专题6.8 角的比较与计算（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

本讲义聚焦“角的比较与计算”核心知识点，系统梳理从角的大小比较（叠合法、度量法）到和差计算，再到角平分线及等分线应用，最后角度加减乘除运算的递进脉络，构建完整学习支架。 资料特色为“即学即练”即时巩固，题型分层（典例+变式）适配不同水平。结合三角板、网格图培养几何直观与空间观念，角度运算提升运算能力，角平分线问题发展推理意识，课中助教师分层教学，课后助学生查漏补缺。

专题6.8 角的比较与计算 教学目标 1. 掌握角的大小比较的方法，并能够熟练的比较角的大小。 2. 掌握角的和与角的差，并能够结合图形熟练的进行角度的计算。 3. 掌握角平分线及其等分线概念和意义，并能够在题目中熟练进行应用。 4. 掌握角度的加减乘除运算，并能够熟练的进行角度制的运算。 教学重难点 1. 重点 （1）角度的大小比较及其计算； （2）角的平分线及其应用。 2. 难点 （1）角度的相关计算； （2）角平分线的理解与运用。 知识点01 角的大小比较 1. 角的大小比较 方法1：叠合法：把角的 和 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。 方法2：度量法：直角用量角器度量比较。 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。 【即学即练1】 1．如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 【即学即练2】 2．如图，现将一副三角板的直角顶点重合，按照图中方式摆放，则∠1和∠2的大小关系是（　　） A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1＝∠2 D．无法比较 知识点02 角的和与差 1. 角的和与差： 角的和：∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，记作∠AOB＝∠AOC＋∠BOC 角的差：∠AOC是∠AOB与∠BOC的差，记作∠AOC＝∠AOB－∠BOC ∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，记作∠BOC＝∠AOB－∠AOC 【即学即练1】 3．根据如图所示，下列式子错误的是（　　） A．∠AOD＝∠AOB+∠COD B．∠BOD＝∠DOC+∠COB C．∠AOB＝∠AOC﹣∠COB D．∠BOC＝∠BOD﹣∠COD 【即学即练2】 4．已知∠1：∠2：∠3＝2：3：6，且三个角的和为110°，则∠2为（　　） A．30° B．60° C．45° D．80° 【即学即练3】 5．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠AOB＝20°，∠COD＝100°，则∠AOC＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．80° 知识点03 角的平分线 1. 角的平分线： 从角的顶点出发，把这个角分成 的两个角的射线叫做这个角的平分线。 如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB 则OC是角∠AOB的平分线。 反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。 2. 角的等分线： 角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。 【即学即练1】 6．下列关于角平分线的说法正确的是（　　） A．若∠AOP＝∠BOP，则射线OP是∠AOB的角平分线 B．若∠AOP＝2∠BOP，则射线OP是∠AOB的角平分线 C．若∠AOP∠BOP，则射线OP是∠AOB的角平分线 D．若2∠AOP＝2∠BOP＝∠AOB，则射线OP是∠AOB的角平分线 【即学即练2】 7．如图，射线OC平分∠AOB．若∠AOB＝58°，则∠COB的度数为（　　） A．90° B．58° C．29° D．24° 知识点04 角度的加减乘除运算 1. 角度的加减运算： 加法法则：度加度，分加分，秒加秒。满60秒向分进1，满60分向度进1。 减法法则：度减度，分减分，秒减秒。从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分。 2. 角度的乘除运算： 乘法法则：度、分、秒分别与倍数相乘，秒满60向分进1，分满60向度进1。 除法法则：度、分、秒分别与除数相除，从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化。 【即学即练1】 8．计算： （1）153°19′42″+26°40′28″； （2）90°3″﹣57°21′44″； （3）33°15′16″×5； （4）75°÷4（结果用“°′”表示）． 题型01 角度大小比较 【典例1】利用一副三角板比较∠AOB与∠CPD的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图（1）中射线OB与60°角的一边重合，图（2）中射线PC与45°角的一边重合，则下列判断正确的是（　　） A．∠AOB＜∠CPD B．∠AOB＞∠CPD C．∠AOB＝∠CPD D．无法判断 【变式1】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（　　） A．∠α＜∠β B．∠α＞∠β C．∠α＝∠β D．无法判断 【变式2】在如图所示的网格是正方形网格中，点A、B、C、D、O均在网格格点（网格线交点）上，那么∠AOC　 　 ∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【变式3】已知∠1＝38°36′，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°，下列说法正确的是（　　） A．∠1＝∠2＜∠3 B．∠1＝∠3＞∠2 C．∠2＝∠3＞∠1 D．∠1＜∠2＜∠3 题型02 角度制的运算 【典例1】计算： （1）48°39′+67°31′； （2）180°﹣（58°35′+70.3°）． 【变式1】计算 （1）180°﹣37°42′56″； （2）25°36′×4． 【变式2】计算： （1）48°39'+67°31'； （2）23°53'×2﹣17°43'． 题型03 角的运算 【典例1】如图，已知点O在直线AB上，∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，则∠3的度数为（　　） A．36°15′ B．143°45′ C．13°15′ D．36.15° 【变式1】如图，∠AOB是平角，∠AOC＝32°，∠BOD＝58°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON＝（　　） A．130° B．135° C．110° D．120° 【变式2】已知∠AOB＝20°，∠AOC＝80°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　） A．20°或50° B．20°或60° C．30°或60° D．30°或50° 【变式3】如图，已知∠AOB＝120°，射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠AOC：∠BOC＝1：3． （1）求∠BOC的度数； （2）若射线OD平分∠AOB，求∠COD的度数． 【变式4】如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°． （1）若∠AOD＝40°，求∠AOB的度数． （2）若∠BOD＝3∠AOD，求∠AOB的度数． 【变式5】如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）若∠AOB＝40°，∠AOE＝140°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOB＝α，∠AOE＝β，求∠BOD的度数． 【变式6】定义：有三条射线OA、OB、OC，若，我们称OC是[OA、OB]的半倍分线，，我们称OC是[OB、OA]的半倍分线． （1）若∠AOB＝20°，OA是[OB、OC]的半倍分线，则∠BOC＝ 　 　 ． （2）如图，∠AOB＝60°，OC在∠AOB内部，OC是[OB、OA]的半倍分线，OD平分∠AOB，求∠COD的度数； （3）若∠AOB＝80°，以OB为边作∠BOD（∠BOD为锐角），OD平分∠BOC，OC是[OD、OA]的半倍分线，则∠BOD＝ 　 　 °． 1．如图，若∠1与∠2分别经过格点A、B、C，D、E、F，则∠1与∠2的大小关系为（　　） A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＞∠2 D．无法比较 2．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝46°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（　　） A．60° B．67° C．77° D．80° 3．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠AOB的大小为（　　） A．80° B．75° C．60° D．45° 4．下列计算结果错误的是（　　） A．18°+38°＝56° B．90°﹣38°50'＝61°10' C．21°17'×5＝106°25' D．360°÷5＝72° 5．已知∠AOB＝30°，以点O为端点作射线OC，使∠BOC＝50°，那么∠AOC等于（　　） A．20° B．80° C．20°或80° D．30°或50° 6．如图，O是直线AB上的一点，过点O作任意射线OM，且OC平分∠AOM，OD平分∠BOM．若∠AOC＝56°，则∠BOD的度数是（　　） A．24° B．30° C．34° D．56° 7．定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如：∠α＝100°，∠β＝40°，|∠α﹣∠β|＝60°，则∠α和∠β互为“优角”．如图，已知∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF＝60°，则图中互为“优角”的共有（　　） A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 8．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，∠ABC＝60°，∠C＝∠DBE＝90°，其中A，D，B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（　　） A．55° B．30° C．45° D．60° 9．如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（　　） A．β B．（α﹣β） C．αβ D．α 10．如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC+∠BOD＝90°，其中正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 11．已知∠AOB＝80°，射线OC和射线OD在∠AOB内部，且∠AOC＝30°，∠COD＝40°，射线OE，OF分别平分∠BOC，∠COD，则∠EOF＝　5　 °． 12．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB　 　 ∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）． 13．如图，OA的方向是北偏东20°，OB的方向是北偏西35°，OA平分∠BOC，则OC的方向是 　 　 ． 14．如图，将一副三角尺的两个锐角（45°角和60°角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1＝22°，则∠2的度数为　 　 °． 15．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“启仔等分线”．如图2，∠MPN＝80°，若射线PE绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，当∠EPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（秒）．当t＝ 　 　 时，射线PN是∠EPM的“启仔等分线”． 16．计算： （1）35°45′+23°29′﹣53°17′ （2）67°31′+48°39′﹣21°17′×5 17．如图，O为直线DA上一点，∠AOB＝130°，OE是∠AOB的平分线，∠FOB＝90°． （1）求∠DOB的度数． （2）求∠AOF和∠FOE的度数． 18．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°． （1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数． （2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数． 19．已知∠AOB＝a，OM、ON分别在∠AOP、∠BOP内部旋转，OM从OP出发绕点O以1°/s的速度逆时针旋转，ON从OB出发绕点O以3°/s的速度逆时针旋转，∠NOP＝3∠AOM．设运动时间为t秒． （1）求∠AOP的度数．（用含a的代数式表示） （2）当，求证：OM平分∠AOP． （3）运动过程中，当OM⊥ON时，3∠PON＝5∠BON，求α的值． 20．如图甲，已知线段AB＝24cm，CD＝6cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点． （1）若AC＝8cm，则EF＝　 cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； （3）对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD． ①若∠AOB＝144°，∠COD＝36°，求∠EOF； ②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.8 角的比较与计算 教学目标 1. 掌握角的大小比较的方法，并能够熟练的比较角的大小。 2. 掌握角的和与角的差，并能够结合图形熟练的进行角度的计算。 3. 掌握角平分线及其等分线概念和意义，并能够在题目中熟练进行应用。 4. 掌握角度的加减乘除运算，并能够熟练的进行角度制的运算。 教学重难点 1. 重点 （1）角度的大小比较及其计算； （2）角的平分线及其应用。 2. 难点 （1）角度的相关计算； （2）角平分线的理解与运用。 知识点01 角的大小比较 1. 角的大小比较 方法1：叠合法：把角的 顶点 和 其中一边 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。 方法2：度量法：直角用量角器度量比较。 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。 【即学即练1】 1．如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 【答案】A 【解答】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形， ∴∠A＞45°，∠B＜45°， ∴∠A＞∠B， 故选：A． 【即学即练2】 2．如图，现将一副三角板的直角顶点重合，按照图中方式摆放，则∠1和∠2的大小关系是（　　） A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1＝∠2 D．无法比较 【答案】C 【解答】解：字母标注如图所示， 由条件可知∠1+∠BCE＝∠2+∠BCE＝90°， ∴∠1＝∠2， 故选：C． 知识点02 角的和与差 1. 角的和与差： 角的和：∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，记作∠AOB＝∠AOC＋∠BOC 角的差：∠AOC是∠AOB与∠BOC的差，记作∠AOC＝∠AOB－∠BOC ∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，记作∠BOC＝∠AOB－∠AOC 【即学即练1】 3．根据如图所示，下列式子错误的是（　　） A．∠AOD＝∠AOB+∠COD B．∠BOD＝∠DOC+∠COB C．∠AOB＝∠AOC﹣∠COB D．∠BOC＝∠BOD﹣∠COD 【答案】A 【解答】解：A、∠AOD＝∠AOB+∠DOB，故∠AOD＝∠AOB+∠COD错误； B、∠BOD＝∠DOC+∠COB，故本选项正确； C、∠AOB＝∠AOC﹣∠COB，故本选项正确； D、∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，故本选项正确． 故选：A． 【即学即练2】 4．已知∠1：∠2：∠3＝2：3：6，且三个角的和为110°，则∠2为（　　） A．30° B．60° C．45° D．80° 【答案】A 【解答】解：∵∠1：∠2：∠3＝2：3：6，且三个角的和为110°， ∴， 故选：A． 【即学即练3】 5．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠AOB＝20°，∠COD＝100°，则∠AOC＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．80° 【答案】C 【解答】解：∵点B，O，D在同一直线上，∠COD＝100°， ∴∠BOC＝80°， 又∵∠AOB＝20°， ∴∠AOC＝80°+20°＝100°， 故选：C． 知识点03 角的平分线 1. 角的平分线： 从角的顶点出发，把这个角分成 相等 的两个角的射线叫做这个角的平分线。 如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB 则OC是角∠AOB的平分线。 反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。 2. 角的等分线： 角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。 【即学即练1】 6．下列关于角平分线的说法正确的是（　　） A．若∠AOP＝∠BOP，则射线OP是∠AOB的角平分线 B．若∠AOP＝2∠BOP，则射线OP是∠AOB的角平分线 C．若∠AOP∠BOP，则射线OP是∠AOB的角平分线 D．若2∠AOP＝2∠BOP＝∠AOB，则射线OP是∠AOB的角平分线 【答案】D 【解答】解：如图所示， A、OP不一定在AOB内部，故本选项错误； B、如图，射线OP不是∠AOB的角平分线，故本选项错误； C、如图，射线OP不是∠AOB的角平分线，故本选项错误； D、若2∠AOP＝2∠BOP＝∠AOB，则射线OP是∠AOB的角平分线，故本选项正确． 故选：D． 【即学即练2】 7．如图，射线OC平分∠AOB．若∠AOB＝58°，则∠COB的度数为（　　） A．90° B．58° C．29° D．24° 【答案】C 【解答】解：∵射线OC平分∠AOB，∠AOB＝58°， ∴∠COB∠AOB58°＝29°． 故选：C． 知识点04 角度的加减乘除运算 1. 角度的加减运算： 加法法则：度加度，分加分，秒加秒。满60秒向分进1，满60分向度进1。 减法法则：度减度，分减分，秒减秒。从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分。 2. 角度的乘除运算： 乘法法则：度、分、秒分别与倍数相乘，秒满60向分进1，分满60向度进1。 除法法则：度、分、秒分别与除数相除，从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化。 【即学即练1】 8．计算： （1）153°19′42″+26°40′28″； （2）90°3″﹣57°21′44″； （3）33°15′16″×5； （4）75°÷4（结果用“°′”表示）． 【答案】（1）180°0′10″； （2）32°38′19″； （3）166°16′20″； （4）18°45′． 【解答】解：（1）原式＝（153+26）°（19+40）′（42+28）″ ＝179°59′70″ ＝179°60′10″ ＝180°0′10″； （2）原式＝89°59′63″﹣57°21′44″ ＝（89﹣57）°（59﹣21）′（63﹣44）″ ＝32°38′19″； （3）原式＝（33×5）°（15×5）′（16×5）″ ＝165°75′80″ ＝166°16′20″； （4）原式＝（75×60）′÷4 ＝4500′÷4 ＝1125′ ＝18°45′． 题型01 角度大小比较 【典例1】利用一副三角板比较∠AOB与∠CPD的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图（1）中射线OB与60°角的一边重合，图（2）中射线PC与45°角的一边重合，则下列判断正确的是（　　） A．∠AOB＜∠CPD B．∠AOB＞∠CPD C．∠AOB＝∠CPD D．无法判断 【答案】B 【解答】解：由图1可知： 60°角在∠AOB内， 由图2可知： 45°角在∠CPD外， ∴∠CPD＜45°＜60°＜∠AOB， ∴∠AOB＞∠CPD， 故选：B． 【变式1】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（　　） A．∠α＜∠β B．∠α＞∠β C．∠α＝∠β D．无法判断 【答案】B 【解答】解：将∠α平移，使∠α、∠β顶点重合， ∠β在∠α内部， 故选：B． 【变式2】在如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、O均在格点（网格线交点）上，那么∠AOC　＜　 ∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【解答】解：由图可知，∠AOC＜∠BOD． 故答案为：＜． 【变式3】已知∠1＝38°36′，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°，下列说法正确的是（　　） A．∠1＝∠2＜∠3 B．∠1＝∠3＞∠2 C．∠2＝∠3＞∠1 D．∠1＜∠2＜∠3 【答案】B 【解答】解：将∠1转化为度的形式为：， ∵38°36′＝38.6°＞38.36°， ∴∠1＝∠3＞∠2， 故选：B． 题型02 角度制的运算 【典例1】计算： （1）48°39′+67°31′； （2）180°﹣（58°35′+70.3°）． 【答案】（1）116°10′； （2）51°7′． 【解答】解：（1）48°39′+67°31′ ＝115°+70′ ＝115°+1°10′ ＝116°10′； （2）180°﹣（58°35′+70.3°） ＝180°﹣（58°35′+70°18′） ＝180°﹣128°53′ ＝51°7′． 【变式1】计算 （1）180°﹣37°42′56″； （2）25°36′×4． 【答案】（1）142°17′4″； （2）102°24′． 【解答】解：（1）180°﹣37°42′56″ ＝179°59′60″﹣37°42′56″ ＝142°17′4″； （2）25°36′×4 ＝100°144′ ＝102°24′． 【变式2】计算： （1）48°39'+67°31'； （2）23°53'×2﹣17°43'． 【答案】（1）116°10'； （2）30°3'． 【解答】解：（1）48°39'+67°31' ＝115°70′ ＝116°10′； （2）23°53'×2﹣17°43' ＝46°106′﹣17°43′ ＝29°63′ ＝30°3′． 题型03 角的运算 【典例1】如图，已知点O在直线AB上，∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，则∠3的度数为（　　） A．36°15′ B．143°45′ C．13°15′ D．36.15° 【答案】A 【解答】解：∵∠1＝65°15'，∠2＝78°30'， ∴∠1+∠2＝65°15'+78°30'＝143°45'， ∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣143°45'＝36°15'． 故选：A． 【变式1】如图，∠AOB是平角，∠AOC＝32°，∠BOD＝58°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON＝（　　） A．130° B．135° C．110° D．120° 【答案】B 【解答】解：∵∠AOC＝32°，OM是∠AOC的平分线， ∴∠AOM∠AOC＝16°， ∵∠BOD＝58°，ON是∠BOD的平分线， ∴∠BON∠BOD＝29°， ∵∠AOB是平角， ∴∠AOM+∠MON+∠BON＝180°， ∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣（16°+29°）＝135°． 故选：B． 【变式2】已知∠AOB＝20°，∠AOC＝80°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　） A．20°或50° B．20°或60° C．30°或60° D．30°或50° 【答案】D 【解答】解：分为两种情况：如图1， 当∠AOB在∠AOC的内部时， ∵∠AOB＝20°，∠AOC＝80°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC， ∴∠AOD∠AOB20°＝10°，∠AOM∠AOC80°＝40°， ∴∠MOD＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°； 如图2， 当∠AOB在∠AOC的外部时， ∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC， ∴∠AOM∠AOC＝40°，∠AOD∠AOB＝10°， ∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°． 故选：D． 【变式3】如图，已知∠AOB＝120°，射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠AOC：∠BOC＝1：3． （1）求∠BOC的度数； （2）若射线OD平分∠AOB，求∠COD的度数． 【答案】（1）∠BOC＝90°； （2）∠COD＝30°． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：3，∴∠BOC∠AOB＝90°； （2）∵OD平分∠AOB， ∴∠BOD∠AOB＝60°， ∵∠BOC＝∠BOD+∠COD， ∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°﹣60°＝30°． 【变式4】如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°． （1）若∠AOD＝40°，求∠AOB的度数． （2）若∠BOD＝3∠AOD，求∠AOB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由条件可知∠AOC＝∠COD+∠AOD＝20°+40°＝60°， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOB＝2∠AOC＝120°； （2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝3x， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝4x， 由角平分线可知， ∴2x﹣x＝20°， 解得x＝20°， ∴∠BOD＝3x＝60°， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝80°． 【变式5】如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）若∠AOB＝40°，∠AOE＝140°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOB＝α，∠AOE＝β，求∠BOD的度数． 【答案】（1）70°； （2）． 【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线， ∴∠BOC＝∠AOB＝40°， ∴∠COE＝140°﹣∠AOB﹣∠BOC＝60°， ∵OD是∠COE的平分线， ∴∠COD＝30°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠CDO＝40°+30°＝70°； （2）∵OB是∠AOC的平分线， ∴∠BOC＝∠AOB＝α， ∴∠COE＝β﹣∠AOB﹣∠BOC＝β﹣2α， ∵OD是∠COE的平分线， ∴∠COD∠COE（β﹣2α）， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD． 【变式6】定义：有三条射线OA、OB、OC，若，我们称OC是[OA、OB]的半倍分线，，我们称OC是[OB、OA]的半倍分线． （1）若∠AOB＝20°，OA是[OB、OC]的半倍分线，则∠BOC＝ 　60°　 ． （2）如图，∠AOB＝60°，OC在∠AOB内部，OC是[OB、OA]的半倍分线，OD平分∠AOB，求∠COD的度数； （3）若∠AOB＝80°，以OB为边作∠BOD（∠BOD为锐角），OD平分∠BOC，OC是[OD、OA]的半倍分线，则∠BOD＝ 　20°　 °． 【答案】（1）60°； （2）10°； （3）20°． 【解答】解：（1）∵OA是[OB，OC 的半倍分线， ∴根据定义，此时， ∵∠AOB＝20°， ∴∠AOC＝2∠AOB＝2×20°＝40°， ∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝40°+20°＝60°， 故答案为：60°； （2）∵OC是[OB、OA]的半倍分线， ∴根据定义，此时， ∴∠COA＝2∠COB， 又∵∠AOB＝∠COA+∠COB＝60°， ∴2∠COB+∠COB＝60°， ∴∠COB＝20°， ∵OD平分∠AOB， ∴， ∴∠COD＝∠BOD﹣∠COB＝30°﹣20°＝10°， （3）设∠BOD＝x， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠BOD＝2x，∠DOC＝∠BOD＝x， ∵∠AOB＝80°，则∠COA＝∠AOB﹣∠BOC＝80°﹣2x， OC是[OD、OA]的半倍分线， ∴根据定义，此时， ∴∠COA＝2∠COD＝2x， ∴80°﹣2x＝2x， 解得x＝20°， 故∠BOD＝20°． 故答案为：20°． 1．如图，若∠1与∠2分别经过格点A、B、C，D、E、F，则∠1与∠2的大小关系为（　　） A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＞∠2 D．无法比较 【答案】C 【解答】解：tan∠12， tan∠2， ∵2， ∴∠1＞∠2． 故选：C． 2．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝46°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（　　） A．60° B．67° C．77° D．80° 【答案】B 【解答】解：∵O是直线AB上一点， ∴∠1+∠BOC＝180°， ∵∠1＝46°， ∴∠BOC＝180°﹣∠1＝180°﹣46°＝134°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠2∠BOC134°＝67°． 故选：B． 3．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠AOB的大小为（　　） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】B 【解答】解：根据题意可得∠AOB＝45°+30°＝75°． 故选：B． 4．下列计算结果错误的是（　　） A．18°+38°＝56° B．90°﹣38°50'＝61°10' C．21°17'×5＝106°25' D．360°÷5＝72° 【答案】B 【解答】解：A、18°+38°＝56°，故不符合题意； B、90°﹣38°50'＝51°10'，故符合题意； C、21°17'×5＝106°25'，故不符合题意； D、360°÷5＝72°，故不符合题意． 故选：B． 5．已知∠AOB＝30°，以点O为端点作射线OC，使∠BOC＝50°，那么∠AOC等于（　　） A．20° B．80° C．20°或80° D．30°或50° 【答案】C 【解答】解：（1）如图所示， ∵∠AOB＝30°，∠BOC＝50°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC ＝30°+50° ＝80°； （2）如图所示， ∵∠AOB＝30°，∠BOC＝50°， ∴∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB ＝50°﹣30° ＝20°， 综上所述，∠AOC的度数为20°或80°． 故选：C． 6．如图，O是直线AB上的一点，过点O作任意射线OM，且OC平分∠AOM，OD平分∠BOM．若∠AOC＝56°，则∠BOD的度数是（　　） A．24° B．30° C．34° D．56° 【答案】C 【解答】解：∵OC平分∠AOM， ∴∠AOM＝2∠AOC＝2×56°＝112°（角平分线的定义）， ∵∠AOM+∠BOM＝180°， ∴∠BOM＝180°﹣∠AOM＝68°， ∵OD平分∠BOM， ∴（角平分线的定义）． 故选：C． 7．定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如：∠α＝100°，∠β＝40°，|∠α﹣∠β|＝60°，则∠α和∠β互为“优角”．如图，已知∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF＝60°，则图中互为“优角”的共有（　　） A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】B 【解答】解：∵∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝60°， ∴∠AOB﹣∠AOC＝60°，∠AOB﹣∠BOC＝60°， ∴∠AOB与∠AOC互为“优角”，∠AOB与∠BOC互为“优角”， 又∵∠EOF＝60°， ∴∠AOB﹣∠EOF＝60°， ∴∠AOB与∠EOF互为“优角”， ∵∠AOC＝∠EOF＝60°， ∴∠AOF﹣∠AOE＝∠EOF＝60°，∠AOF﹣∠COF＝∠AOC＝60°， ∴∠AOF与∠AOE互为“优角”，∠AOF与∠COF互为“优角”， ∵∠BOC＝∠EOF＝60°， ∴∠BOE﹣∠COE＝∠BOC＝60°，∠BOE﹣∠BOF＝∠EOF＝60°， ∴∠BOE与∠COE互为“优角”，∠BOE与∠BOF互为“优角”， 综上所述：图中互为“优角”的共有7对． 故选：B． 8．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，∠ABC＝60°，∠C＝∠DBE＝90°，其中A，D，B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（　　） A．55° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【解答】解：∵BM为∠ABC的平分线， ∴∠CBM∠ABC60°＝30°， ∵BN为∠CBE的平分线， ∴∠CBN∠EBC（60°+90°）＝75°， ∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝75°﹣30°＝45°． 故选：C． 9．如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（　　） A．β B．（α﹣β） C．αβ D．α 【答案】D 【解答】解：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α+β， ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， ∴∠NOC∠BOC，∠MOC∠AOC， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC． 故选：D． 10．如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC+∠BOD＝90°，其中正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【解答】解：∵OB，OD分别平分∠COD，∠BOE， ∴∠COB＝∠BOD＝∠DOE， ∴∠COB+∠BOD＝∠BOD+∠DOE， 即：∠COD＝∠BOE，因此①正确； ∠COE＝∠COB+∠BOD+∠DOE＝3∠BOD，因此②正确； ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOC＝90°＝∠AOC+∠BOD，因此④正确； ∵∠AOC≠2∠BOC＝∠BOE，因此③不正确； 故选：A． 11．已知∠AOB＝80°，射线OC和射线OD在∠AOB内部，且∠AOC＝30°，∠COD＝40°，射线OE，OF分别平分∠BOC，∠COD，则∠EOF＝　5　 °． 【答案】5． 【解答】解：由题意，画图如下： ∵∠AOB＝80°，∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝80°﹣30°＝50°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE． ∵∠COD＝40°，OF平分∠COD， ∴， ∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝25°﹣20°＝5°． 故答案为：5． 12．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB　＞　 ∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，取格点E，使OA＝OE，作射线OE， 则∠AOB＝∠DOE， ∵∠DOE＞∠COD， ∴∠AOB＞∠COD， 故答案为：＞． 13．如图，OA的方向是北偏东20°，OB的方向是北偏西35°，OA平分∠BOC，则OC的方向是 　北偏东75°　 ． 【答案】北偏东75°． 【解答】解：如图，∠BON＝35°，∠NOA＝20°， ∴∠BOA＝∠BON+∠NOA＝55°， ∵OA平分∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOA＝55°， ∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝20°+55°＝75°， ∴OC的方向是北偏东75°． 故答案为：北偏东75°． 14．如图，将一副三角尺的两个锐角（45°角和60°角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1＝22°，则∠2的度数为　37　 °． 【答案】37°． 【解答】解：∵∠1＝22°，∴三角板重合部分的角的度数＝45°﹣∠1＝23°， ∴∠2＝60°﹣23°＝37°． 故答案为：37°． 15．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“启仔等分线”．如图2，∠MPN＝80°，若射线PE绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，当∠EPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（秒）．当t＝ 　秒或5秒　 时，射线PN是∠EPM的“启仔等分线”． 【答案】5秒或秒． 【解答】解：由题意，可分四种情况： （1）当∠MPE＝3∠EPN时，∠EPN＝80°÷2＝40°，所以t＝ 40°÷8°＝5秒； （2）当∠MPN＝3∠EPN时，∠EPN＝80°÷3°，所以t＝ °÷8°秒； （3）当∠MPE＝3∠MPN时，∠EPN＝80°×2＝160°，所以t＝ 160°÷8°＝20秒，此时∠MPE＝80°+160°＝240°，不符合提议； （4）当∠NPE＝3∠MPN时，∠EPN＝80°×3＝240°，不符合条件“当∠EPN首次等于180°时停止旋转”，舍去． 故答案为：5秒或秒． 16．计算： （1）35°45′+23°29′﹣53°17′ （2）67°31′+48°39′﹣21°17′×5 【答案】（1）5°57′； （2）9°45′． 【解答】解：（1）35°45′+23°29′﹣53°17′ ＝58°74′﹣53°17′ ＝5°57′； （2）67°31′+48°39′﹣21°17′×5 ＝67°31′+48°39′﹣106°25′ ＝115°70′﹣106°25′ ＝9°45′． 17．如图，O为直线DA上一点，∠AOB＝130°，OE是∠AOB的平分线，∠FOB＝90°． （1）求∠DOB的度数． （2）求∠AOF和∠FOE的度数． 【答案】（1）50°； （2）∠AOF＝40°，∠FOE＝25°． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝130°，∠DOB+∠AOB＝180°， ∴∠DOB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣130°＝50°． （2）∵∠BOF＝90°，∠AOB＝130°， ∴∠AOF＝∠AOB﹣∠BOF＝130°﹣90°＝40°， ∵OE平分∠AOB， ∴． ∴∠FOE＝∠AOE﹣∠AOF＝65°﹣40°＝25°． 18．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°． （1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数． （2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°， ∴∠AOD＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOB＝2∠AOD＝100°； （2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOCAOBx， ∴x﹣x＝20°， 解得x＝40°， ∴∠AOB＝3x＝120°． 19．已知∠AOB＝a，OM、ON分别在∠AOP、∠BOP内部旋转，OM从OP出发绕点O以1°/s的速度逆时针旋转，ON从OB出发绕点O以3°/s的速度逆时针旋转，∠NOP＝3∠AOM．设运动时间为t秒． （1）求∠AOP的度数．（用含a的代数式表示） （2）当，求证：OM平分∠AOP． （3）运动过程中，当OM⊥ON时，3∠PON＝5∠BON，求α的值． 【答案】（1）； （2）证明：见解析； （3）α＝160°； 【解答】（1）解：设∠AOM＝x，则∠NOP＝3x．∵OM从OP出发绕点O以1°/s的速度逆时针旋转，运动时间为t秒， ∴∠POM＝t°，则∠AOP＝∠AOM+∠POM＝（x+t）°， ∵ON从OB出发绕点O以3°/s的速度逆时针旋转，运动时间为t秒， ∴∠BON＝3t°， 又∵∠AOB＝∠AOP+∠PON+∠BON，即α＝（x+t）+3x+3t，化简可得4x+4t＝α， 即x+t， ∴∠AOP； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 故，， 即， ∴， ∴∠AOM＝∠POM， 即OM平分∠AOP． （3）当OM⊥ON时，∠MON＝90°， ∵OM从OP出发绕点O以1°/s的速度逆时针旋转，ON从OB出发绕点O以3°/s的速度逆时针旋转，运动时间为t秒， 则∠MOP＝t，∠BON＝3t． ∴∠PON＝∠MON﹣∠MOP＝90°﹣t ∵3∠PON＝5∠BON， ∴3（90﹣t）＝5×3t， 解得t＝15°， 设∠AOM＝x，则∠NOP＝3x， ∴∠NOP＝3x＝∠MON﹣∠MOP＝90°﹣t＝90﹣15°＝75°， 解得：x＝25°， 由（1）知， ∴， ∴α＝160°． 20．如图甲，已知线段AB＝24cm，CD＝6cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点． （1）若AC＝8cm，则EF＝　15　 cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； （3）对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD． ①若∠AOB＝144°，∠COD＝36°，求∠EOF； ②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 【答案】（1）15； （2）EF的长度不变，理由见解答； （3）①90°；②． 【解答】解：（1）∵AB＝24cm，CD＝6cm，AC＝8cm， ∴DB＝10cm， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴CEAC＝4cm，DFDB＝5cm， ∴EF＝4+6+5＝15（cm）， 故答案为：15； （2）EF的长度不变，理由： ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴ECAC，DFDB， ∴EF＝EC+CD+DF AC+CDDB （AC+DB）+CD （AC+CD+DB﹣CD）+CD （AB﹣CD）+CD （AB+CD）， ∵AB＝24cm，CD＝6cm， ∴EF（24+6）＝15（cm）； （3）①：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF ∠AOC+∠COD （∠AOC+∠BOD）+∠COD ∠AOB∠COD （144°+36°） ＝90°； ②， 理由：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF ∠AOC+∠COD （∠AOC+∠BOD）+∠COD ∠AOB∠COD ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $