第三部分 19.3 二次根式的加法与减法-【假期成才路·寒假】2025-2026学年八年级数学复习与衔接（人教版·新教材）

19.3二次根式的加法与减法 第1课时 基础导学 1.二次根式的加减法法则：二次根式加减 时，可以先将二次根式化成 再将被开方数相同的二次根式进行合并， 2.同类二次根式：几个二次根式化简成最 简二次根式后，如果被开方数 ,这几 个二次根式叫做同类二次根式。 3.同类二次根式满足的条件：必须是最简 二次根式，被开方数必须相同，根指数相同. 4.合并同类二次根式的方法：只把被开方 数相同的最简二次根式的系数相加减，二次根 式 典例探究 考点1：二次根式的加减混合运算 例1计算： (1D2+31号5号号⑧， (22a-b√g+va-号a(a >0,b>0) 解：1承式=2×2+3√得-酒 2 3 ×4√3 =45+23-55-88 =(4+2-) =23, (2)原式-ab腰+历名× b√ab 5 第三部分新课预习 2,d名画+vd-2va a =0. 规律与方法：二次根式的运算，先化为最 简二次根式，再将同类二次根式（被开方数相 同的最简二次根式)进行合并.合并同类二次 根式的法则是合并同类二次根式的系数，根指 数与被开方数不变. 考点2：化简求值 例2先化简，再求值： r是+是网)-4wv 工+√36xy), 其中x=3,y=27. 解：原式=(6√y+3√xy)-(4√xy+ 6√xy) =(6+3-4-6)Wxy =-xy. 当x=3,y=27时， 原式=-√3X27=-9. 课局演练上 【基础过关】 1.下列计算正确的是 A.√2+√3=√5 B.√2·√3=√6 C.√8=4 D.√（-3)z=-3 2.计算√147-√75+√27的值为 () A.5√3 B.33√3 C.3√11 D.9√11 3.如图，数轴上A,B两点表示的数分别为一1 和3，点B关于点A的对称点为C,则点C 所表示的数为 () 1 假期成才路·八年级数学(R) cA0B→ 3(8o-√1)-(W3号+} A.-2-√3 B.-1-3 C.-2+√3 D.1+√3 4.若√12+√=√27，则y的值为 A.8 B.15 C.3 D.2 5.计算：(1)V50-√⑧= (3)W8+(-1)2s5-2×2 10已知6及-2y+号6g-18,求y 的值. 6.若最简二次根式+√2a+5与√3b+4a是同类 二次根式，则a=,b= 7.一个三角形的三边长分别为√8cm,√I2cm, √18cm,则它的周长是 cm. 8.已知x=√3，则x2-x十1= 9.计算： (1)2W3-7W√12+4√27； 【能力提升】 11.已知√75-√3=m√3-n√3(m,n均为正 整数)，则mn的最小值为 13若a,6为有理数，且8+⑧+√胥-a十 (2)(√48+√20)+（√12-√5）； b2,求a+b的值. ·52· 第2课时 基础子学 1.在二次根式的运算中，多项式乘法法则 和乘法公式仍然适用. 2.二次根式的混合运算顺序与实数的运 算顺序一样，先算 ,再算 ,最 后算」 ,有括号的先算括号内的， 3.二次根式的四则混合运算可类比有理 数的四则混合运算进行计算.运算结果可能是 有理式，也可能是根式.如果含有根式，一定要 化成 典例探究 考点1：二次根式的混合运算 例1计算： 122x÷5v2, (2(6-23)+2×(50-√)月 分析：(1)直接利用二次根式的乘除运算 法则进行计算； (2)根据二次根式混合运算顺序进行计 算.先算乘方，再算乘除，最后算加减 解：()原式=4V3×5÷5 =3÷5√2 =3V2 101 (2)原式=6+12-12√2+10√2-√2 =18-32, 规律与方法：二次根式混合运算的四点 注意： (1)确定运算顺序：先算乘方，再算乘除， ·5 第三部分新课预习 最后算加减，有括号的先算括号内的； (2)灵活运用运算定律； (3)正确使用乘法公式； (4)有些运算在化简后运算会更简便. 考点2：求代数式的值 例2已知实数a,b满足a(√a-√b)= VB(3√a+56),求代数式a+2b+3的值. 2a+√ab+b 分析：先把二次根式混合运算进行化简， 再把化简结果代入代数式进行计算. 解：.'√a(a-√b)=√6(3√a+5√b), ∴.a-4√ab-5b=0, 即（√a-5b)(√a+√b)=0, ..a=5/b. 原式-256+2×5b+36 2×25b+5b+b 器 规律与方法：求有关二次根式的值的一般 步骤： (1)化简：化简代数式，字母表示的二次根 式不是最简形式时，也要将其化简； (2)代入：将字母表示的二次根式的值代 入化简后的代数式. (3)计算：计算并将结果化简为最简形式. 课局演练 【基础过关】 1.化简√3-√3(1一√3)的结果是 A.3 B.-3 C.√3 D.-√3 2.下列计算正确的是 () A.2√5+3√2=5√5 B.(√3+√7)·√10=10 3 假期成才路·八年级数学(R) C.(3+2W3)(3-23)=-3 (262-2√+v4s)÷23, D.(√2a+√b)(√2a+b)=2a+b 3.已知x=√3+1，y=√3-1，则x2+xy十y的 值为 () A.10 B.8 C.6 D.4 4.已知x=2-√10，则x2-4x+3= 5.化简：√-a2-a2+1+(3√2a-25)2= 6.规定运算：a☆b=√a一√b,a※b=√a+√b,其 中a,b为实数，则(3☆5)(3※5)= 7.如图是一个简单的数值运算程序，若输人x 的值为3一2，则输出的数值为 输入x 减4 输出 8.计算： 2-3√)x6: (3)瓦7-(2+5)2(2-5)》， √7 ·54· 0x6+品易 【能力提升】 9.计算：（√3+2）2025(W3-2)2025= 10.若m=5则m3-2m-115m的值 √/116-1 是 11.我们知道，（√2）2=2，(3+√2)(3-√2)= 32一（√2）2=7，…，如果两个含有二次根式 的非零代数式相乘，它们的积不含有二次 根式，就说这两个非零代数式互为有理化 因式.如3十√2与3一√2互为有理化因式， √5+√2与√5一√2互为有理化因式.利用这 种方法，可以将分母中含有二次根式的代 数式化为分母是有理数的代数式，这个过 ·55 第三部分。新课预习 程称为分母有理化，例二=一2 √2√2√2 =2,1 3+2 2√3-2(W3-2)(W3+2) =3+2=8+2=-3-2 (W3)2-22 -1 (1) 5分母有理化的结果是 1 分母有理化的结果是 √6+7 (2)利用以上知识计算： 1 1 1+2v2+3+ 1 3+√4 +…+/2024+√/202假期成才路·八年级数学(R) 661-b&25(2②)，0 10 能力提升 10.(1)平方差(2)①√2-1 ②22i-7V5③17+12w2 19.3二次根式的加法与减法 第1课时 课后演练 基础过关 1.B2.A3.A4.C5.(1)32(2)0 (3)W2-16.117.(5√2+23)8.4-√3 9.(1)0(2)63+5(3)510.y=36 能力提升 11.512.±313.√a+6=2I 2 第2课时 课后演练 基础过关 1.A2.C3.A4.95.196.-2 7.3-4g8(1)9巨(2)号(3w5(42 能力提升 9.2-√310.0 1ay3w7-v5244 章未测试题 1.C2.C3.D4.D5.A6.D7.A 8.-ab9.510.≤11.4万12.1 13.-a+b+c14.±2√20I15.83 16.①)2 (2)2-√217.(1)4(2)13 18.(1)m2+3n22mm (2)4211(答案不唯一) (3)a=7或a=13. 第四部分人学测试卷 八年级下学期入学测试卷 一、选择题 1.B2.C3.B4.C5.D6.B7.B8.D9.A10.D 二、填空题 11.±1212.1013.414.015.2 16.k≠-1且k≠217.4018.①②③ 三、解答题 19.(1)(a+1)2(a-1)2(2)x2-4 20.x=421.证明略 22.(1)如图所示，△A1BC1即为所求 (2)A(1,5),B1(1,0),C1(4,3) (3)△B1C1A的面积为10.5 23.小宇的说法正确，理由略 24.(1)证明略(2)∠BPQ=60°(3)7 25.(1)点B坐标为(0,4)(2)BD=2AE 26.(1)0.7a元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000 千克 27.(1)证明略(2)EF=DF+CF(3)证明略 ·68·