差、倍角、正余弦定理的逆用、变用，强调运算准确性，基础扎实即可拿全基础分。 2. 综合交汇，凸显素养考查：常与平面向量（数量积转化边角）、基本不等式（最值求解）交汇，2025年全国I卷创新结合导数命题，强化逻辑推理、数学运算素养。 3. 题型稳定，设问层次清晰：多为2-3小问分层设问，第1问侧重化简、求解析式或求边角，第2-3问考性质、最值或实际应用，梯度明确，区分度合理。 4. 应用强化，贴合实际情境：实际建模题占比提升，需将生活场景转化为三角问题，考查数学建模能力，关键是精准提炼几何图形中的边角关系。 四、命题趋势 1. 基础考点（恒等变换、图象性质、解三角形）考查持续稳定，难度以中低档为主，无大幅波动。 2. 创新交汇成新方向，除向量、不等式外，与导数、解析几何的跨界融合题型逐渐增多，提升选拔性。 3. 实际应用场景更贴近生活与科技，图形拆解、条件转化的能力要求逐步提高，规避机械套用公式。 一：基础保底版（冲8-10分/适配100分以下考生） 1. 熟记三角核心公式，能快速化简解析式，搞定解答题第1问满分 2. 会用正余弦定理/面积公式，精准求三角形边角、面积，不丢基础分 3. 掌握y=A sin(ωx+φ)基本性质，能求周期、单调区间、最值 4. 运算零失误，步骤完整，不丢过程踩分点 5. 避开公式符号、角的范围2大核心陷阱 二： 高分突破版（冲11-12分/适配100-120分考生） 1. 形成「化简→求值→综合应用」解题闭环，20分钟内搞定全题 2. 灵活玩转边角互化，轻松破解解三角形与恒等变换综合题 3. 熟练用2种最值解法（三角有界性+基本不等式），搞定第2/3问难点 4. 能拆解向量、实际建模等交汇题型，快速转化为三角常规题 5. 自主排查陷阱，会验证最值等号条件、角的范围约束 三： 满分冲刺版（稳拿12分/适配120+冲高分考生） 1. 秒判题型考向，一眼定解题思路，提速提准，15分钟内满分结题 2. 攻克创新交汇压轴问（导数联动、多三角形/折叠题），实现难题抢分 3. 精准把控答题规范，踩分点全覆盖，过程分一分不丢 4. 能自主变式拓展，举一反三，应对高考创新题型 5. 突破所有高频陷阱，做到解题零失误、答案零偏差 极简背诵版（考场速记，贴书桌用） 1. 熟公式，快化简；2. 用定理，求边角；3. 判性质，算最值； 2. 破交汇，转模型；5. 避陷阱，稳踩分；6. 保基础，冲满分。 题型01：三角函数的图象及其性质 此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为的形式，再结合正弦函数的性质研究其相关性质． （1）已知三角函数解析式求单调区间： ①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如或（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）函数图象的平移变换解题策略： ①对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为. ②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 【典型例题1】已知函数，． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)(2)最大值为，最小值为－.(3) 【解析】（1）　     ，                            　 .　                     ，  的最小正周期为. （2）因为，所以 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增.     且，，，所以，的最大值为，最小值为－. （3）因为，，所以，， 又因为　所以，，故，，　　             所以，. 【典型例题2】，已知点A，B是函数的图像与直线的两个交点.且的最小值为. (1)求函数的单调递增区间； (2)若对于都有，求m的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】 ， ， 当 时单调递增，即 时单调递增； （2）当 时， ， ， ， 原不等式等价于： ，即 ，解得 ； m的取值范围是 . 【典型例题3】已知函数在区间单调，其中为正整数，，且． (1)求图像的一条对称轴； (2)若，求． 【答案】见解析 【解析】（1）因为函数在区间单调， 所以函数的最小正周期， 又因为， 所以直线即为图象的一条对称轴； （2）由（1）知，故，由，得或3． 由为的一条对称轴，所以． 因为，所以或， 若，则，即， 不存在整数，使得或3； 若，则，即， 不存在整数，使得或3．当时，． 此时，由，得． 【典型例题4】已知函数的一个零点为． (1)求A的值和函数的最小正周期； (2)当时，若恒成立，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）因为函数的一个零点为， 所以，解得， 所以， 所以函数的最小正周期 （2）因为，所以，所以， 所以， 因为恒成立，所以，则， 所以 【变式训练1-1】已知函数（，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式，并求的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【变式训练1-2】设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【变式训练1-3】已知函数，的最小正期为. (1)求的单调增区间和对称中心； (2)方程在上有解，求实数的取值范围. 【变式训练1-4】已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的最大值、最小值． 【变式训练1-5】已知函数. (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数有最大值2，求实数a的值. 【变式训练1-6】已知函数在区间上的最大值为3． (1)求使成立的的取值集合； (2)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值． 【变式训练1-7】已知函数的图象关于直线对称． (1)若的最小正周期为，求的解析式； (2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由． 【变式训练1-8】已知函数. (1)求函数的最小正周期及的单调区间﹔ (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位得到函数，当时，求的值域； (3)若，，求的值； 【变式训练1-9】已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程； (2)时，的最大值为，最小值为，求，的值. 题型02：解三角形中的有关三角恒等变换问题 1.利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理. 2.涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形. 3.与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(S＝absin C＝bcsin A＝acsin B)中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化. 解三角形与三角恒等变换问题的一般步骤 【典型例题1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论； （2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解. （1）由余弦定理可得， 的面积； （2）[方法一]：多角换一角 ， ， ， . [方法二]：正弦角化边 由正弦定理及得．故． 由，得． 又由余弦定理得，所以，解得． 所以． 【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角. 【典型例题2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果； （2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得． （1）， 即：， 由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦 由（1）知，，所以由， 得， 整理得，即． 又，所以，即， 则． [方法二]正弦定理+方程思想 由，得， 代入， 得， 整理得，则． 由，得， 所以． [方法三]余弦定理 令．由，得． 将代入中，可得， 即，解得或（舍去）． 所以， 从而． [方法四]摄影定理 因为，所以， 由射影定理得， 所以． 【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值； 方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值； 方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 【典型例题3】在中，内角对应的边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据正弦定理边化角化简题中等式即可；（2）直接运用余弦定理即可求解. （1）在中，由正弦定理得， 因为，代入化简得， 因为，所以， 所以，又因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数据解得. 【典型例题4】已知锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若，求c的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用正弦定理及正弦的两角和公式将，变形为 ，再化简可求解； （2）由，即可求解. （1）由及正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以，从而. 因为，所以，所以. （2）由正弦定理得， 所以. 因为是锐角三角形，所以， 解得. 因为在上单调递增，所以. 从而，所以，即c的取值范围是. 【变式训练2-1】△ABC中，D是线段BC上的点，，的面积是面积的2倍． (1)求； (2)若，，求DC和AB的长． 【变式训练2-2】在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)若角，求角的大小； (2)若，，求. 【变式训练2-3】已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且． (1)若，求A的大小； (2)当取得最大值时，试判断的形状． 【变式训练2-4】在中，角所对的边分别为，满足． (1)求B； (2)若，点D在边上，且，，求b． 【变式训练2-5】在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 题型03：结构不良试题 【典型例题1】在中，，．再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，并求 (1)的值； (2)的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【解析】（1）若选条件①，， ，满足条件的有两个，不合题意，不能选择条件①； 若选条件②，， ，满足条件的有且仅有一个， 由余弦定理得：， 解得：或（舍），； 若选条件③，，，； 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 解得：或（舍），则满足条件的有且仅有一个，. （2）由（1）知：，. 【典型例题2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)若，求的值； (2)在下列条件中选择一个，判断是否存在，如果存在，求的最小值；如果不存在，说明理由. ①的面积； ②； ③. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）在中用正弦定理将边转化为角化简，再根据同角的平方关系，结合角的范围即可得出结果； （2）选①，根据面积公式结合题中等式可建立关于的等式，根据等式求出的最小值以及最小值时的边和角即可判断是否存在；选②，将带入题中等式可建立关于的等式，进而求得的最小值以及最小值时的边和角即可判断是否存在；选③，根据可知为直角三角形且，互余，结合正弦定理代入题中等式进行化简可得，显然不成立，可得结果. （1）解：因为，在中由正弦定理可得， 代入可得：， 又，所以或， 又因为，所以，故； （2）选①，因为，所以， 所以，因为， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以当， 即时，，， 此时，，，所以存在. 选②，因为，，所以. 所以， 因为，所以， 所以当，即时，，， 此时，，，所以存在. 选③，因为C为直角，所以A，B互余，且， 由，在中由正弦定理代入可得： ， 化简可知，等式矛盾，故这样的不存在. 【典型例题3】在△ABC中，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． (1)求； (2)求△ABC的面积． 条件①：；条件②：． 【答案】见解析 【解析】（1）选①：因为，，B，， 所以，． 所以． 所以． 选②：由，，可得． 由正弦定理得． （2）选①：由正弦定理得． 所以． 选②：由余弦定理，得． 即，解得（负值舍）， 所以． 【典型例题4】在中，． (1)求b； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：； 条件②：边上中线的长为； 条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【解析】（1）因为， 在△中，由正弦定理，可得：， 又因为， 所以. （2）选择条件①；由，，以及余弦定理得，该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件① 选择条件② 设边上的中线为，则，， 在△中，由余弦定理得： ， 因为，，所以， 所以△的面积为. 选择条件③ 方法1： 由题设，因为，所以， 因为，所以 因为，所以，所以， 由余弦定理可得：， 整理得，解得（舍）， 因为，，所以， 所以△的面积为. 方法2：由题设，因为，所以， 因为，所以 在△中，因为，所以，即，所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以△的面积为. 方法3：因为且， 所以或， 因为，所以， 又因为， 所以即， 所以△为等腰三角形，设边上的高为，则， 由勾股定理， 所以△的面积为. 【变式训练3-1】的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知. (1)求角B的大小； (2)从以下3个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：；④ 【变式训练3-2】在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求c和的值． 条件①：，边上中线的长为； 条件②：，的面积为6； 条件③：，边上的高的长为2． 【变式训练3-3】在中，角的对边分别为. (1)求的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 【变式训练3-4】在△ABC中，已知 (1)求B的大小； (2)在下面3个条件中选一个，使得△ABC唯一存在，并求其面积． ①②③ 【变式训练3-5】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，如果①、②、③都做，则按①给分． ①向量与向量平行． ② ③ (1)确定角A和角B之间的关系； (2)若D为线段BC上一点，且满足BD＝AD＝4，若2a＝3b，求b． 【变式训练3-6】已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积. 请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 题型04:正弦定理与余弦定理的综合应用 解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，注意齐次式结构，一般多根据正弦定理把边转化成角，，，或是； 第三步：出结果，写步骤． 【典型例题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求A； (2)若，，求的面积． 【答案】见解析 【解析】（1）因为 ， ， 所以由得． 因为，，，，所以①， 所以，，所以，即．② 联立①②得． （2）因为，所以，，，所以，即． ， 由正弦定理，可得， ， 所以的面积． 【变式训练4-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【变式训练4-2】已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (1)求; (2)若,求外接圆的半径R． 【变式训练4-3】在中，. (1)求； (2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 题型05：三角形中的最值或取值范围 三角形中的最值与取值范围问题，常见涉及到求边长、角度、面积、周长、比值等相关内容的最值或取值范围问题．解题方法常见两大类：①建立不等式关系：建立不等式关系常见方法有基本不等式、三角形三边关系、角度等；②建立函数关系常见的几种方式：i．利用内角和这个关系，通过消元，结合三角恒等变换把目标化为这样的单角函数，进而化为求三角函数的值域问题；ii．恰当对题中的边、角设元，利用正、余弦定理等相关定理建立函数关系式，这种方法一定要结合实际意义注意引入的“元”的取值范围（即定义域）；iii．利用题中的等式关系，把某部分看出整体进行换元，消元建立单变量函数关系，把问题转化为求函数值域问题． （一）．边长 【典型例题1】如图，在平面四边形ABCD中，. (1)若，求线段AC的长： (2)求线段AC长的最大值． 【答案】(1)；(2)6. 【解析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD，再利用余弦定理计算作答. （2）设，在中用余弦定理求出BD，用正弦定理表示出，再在中，利用余弦定理列式求解作答. （1）在中，，，由余弦定理得： ，即，解得， 在中，，由余弦定理得：， 所以. （2）设， 在中，由余弦定理得：， 由正弦定理得：，， 在中，由余弦定理得： ， 当且仅当，即时取“=”，此时， 所以当时，线段AC长取最大值6. 【点睛】方法点睛：三角形中已知两边及一边对角求第三边，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解. 【典型例题2】如图，在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求面积的最大值； (2)若边上的点D满足，求线段长的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出，从而得到面积的最大值； （2）根据得到，平方后得到，结合第一问，求出，令，，故，结合为锐角三角形，得到，从而利用基本不等式，求出线段长的最大值. （1）由余弦定理得：， 所以， ∴，当且仅当时取“=” ∴， ∴面积的最大值为. （2）由，可得：， 即，故 ∴ ， 而， ∴ 令，，令， 而为锐角三角形， ∴ ∴， ∵，当且仅当时取“=”， ∴． 【变式训练5-1-1】在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角B； (2)若的面积为，求b的最小值. 【变式训练5-1-2】已知在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)设点是边的中点，若，求的取值范围. 【变式训练5-1-3】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值. （二）.边关系 【典型例题1】在中，角，，的对边分别是，，，满足 (1)求角； (2)若角的平分线交于点，且，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解； (2)利用正弦定理得到，，然后利用基本不等式即可求解. （1）由可得：， 由余弦定理知，， 又因此. （2）在中，由，得， 在中，由，可得， 所以； 在中，由，得， 解得，， 所以， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 因此的最小值为. 【典型例题2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）运用余弦定理得，再运用正弦定理边化角化简计算即可. （2）运用三角形内角范围求得角C的范围，进而求得范围，运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域. （1）∵， ∴， ∴由余弦定理得：，即：， 由正弦定理得：， ∴， 整理得：，即：， 又∵， ∴，即：. （2）∵， ∴， 又∵，，， ∴由正弦定理得： ， 又∵， ∴， 令，则，， ∵对称轴为， ∴在上单调递增， 当时，；当时，， ∴，即：的范围为. 【典型例题3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【典型例题4】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求A； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可. （2）根据锐角三角形得B的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于的对勾函数，研究其值域即可. （1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又，即， ∴， 又∵， ∴. （2）由（1）知， ①当时，因为，所以，即，与△ABC为锐角三角形矛盾，所以不成立； ②当时，因为，所以， 所以． 由，得． 所以， 故． 因为，所以，， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 【典型例题5】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，若2ccosB＝2a＋b． (1)求角C； (2)若△ABC的面积为4，则3a2＋c2的最小值． 【答案】(1)；(2)80 【解析】（1）由及正弦定理可得， ∴，即，又， 故，又，故． （2）因为的面积为，所以，即，故， 由余弦定理可得， ∴，当且仅当时等号成立， 故的最小值为80． 【变式训练5-2-1】已知的内角、、所对的边分别为、、，. (1)求角； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【变式训练5-2-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)若，的面积为，D为边的中点，求的长度； (2)若E为边上一点，且，，求的最小值． 【变式训练5-2-3】在中，角，，的对边分别是，，，满足 (1)求角； (2)若角的平分线交于点，且，求的最小值. 【变式训练5-2-4】在中，内角所对的边分别为，已知 (1)求角. (2)的角平分线交于点，且，求的最小值. 【变式训练5-2-5】在中，角A，B，C成等差数列，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)若，判断的形状； (2)若不是钝角三角形，求的取值范围． 【变式训练5-2-6】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 【变式训练5-2-7】在中，. (1)求A； (2)若的内切圆半径，求的最小值. 【变式训练5-2-8】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的取值范围． 【变式训练5-2-9】设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知． (1)求证：B＝2A； (2)求的取值范围． 【变式训练5-2-10】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围． 【变式训练5-2-11】在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 【变式训练5-2-12】在中，角的对边分别为，已知， (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【变式训练5-2-13】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． （三）角度 【典型例题1】已知满足． (1)试问：角是否可能为直角？请说明理由； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)角不可能为直角，理由见解析；(2) 【解析】（1）使用反证法，假设角为直角，根据题目条件证明假设不成立，得到角不可能为直角； （2）将的取值范围转化为的取值范围，通过为锐角三角形，列出关于的不等式，进而求得结果. （1）假设角为直角，则， 所以， 因为， 所以， 所以，所以， 显然，所以矛盾，故假设不成立， 所以角不可能为直角． （2）因为， 所以， 由正弦定理，得， 由余弦定理化简，得， 因为为锐角三角形， 所以 令，则有， 所以的取值范围为． 【典型例题2】在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，即可证明（2）消元，将要求取值范围的代数式转化为，利用第一问得出的结论求出角的取值范围，从而得到的取值范围，最后应用对勾函数的单调性即可求解 （1）由余弦定理得， ∵， ∴ ∴ ∴， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴，∴，∴ （2）由（1）得， ∴， ∵，又，∴，∴， 函数在上单调递减，在上单调递增 ， ∴， ∴的取值范围为． 【典型例题3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若，判断的形状； (2)求的最大值． 【答案】(1)直角三角形；(2) 【解析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. （1）因为，所以， 由余弦定理得：， 即，所以， 由正弦定理得：，因为，所以， 所以，所以，即， 又，故，得，所以为直角三角形. （2）因为，所以 ， 因为，所以，所以， 当即时，取最大值， 此时，，故的最大值为． 【典型例题4】在中，， (1)求角C的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，从而求出； （2）先得到，，令，应用三角恒等变换及换元得到，由导函数得到在上单调递增，求出. （1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理及，得， 整理得， 由余弦定理得， 又， ∴． （2）由（1）知，， ∴． 令， ∴． ∴ ． 令，则在上恒成立， 故函数在上单调递增， ∴． 即的取值范围为． 【典型例题5】在中，设角，，所对的边分別为，，，边上的高为，且. (1)若，且，求实数的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用面积公式及余弦定理解得. （2）利用余弦定理得出函数，利用单调性解决问题。 （1）由三角形面积公式可得， 则，又， 由余弦定理可得， ∴，. （2）由，可得， ∴， 如图，过点作于，过点作，使得，连接，，则， 在中，， 则， 即，解得， 则，∴， 而， 令，则在时为减函数， ∴， ∴当时，，此时取得最小值. 【变式训练5-3-1】记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)求的最大值． 【变式训练5-3-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，求C； (2)求的取值范围. 【变式训练5-3-3】在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【变式训练5-3-4】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且______. (1)求； (2)求的取值范围. 【变式训练5-3-5】已知在中，边,,所对的角分别为，，，. (1)证明：,,成等比数列； (2)求角的最大值. 【变式训练5-3-6】设的内角所对的边长分别为，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值． 【变式训练5-3-7】中，． (1)求角． (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【变式训练5-3-8】记锐角的内角为，已知. (1)求角的最大值； (2)当角取得最大值时，求的取值范围. 题型06:三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题） 核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形） 利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围； 核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形） 利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围. (一)周长定值 【典型例题1】已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，求证：为直角三角形； (2)若的面积为，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由及正弦定理，得， 又，故，又，故． 因为，由余弦定理，得， 所以，所以是以为直角的直角三角形． （2）由的面积为，得，故， 由，结合余弦定理，得， 所以， 故的周长为． 【典型例题2】设向量，在三角形中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求角； (2)若，边长，求三角形的周长的值． 【答案】(1)；(2)6 【解析】（1）由已知可得，所以，所以． （2）由题意可知，可得，所以， 由余弦定理可知， 则，即，故周长为． 【变式训练6-1-1】已知函数. (1)写出函数的最小正周期和严格单调递增区间； (2)在中，角、、所对的边分别是、、，若，，且，求的周长. 【变式训练6-1-2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1） 求角C； （2）若，，求的周长. 【变式训练6-1-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为边上一点，. (1)若，求的面积； (2)若AD为的平分线，求的周长. （二）．周长最值 【典型例题1】三角形的内角的对边分别为， (1)求； (2)已知，求周长的最大值． 【答案】(1)；(2)18 【解析】（1）由，根据正弦定理，可得，整理可得， 由余弦定理，，由，则. （2）由（1）可知，，， 由，当且仅当时，等号成立，则，即， 故周长.当时等号成立 【典型例题2】已知函数在上单调． (1)求的单调递增区间； (2)若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，求△ABC周长的最大值． 【答案】(1)；(2)9 【解析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式可得，再根据在上单调，可得，从而可求得，再根据正弦函数的单调性即可得解； （2）先根据求出，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，即可得解. （1）由题意可得， 因为在上单调， 所以，解得， 因为， 所以，即， 令， 解得， 即的单调递增区间是； （2）因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 即，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，解得， 则，即△ABC周长的最大值为9． 【变式训练6-2-1】在①，②，③且这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 在中，内角，，的对边分别为，，，______. (1)求证：是等腰三角形； (2)若为边的中点，且，求周长的最大值. 【变式训练6-2-2】如图，平面四边形内接于圆O，内角，对角线AC的长为7，圆的半径为. (1)若，，求四边形的面积； (2)求周长的最大值. （三）．周长取值范围 【典型例题1】已知，，分别为锐角△三个内角，，的对边，记三角形的面积为，若. (1)求角的大小； (2)若，试求△周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由余弦定理得， ∴， ∵三角形面积，∴ ∴， ∵，∴. ∴角的大小为. （2）由正弦定理及（1）得， ∴， . ∴ 在锐角△中，，， 又∵，∴，∴ 综上， ∴， ∴ ∴△周长的取值范围为. 【典型例题2】已知函数，其中，且函数的两个相邻零点间的距离为， (1)求的值及函数的对称轴方程； (2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)，对称轴方程为：；(2). 【解析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可； （2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可. （1）， ， 因为函数的两个相邻零点间的距离为， 所以函数的最小正周期为，因为， 所以，即， 令，所以对称轴为； （2）由， 因为，所以， 因为，所以由正弦定理可知：， 所以三角形的周长为， ， 因为，所以，因此， 所以周长的取值范围为. 【变式训练6-3-1】在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【变式训练6-3-2】在锐角中，内角、、所对的边分别为，，，，，向量，的夹角为． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【变式训练6-3-3】的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【变式训练6-3-4】在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小． (2)若，求周长的取值范围． 题型07：三角形面积（定值，最值，范围问题） 常用的三角形面积公式 （1）； （2）（两边夹一角）； 核心秘籍1、基本不等式 ① ② 核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围） 利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围. （1） ．面积定值 【典型例题1】在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，为锐角． (1)求C； (2)若，，△的面积为，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒变换即可求解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理求出三角形的三边长，再利用正弦定理求出角，最后利用三角恒等变换即可求解. （1）由正弦定理得， ，即, ∵,∴, 即,解得,或者， 又∵为锐角，∴. （2） ,即， 由余弦定理得, ，且，即， 解得，， 由正弦定理得，,解得， ∵, ∴, ∴角为锐角， ∴, ∴,, ∴. 【典型例题2】在平面四边形中，，，，. (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据已知结合正弦定理边角互化得出，再根据，约掉，即可得出，变形结合辅助角公式得出，即可根据角的范围得出答案； （2）根据已知结合正弦定理得出，，即可得出，由四边形内角和得出，即可将式子中的角转化为，即可根据诱导公式与二倍角的正弦公式结合角的范围得出，即可得出与，再根据三角形的面积公式得出答案. （1）由题设及正弦定理边角关系：， 又， ，即，即， 又，则， ，即． （2）令 ，四边形内角和为，由（1）的结论知：， 在 中，由正弦定理得：，即， 在 中，，即， 又， ， 则，即，即， ，， ， ，即， 则， ， ， . 【典型例题3】如图，在梯形中，已知，，，，，求： (1)的长； (2)的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)由已知求得，再利用正弦定理即可求得的长； (2)先求得的正余弦值，再利用余弦定理求的长，最后用面积公式即可. （1）解：在中，， 由正弦定理得：，即 故：． （2）解： ∴ 在中，由余弦定理得： 即，解得：或舍． 故：的面积为7. 【典型例题4】在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求B； (2)若的周长为6，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)利用正弦定理先边化角，再借助和角正弦公式化简得，从而可解； (2)利用余弦定理和已知的周长得到，再借助三角形的面积公式即可求解. （1）∵， 根据正弦定理可得：， 即. ∴，即. ∵，∴， ∴， 又，∴. （2）由余弦定理知， 即， 又，， ∴. ∴ 【典型例题5】记的内角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：因为，则，所以，， 所以， ， 所以，，又因为，故. （2）解：因为，所以，， 因为，，则， 所以，，化简整理得， 所以， 故的面积为. 【变式训练7-1-1】已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且． (1)求角C的大小； (2)若，，求△ABC的面积． 【变式训练7-1-2】 中，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 【变式训练7-1-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)若，求的值； (2)若，，求的面积. 【变式训练7-1-4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且（c﹣a）（c+a）+abcosC＝S. （1）求角A的大小； （2）若4cosB•cosC＝1，且a＝2，求S的值. 【变式训练7-1-5】如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6，，，点D在边BC上，且∠ADC＝60°． (1)求cosB与△ABC的面积； (2)求线段AD的长． 【变式训练7-1-6】）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线. (1)求； (2)若的面积为，求的值. 【变式训练7-1-7】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)设，当的值最大时，求△ABC的面积． 【变式训练7-1-8】设内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角的大小 (2)若，求的面积． 【变式训练7-1-9】在△ABC中，角所对的边分别是，若． (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC的面积． 【变式训练7-1-10】记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若，求的面积. 【变式训练7-1-11】如图，在中，D为边BC上一点，，，，. (1)求的大小； (2)求的面积. 【变式训练7-1-12】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且． (1)求A的大小； (2)若，求的面积． 【变式训练7-1-13】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． (1)求角B的大小； (2)若．且，求△ABC的面积． 【变式训练7-1-14】已知中，角，，所对的边分别为，，，且满足.从①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件. (1)求角的大小； (2)点在线段的延长线上，且，若，求的面积. 【变式训练7-1-15】如图，在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，且，. (1)求∠BAD的大小； (2)若，求△ABC的面积. 【变式训练7-1-16】在中，D是边上的点，． (1)求； (2)若，求的面积． 【变式训练7-1-17】如图，在中，D是边上的一点，，． (1)证明：； (2)若D为靠近B的三等分点，，，，为纯角，求． 【变式训练7-1-18】在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，. (1)求角A的值； (2)求的面积. （二）面积最值 【典型例题1】在中，为上一点，． (1)若D为的中点，求的面积的最大值； (2)若，求的面积的最小值． 【答案】(1)12；(2). 【解析】（1）由题可得，利用向量数量积的运算法则及基本不等式可得，然后利用面积公式即得； （2）利用和差角公式及正弦定理可得，进而可得，然后利用导数求函数的最值即得. （1）因为D为的中点， 所以, ∴． 记角的对边分别为， 因为．所以， 则， 所以（当且仅当时取得最大值）． 所以. （2）∵，， ∴， 设， 在中，由正弦定理可得， 所以． 同理可得． 由， 所以， 所以． 所以． 设．则， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以面积的最小值为． 【典型例题2】已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)设是边上的高，且，求面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得的大小. （2）利用余弦定理、基本不等式求得的最小值，进而求得面积的最小值. （1）法一：左边， 右边， 由题意得 ，即， 又因为，所以. 法二：左边， 右边， 由题意得， 又因为，所以. （2）由， 由余弦定理得， ， ，当且仅当时取“等号”， 而，故 【典型例题3】已知函数． (1)求函数的值域； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式即可化简，进而可求值域， （2）根据结合正弦型函数的性质可得，进而由余弦定理以及不等式即可求解. （1）， ∴的值域为． （2）， 即，由 ,得 ∴，即， 又，即， ∴， ∴，当且仅当时取得． 【典型例题4】的内角所对的边分别为，的面积为，从条件①；条件②；条件③中选择一个作为已知，并解答下列问题． (1)求角的大小； (2)点是外一点，，若，求四边形面积的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1）选①，方法一（射影定理），因为 由射影定理得，即， 因为，所以， 方法二（边化角）因为， 由正弦定理得， 即， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以，所以． 方法三（角化边）因为，由余弦定理得 ， 即， 所以， 因为，所以． 选②，方法一（角化边）因为， 由余弦定理得， 即，所以， 因为，所以． 方法二（边化角）因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 因为，所以． 选③，因为， 由得， 由余弦定理得，， 即， 因为，所以． （2）在， 所以为等边三角形， 设， 在中，由余弦定理可得， 由于，代入上式可得， 所以四边形的面积 ， 因为，所以， 所以当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 【变式训练7-2-1】在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角所对的边分别是，且______． (1)求角的大小； (2)若点满足，且线段，求面积的最大值． 【变式训练7-2-2】已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点. (1)证明： (2)若，，求的最大值. 【变式训练7-2-3】如图，在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若，求； (2)记 与 的面积分别记为和，求的最大值． 【变式训练7-2-4】D为边上一点，满足，，记，． (1)当时，且，求CD的值； (2)若，求面积的最大值． 【变式训练7-2-5】在中，内角，，所对的边分别是，，，已知． (1)求； (2)若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值． 【变式训练7-2-6】在中，分别为内角的对边，点在上，. (1)从下面条件①、②中选择一个条件作为已知，求； (2)在（1）的条件下，求面积的最大值. 条件①：； 条件②：. 注：若条件①和条件②分别解答，则按第一个解㯚计分. 【变式训练7-2-7】记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的面积的最大值. 【变式训练7-2-8】已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求角C； (2)若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长． 【变式训练7-2-9】在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【变式训练7-2-10】在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的取值范围； (2)若是边上的一点，且，，求面积的最大值． 【变式训练7-2-11】在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 【变式训练7-2-12】记的面积为S，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C. (2)求面积的最大值. 【变式训练7-2-13】已知在中，角的对边分别为，，，且． (1)求； (2)求面积的最大值． （三）．取值范围 【典型例题1】已知锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用二倍角公式化简得，结合正弦定理化角为边以及余弦定理即可求出的大小. （2）利用正弦定理、诱导公式及两角和与差的正弦公式得，再求出的范围，则得到的范围，最后利用三角形面积公式即可求出面积范围. （1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理得，由余弦定理得， 因为，所以. （2）由（1）可知，，故，因为， 所以 因为，， 所以，故，所以，则. 所以， 所以面积的取值范围是. 【典型例题2】已知的三个角，，的对边分别为，，，且. (1)求边； (2)若是锐角三角形，且___________，求的面积的取值范围. 要求：从①，②从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】见解析 【解析】（1）解法一：因为， 由余弦定理，得； 解法二：因为， 由正弦定理，得， ∴， ∴，即. （2）选择①：因为 所以，， 所以 因为是锐角三角形， 所以，又，所以，所以. 所以，所以， 所以， 所以. 选择②：因为，则， 因为是锐角三角形，所以， 即， 所以， 因为， 所以， 所以 ， 由二次函数的性质可得， 当时，函数取最大值，当时，，又， 所以，即，所以， 所以. 【典型例题3】已知锐角的三个内角的对边分别为，__________. 在条件：①； ②； ③； 这三个条件中任选一个，补充到上面的问题中并作答. (1)求角； (2)若，如图，延长到，使得，求的面积的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1）若选①，， 由正弦定理得，， 所以，所以为锐角且. 若选②，， ， ，由于，所以，所以， 所以为锐角且. 若选③，， ，， 由正弦定理得， 所以，所以为锐角且. （2），在中，，所以， 即. 在三角形中，由正弦定理得，所以， 所以 ， 由于， 所以. 【变式训练7-3-1】已知的三个角，，的对边分别为，，，且. (1)求边； (2)若是锐角三角形，且___________，求的面积的取值范围. 要求：从①，②从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练7-3-2】已知中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，求外接圆的面积； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【变式训练7-3-3】在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)求角的大小； (2)求面积的取值范围. 【变式训练7-3-4】在中，角的对边分别是且满足. (1)求角的大小； (2)若，求锐角的面积的取值范围. 【变式训练7-3-5】在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 题型08：三角形中线问题 1、向量化(三角形中线问题） 如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷） 2、角互补 【典型例题1】已知的内角，，的对边分别为，． (1)求角的大小； (2)若边上中线长为，，求的面积． 【答案】(1)或；(2)或 【解析】（1）由题知，， 所以由正弦定理得， 因为在三角形中， 所以， 因为， 所以， 所以或 （2）由（1）得或 因为边上中线长为，， 设中点为, 所以, 所以，即， 所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以 ，或 【典型例题2】已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，分别是角的对边，，，若为上一点，满足为的中线，且，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)； 令，解得：， 的单调递增区间为. (2)由（1）知：，即， 又，，，解得：； 在中，由余弦定理得：； 在中，由余弦定理得：； ，，即， ； 在中，由余弦定理得：，解得：； ，， 的周长为. 【典型例题3】中，已知． (1)求； (2)记边上的中线为．求和的长度． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意， ， , 由于，所以. （2）由三角形的面积公式得， 由余弦定理得. 由两边平方并化简得： ， 所以. 【变式训练8-1】已知在中，，． (1)求A的大小； (2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． ①周长为；②；③面积为；④ 【变式训练8-2】在中，内角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长. 【变式训练8-3】已知中，内角，，所对的边分别为，，，且 (1)求； (2)若边上的中线长为，，求的面积． 【变式训练8-4】在中，边上的中线长为. (1)求的值； (2)求的面积. 【变式训练8-5】在中， (1)求角A的大小 (2)若BC边上的中线，且，求的周长 题型09：三角形角平分线问题 角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 核心技巧1：内角平分线定理： 或 核心技巧2：等面积法(使用频率最高） 核心技巧3：边与面积的比值： 核心技巧4：角互补： 在中有：; 在中有： 【典型例题1】已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，求A的内角平分线的长． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用倍角公式和辅助角公式得到，进而求出单调递减区间； （2）先求出，从而得到，由列出方程，求出的长. （1）因为 所以，, 解得，, 所以的单调递减区间为． （2）因为，所以． 因为，所以，所以， 所以， 故， 由题意知，， 所以， 即， 所以． 【典型例题2】已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）根据题意，利用正弦定理及三角形中即可求解. （2）可设,则，利用余弦定理及正弦定理求解三者的值，再利用三角形面积公式即可求解. （1）解：∵，由正弦定理得：，即， 则， 又在中，，，故， 故. （2）由题可知，设,则， 由正弦定理得：，即， 解得， 由余弦定理得，解得； 又，故. 由余弦定理得，即， 解得，则，. 的面积为. 【典型例题3】的内角的对边分别是，且， (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积． 【答案】(1);(2). 【解析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角即可； （2）利用等面积法结合余弦定理，求出的值即可求得的面积. （1）因为，由正弦定理得， 化简得， 所以由余弦定理得，又因为， 所以. （2）如图所示 因为即， 化简得①, 又由余弦定理得即②， ①②联立解得（舍去）或， 所以. 【典型例题4】在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，． (1)求角的大小； (2)求线段的长． 【答案】(1)(2)． 【解析】（1）由两角和与差公式化简求角即可； （2）利用面积公式列方程解出线段的长． （1）在中，由已知，可得： 则有：， 即 又，即有， 而，所以． （2）在中，由（1）知，因为为角的角平分线， 则有， 由得： 解得， 所以线段的长为． 【典型例题5】已知的内角的对边分别为，，，，且． (1)求的大小； (2)若的平分线交于点，且，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得，再根据角的范围分析运算； （2）根据三角形的面积关系整理得，结合基本不等式求范围. （1）∵，由正弦定理可得， 则， 可得， 整理得， 注意到，且，则，且， 可得或， 解得或（舍去）， 故. （2）若的平分线交于点，则， ∵，则， 即，整理得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的取值范围为. 【典型例题6】已知的内角的对边分别为 ，且. (1)求角B； (2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案. （2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案. （1）由已知及正弦定理得：， 又在中，, ∴， 即， 又，∴, 又，∴，即角B的大小为. （2）∵. 是的角平分线，而， ∴， 即，∴. ∵，∴， ∵，∴，即, 当且仅当时取等号，则， 即的面积的最小值为. 【变式训练9-1】已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且． (1)证明：； (2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值． 【变式训练9-2】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)求角C； (2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值. 【变式训练9-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．在 ①； ②； ③. 这三个条件中任选一个填在横线上，补充完整上面的问题，并进行解答． (1)求角B的大小； (2)若角B的内角平分线交AC于D，且，求的最小值． 【变式训练9-4】在中，角所对的边分别是，设的面积为.已知. (1)求角的值； (2)若，点在边上，为的平分线，的面积为，求边长的值. 【变式训练9-5】在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，的内角平分线交边于点D，求． 【变式训练9-6】在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小， (2)若，角的角平分线交于，且，求的面积． 【变式训练9-7】已知的内角的对边分别为,且. (1)求的值; (2)给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题: （i）求的值; （ii）求的角平分线的长. 【变式训练9-8】中，，，，. (1)若，，求的长度； (2)若为角平分线，且，求的面积. 【变式训练9-9】在锐角中，内角的对边分别为，且满足 (1)求角C的大小； (2)若，角A与角B的内角平分线相交于点D，求面积的取值范围. 【变式训练9-10】已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值． 【变式训练9-11】在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足. (1)求角； (2)角的内角平分线交于点，若，，求. 【变式训练9-12】在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB (1)若，求tanC的值： (2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积． 【变式训练9-13】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若O是的内心，，且，求面积的最大值. 【变式训练9-14】 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)已知的面积为，设M为BC的中点，且，的平分线交BC于N，求线段AN的长度． 题型10:三角形高线 【典型例题1】已知中，点在边上，满足，且，的面积与面积的比为． (1)求的值； (2)若，求边上的高的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由得为的平分线，再根据正弦定理得，从而解得； （2）由已知及（1）可得，再由余弦定理求得的长，最后根据求得结果. （1）∵， ∴为的平分线， 在与中，根据正弦定理可得： 两式相比可得： 又的面积与面积的比为， ∴， 即，且， 由得， ∴且为锐角，∴． 故答案为： （2）由（1）知为锐角，且， 因此， 又，所以在中由余弦定理得， 解得：， ∵∴． 故答案为： 【变式训练10-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，角C的平分线交AB于点D，点E满足，求． 【变式训练10-2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且. (1)求B； (2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值. 题型11：解三角形中外接圆内切圆有关问题 【典型例题1】已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (1)求; (2)若,求外接圆的半径R． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)将写为代入化简可得,根据,即可得; (2) 由正、余弦定理可将化简为,进一步化简可得,结合,再根据正弦定理即可得外接圆半径. （1）解:因为, 所以 , 所以,因为, 所以,所以,又, 所以; （2）因为, 所以在中,由正、余弦定理得: , 所以,故, 由正弦定理得, 所以外接圆半径为. 【典型例题2】在中，角的对边分别为，已知，且. (1)求的外接圆半径； (2)求内切圆半径的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求； （2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.（1）由正弦定理，，可得 再由余弦定理，，又，所以. 因为，所以. （2）由（1）可知：，则. 则. 在中，由正弦定理， ，所以， 则 ， 又，所以，所以， ，所以. 【变式训练11-1】已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (1)求; (2)若,求外接圆的半径R． 【变式训练11-2】在四边形中，． (1)证明：； (2)若，，，，求外接圆的面积． 【变式训练11-3】已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足． (1)若，求的外接圆半径； (2)若，且，求的内切圆半径 【变式训练11-4】在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答. 在中，角所对的边分别为，且__________. (1)求角； (2)若，的内切圆半径为，求的面积. 【变式训练11-5】已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角． (1)求； (2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题． 若，，为的___________，求的面积． 题型12：四边形问题 【典型例题1】已知平面四边形ABCD中，，，． (1)求； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)在和中，利用正弦定理和已知条件，建立等量关系：，从而得到，求出结果； (2)利用条件得到为等边三角形，进而求出，再利用三角形面积公式即可求出结果. （1）如图，在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得． 因为，所以，所以． 而，，故， 又，所以得到． 因为，故，故． （2）因为，且， 故，为等边三角形． 所以， 因为，，所以， 故梯形ABCD的面积． 【典型例题2】如图,在平面四边形中,,. (1)试用表示的长; (2)求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)根据已知条件将用表示,再在中利用余弦定理求解即可; (2)在中先用余弦定理将用表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可. （1）（）,,, ，则 在中, , ,则. （2）在中, , 则当时,取到最大值. 故的最大值是 【典型例题3】如图，平面四边形内接于圆O，内角，对角线AC的长为7，圆的半径为. (1)若，，求四边形的面积； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中利用余弦定理求得，从而证得为等边三角形，求得其面积，再在中利用余弦定理求得，从而利用三角形面积公式求得的面积，由此得解； （2）利用余弦定理得到，从而利用基本不等式推得，由此得解. （1）如图所示，连结， 在中，，， 所以， 因为，所以，则， 因为，所以为等边三角形， ， ，， 在中，，即， 又， ， . （2）设，， 则在中，，，则，即，故， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， ，则， ，故，当且仅当时，等号成立， 所以，即周长的最大值为. 【典型例题4】如图，四边形中，，，，，. (1)求的面积； (2)求线段的长度. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用三角形的内角的范围及三角形的面积公式即可求解； （2）根据（1）的结论及余弦定理，利用正弦定理及三角函数的诱导公式即可求解. （1）因为， 所以，即. 因为为的内角， 所以. 又， 所以， 联立，得，， 所以的面积为. （2）由（1）知,， 由余弦定理，得. 设,由正弦定理,得，即， 所以. 在中，由余弦定理,得， 所以. 【变式训练12-1】在中，，点，分别在，边上． (1)若，，求面积的最大值； (2)设四边形的外接圆半径为，若，且的最大值为，求的值． 【变式训练12-2】如图，四边形ABCD中，． (1)若，求△ABC的面积； (2)若，，，求∠ACB的值． 【变式训练12-3】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，，BC⊥CD，E为AD的中点，AC与BE相交于点F． (1)求△ACD的面积； (2)求的值． 【变式训练12-4】如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)若，求的面积； (2)若，求BC． 【变式训练12-5】如图，在平面四边形中，. (1)求的值； (2)求的长度. 【变式训练12-6】在平面四边形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E，且，. (1)求BD的长； (2)求的值. 【变式训练12-7】如图所示，在四边形ABCD中，，， (1)求； (2)若为的平分线，试求． 【变式训练12-8】如图，在平面四边形中，，． (1)若平分，证明：； (2)记与的面积分别为和，求的最大值． 【变式训练12-9】如图，在梯形中，，． (1)若，求周长的最大值； (2)若，，求的值． 【变式训练12-10】在中，角所对的边分别为，. (1)判断的形状，并加以证明； (2)如图，外存在一点D，使得且，求. 【变式训练12-11】在平面四边形中，为等边三角形，设. (1)求四边形面积的最大值，以及相应的值； (2)求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值. 【变式训练12-12】在平面四边形ABCD中，，，. (1)若△ABC的面积为，求AC； (2)若，，求. 题型13：几何图形问题 几何图形问题的处理主要有以下方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题1】已知在中，，，为内角，，所对的边，，且． (1)求与； (2)若，过作边的垂线，并延长至点，若，，，四点共圆，求的长． 【答案】见解析 【解析】（1）由题设，而，则， 所以，即， 故，而，则，即，. （2）设垂线的垂足为，而，则， 又，，，四点共圆，则，且，， 由， 所以. 【典型例题2】如图，在梯形中，，． (1)若，求周长的最大值； (2)若，，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）在中， ， 因此，当且仅当时取等号． 故周长的最大值是． （2）设，则，． 在中，， 在中，． 两式相除得，，， 因为， ， ，故． 【典型例题3】记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】见解析 【解析】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【典型例题4】在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，． (1)求证：AB，AD，AC成等比数列； (2)若，求． 【答案】见解析 【解析】（1）在中，由正弦定理得：①， 由已知得：②， 由①②联立得：， 因为，所以． 故AB，AD，AC成等比数列； （2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c， 故，由（1）知：③， 在△ABD中，设，由已知得， 由余弦定理得：， 即④， 在△ACD中，设，由已知得， 由余弦定理得：， ⑤， 由⑤＋④×2整理得：⑥， 由③⑥联立整理得：， 解得：或， 当时，由可求得，所以故舍去， 当时，由可求得，满足， 在△ABC中，由余弦定理得 综上： 【变式训练13-1】 如图，在中，， ，为外一点，． (1)求角的大小，并判断的形状； (2)求四边形的面积的最大值． 【变式训练13-2】如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切. (1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积； (2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？ 【变式训练13-3】如图,在平面四边形中,,. (1)试用表示的长; (2)求的最大值. 【变式训练13-4】已知平面四边形中，，若，的面积为． (1)求的长； (2)求四边形周长的最大值． 【变式训练13-5】某地区组织的贸易会现场有一个边长为的正方形展厅，分别在和边上，图中区域为休息区，，及区域为展览区． (1)若的周长为，求的大小； (2)若，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积最大，并求出最大值． 题型14：解三角形中与平面向量结合有关问题 【典型例题1】在中，的对边分别为，已知向量，，且. （1）求的大小； （2）若点D为边AB上一点，且满足，求的面积. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意，因为，， 可得， 在中，由正弦定理得， 化简得， 又因为，可得， 所以，因为，所以. (2)由，可得，所以， 两边平方得 ① 又因为， 所以. ② 由①②得， 所以. 【典型例题2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若， ①的角平分线交于M，求线段的长； ②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1），则，故，所以，因为， 可得，由，所以． （2）①法一：在与中， 由正弦定理得， 即，故， 所以， 所以 法二：在中，由是的角平分线 所以 由知： 即，解得 ②法一：由，得 又 所以． 的取值范围为； 法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由．则 因为， 所以． 所以 由，得的取值范围为 【变式训练14-1】在中，已知． (1)求； (2)若是边上的一点，且，求面积的最大值． 【变式训练14-2】已知中，点在边上，满足，且，的面积与面积的比为． (1)求的值； (2)若，求边上的高的值． 【变式训练14-3】中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． (1)，时，求CD的长度； (2)若CD为角C的平分线，且，求的面积． 【变式训练14-4】在中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且. (1)求的值； (2)若，，记，求向量在方向上的投影向量.（用表示） 【变式训练14-5】已知向量，，设函数. （1）求函数的最大值; （2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积. 【变式训练14-6】在，角，，的对边分别为，，.且. (1)求B； (2)若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长度. 【变式训练14-7】如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，． (1)求b边的长度； (2)求的面积； (3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【变式训练14-8】在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且． (1)求角A的大小； (2)记的面积为S，若，求的最小值． 【变式训练14-9】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若，且，求. 【变式训练14-10】在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答________ (1)求角； (2)若，，在线段上，且满足，求线段的长度. 题型15：证明题 【典型例题】记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，证明：； (2)若，证明：. 【答案】(1)见详解；(2)见详解. 【解析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可； （2）根据正弦定理推得，即可得到.通过分析，可得以及，代入，整理可得到，令，构造，求导得到在上单调递减.进而得到. （1）证明：由正弦定理可得，，所以， 由余弦定理及其推论可得，，， 所以，由已知可得，， 即， 因为，所以. （2）证明：由已知得，， 又由正弦定理可得，， 因为，所以. 由（1）知，，则， 又由正弦定理可得， ， 又，则， 将以及代入可得， ， 整理可得，， 因为，，，所以，则. 令，则，， 则， 所以，当，恒成立，所以在上单调递减. 所以，，即. 综上所述，. 【典型例题2】在锐角中，均为已知常数），.的外接圆，内切圆半径分别为. (1)求； (2)点分别在线段上，的周长为，请证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设的内心为，利用等面积法及三角形面积公式求得，又利用正弦定理可得，两式结合消去即可得所求； （2）利用轴对称，确定的周长的最小值建立不等关系，结合对称性、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式验证不等式取等情况，即可证明结论. （1）解：设锐角的内心为， 则，所以， 由正弦定理得：，则，所以，则； （2）证明：如图，设关于对称的点为，关于对称的点为，连接，过作于 由对称可得， 所以的周长为 又在中，， 又锐角中，三边为已知常数，所以为常数，则当最小时，有最小值， 即当时，，由于，得， 所以，即， 故. 【变式训练15-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且． (1)求证：； (2)若，求． 【变式训练15-2】记的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)证明：. 【变式训练15-3】设钝角△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，其中R是外接圆的半径． (1)若，求C的大小； (2)若，，证明：为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司213 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $