专题 6.2 直线、射线、线段（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年人教版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦“直线、射线、线段”核心知识点，系统梳理三者的概念、区别与联系，涵盖基本事实（两点确定一条直线、两点之间线段最短）、点线位置关系、尺规作图及线段中点与和差计算，构建从概念辨析到作图操作再到综合应用的学习支架。 资料通过表格对比强化几何直观，分层题型（基础到培优）结合生活实例（如河道改直）培养应用意识，规律探究题（直线交点规律）发展推理意识。课中助力教师分层教学，课后练习帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

专题 6.2 直线、射线、线段 目录 一.知识梳理 2 【知识储备】直线、射线、线段区别与联系 2 【知识点一】基本事实（一） 2 【知识点二】点和直线的关系 2 【知识点三】相交与交点 2 【知识点四】尺规作图 2 【知识点五】基本事实（二） 2 【知识点六】线段的中点 3 二.题型精析 3 （一）基础篇 3 【★题型1】直线、射线、线段的辨析 3 【★题型2】点与直线的位置关系 5 【★题型3】画直线、射线、线段 6 【★题型4】尺规作图——画一条线段等于已知线段 9 【★题型5】两个基本事实 11 【★题型6】线段和差的简单计算 12 【★题型7】线段中点的简单计算 14 （二）培优篇 15 【★★题型8】线段单中点与线段和差综合运算 15 【★★题型9】线段双中点与线段和差综合运算 18 【★★题型10】直线交点的规律问题探究 20 三．同步练习​ 24 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 24 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 33 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识储备】直线、射线、线段区别与联系 名称 图形 表示方法 端点个数 延伸性 长度（能否度量） 线段 线段 或线段 或线段 2 不可延伸 可度量 射线 射线 1 向一端 无限延伸 不可度量 直线 直线 或直线 0 向两端 无限延伸 不可度量 直线、射线、线段的关系：射线、线段是直线的一部分：直线上取一点可分成 2 条射线；直线上取两点可分成 1 条线段。线段、射线可以向指定方向延伸：线段延长后可得到射线或直线。 【知识点一】基本事实（一） 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。 【知识点二】点和直线的关系 点和直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，一个点在一条直线上，就说这条直线经过这个点；一个点在一条直线外，就说这条直线不经过这个点. 【知识点三】相交与交点 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 【知识点四】尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 【知识点五】基本事实（二） 两点的所有连线中，线段最短.简单说成两点之间，线段最短. 【知识点六】线段的中点 如图（1）：点M把线段AB分成相等的两条线段AM、 MB，点M叫作线段AB的中点.类似地，如图（2）（3）所示，还有线段的三等分点、四等分点等. （1） （2） （3） 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】直线、射线、线段的辨析 【例题1】（根据人教版七上163页练习第1题改编）（24-25七年级上·吉林·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质．根据直线、射线、线段的定义和性质逐一进行判断即可． 解：A、直线与直线是同一条直线，原说法错误，本选项不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，端点不同，原说法错误，本选项不符合题意； C、延长线段和延长线段的含义不一样，原说法错误，本选项不符合题意； D、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，说法正确，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·山东泰安·期中）下列说法中，错误的有（    ） ①射线是直线的一部分    ②画一条射线，使它的长度为 ③线段和线段是同一条线段    ④射线和射线是同一条射线 ⑤直线和直线是同一条直线    ⑥数轴是一条射线，因为它有方向 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，数轴的定义，解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义． 根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 解：①射线是直线的一部分，正确； ②画一条射线，使它的长度为3cm，射线是不可度量的，错误； ③线段和线段是同一条线段，正确； ④射线和射线使同一条射线，端点不同，错误； ⑤直线和直线是同一条直线，正确； ⑥数轴是一条直线，不是一条射线，错误． 所以错误的有三个． 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·山东·专题练习）观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义进行判断． 解：直线是向两个方向无限延伸的，直线和直线是同一条直线，故正确； 线段有两个端点，不延伸，线段和线段是同一条线段，故不正确； 射线有一个端点，向一个方向无限延伸，射线和射线的端点相同，延伸的方向相同，是同一条射线，故正确； 说法正确的有个． 故答案为：． 【小结归纳】此类题紧扣直线、射线、线段的核心定义与特性，判断表述正误：直线无端点、双向延伸，字母无顺序，同线可不同表示；射线有 1 个端点、单向延伸，需端点和方向都相同才是同一条，且不可度量长度；线段有 2 个端点、无延伸，两端点确定线段；同时明确数轴是直线而非射线，据此逐一验证选项或表述的合理性。 【★题型2】点与直线的位置关系 【例题2】（根据人教版七上163页练习第3题改编）用适当的语句表述图中点与直线的关系： 【答案】见分析． 【分析】（1）根据直线的位置关系以及点与直线的位置关系即可解答； （2）直线a、b、c两两相交，再说明交点即可 解：（1）点A，B在直线l上，点P不在直线l上． （2）直线a，b，c两两相交，直线b，c相交于点A，直线a，b相交于点B，直线b，c相交于点C． 【点拨】本题主要考查了几何作图，注意叙述要准确． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一条直线和两个点的位置关系，现有以下结论：①直线在点C上；②点C在直线上；③点O不经过直线；④直线a经过点C，其中叙述正确的有 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 解：直线经过点C，或“点C在直线上”，不能说“直线在点C上”，故①错误，②正确； 直线不经过点O，直线a经过点C，故③错误，④正确； 所以正确的是②④． 故答案为：②④． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A． 延长线段到C   B． B．射线经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线、射线、线段的概念．由直线、射线、线段的概念，即可判断． 解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 【小结归纳】 判断点与直线的位置关系及相关表述正误，需紧扣点在直线上（直线经过该点）、点在直线外（直线不经过该点） 两种核心位置关系，明确描述时 “点在直线上” 而非 “直线在点上”，同时结合射线、线段的延伸特性判断相关图形语言描述的准确性。 【★题型3】画直线、射线、线段 【例题3】（根据人教版七上163页练习第3题改编）（25-26七年级上·全国·随堂练习）按下列语句画出图形： （1）直线经过点C； （2）点A在直线l外； （3）经过点O的三条线段； （4）线段相交于点B，连接． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析 【分析】本题考查线段，直线的画法，正确画出图形是解题的关键． 根据直线、线段的概念，结合各选项的表述作图即可． 解：（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 【变式1】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）作图题： 根据下列要求画图： （1）作直线； （2）画射线，连接； （3）在线段上取一点C，在射线上取一点D（点C、D不与点O，A，B重合），画直线，使直线与直线交于点E． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查的是直线、射线、线段的定义及性质，解答此题的关键是熟知以下知识，即直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；线段有两个端点． （1）过点A、B作直线即可； （2）以点O为端点，作射线；连接，即可得到线段； （3）根据描述作出直线即可． 解：（1）解：如图，直线即为所作； （2）解：如图，射线，线段即为所作； （3）解：如图所示，直线即为所作． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，平面上有A，B，C，D四个点．根据下列语句画图： （1）画直线； （2）画射线； （3）连接，交于点E； （4）连接，并将其反向延长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【分析】本题主要考查了线段、射线、直线等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据直线的定义作图即可； （2）根据射线的定义作图即可； （3）根据题意作图即可； （4）根据题意作图即可． 解：（1）解：如下图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段，点即为所求； （4）解：如图，射线即为所求． 【小结归纳】 画直线、射线、线段的解题思路：需紧扣三者的定义与延伸特性，直线无端点可向两端无限延伸，作图时过指定点画直线并向两端延长；射线有一个端点，作图时以指定端点为起点向规定方向延伸；线段有两个端点，作图时连接两点即可，同时按语句要求标注点的位置和线的交点，确保图形与文字描述完全对应。 【★题型4】尺规作图——画一条线段等于已知线段 【例题4】（根据人教版七上166页练习第2题改编）（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知线段、．求作：线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见分析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法． 作射线，在上依次截取，在线段上依次截取，线段即为所求． 解：作射线，在上依次截取，在线段上依次截取，如图： 线段即为所求． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）尺规作图： 已知：如图，线段a，b． 求作：线段，使． 【答案】见分析 【分析】本题考查了作线段，熟练掌握线段的作法是解题关键． 先画射线，再以点A为圆心、a长为半径画弧，交射线于点C，然后以点C为圆心、a长为半径画弧，交射线于点D，最后以点D为圆心，b长为半径画弧，交线段于点B，由此即可得． 解：如图，线段即为所作． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是： ．所求作的线段是线段 ． 【答案】 ③②①④ 【分析】本题考查了线段的和差计算，作图——基本作图，根据题意确定正确的作图排序，然后利用两点之间的距离得到． 解：正确的作图排序是：③②①④； ， 故答案为：③②①④；． 【小结归纳】 尺规作图画一条线段等于已知线段（或已知线段的和差），需遵循 “先画射线定基准，再用圆规截取等长线段” 的核心思路，作线段和时在射线（或线段延长线）上依次截取各线段，作线段差时在较长线段上截取较短线段的长度，最后按要求标注线段，保留作图痕迹。 【★题型5】两个基本事实 【例题5】（根据人教版七上167页习题6.2第3题改编）（24-25七年级上·河北石家庄·月考）下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 【答案】B 【分析】此题主要考查了线段的性质，直接利用两点之间线段最短分析即可得出答案． 解：①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，不能用“两点之间线段最短”来解释， ②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，可用“两点之间线段最短”来解释． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·月考）在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线．熟练掌握直线的性质是解题的关键． 根据直线的性质，逐一判断即可解答． 解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③会场摆直茶杯，体现了基本事实“两点确定一条直线”； 所以，体现了基本事实“两点确定一条直线” 的有个， 故答案为：． 【变式2】（2025七年级上·四川眉山·专题练习）生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用两点确定一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用两点确定一条直线来解释 D．现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线和两点之间线段最短的知识点，解题的关键是理解此知识点的含义． 解：现象1：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释； 现象2：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 故选C． 【小结归纳】 判断与直线、线段两个基本事实相关的实际现象，需明确 “两点确定一条直线”用于解释固定两点可确定唯一一条直线的现象，如钉木条固定、排队看齐等；“两点之间，线段最短” 用于解释缩短路径、节省距离的现象，如河道改直、修路取直等 ，结合现象的核心特征匹配对应的基本事实即可。 【★题型6】线段和差的简单计算 【例题6】（根据人教版七上167页习题6.2第3题改编）（24-25七年级上·湖北武汉·期末）点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，解题的关键是根据题意分类讨论． 根据点的位置关系进行分类讨论，计算每种情况对应的线段长度即可． 解：若点在点左侧，， 若点在点右侧，， 故选：． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）线段上有两点C，D，且，，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段的和差， 根据线段比例关系，先求出和的长度，再求出，确定点D的位置后计算． 解：设，则，根据题意，得 ， 解得． 故． ∵． ∴． 故答案为：10． 【变式2】（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期末）图1中的线段a、b，图2中线段表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的和与差，正确的识别图形是解题的关键． 根据线段的和差倍分及结合图形即可得到结论． 解：根据题意得：， ∴． 故选：C 【小结归纳】 解决线段和差的简单计算问题，需先根据题意确定点在线段上的位置关系（在线段上或线段延长线上），再结合图形列出线段和或差的关系式，当点的位置不确定时要分情况讨论，最后代入已知线段长度计算得出结果。 【★题型7】线段中点的简单计算 【例题7】（根据人教版七上167页习题6.2第4题改编）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在线段上，且． （1）点________是线段的中点，点C是线段________的三等分点． （2）是的几倍？是的几倍？ 【答案】（1），；（2）是的2倍，是的4倍 【分析】本题考查了直线，射线，线段，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论； （2）根据线段的中点的定义即可得到结论． 解：（1）解：，， ，点是线段的中点， ， 是线段的三等分点； 故答案为：，； （2），， ， 是的2倍，是的4倍． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）若线段，是的中点，是的中点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．由线段中点的定义可得，，依次求得、的长，再根据求解即可． 解：线段，是的中点， ， 是的中点， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·广东茂名·月考）如图，线段，点在线段上，点是的中点，是中点，，则线段的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义求出，，最后根据求解即可． 解：∵，E是中点， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：7． 【小结归纳】 解决线段中点的简单计算问题，需紧扣线段中点将线段分成两条相等线段这一核心性质，先根据中点定义写出线段等量关系，再结合线段的和差关系列出算式，代入已知线段长度逐步计算即可。 （二）培优篇 【★★题型8】线段单中点与线段和差综合运算 【★★例题8】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，点C是线段的中点，点D，E分别在线段、上． （1）若，试说明点C是的中点； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）先根据，得出的长，再根据点C是线段的中点，求得的长，再根据得，再根据，得出，即可得出结论； （2）根据，得，再根据得，，最后由可得答案． 解：（1）解：∵，， ∴， 解得， ∵点C是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点C是的中点； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段，延长到点C，使得，反向延长到点D，使，点Q为的中点． （1）求线段的长及线段的长； （2）若P为线段上一点，且，求的长． 【答案】（1）；；（2）3或1 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握连接两点间的线段的长度叫两点间的距离是关键． （1）利用计算出，则，再利用得到，然后计算，即可得到结果； （2）利用线段中点的定义，讨论：当点P在B、C之间时，计算；当点P在A、B之间时，计算． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点为的中点 ∴， ∴； （2）解：∵Q为中点， ∴， ∵， ∴， ①当点P在B、C之间时，， ②当点P在A、B之间时，． 故线段的长为3或1． 【变式2】（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，已知，，，四点在同一线段上，线段． （1）若点是线段的中点，，求线段的长度； （2）若点满足，，求线段的长度． 【答案】（1）6；（2）2 【分析】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离． （1）由线段中点的定义可得，再由求得，于是； （2）求得，，则． 解：（1）解：因为，点是线段的中点， 所以， 又，， 所以， 所以； （2）解：因为，，， 所以，， 所以． 【★★题型9】线段双中点与线段和差综合运算 【★★例题9】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）如图，点是线段上一点，点是线段的中点，点是线段的中点． （1）如果，，求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段和差的关系等知识． （1）由线段中点的定义得出，由线段的和差关系得出，再根据线段中点的定义即可求出． （2）由线段中点的定义得出，，由已知条件得出，最后再根据线段的和差关系即可得出答案． 解：（1）解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点是线段的中点， ∴． （2）解∶∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江伊春·月考）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． （1）求的长度； （2）若点在直线上，且，求线段的长度． 【答案】（1）；（2）的长度为或 【分析】本题考查线段的中点的计算，正确理解中点的概念和线段之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意可得的长度，求解的长度，根据是的中点，得出，则即是答案； （2）需要讨论在点的左侧还是右侧两种情况，分情况分别求出即可． 解：（1）解：，是的中点 ， 是的中点 （2）当在点的左侧时 当在点的右侧时 综上所述或． 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，线段，点在线段上，点在线段上，且，是线段的中点，是线段的中点，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查线段的中点定义及线段的和差，根据图找到线段之间的关系是解题的关键． 先根据线段的差求出的长，再根据线段的中点的定义求出的长，然后再根据线段的和求出的长，最后根据线段中点定义，即可得出答案． 解：∵，， ， ∵是线段的中点， ， 是线段的中点， 故线段的长度为． 【★★题型10】直线交点的规律问题探究 【★★例题10】（根据人教版七上168页拓广探究第10题改编）（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： （1）完成下表 直线数 … 交点数 … （2）在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【答案】（1）；；；（2）这一轮要进行场比赛 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 根据题意，结合图形，发现：条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点，条直线相交最多有个交点．条直线相交最多有个交点，而，，，，故可猜想，条直线相交，最多有个交点； 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可. 解：（1）解：①两条直线相交最多有个交点：； ②三条直线相交最多有个交点：； ③四条直线相交最多有个交点：； ④五条直线相交最多有个交点：， ⑤六条直线相交最多有个交点： … 条直线相交最多有个交点； 故答案为：；； （2）解：该类问题符合上述规律，所以可将代入， 即； 故这一轮要进行场比赛 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】5050个交点，见分析 【分析】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 解：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． （1）研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． （2）拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． （3）应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是10进行分析，即可得解． 解：（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：， ， 则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图： 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．直线a，b相交于点n B．延长射线到点C C．画直线，使 D．在射线上截取，使 【答案】D 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线、射线和线段的性质。直线和射线均无限长，无法直接指定长度；但射线有端点，可在其上截取线段． 解：∵直线无限长，无法度量长度，∴选项C错误； ∵射线无限长，但“延长射线”表述不当，因射线本身无限延伸，∴选项B错误； ∵点通常用大写字母表示，选项A中点n用小写字母，不规范，∴选项A错误； ∵射线有端点，可在其上截取线段，并度量长度，∴选项D正确． 故选：D． 2．（25-26七年级上·河北衡水·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线． “向右看齐”口令要求士兵调整方向，使队伍形成一条直线，这直接应用了“两点确定一条直线”的几何性质． 解：在队列中，士兵以相邻士兵为参考点调整位置，使所有士兵的视线或身体对齐形成一条直线； ∴这基于“两点确定一条直线”的原理，即通过两个点可唯一确定一条直线，其他点均落在此直线上． 故选：A． 3．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知平面内有A、B、C三点，且，，那么A、C两点之间的距离为（   ） A．10 B．2 C．10或2 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间的距离的概念，需要注意点的位置关系是否明确，避免错误地假设三点共线而选择C选项． 由于A、B、C三点在平面内的位置关系不确定，可能共线也可能不共线，因此A、C两点之间的距离无法确定． 解：由于A、B、C三点在平面内的位置关系不确定，可能共线也可能不共线，因此A、C两点之间的距离无法确定． ∴的值不固定，无法确定． 故选：D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）点C、D是线段的三等分点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 由点C、D是线段的三等分点，分两种情况讨论，即点靠近点A或点靠近点B，然后根据线段等分点的性质即可求的长度． 解：①点靠近点A时，如图： ∵点C、D是线段的三等分点， ∴； ②点靠近点B时，如图： ∵点C、D是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的长度为， 故选：A． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）线段被点M、N三等分，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 根据线段被点M、N三等分，得到，即可判断各选项． 解：∵线段被点M、N三等分， ∴， ∴， 故D错误，符合题意， 故选：D． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图①，点C在线段AB的延长线上 B．如图②，射线BC经过点A C．如图③，直线a和直线b相交于点A D．如图④，射线CD和线段AB没有交点 【答案】C 【分析】本题需要根据直线、射线、线段的位置关系，逐一分析每个选项中几何图形与语言描述是否相符． 解：选项A：图①中，点C在线段的延长线上，而非线段的延长线上，该选项错误； 选项B：图②中，射线的延伸方向不经过点A，该选项错误； 选项C：图③中，直线a和直线b相交于点A，该选项正确； 选项D：图④中，射线延伸后会与线段有交点，该选项错误． 故选： C． 【点拨】本题考查了直线、射线、线段的位置关系，掌握直线、射线、线段的延伸性以及它们之间的位置关系判断方法是解题的关键． 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江伊春·月考）如图，已知线段上有三点C、D、E，则图中共有线段 条． 【答案】10 【分析】本题考查了线段的概念． 从左至右分别以A、B、C、D、E为端点，数线段的条数，注意不要重复数前面数过的线段． 解：线段有，，，，，，，，， （条）． 故答案为：10． 8．（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，根据题意得，，，即可得出结论．理解作图过程及点与点重合是解题的关键． 解：∵，， ∴，， ∵，点与点恰好重合， ∴，， ∴ ， ∴的长度为． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，已知点C为线段的中点，点D在线段上．若，，则线段的长是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出线段的长，再由线段中点的定义求出线段的长，最后根据线段的和差关系可得线段的长． 解：∵，， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 10．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差计算，分情况讨论的长度是解题关键． 由于点的位置不明确，需要分点在线段上与在线段的延长线上两种情况讨论． 解：当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，． 故答案为：或． 11．（25-26七年级上·河南郑州·期中）在直线上顺次取三点，使得，．如果点是线段的中点，那么线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点定义及线段的和差，关键是熟练掌握知识点进行求解； 先根据的长度求出的长度，再根据点是的中点求出的长度，最后通过点的位置求出的长度． 解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 又∵点顺次排列，且， ∴点在点的右侧，， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点C是线段的巧点，则 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·福建厦门·月考）如图，已知线段和线段． （1）尺规作图：延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，点是线段的中点，求线段的长． 【答案】（1）图见分析；（2）1 【分析】本题考查尺规作线段，与线段中点有关的计算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）以为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于一点，再以该点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点即可； （2）根据线段中点的定义，以及线段的和差关系进行求解即可． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 如图，C是线段的中点． （1）若点D 在线段上，，求线段的长度； （2）若将（1）中的“点D 在线段 上”改为“点D 在线段的延长线上”，其它条件不变，则此时线段 的长度为 ． 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得答案． （2）根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得答案． 解：（1）解：由线段的和差，得， 由是的中点，得， 由线段的和差，得； （2）解：如图1 由线段的和差，得， 由是的中点，得， 由线段的和差，得， 故答案为：7． 15．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知线段，，点是的中点． （1）求线段的长； （2）在线段上取一点，使得，请画出图形，并求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了线段之间的和差关系，解题的关键是掌握中点的定义，结合图形得出线段之间的和差关系． （1）求出的长，再根据中点定义，即可得出结果； （2）根据，得到，进而求出的长，再用求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵点M是的中点， ∴； （2）解：如图： ∵， ∴， ∴． 16．（21-22七年级上·陕西咸阳·期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． （1）如图1，当AC＝4时，求DE的长． （2）如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长； （2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长． 解：（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点拨】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东聊城·期中）如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义及查找，解题的关键是熟练掌握相关定义． 利用直线，射线和线段的定义进行判断即可． 解：根据图象可得，共有射线10条，共有线段10条，直线1条， 故选：C． 2．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图所示，是线段上的点，分别是的中点，若，，则线段的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和与差，由是的中点，得，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵是的中点， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025·河北沧州·二模）如图，点B是线段上靠近点A的三等分点，若，则的长用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法与线段间的计算，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，利用B是线段上靠近点A的三等分点，求出的长，再根据科学记数法的表示方法表示即可得答案． 解：∵B是线段上靠近点A的三等分点， ∴, 故选：D． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，尺规作线段，根据作图结合线段的和差关系进行求解即可． 解：由图和题意，得：， ∴； 故选C． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的中点性质及线段的和差逐项进行证明即可． 解：①∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴③正确； 综上，正确的选项是①②③， 故选：A． 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①线段就是点与点之间的距离； ②倒数等于本身的数是； ③八棱柱有条棱，个顶点； ④两点之间直线最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查几何概念、倒数、棱柱性质及距离公理，熟记相关的概念和性质，是解题的关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 解：①点与点之间的距离指线段的长度，而非线段本身，说法错误； ②设数为，则，解得，，说法正确； ③八棱柱有条棱，但顶点数为个，非个，说法错误； ④两点之间线段最短，直线是无限延伸的，说法错误． 综上，只有②正确，故正确个数为个． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 根据直线的性质解答即可． 解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知M，N是上的两点，且，那么线段上所有线段长的和为 ．（用m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查线段的计数，线段的和与差，由图可得，线段有、、、、、，共条，再求和即可得出结果，不重复不遗漏是关键． 解：由图可得，线段有、、、、、，共条， 线段上所有线段长的和为： ， ∵， ∴线段上所有线段长的和为， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）如图，2条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若n条直线两两相交最多有55个交点，则n的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了若干条直线两两相交的交点个数．根据题意可得n条直线两两相交最多有个交点，即可求解． 解：2条直线相交最多有个交点， 3条直线两两相交最多有个交点， 4条直线两两相交最多有个交点， ……， 由此发现，n条直线两两相交最多有个交点， ∵n条直线两两相交最多有55个交点， ∴， 解得：， 即n的值是． 故答案为：． 12．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 三、解答题 13．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）画图题： （1）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图： （2）如图，平面上有，，，四点，请按照下列语句画出图形． 画直线；②画射线；③线段和线段相交于点；④在射线上截取，使． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题主要考查了几何体的三视图画法以及直线、射线、线段的相关作图，熟练掌握三视图的观察方法和直线、射线、线段的定义及作图方法是解题的关键． （1）分别从正面、左面、上面观察几何体，确定每个方向看到的小正方形的列数和每列的个数，进而画出形状图． （2）根据直线、射线、线段的定义和画法，以及线段的截取方法逐步作图． 解：（1）解：如图， （2）解：画直线如图， ②画射线如图， ③画线段和线段相交于点如图， ④在射线上截取，如图， 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）线段，，是线段上的两个动点（点在点的左侧），且，为的中点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，为的中点．点，在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出的长． 【答案】（1）；（2）线段的长度不会发生变化， 【分析】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． （1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长； （2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长． 解：（1）解：∵ ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴； （2）解：线段的长度不会发生变化，， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 【答案】（1）6；（2）；（3）一共要进行场比赛；（4）380 【分析】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． （1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． （4）从上述问题得出结论即可求解，注意火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关． 解：（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段， 以点C为左端点向右的线段有线段， 以点D为左端点的线段有线段， ∴共有（条）． 故答案为：6； （2）解：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则， ∴倒序排列有， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当时，． 答：一共要进行45场比赛． （4）解：∵火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关， ∴根据上述问题可得，， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，已知点为线段的中点，点在线段上（不与点、重合）． 【初步探究】 （1）如图1，若，，则线段的长为______； （2）如图1，若，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图2，若、点为的中点，，求线段的长． 【答案】（1）1；（2）6；（3）24 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段中点的定义可得，再由得，进而可得答案； （3）根据线段中点的定义可得，，再根据，得到，求出即可． 解：（1）∵点D是的中点，，， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， 即的长为6； （3）∵点D是的中点， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：线段的长为24． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.2 直线、射线、线段 目录 一.知识梳理 2 【知识储备】直线、射线、线段区别与联系 2 【知识点一】基本事实（一） 2 【知识点二】点和直线的关系 2 【知识点三】相交与交点 2 【知识点四】尺规作图 2 【知识点五】基本事实（二） 2 【知识点六】线段的中点 3 二.题型精析 3 （一）基础篇 3 【★题型1】直线、射线、线段的辨析 3 【★题型2】点与直线的位置关系 4 【★题型3】画直线、射线、线段 5 【★题型4】尺规作图——画一条线段等于已知线段 6 【★题型5】两个基本事实 6 【★题型6】线段和差的简单计算 7 【★题型7】线段中点的简单计算 8 （二）培优篇 9 【★★题型8】线段单中点与线段和差综合运算 9 【★★题型9】线段双中点与线段和差综合运算 9 【★★题型10】直线交点的规律问题探究 10 三．同步练习​ 11 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 11 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 14 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识储备】直线、射线、线段区别与联系 名称 图形 表示方法 端点个数 延伸性 长度（能否度量） 线段 线段 或线段 或线段 2 不可延伸 可度量 射线 射线 1 向一端 无限延伸 不可度量 直线 直线 或直线 0 向两端 无限延伸 不可度量 直线、射线、线段的关系：射线、线段是直线的一部分：直线上取一点可分成 2 条射线；直线上取两点可分成 1 条线段。线段、射线可以向指定方向延伸：线段延长后可得到射线或直线。 【知识点一】基本事实（一） 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。 【知识点二】点和直线的关系 点和直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，一个点在一条直线上，就说这条直线经过这个点；一个点在一条直线外，就说这条直线不经过这个点. 【知识点三】相交与交点 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 【知识点四】尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 【知识点五】基本事实（二） 两点的所有连线中，线段最短.简单说成两点之间，线段最短. 【知识点六】线段的中点 如图（1）：点M把线段AB分成相等的两条线段AM、 MB，点M叫作线段AB的中点.类似地，如图（2）（3）所示，还有线段的三等分点、四等分点等. （1） （2） （3） 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】直线、射线、线段的辨析 【例题1】（根据人教版七上163页练习第1题改编）（24-25七年级上·吉林·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【变式1】（23-24七年级下·山东泰安·期中）下列说法中，错误的有（    ） ①射线是直线的一部分    ②画一条射线，使它的长度为 ③线段和线段是同一条线段    ④射线和射线是同一条射线 ⑤直线和直线是同一条直线    ⑥数轴是一条射线，因为它有方向 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2024七年级上·山东·专题练习）观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 【小结归纳】此类题紧扣直线、射线、线段的核心定义与特性，判断表述正误：直线无端点、双向延伸，字母无顺序，同线可不同表示；射线有 1 个端点、单向延伸，需端点和方向都相同才是同一条，且不可度量长度；线段有 2 个端点、无延伸，两端点确定线段；同时明确数轴是直线而非射线，据此逐一验证选项或表述的合理性。 【★题型2】点与直线的位置关系 【例题2】（根据人教版七上163页练习第3题改编）用适当的语句表述图中点与直线的关系： 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一条直线和两个点的位置关系，现有以下结论：①直线在点C上；②点C在直线上；③点O不经过直线；④直线a经过点C，其中叙述正确的有 （填序号）． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A． 延长线段到C   B．射线经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线与线段没有交点 【小结归纳】 判断点与直线的位置关系及相关表述正误，需紧扣点在直线上（直线经过该点）、点在直线外（直线不经过该点） 两种核心位置关系，明确描述时 “点在直线上” 而非 “直线在点上”，同时结合射线、线段的延伸特性判断相关图形语言描述的准确性。 【★题型3】画直线、射线、线段 【例题3】（根据人教版七上163页练习第3题改编）（25-26七年级上·全国·随堂练习）按下列语句画出图形： （1）直线经过点C； （2）点A在直线l外； （3）经过点O的三条线段； （4）线段相交于点B，连接． 【变式1】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）作图题： 根据下列要求画图： （1）作直线； （2）画射线，连接； （3）在线段上取一点C，在射线上取一点D（点C、D不与点O，A，B重合），画直线，使直线与直线交于点E． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·月考）如图，平面上有A，B，C，D四个点．根据下列语句画图： （1）画直线； （2）画射线； （3）连接，交于点E； （4）连接，并将其反向延长． 【小结归纳】 画直线、射线、线段的解题思路：需紧扣三者的定义与延伸特性，直线无端点可向两端无限延伸，作图时过指定点画直线并向两端延长；射线有一个端点，作图时以指定端点为起点向规定方向延伸；线段有两个端点，作图时连接两点即可，同时按语句要求标注点的位置和线的交点，确保图形与文字描述完全对应。 【★题型4】尺规作图——画一条线段等于已知线段 【例题4】（根据人教版七上166页练习第2题改编）（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知线段、．求作：线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）尺规作图： 已知：如图，线段a，b． 求作：线段，使． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是： ．所求作的线段是线段 ． 【小结归纳】 尺规作图画一条线段等于已知线段（或已知线段的和差），需遵循 “先画射线定基准，再用圆规截取等长线段” 的核心思路，作线段和时在射线（或线段延长线）上依次截取各线段，作线段差时在较长线段上截取较短线段的长度，最后按要求标注线段，保留作图痕迹。 【★题型5】两个基本事实 【例题5】（根据人教版七上167页习题6.2第3题改编）（24-25七年级上·河北石家庄·月考）下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·月考）在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有 个． 【变式2】（2025七年级上·四川眉山·专题练习）生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用两点确定一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用两点确定一条直线来解释 D．现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 【小结归纳】 判断与直线、线段两个基本事实相关的实际现象，需明确 “两点确定一条直线”用于解释固定两点可确定唯一一条直线的现象，如钉木条固定、排队看齐等；“两点之间，线段最短” 用于解释缩短路径、节省距离的现象，如河道改直、修路取直等 ，结合现象的核心特征匹配对应的基本事实即可。 【★题型6】线段和差的简单计算 【例题6】（根据人教版七上167页习题6.2第3题改编）（24-25七年级上·湖北武汉·期末）点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）线段上有两点C，D，且，，，则的长为 ． 【变式2】（23-24七年级上·内蒙古兴安盟·期末）图1中的线段a、b，图2中线段表示的是（   ） A． B． C． D． 【小结归纳】 解决线段和差的简单计算问题，需先根据题意确定点在线段上的位置关系（在线段上或线段延长线上），再结合图形列出线段和或差的关系式，当点的位置不确定时要分情况讨论，最后代入已知线段长度计算得出结果。 【★题型7】线段中点的简单计算 【例题7】（根据人教版七上167页习题6.2第4题改编）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在线段上，且． （1）点________是线段的中点，点C是线段________的三等分点． （2）是的几倍？是的几倍？ 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）若线段，是的中点，是的中点，，求线段的长． 【变式2】（25-26七年级上·广东茂名·月考）如图，线段，点在线段上，点是的中点，是中点，，则线段的长为 ． 【小结归纳】 解决线段中点的简单计算问题，需紧扣线段中点将线段分成两条相等线段这一核心性质，先根据中点定义写出线段等量关系，再结合线段的和差关系列出算式，代入已知线段长度逐步计算即可。 （二）培优篇 【★★题型8】线段单中点与线段和差综合运算 【★★例题8】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，点C是线段的中点，点D，E分别在线段、上． （1）若，试说明点C是的中点； （2）若，求线段的长． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段，延长到点C，使得，反向延长到点D，使，点Q为的中点． （1）求线段的长及线段的长； （2）若P为线段上一点，且，求的长． 【变式2】（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，已知，，，四点在同一线段上，线段． （1）若点是线段的中点，，求线段的长度； （2）若点满足，，求线段的长度． 【★★题型9】线段双中点与线段和差综合运算 【★★例题9】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）如图，点是线段上一点，点是线段的中点，点是线段的中点． （1）如果，，求的长； （2）如果，求的长． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江伊春·月考）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． （1）求的长度； （2）若点在直线上，且，求线段的长度． 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，线段，点在线段上，点在线段上，且，是线段的中点，是线段的中点，求线段的长度． 【★★题型10】直线交点的规律问题探究 【★★例题10】（根据人教版七上168页拓广探究第10题改编）（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）我们知道，两条直线相交，最多有个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点……条直线两两相交，最多有多少个交点呢（用含的代数式表示）： （1）完成下表 直线数 … 交点数 … （2）在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有个班，则这一轮共要进行多少场比赛？ 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． （1）研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． （2）拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． （3）应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．直线a，b相交于点n B．延长射线到点C C．画直线，使 D．在射线上截取，使 2．（25-26七年级上·河北衡水·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 3．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知平面内有A、B、C三点，且，，那么A、C两点之间的距离为（   ） A．10 B．2 C．10或2 D．不能确定 4．（2025八年级上·全国·专题练习）点C、D是线段的三等分点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）线段被点M、N三等分，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图①，点C在线段AB的延长线上 B．如图②，射线BC经过点A C．如图③，直线a和直线b相交于点A D．如图④，射线CD和线段AB没有交点 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江伊春·月考）如图，已知线段上有三点C、D、E，则图中共有线段 条． 8．（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为 ． 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，已知点C为线段的中点，点D在线段上．若，，则线段的长是 ． 10．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长为 ． 11．（25-26七年级上·河南郑州·期中）在直线上顺次取三点，使得，．如果点是线段的中点，那么线段的长度是 ． 12．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点C是线段的巧点，则 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·福建厦门·月考）如图，已知线段和线段． （1）尺规作图：延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，点是线段的中点，求线段的长． 14．（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 如图，C是线段的中点． （1）若点D 在线段上，，求线段的长度； （2）若将（1）中的“点D 在线段 上”改为“点D 在线段的延长线上”，其它条件不变，则此时线段 的长度为 ． 15．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知线段，，点是的中点． （1）求线段的长； （2）在线段上取一点，使得，请画出图形，并求线段的长． 16．（21-22七年级上·陕西咸阳·期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． （1）如图1，当AC＝4时，求DE的长． （2）如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东聊城·期中）如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 2．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图所示，是线段上的点，分别是的中点，若，，则线段的长度是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·二模）如图，点B是线段上靠近点A的三等分点，若，则的长用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①线段就是点与点之间的距离； ②倒数等于本身的数是； ③八棱柱有条棱，个顶点； ④两点之间直线最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线 ． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知M，N是上的两点，且，那么线段上所有线段长的和为 ．（用m的代数式表示） 10．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）如图，2条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若n条直线两两相交最多有55个交点，则n的值是 ． 12．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）画图题： （1）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图： （2）如图，平面上有，，，四点，请按照下列语句画出图形． 画直线；②画射线；③线段和线段相交于点；④在射线上截取，使． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）线段，，是线段上的两个动点（点在点的左侧），且，为的中点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，为的中点．点，在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出的长． 15．（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 16．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，已知点为线段的中点，点在线段上（不与点、重合）． 【初步探究】 （1）如图1，若，，则线段的长为______； （2）如图1，若，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图2，若、点为的中点，，求线段的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $