第三部分 15.2 分式的运算-【假期成才路·寒假】2025-2026学年八年级数学复习与衔接（华东师大版·新教材）

15.2 分式的运算 第1课时 分式的乘除 知 识 梳 理 1.分式的乘法法则 与分数的乘法法则类似，分式的乘法法 则：分式乘以分式，用 作为积的 分子， 作为积的分母即会×” ”.如果得到的不是最简分式，应该通过约 b×m 分进行化简. 2.分式的除法法则 与分数的除法法则类似，分式的除法法则：分 式除以分式，把除式的 后，与 相乘即名÷乃-号×贸 m b _aXm b×n 3.分式的乘方法则 将分子、分母分别 ,再把幂相除。 即（广-为正拉数》. m/ 典 例 精 析 考点① 分式的乘除 【例1】计算： (1)26 ·品 5b2 x2-y2 x2+xy (3)y+2y2y (4)(xy-x2)÷x-2zy+y2.x-y x2 4 第三部分新课预习 规律与方法：分式的乘除法归根到底是分式 的乘法运算，实质是约分，结果一定要化成最简分 式或整式.分式乘除法的计算结果必须是最简分 式或整式，这就决定了当分式的分子，分母都是多 项式时，一定要先分解因式，然后再约分计算.如 直接相乘，问题就会变得越来越复杂 【变式训练1】(1)化简x÷又.1等于 y () A.1 B.xy C. D. y （2)化简”m的结果是 ( m A.m B.1 m C.m-1 考点2分式的乘方 【例2】计算： (-a)·(-°·(-)°； 2(色)°·()÷( 3· 假期成才路·八年级数学(HS》 规律与方法：在对分式进行乘方运算时，除 课后演练 了注意把分式的分子、分母分别乘方外，还要注 意乘方后的符号情况. 【基础过关】 【变式训练2】计算： (是)- 1计算(-a2·品的结果为 2(2)= A.b B.-6 C.ab 2.（威海中考)下列运算正确的是 3(÷} A.b3+b2=b5 考点3 分式的化简求值问题 B.(-2b2)3=-6a5 m2-1 【例3】先将m+4m十4÷(m+1)· C6号2- 土2化简，再选取一个你认为合适的m的 D.(-b)3÷(-b2)=b 值代人求值. 3计算1}网(m-1)的结果是（〉 A.-m2-2m-1 B.-m2+2m-1 C.m2-2m-1 D.m2-1 4.计算-16x2y () 的结果是 () A.y B.-y C. 1 25.x4y D.ys 5计算：(1a=6~方 规律与方法：(1)先进行乘除混合运算将原 式化简，再代入求值；(2)代入的值必须使各分 (2)5c.3 式有意义. 6ab a2c 【变式训练3】先化简，再求值： 3(8)}‘÷(-a0 2-4x+4÷=8+3,其中x=-4. x2-4`x2+2x 6计算：1号·()÷6=— y-1 a2-b2 ÷2a-2b 7.化简：a2+2ab+6a+b 8.在机械化作业中，大拖拉机a天耕地m公 顷，小拖拉机b天耕地n公顷，大拖拉机的工 作效率是小拖拉机的 倍. ·44· 第三部分。新课预习 9.计算： 【能力提升】 8x·(-)·(-)月 11.下列运算结果正确的是 A-F 4y2 C.mi,nm n 12,有列数分，号，身青…则它的第7个 4 数是 ;第n个数是 (2)+÷x2-1.x+1 x-1∴x2-2x+1x 核心 素养 13.观察下面的变形规律： 1k2-1-329日-3： 1 1 11 3X434… 解答下面的问题： 10.先化简，再求值： (1若n为正整数，诺你猜想D一 +D号脚= (2)求和：k2中23+34+… 1 +2024×2025 2x+y (2)已知x-3)y=0,求2-2xy+子·(x-》 的值. ·45· 假期成才路·八年级数学(HS) 第2课时 分式的加减 知 识 梳 理 1.同分母的分式加减法 与同分母的分数加减法类似，同分母的分 式相加减， 不变， 相加减， 即：a±b-a±b mm m 2.异分母的分式加减法 与异分母的分数加减法类似，异分母的分 式相加减，先 ,变为 然后再 即：是跚±-点加 bm 典 例 精 析 考点①同分母的分式相加减 【例1】 计算：(1)4r+3y 2xy 2xy 3.x+2y 2xy 20+品号 规律与方法：分式加减运算的最后结果中， 分子、分母若有公因式的，还需要化简. 【变式训练】(1（天津中考）计算。2 +u的结果等于 A.1 1 B. a-1 a+1 1 c.1a D.1 4 (2(深别中考)计算：a千1a+1=一 考点2异分母的分式相加减 【例2】计算：(1)4 2 'a2-1a2-a a b (2)a-b(a-o+b-c)(6-a+ (c-a)(c-b) 规律与方法：异分母分式的加减法，一定要 先通分，再加减.分母是多项式的异分母分式相 加减，要先将分母分解因式，确定最简公分母 后，再通分 【变式训练2】 下面的计算过程中，从哪 一步开始出现错误 ( ) x y x(x+y) y(x-y) x+xy-xy-y° x-y x-yx+y(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)(x+y) ① ② ③ ④ A.①B.② C.③ D.④ 课 后 演 练 【基础过关】 1.(乐山中考)计算：乙+的结果为 1 A. 1 x-1 B.1一x C.-1 D.1 6· 2已知2名-2则，，的值是 () A.司 B.司 C.2 D.-2 3分式2当-化简后的结果为（ A.a+1 "a-1 B.+3 a-1 C.-a4 -1 D.3 a2-1 4.下列分式运算正确的是 ( A-签 B.1 =0 x-y y-x C+是1 3x3y3(x+y) y3 5.计算 a-1-a-1的正确结果是 A. a-1 C.-2a-1 a-1 D.2a-1 a-1 6.(1)计算 25 ②化简千22十异的结果是 x2-1 (3)若代数式号1的值为零，则x= 7.(1)(湖北中考)计算+2工-x的结果是 (2)计算2一m3”的结果是 mtn m2-n2 8.若ab=l,则a, 9a+1+b+1= 9.下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读， 并解答所提出的问题， 2-x-6 x+2x2-4 第三部分新课预习 2(x-2) x-6 (x+2)(x-2)(x+2)(x-2) 。。。。。 第一步 =2(x-2)-x一6… 第二步 =2x-4-x+6… 第三步 =x十2… 第四步 小明的解法从第 步开始出现错误，正 确的化简结果是 10.化简：16+器 b 12a2c (2)42二4 a+2 a+2; 中+7+ 假期成才路·八年级数学(HS) 山先化简，博求值：。+。马其中 a=2. 【能力提升】 12已知是子-3则0 T V 13.若2+3x=-1,则xx十1 1 14.化简：x十y+x十之一y一之 'x-y+之y-x-zz十x-y 核心素养 15.阅读理解： 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个 分式表示成部分分式如何将表示成 部分分式？ 设分式站兴十z开 将等式的右边通分得： m(x+1)+n(x-1)(m+n)x+m-n (x+1)(x-1) (x+1)(x-1), 2, 〔m+n=-3 m=-1 得 ,解得 (m-n=1 (n=-2 所以-。片+希 1 (1)把分式(x一2(x-5)表示成部分分式， 1 即(x-2)(x-5-x-2x-5' 则m= ,n= (2请用上述方法将分式2x表示 成部分分式 48· 第三部分新课预习 第3课时 分式的混合运算 (2)计算。÷(a+1-50。)的结果是 a () 知 识梳 理 A+多 B.a-2 a+2 分式的混合运算 C.(a-2)(a+2) D.a+2 先算 ,再算 ,最后算 e 若有括号，先算 的. 考点2 分式的化简求值 【例2】先化简，再求值： 典例精析 (1)m4÷胃+名其 m2-1 考点① 分式的混合运算 中m=2. 【例1】计算： （@-引)21其中x满 足x2-x-1=0. 【变式训练1】 化简(1+。2)22 的结果是 () A.a+2 B.a a a+2 C.a-2 a D.a2 ·49· 假期成才路·八年级数学(HS》 8-2是，》影脚=4+8 3.如果a2+2a-1=0,那么代数式(a-): 。兰的值是 A.-3 B.-1 C.1 D.3 4已知贴+名。则哈+号的值是（ A.5 B.7 C.3 5.化简：(a一2)·2-4a+4 a2-4 6计算：1+2a)a。 规律与方法：先把分式化为最简形式，再代 值计算.注意：所代入的值必须使原式有意义。 7.(1)(绥化中考)计算：1一x义÷ x+2y 【变式训练2】（福建中考）先化简，再求 x2-y2 x2+4xy+4y2 值：2+2)心+2a+1,其中a5-1 a (2)已知m十n=-3,则分式m+n÷ m (二mn-2m的值是 [x+3y=0, 8.如果实数x,y满足方程组 2x+3y=3, 那么 代数式（兴+2）产y的值为一 9计第.02号（ 课后演练 【基础过关】 1.化简1十。)小三的结果是 () A.a+1 B.4+1 C.a-1 D.a+1 0 2.化简（日+分）（侵）·b,其结果是 ·50· 第三部分新课预习 10.（眉山中考)先化简，再求值： 核心素养 (之+十)广无其中x满足 a-2 (x+2)2+y-1=0. (1)化简A; (2)当a=3时，记此时A的值为f(3);当 a=4时，记此时A的值为f(4)；… 解关于x的不等式：”22-7≤f(3)+ f(4)+…+f(11),并将解集在数轴上表示 出来。 54320123456 【能力提升】 11.已知2-3x+1=0,则2-x+1— 12.已知2x2=x+3,y=8x3+2x2-15.x,计算 (多，+4的值是 ·51·假期成才路·八年级数学(HS) 3.(1)≠0(2)=0 4.(1)分式的分子、分母同号(2)分式的分子、分母异号 典例精析 考点1 【例】整式有：告的，是言2y3 1 分式有2，者 【变式训练1】B 考点2 【例2】(1)x≠-2；(2)x≠士2；(3)x≠0；(4)x取任 何值 【变式训练2】C 考点3 【例3】(1)x=-2:(2)x=3 【变式训练3】C 课后演练 1.B2.A3.A4.25.1)±2 (2)-1 V1十V2 6.180(n-2)360 n 7.(1)(1+” m ）2+5×10% 是，(3)a<2且a≠0，(4)a>7; 1 8.(1)a=0;(2)a= 63 9.(1)要使分式无意义，则x十3=0，得x=一3. (2)要使分式有意义，则x十3≠0，得x≠一3. (x2-9=0, (3)要使分式值为零，则 x+3≠0. {x≠一所以x=3. x=士3， 解得 10.(1)<7 (2)<311.6212.a>1 核心素养 13.1 第2课时分式的基本性质 知识梳理 1.不等于0的整式不变 2.公因式公因式最简分式 3.相等同分母的分式最高次幂的积 典例精析 考点1 【例1】(1)2x+6;(2)y:(3)(x-y)2;(4)b 【变式训练1】D 考点2 【例2】07器F2)-43),(0a-。 3 【变式训练2】（少原式=一(2）原式=十 x 考点3 【例3】 -3xz2(2x+1) 24x3yz292(x-1) 【变式训练3】(1)10abc(2)(x-2)(x-1) 考点4 【例刊a):3:% 【变式训练4】 56 3a+2b 3a 2a-b 课后演练 1.D2.A3.C4.D 5.%2 (3)x-y+1 x+30+61品0&9m吉 1 3 3 10.(1).最简公分母为12x3, “签22=器 1 12x3 x2-1=3x2-3 4x3 12x3· (2)最简公分母为(x十3)2(x一3)， x-3 小x2+6x+9=(x+3)2(x-3)' x十3 (x+3)3 x-3(x十3)2(x-3)' x x2+3x x2-9=(x十3)2(x-3) 1.号 12.413.14 核心素养 14.24 15.2分式的运算 第1课时分式的乘除 知识梳理 1.分子的积分母的积 2.分子、分母颠倒位置被除式3.乘方 典例精析 考点1 【例】品：2)-品：3)-+ x(x-y) 【变式训练1】(1)C(2)A 6 考点2 【例2】(1)a2b,(2)6C 【变式训练2】 (1)2 (2)-8x 9y (3)-ac b m 【例3】原式=m十2m值略 【变式训练3】原式=x十3. 当x=一4时，原式=一4十3=一1. 课后演练 1.A2.D3.B4.B 5①答(2费 3)6.(1)(2), y-2 7.号8.地9.(1)363(2)x+1 na 3y3 10.略1.c12号 (-1)n+1。n 2n+1 核心素养 13.(1) 1 nn+1 2%器 第2课时分式的加减 知识梳理 1.分母分子2.通分同分母的分式加减 典例精析 考点1 【例1a时，②)-m-2 【变式训练1】(1)A(2)a-1 考点2 【例2】 2 a0a2+a2)0 【变式训练2】B 课后演练 1.D2.D3.B4.D5.B 6.(1)x+5(2)1(3)3 7.102(2)18.19.二 1 m-n x-2 10.(1)26c2-262)2a8)e-a+2 24abc 11.原式=a十1 a-1 当a=2时，原式-号岩-8 12.-13.-2 14.原式=十y-x-之二y十2=0. x一y十2 参考答案 核心素养 m=- 2 15.(1) 4x-3 1 1 (2)2x=3-22x+1+z—2 n一3 第3课时分式的混合运算 知识梳理 乘方乘除加减括号内 典例精析 考点1 1 【例1】(1)- m atb'm+l 【变式训练1】(1)A(2)A 考点2 【例2】(1)2 (2)1 (3)-√3 【变式训练2】原式-中 当a=5-1时，原式= 5 课后演练 1.B2.B3.C4.C5.a+26.-a 7(1)-￥ x+y 2}81 9.(1)原式=y(2)原式=1 10原式=十3 x=-2,y=1..原式=-1. 核心素养 13.(1)A=a2+a 1 (2)原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下 所示： 54320123456 15.3 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 分式方程 知识梳理 1.未知数 2.(1)分解因式(2)最简公分母整式方程(3)解 (4)0增根不为0原分式方程的根分母为0 67·