精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期1月期末英才教育中心物理竞赛试题

重庆市第八中学校高一上期末物理竞赛测试题 （180min，320分） 1. 如图所示，在竖直平面内有一半径为R的固定圆弧轨道，另有两个质量同为m、半径同为r的匀质圆盘，盘心用光滑的水平轻轴承与一根质量也为m、长度为R-r的匀质直杆连接着，两个圆盘均可绕轴承无摩擦转动。今使该系统在其平衡位置附近往返摆动，摆动中因圆盘与圆弧轨道间的摩擦因数足够大，使得圆盘在圆弧轨道上作纯滚动。 （1）试求系统小角度摆动周期T； （2）设小摆角的幅度为θ，当系统摆到其平衡位置时，试求每个圆盘所受圆弧轨道的摩擦力大小f和法向支持力大小N。 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 设系统绕O点转动的角度为θ，圆盘匀转角度为φ，则 可得 取平衡位置为零势能点，任意θ处的系统势能 θ处的系统动能 解得 且 定值 可得 解得 【小问2详解】 平衡处时 可得 对圆盘质心转动定理 可得 设两圆盘径向支持力分别为N1、N2系统质心 可得 N1=N2=N 由质心运动定理 解得 2. 由两块折射率分别为n1，n2的玻璃体密接构成的薄透镜如图所示，朝左凸的R1球面与朝右凸的R2球面间距可略，R2球面与右侧平面间距也可略。解答下述两小问。 （1）导出该透镜在空气中焦距f； （2）设点状发光物S发出的光仅含氢光谱C线（）和F线（）两种成分，相应地n1，n2各自分化为（），，已知左侧不在透镜焦平面上的S所成像S'仍为一个点，试以R1，n1C，n1F，n2C，n2F为已知量，导出R2的表述式，并给出n1C，n1F，n2C，n2F间应满足的关系式。 【答案】（1） （2）； 【解析】 【小问1详解】 由透镜公式 由密接薄透镜可知 可得 【小问2详解】 两种不同波长等效光线的等效焦距分别为 为使不在焦平面上的点状物S成点像S＇，要求 可得 解得 且 即 3. 半径为R的导体接地，今在距球心为a处（a>R）放置一个点电荷q。已知静电力常量为k。 （1）求q的电势能。 （2）若将q从该处移动到无穷远处，系统的静电能变化多少？ （3）将q从该处移动到无穷远处，静电力做功为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 根据“电像法”找到的像，由题可知，在和的共同作用下，整个导体的电势为零，设到O点的距离为，如上图所示，则有， 解得， q点电荷的电势能 【小问2详解】 系统原来的静电能 系统的末静电能 故系统的静电能变化了 即该过程总静电能增加了 【小问3详解】 静电力做功 4. 一力学装置由原长为l0，劲度系数为k的理想弹簧连接两质量均为m的物块（可视为质点）所构成。此装置从静止开始沿垂直地面的方向下落，刚下落时，下方物块距离地面高度为h，弹簧为原长，如图所示。当下方块撞击地面时，与地面发生完全非弹性碰撞，即下方物块碰撞后静止于地面上，但并未粘着。设重力加速度为g，忽略空气阻力。 （1）为使上方物块在上升过程中能把下方物块从地面提起，h必须大于某一最小值hm，求hm=？ （2）设h=hm，求从下方物块着地到被从地面提起所历经的时间； （3）设h=(）hm，求从下方物块被提起到上方物块升到最高处所历经的时间以及上方物块在最高处时离地面的距离。 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【小问1详解】 两物块自由下落后，设当下方块撞击地面时，物块的瞬时速度为，由动能定理 上方物块在上升到最高点刚好能把下方物块从地面提起，设此时弹簧伸长量为，弹簧弹性势能为，由能量守恒定律得 对下面物块受力分析有 联立解得 【小问2详解】 设下方物块刚被提起，上方物块做简谐运动，由题意可知 下方物块着地到被从地面提起所历经的时间等于上方物块运动一个周期减去上方物块从最高点下降所用时间，由简谐运动知识 可得 联立解得 【小问3详解】 当h=hm时，设下方物块刚被提起时，上方物块速度为，由动能定理 上方物块在上升到最高点刚好能把下方物块从地面提起，设此时弹簧伸长量为，弹簧的弹性势能为，由能量守恒定律得 对下面物块受力分析有 解得 然后根据系统质心原理，两物块和弹簧组成的系统做竖直上抛运动，上面物块相对质心做简谐运动，由地面为坐标原点建立竖直向上为正方向的轴一维坐标系，由题意可知简谐运动表达式 由能量守恒定律得 质心速度表达式为 那么 联立解得 当时 代入简谐运动表达式解得 则上面物块做简谐运动的具体表达式为 那么上面物块实际位移表达式为 联立解得 对上式对时间求导可得， 当时，解得 ， 5. 质量均为m的小球A、B通过长均为l的两柔软轻绳与质量为M=2m的小球C相连，静止地平放在水平桌面上。开始时绳子是松的，三球位于同一直线上，球A、B与球C之间的距离均为。今以一个恒定的水平力F拉小球C，F方向与三球连线垂直，如图所示。设系统处处无摩擦，三球均可视为质点。求： （1）绳于拉紧后瞬间三球的速度大小； （2）绳子拉紧后瞬间绳子的张力； （3）当两绳子之间夹角为60°时，绳子的张力。 【答案】（1）小球A、B的速度大小为，小球C的速度大小为 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 绳子拉紧后瞬间，如图所示 设与力方向夹角为，与力方向夹角也为。由几何关系得 得 绳子拉紧前瞬间小球A、B的速度为零，设小球的C速度为，由动能定理得 又 M=2m 解得小球的C速度 绳子拉紧后的瞬间设小球的C速度为，由对称性可知小球A、B的速度大小相等，设为，如图所示 由动量守恒可知 又 解得 【小问2详解】 绳子拉紧后瞬间绳子的张力为，由对称性小球A、B加速度大小相等，设为，小球C加速度大小为，对小球A、B由牛顿第二定律 对小球C，由牛顿第二定律 又 联立解得 【小问3详解】 设点为系统的质心，质心系下，小球C的速度为，力F方向为轴正方向，AB方向为轴正方向，绳子拉紧后瞬间为初状态，如图所示 当两绳子之间夹角为60°时为末状态，如图所示 初状态，质心速度 设在质心系下，A和B在x方向和y方向速度大小为和，则 在质心系下，C的速度 在质心系下，三小球组成的系统初状态的总动能 由质心系动能定理得 质心系下，系统方向动量守恒 由运动约束可知 联立可得 当两绳子之间夹角为60°时绳子的张力为，由对称性小球A、B加速度大小相等，设为，小球C加速度大小为，对小球A、B由牛顿第二定律 对小球C，由牛顿第二定律 又 联立解得 6. 一L型管由两段长度均为l，横截面积均为S的均匀直细管构成，两段细管分别沿水平和竖直方向。L型管一端封闭，另一端与大气相通。在L型管中有一段长度为的水银柱。开始时，水银柱刚好位于L型管水平段的右半部，此时被封闭的气柱的压强等于大气压p0，如图所示。现设法使气柱中的气体缓慢膨胀，直到水银从L型管的开口端全部逸出为止。设大气压强p0为l高水银柱（即p0=ρgl，ρ为水银密度），气柱中气体的定容摩尔热容，其中R为气体普适常量。求： （1）在整个过程中气柱中气体对外界所做功以及与外界交换的总热量（忽略水银柱与气柱之间的热交换以及水银的热膨胀）； （2）在上述过程中，气柱中气体的热容与气柱长度x的关系。 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【小问1详解】 该过程内能增量为 所以 该过程气压p随气体长度x的变化关系： 当时，有 当时，有 当时，有 所以 根据热力学第一定律可得 【小问2详解】 根据 可得 又 所以 所以 由（1）可得，当时，有 当时，有 当时，有 所以，当时，有 当时，有 当时，有 7. 如图，一气缸被隔板NM分成两部分。气缸的左气室装有1摩尔的水热气，右气室装有1摩尔的氮气（N2）。开始时，两个气室中气体的温度、压强和体积相等。在相同温度下，液态水的比容（单位质量的物质所占有的容积）与水蒸气相比可以忽略不计，在373K时，水的汽化热L=2250kJ/kg，1atm下水的沸点为373K，气体常数R=8.31J（mol·K），隔板MN的热容量可忽略不计。 （1）假设活塞、隔板和气缸壁都是导热的，隔板NM可以无摩擦地滑动。气体的初始状态为；压强p0=0.5atm，总体积V=2V0，温度T=373K。缓缓推动活塞AB，使系统总体积压缩至。 ①在p-V图上画出气缸内两种气体在T0温度下的压强p和总体积V的关系曲线，求出曲线上重要点的坐标； ②求压缩气体过程中活塞所做的功； ③求上述过程所释放的热量。 （2）假设整个气缸和活塞是不导热的，隔板NM固定不动，且是热的良导体，气体的初始状态与题（1）所描述的相同。活塞AB缓慢地向右移动，右气室的体积增加至左气室的水蒸气开始凝结。 ①计算右气室最终的体积。 ②计算这一膨胀过程中气体所做的功。 已知等压、等容的热容比是：氮气，水蒸气。在353K到393K的温度区间，水的饱和蒸汽压与温度的关系可以用以下的近似公式表示：，式中μ是水的摩尔质量，ps0为温度为T0时的饱和蒸汽压，L为水的汽化热，可视为常量。 【答案】（1）①；②9.55kJ；③47kJ （2）①82.9L；②910J 【解析】 【小问1详解】 ①保持系统温度恒定不变的情况下，气缸内所有气体在整个等温压缩过程中气体压强p和总体积V的关系曲线如图所示 其中 ②整个气体压缩过程可以分为三个阶段：第一阶段：从气体状态1（p1，2V0）至状态2（2p1，V0），活塞对气体做的功为 第二阶段：从气体状态2（2p1，V0）至状态3（2p1，），活塞对气体做的功为 第三阶段：从气体状态3（2p1，）至状态4（4p1，），活塞对气体做的功为 则在整个等温压缩过程中，活塞对气体做的功为 ③在气体被压缩的第二阶段，所有水蒸气都凝结成水，因此在整个压缩过程中所释放的热量和1mol水蒸气在凝结过程中减少的内能，所以 【小问2详解】 ①由绝热指数和迈耶公式可得定容热容为 所以左气室内的水蒸气和右气室内的氮气的定容热容分别为 由于隔板不动，可将两个气室看成一个系统，整个气缸和活塞为热的绝缘体，根据热力学第一定律可得 由题意可知，活塞缓慢地向右移动，右气室内的氮气满足 联立可得 所以 即 再考虑左气室中的水蒸气状态，当右气室中的活塞向右移动时，氮气的温度下降，则左气室中水蒸气的温度也随之下降而将凝结，其对应的压强为 联立可得 当左气室内的水蒸气开始凝结时，右气室内的氮气满足 因此右气室内的氮气体积为 ②在整个膨胀过程中，右气室内的气体对外界做功为 8. 在水平面上立有一个均匀带电的半球壳，半球壳的半径为R，电荷面密度内σ，另有一个带电小球，其质量为m。现在将带电小球置于半球壳球心处，则带电小球恰可以平衡。已知重力加速度为g，真空介电常数为ε0。 （1）求出小球的带电量q。 （2）将小球沿竖直方向提升x（）高度，求小球受到的电场力。写出积分表达式，并计算出积分结果（近似到x2阶）。 （3）将小球沿竖直方向提升x（）高度并释放，判断小球是否做简谐运动，若是，求出其简谐运动周期；若不是，计算出小球第一次回到球心的时间。 【答案】（1） （2）见解析， （3）不是， 【解析】 【小问1详解】 带电小球处于静止状态，根据平衡条件有 作出积分示意图如图所示 半球壳球心处电场强度 解得 【小问2详解】 将小球沿竖直方向提升x（）高度，作出积分示意图如图所示 上述位置根据积分规律有 根据几何关系有 ， 结合上述解得 由于 则有 保留二阶项，根据泰勒展开有 解得 小球所受电场力 结合上述解得 【小问3详解】 小球的回复力 结合上述解得 可知，回复力与相对于平衡位置的位移不是线性关系，则小球的运动不是简谐运动。小球运动的加速度 则有 解得 解得 则小球第一次回到球心时间 解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第八中学校高一上期末物理竞赛测试题 （180min，320分） 1. 如图所示，在竖直平面内有一半径为R的固定圆弧轨道，另有两个质量同为m、半径同为r的匀质圆盘，盘心用光滑的水平轻轴承与一根质量也为m、长度为R-r的匀质直杆连接着，两个圆盘均可绕轴承无摩擦转动。今使该系统在其平衡位置附近往返摆动，摆动中因圆盘与圆弧轨道间的摩擦因数足够大，使得圆盘在圆弧轨道上作纯滚动。 （1）试求系统小角度摆动周期T； （2）设小摆角的幅度为θ，当系统摆到其平衡位置时，试求每个圆盘所受圆弧轨道的摩擦力大小f和法向支持力大小N。 2. 由两块折射率分别为n1，n2的玻璃体密接构成的薄透镜如图所示，朝左凸的R1球面与朝右凸的R2球面间距可略，R2球面与右侧平面间距也可略。解答下述两小问。 （1）导出该透镜空气中焦距f； （2）设点状发光物S发出的光仅含氢光谱C线（）和F线（）两种成分，相应地n1，n2各自分化为（），，已知左侧不在透镜焦平面上的S所成像S'仍为一个点，试以R1，n1C，n1F，n2C，n2F为已知量，导出R2的表述式，并给出n1C，n1F，n2C，n2F间应满足的关系式。 3. 半径为R的导体接地，今在距球心为a处（a>R）放置一个点电荷q。已知静电力常量为k。 （1）求q的电势能。 （2）若将q从该处移动到无穷远处，系统的静电能变化多少？ （3）将q从该处移动到无穷远处，静电力做功为多少？ 4. 一力学装置由原长为l0，劲度系数为k理想弹簧连接两质量均为m的物块（可视为质点）所构成。此装置从静止开始沿垂直地面的方向下落，刚下落时，下方物块距离地面高度为h，弹簧为原长，如图所示。当下方块撞击地面时，与地面发生完全非弹性碰撞，即下方物块碰撞后静止于地面上，但并未粘着。设重力加速度为g，忽略空气阻力。 （1）使上方物块在上升过程中能把下方物块从地面提起，h必须大于某一最小值hm，求hm=？ （2）设h=hm，求从下方物块着地到被从地面提起所历经的时间； （3）设h=(）hm，求从下方物块被提起到上方物块升到最高处所历经的时间以及上方物块在最高处时离地面的距离。 5. 质量均为m的小球A、B通过长均为l的两柔软轻绳与质量为M=2m的小球C相连，静止地平放在水平桌面上。开始时绳子是松的，三球位于同一直线上，球A、B与球C之间的距离均为。今以一个恒定的水平力F拉小球C，F方向与三球连线垂直，如图所示。设系统处处无摩擦，三球均可视为质点。求： （1）绳于拉紧后瞬间三球的速度大小； （2）绳子拉紧后瞬间绳子的张力； （3）当两绳子之间夹角为60°时，绳子的张力。 6. 一L型管由两段长度均为l，横截面积均为S均匀直细管构成，两段细管分别沿水平和竖直方向。L型管一端封闭，另一端与大气相通。在L型管中有一段长度为的水银柱。开始时，水银柱刚好位于L型管水平段的右半部，此时被封闭的气柱的压强等于大气压p0，如图所示。现设法使气柱中的气体缓慢膨胀，直到水银从L型管的开口端全部逸出为止。设大气压强p0为l高水银柱（即p0=ρgl，ρ为水银密度），气柱中气体的定容摩尔热容，其中R为气体普适常量。求： （1）在整个过程中气柱中气体对外界所做的功以及与外界交换的总热量（忽略水银柱与气柱之间的热交换以及水银的热膨胀）； （2）在上述过程中，气柱中气体的热容与气柱长度x的关系。 7. 如图，一气缸被隔板NM分成两部分。气缸的左气室装有1摩尔的水热气，右气室装有1摩尔的氮气（N2）。开始时，两个气室中气体的温度、压强和体积相等。在相同温度下，液态水的比容（单位质量的物质所占有的容积）与水蒸气相比可以忽略不计，在373K时，水的汽化热L=2250kJ/kg，1atm下水的沸点为373K，气体常数R=8.31J（mol·K），隔板MN的热容量可忽略不计。 （1）假设活塞、隔板和气缸壁都是导热的，隔板NM可以无摩擦地滑动。气体的初始状态为；压强p0=0.5atm，总体积V=2V0，温度T=373K。缓缓推动活塞AB，使系统总体积压缩至。 ①在p-V图上画出气缸内两种气体在T0温度下的压强p和总体积V的关系曲线，求出曲线上重要点的坐标； ②求压缩气体过程中活塞所做的功； ③求上述过程所释放的热量。 （2）假设整个气缸和活塞是不导热的，隔板NM固定不动，且是热的良导体，气体的初始状态与题（1）所描述的相同。活塞AB缓慢地向右移动，右气室的体积增加至左气室的水蒸气开始凝结。 ①计算右气室最终的体积。 ②计算这一膨胀过程中气体所做的功。 已知等压、等容的热容比是：氮气，水蒸气。在353K到393K的温度区间，水的饱和蒸汽压与温度的关系可以用以下的近似公式表示：，式中μ是水的摩尔质量，ps0为温度为T0时的饱和蒸汽压，L为水的汽化热，可视为常量。 8. 在水平面上立有一个均匀带电半球壳，半球壳的半径为R，电荷面密度内σ，另有一个带电小球，其质量为m。现在将带电小球置于半球壳球心处，则带电小球恰可以平衡。已知重力加速度为g，真空介电常数为ε0。 （1）求出小球的带电量q。 （2）将小球沿竖直方向提升x（）高度，求小球受到的电场力。写出积分表达式，并计算出积分结果（近似到x2阶）。 （3）将小球沿竖直方向提升x（）高度并释放，判断小球是否做简谐运动，若是，求出其简谐运动周期；若不是，计算出小球第一次回到球心的时间。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $