重庆市育才中学校2025-2026学年九年级上学期第五次自主作业数学试题

重庆育才中学初2026届初三（上）第五次自主作业 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的两个根是（ ） A. x1=0，x2=1 B. x1=0，x2=-1 C. x1=0，x2=0 D. x1=1，x2=-1 3. 下列关于抛物线的判断中，错误的是（　　） A. 形状与抛物线相同 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 4. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 5. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 三点确定一个圆 B. 同弦所对的圆周角相等 C. 对角互补的四边形四点共圆 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 6. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为4，圆心角为，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，正方形的对角线上有一点E，满足，连接，过点B作于点G，点F为线段上一点，连接，若，则的值为（  ） A. B. C. D. 10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如：取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过9个步骤变成1（简称为9步“雹程”），我们将第一次循环得到1的步骤记作；再如正整数，，将初始数记作，，，…，，第一次循环得到1的步骤为6步，记作； 现给出冰雹猜想的关系如下：已知满足：（为正整数），． ① ② ③若，则的值可能有4种情况 以上说法中正确的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 氢原子中电子和原子核之间的距离为厘米．用科学记数法表示这个距离为______． 12. 已知，则的值为____________． 13. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 14. 如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于．若，，则______． 15. 如图，是的直径，是的切线，，连接，与交于点，连接，点是上的任意一点（不与，重合），连接，与交于点，与的延长线交于点． ①若点是的中点，则的长为_________；（用含的代数式表示） ②无论点在上的位置怎样变化，_________． 16. 若一个各个数位的数字均不为零的四位数满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”：将一个“间位等和数”的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作．令．若四位数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则_______，如果为完全平方数，那么的最大值与最小值的差为________． 三、解答题：（本大题2个小题，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 18. 在学习了矩形的相关知识后，小外同学进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线上一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积有特殊关系． 提出猜想，小外同学猜想这2个三角形面积相等． 方案构思，小外与同学进行充分讨论，发现两个三角形底边相同，如果能够证明高也是相等即可得面积相等，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 数学建模：如图，在矩形中，为对角线上一点，连接、，过作于点． 合作探究：（1）请你用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． 严密推理：（2）已知：矩形，于点，于点．求证：． 证明：四边形是矩形， ，， ， ① ，， ，， ② ， ， ③ ， 而， ④ ， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某校为了解学生对共青团的认识，组织七、八年级全体学生进行了“团史知识”竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分100分，90分及90分以上为优秀）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级抽取的名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，， 八年级抽取的名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，， 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握团史知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有人，八年级有人参加了此次“团史知识”竞赛，估计参加竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 洪崖洞是重庆的网红打卡地，在该景点有一旅游纪念品专卖店，最近一款印有洪崖洞3D图案的书签销售火爆，该专卖店第一次用800元购进这款书签，很快售完，又花1400元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了0.5元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该商店两次购进这款书签各多少个？ （2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于季节的影响，游客量减少，专卖店决定将剩下的书签打八折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于2472元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 22. 如图1，在中，，，，为上一点，，动点从出发，沿方向运动，到达点时停止运动，连接，，设点走过的路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，请直接写出常数的取值范围． 23. 寒假来临，小南和小北相约去湖边划船游玩．小南到达游船起点处时，小北还未到达，小南先乘坐游船出发到处欣赏湖中小岛，再到处停靠2分钟接收游客后继续游湖．小南乘坐游船出发2分钟后，小北才到达并决定沿湖先步行到达正东方向处，再跑步去游船停靠点处和小南汇合．已知在北偏东30°方向上且米，在北偏东60°方向上，且在的西北方向180米处． （1）求游船起点处与处的距离（结果保留根号）； （2）游船的平均速度为30米/分，小北的步行速度为60米/分，跑步速度为150米/分，请用计算说明小北能否在处登上游船？（在处停留欣赏湖中小岛时间忽略不计，结果精确到0.1，参考数据：，，） 24. 如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为轴上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； （3）如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 25. 在 中，，平分，点E为上一点，连接． （1）如图1，连接并延长至点F，使，交于点P，连接，当，且平分时，求的度数； （2）如图2，延长至点F，使得，连接．点G 为线段上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转至线段，H在下方，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，当取得最小值时，求的面积． 重庆育才中学初2026届初三（上）第五次自主作业 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】A 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 【11题答案】 【答案】厘米 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】且 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 ①. ## ②. 72 【16题答案】 【答案】 ①. ## ②. 三、解答题：（本大题2个小题，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】 （1）如图所示，即为所求； （2），，，. 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【19题答案】 【答案】（1） （2）七年级的众数是，八年级的众数是，说明八年级的学生掌握团史知识较好． （3） 【20题答案】 【答案】，2 【21题答案】 【答案】（1）第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个 （2）售价至少为8元 【22题答案】 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，y有最大值； （3）或 【23题答案】 【答案】（1）米； （2）小北能在处登上游船 【24题答案】 【答案】（1） （2） （3）或，理由： 将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，，，， 将抛物线先向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到新抛物线， 平移后解析式为， 当在直线下方时，如图， 取点，则， ，， ， ， 与互补， ， ， 是直线与新抛物线的交点， ，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， 直线解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ； 当在直线上方时，如图， 取一点，使，， ， ， 是直线与新抛物线的交点， 设， ，， 两方程相减整理得， 代入得， 解得， 当时，， 此时与重合， ，， ， ，， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， 直线解析式为， 联立， 得， 解得， 在和之间， ， 此时 ； 综上所述，当与互补时，的坐标为或． 【25题答案】 【答案】（1） （2）证明：∵，平分， ∴， 在上取一点K，连接，使得，过点作于点，如下图， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，绕点E顺时针旋转至线段， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $