精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

普集高中2025-2026学年度第一学期高二年级第三次月考 数学试题 命题人：段玲莉 审题人：刘益华 总分值：150分 试题范围：选择性必修一全册及必修二数列部分 考试时间：120分钟 注意事项： 1、答题前填写自己的班级，姓名，考号，座位号等信息. 2、请将答案填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 2. 若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 3. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 在数列中，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 已知实数，满足：，则的取值范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载三角垛如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为（ ） A 100 B. 120 C. 128 D. 240 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 10 已知圆，直线，则（ ） A. 直线与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被轴截得的弦长为 D. 当圆被截得的弦长最短时，的方程为 11. 如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆标准方程可以是 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为3 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知向量若，则实数x的值是___． 13. 设动点满足，则点的轨迹的离心率为___________． 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，若点为椭圆上的动点，则的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 16. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知双曲线C：（）. （1）若双曲线的离心率，求实数m的值； （2）若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； （3）直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普集高中2025-2026学年度第一学期高二年级第三次月考 数学试题 命题人：段玲莉 审题人：刘益华 总分值：150分 试题范围：选择性必修一全册及必修二数列部分 考试时间：120分钟 注意事项： 1、答题前填写自己的班级，姓名，考号，座位号等信息. 2、请将答案填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般方程平行的关系得，进而解方程并检验即可. 【详解】直线与平行， 则，解得或， 经检验，当时，，，重合，舍去， 当，，，满足题意. 所以实数的值为 故选：B. 2. 若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心坐标，根据圆心在直线上求得参数，然后可得圆的半径. 【详解】由题意，得圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为． 因为圆心在直线上，所以，解得，所以半径. 故选：A. 3. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，结合几何意义，求得的最小值为点到抛物线准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则的最小值为6． 故选：C 4. 在数列中，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式计算可得. 【详解】∵，， ∴，，，. 故选：C. 5. 已知实数，满足：，则的取值范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】确定圆心和半径，将题目转化为点和点直线的斜率，画出图像，计算角度，计算斜率得到答案. 【详解】表示圆心为，半径的圆， 表示点和点直线的斜率， 如图所示：直角中，，故， ，故，同理可得，对应的斜率为和. 故， 故选：A 6. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设在第一象限，结合条件，由双曲线的定义得， 再结合条件及间的关系可得，即可求解. 【详解】如图，不妨设在第一象限，则①，又②， 由①②得到，又由题知， 所以，整理得到， 所以，则，即，所以双曲线的渐近线为， 故选：D. 7. 已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为（ ） A. 100 B. 120 C. 128 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】依据规律找出每一层小球数构成的数列的递推关系，利用累加法求出通项，从而求出第15项即可. 【详解】设第层的小球个数为， 依题意，，且当时，， 当时，， 满足上式，因此， 所以，即第15层有120个小球， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：利用空间向量共面定理判断；对于C：举反例分析判断；对于D：根据空间向量共面的推论判断. 【详解】对于A：因为，且， 所以，，三点共线，故A正确； 对于B：由空间向量共面定理可知，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于C：例如满足，由，可知， 即共线同向，即与的夹角为，故C错误； 对于D：因，且， 根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，故D正确. 故选：ABD 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线与圆相交 B 直线过定点 C. 圆被轴截得的弦长为 D. 当圆被截得的弦长最短时，的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识和位置关系进行逐项求解即可. 【详解】对于A：将直线变形为，则有 ，解得，所以直线过定点， 而，所以该定点在圆的内部，所以直线与圆相交，A正确； 对于B：将直线变形为，则有 ，解得，所以直线过定点，B错误； 对于C：因为圆心到轴的距离为1，所以该圆被轴截得的弦长为，C正确； 对于D：由B可知直线过定点，所以当圆被直线截得的弦长最短时，. 因为，所以直线与轴平行， 所以，那么此时直线的方程为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆的标准方程可以是 C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用已知条件，结合椭圆的定义和性质，求出椭圆的长半轴长，短半轴长，进而分析判断各选项． 【详解】设圆柱的底面圆半径为，则，截面与底面夹角， 截面椭圆的短半轴，长半轴， 选项A：椭圆的长轴长等于，故A错误； 选项B：椭圆的标准方程为，不是，故B错误； 选项C：椭圆的离心率，故C错误； 选项D：椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABC． 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知向量若，则实数x的值是___． 【答案】﹣4或1． 【解析】 【分析】根据向量垂直，则数量积为0，可得到关于x 的方程，解之即可． 【详解】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x＝0，整理得到x2+3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或1． 故答案为：﹣4或1． 【点睛】本题考查了空间向量垂直， 考查了数量积的计算公式，属于基础题. 13. 设动点满足，则点的轨迹的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及离心率计算公式求得正确答案. 【详解】由，得点到这两个点距离之和为10． 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，10为长轴长的椭圆， 则，所以点的轨迹的离心率为． 故答案为： 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，若点为椭圆上的动点，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得，利用向量的坐标运算表示，根据在椭圆上，将式子代换为，再根据横坐标的取值范围，即可求得结果. 【详解】，，焦点坐标 设，P点在椭圆上，所以，且， 化简可得：， 又，，即的取值范围为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）先设出点Q和点P的坐标，再根据向量关系得到坐标之间的关系，最后将点P的坐标代入圆C的方程，从而得到点Q的轨迹方程. 【小问1详解】 因为，所以点A在圆外， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 设，，则. 因为，所以，即. 又因为点在圆C：上，所以. 将代入可得， 整理得，即点Q的轨迹方程为. 16. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系即可求解； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解； （3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且. 18. 已知双曲线C：（）. （1）若双曲线的离心率，求实数m的值； （2）若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； （3）直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式求解即可； （2）根据双曲线的离心率公式的运用，计算求解即可； （3）联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C与直线相交于互异两点列出不等式组，求解即可； 【小问1详解】 由已知，可得，解得； 【小问2详解】 由已知，可得；解得； 【小问3详解】 联立方程组；消去y得 而双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或；依题意得， 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角形面积，再利用基本不等式求出最大值. 小问1详解】 由椭圆：的短轴长为4，得， 由椭圆的离心率，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线方程为，， 由消去并整理得， ，解得，则， ， 原点到直线的距离，因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $