第六单元　圆 课件 2026年中考数学一轮复习（江苏）

该初中数学中考复习课件聚焦圆中最值这一核心考点，严格对接中考说明，分析考点权重如点圆最值3年2考、线圆最值3年1考，系统归纳过圆内点的弦长、点与圆及线与圆位置关系的距离最值等常考题型，备考针对性与实用性强。 课件亮点在于“方法拆解+真题训练”模式，通过例2中Rt△ABC内∠BEC=90°确定E的圆轨迹，利用几何直观与推理意识，示范“轨迹定位+距离转化”求AE最小值的突破方法。综合训练题覆盖易错点，帮助学生掌握应试技巧，教师可依此高效指导中考冲刺复习。

第六单元　圆 第26课时　圆的基本性质 章前复习思路 圆锥的侧面展开图是扇形 确定圆 的条件 与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 相交 弦：垂径定理 角：圆周角定理及推论； 弦、弧、圆心角的关系 形：三角形的外接圆； 圆内接四边形； 正n边形和圆 相切 切线的性质与判定 三角形的内切圆 切线长定理 相离 圆 与圆有关的计算 轴对称性 旋转不变性 中心对称性 圆的性质 阴影部分常转化为扇形 弧长和面积计算 圆锥的相关计算 阴影部分面积计算 节前复习导图 圆的基本 性质 与圆的有关概念 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论 与圆有关 的性质 对称性 旋转不变性 圆内接四边形 弧、弦、 圆心角的关系 三角形 的外接圆 定义 圆心 性质 角度关系 正多边形和圆 中心角 边心距 周长 面积 1 考点梳理 2 江苏真题随堂练 3 分层作业本 考点梳理 一、与圆的有关概念(如图①) ⊙O的半径为5，点A，B，C，D均在⊙O上，线段AB过圆心O，且D为的中点，连 接AC，OC，OD. 1. 图中∠CAB是 (填“圆周角”或“圆心角”)，∠AOC和∠BOD是 ⁠ ⁠(填“圆周角”或“圆心角”) 2. 图中的弦有 ，其中最长的弦为 ，它的长度为 ⁠ 3. 图中是 ⁠(填“优弧”或“劣弧”)　 圆周角 圆心 角 AB和AC AB 10 优弧 图① 返回思维导图 返回目录 二、与圆有关的性质 1. 对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的 对称轴， ⁠是它的对称中心 2. 旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合 圆心 返回思维导图 返回目录 三、圆周角定理及其推论(如图②) 定理 1. ，即∠BAC=∠BOC 2. ，即∠BAC=∠BDC 推论：直径(或半圆)所对的圆周角是 ⁠，90°的圆周角所对的弦 是 ⁠ 【满分技法】1.一条弦对着两条弧，其中一条弧所对的圆周角与另一条弧所对的圆周 角互补； 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 直角(或90°) 直径 图② 2. 一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角 返回思维导图 返回目录 四、垂径定理及其推论 1. 定理：垂直于弦的直径 ，并且 这条弦所对的两条弧(2022版课标 调整为考查内容) 2. 推论：平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且 ⁠弦所对的弧 平分弦 平分 垂直 平分 【满分技法】根据圆的对称性，如图③所示，在以下五个结论中：(1)= ⁠； (2) 　　=；(3)AE= ；(4)AB⊥CD；(5)CD是直径，只要满足其中的两个结论，另外三个结论一定成立，即知二推三，若由(3)(5)推其他3个 结论应满足AB不是直径 ​ ​ BE 图③ 想一想：图③中过点E最长和最短的弦分别是哪条？ 返回思维导图 返回目录 五、弦、弧、圆心角的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ⁠ 2. 推论 (1).在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ⁠，所对的 弦 ⁠ (2).在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ⁠，所对的优弧 和劣弧分别 ⁠ 【满分技法】在同圆或等圆中，若=2，则所对的圆心角(或圆周角)等于所 对的圆心角(或圆周角)的2倍，但弦AB≠2CD 相等 相等 相等 相等 相等 相等 返回思维导图 返回目录 六、三角形的外接圆(如图④) 1. 定义：经过三角形三个顶点的圆 2. 圆心O：外心(三角形外接圆的圆心或三角形三条边的 ⁠的交点) 3. 性质：三角形的外心到三角形的 ⁠的距离相等 4. 角度关系：∠BOC=2∠A，∠BOC=360°－2∠A′ 垂直平分线 三个顶点 【知识拓展】若在Rt△ABC中，a，b是Rt△ABC的直角边，c为斜边，则外接圆的半 径r= 图④ 返回思维导图 返回目录 七、圆内接四边形(如图⑤) 1. 圆内接四边形的对角 ，即∠B＋∠D= ⁠ 2. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即∠DCE= ⁠ 图⑤ 互补 180° ∠A 返回思维导图 返回目录 八、正多边形和圆 名称 公式 图例 中心角 正n边形的每个中心角θ为 ⁠ R：半径　 r：边心距 a：边长　 θ：中心角 边心距 正n边形的边心距r= 周长 正n边形的周长l=na(a为正n边形的边长) 面积 正n边形的面积S= lr(l为正n边形的周长) ​ ​ 返回思维导图 返回目录 江苏真题随堂练 与圆有关的概念(3年2考) 命题点 1 1. (2024连云港5题) 如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重 物.将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路 径的形状为(　C　) A. 倾斜直线 B. 抛物线 C. 圆弧 D. 水平直线 C 返回目录 2. (2023连云港5题)如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的 图形；乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心 O的两 条线段与一段圆弧所围成的图形.下列叙述正确的是(　B　) A. 只有甲是扇形 B. 只有乙是扇形 C. 只有丙是扇形 D. 只有乙、丙是扇形 B 返回目录 圆周角定理及其推论(3年3考)( ⁠快答App∙答疑高频考点4 420次) 命题点 2 3. (苏科九上习题改编)如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，D是劣弧 BC的中点，连接AC，AD. 若∠BAD=27°，则∠BAC= ⁠°. 【解析】∵D是，∴∠DAC=∠BAD=27°， ∴∠BAC=2∠BAD=54°. 54 返回目录 题后反思 若点C，D，B保持不动，点A在优弧BC上(不与点B，C重合)移动，则 ∠BAC的平分线始终过点D吗？为什么？ 【题后反思】 ∠BAC的平分线始终过点D. 理由：∵D是劣弧BC的中点，∴， ∴∠DAC=∠BAD(等弧所对的圆周角相等)， ∴点A在优弧BC(不与点B，C重合)上移动时， ∠DAC和∠BAD一直保持相等， ∴∠BAC的平分线始终过点D. 返回目录 4. (2024盐城12题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=40°，连接 OA，OB，则∠OAB= ⁠ °. 【解析】∵∠C=40°，∴∠AOB=2∠C=80°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=×(180°－∠AOB)=50°. 50 返回目录 5. (2024连云港14题)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均 在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋ ∠3＋∠4= ⁠°. 【解析】∵AB是圆的直径，∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为 180°，∵∠1，∠2，∠3，∠4所对的弧的和为半圆，∴∠1＋∠2＋∠3＋ ∠4=×180°=90°. 90 返回目录 6. (2024常州14题)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD， BC，BD. 若∠BCD=20°，则∠ABD= ⁠°. 【解析】∵∠BCD=20°，∴∠A=∠BCD=20°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°－∠A=70°. 70 返回目录 7. (苏科九上复习题改编)如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，⊙O是 △ABC的外接圆，若⊙O的半径为1，求证：AC∙BC=2CD. 解：证明：如解图，过点C作⊙O的直径CE，连接AE， 解图 返回目录 ∴∠CAE=90°， ∵CD是△ABC的高，∴∠BDC=90°， ∵∠E=∠B，∴△AEC∽△DBC， ∴=， ∵⊙O的半径为1，∴CE=2， ∴=， ∴AC∙BC=2CD. 解图 返回目录 垂径定理及其推论 命题点 3 8. 如图，工人师傅准备用一个内径为20 cm的塑料圆管截一段引水槽，槽 口宽度AB为16 cm，OC⊥AB，则槽的深度CD为(　A　) A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 【解析】∵塑料圆管的内径为20 cm，∴塑料圆管的半径为10 cm，即 OA=10 cm，∵OC⊥AB，AB=16 cm，∴AD=DB=AB=8(cm)，在 Rt△ADO中，由勾股定理得，OD==6(cm)，∴CD=OC－ OD=10－6=4(cm). A 返回目录 9. (苏科九上习题改编)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的 弦，AB⊥CD，垂足为E，连接OC，AD，BD，CD=8，∠A=30°. (1)∠BDC= ⁠°； (2)CE的长为 ⁠； (3)∠OCD= °； 30 4 30 返回目录 AB是⊙O的直径，AB⊥CD，CD=8，∠A=30°. (4)⊙O的半径为 　​　，BE的长为 　​　. ​ ​ 【解析】由(2)得，CE=DE=4，由(3)得，∠OCD=30°， 在Rt△OCE中，OC==， OE=CE∙tan∠OCE=， ∴BE=OB－OE=OC－OE=. 返回目录 圆内接四边形(3年1考) 命题点 4 10. (苏科九上习题改编)如图，四边形ABCD内接于⊙O，C是的中点，∠A=40°，连接BD，则∠CBD的度数为 ⁠°. 【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=40°，∴∠BCD=180°－40°=140°， ∵C为中点，∴CD=CB， ∴∠CDB=∠CBD=×(180°－140°)=20°. 20 一题多解法 返回目录 解法二：如解图，连接AC，∵C是， ∵∠BAD=40°，∴∠CBD=∠CAB=∠CAD=∠BAD=20°. 解图 返回目录 11. (2023淮安14题)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的 直径，BC=2CD，则∠BAD的度数是 ⁠°. 120 【点拨】如图，连接BD，∠BDC=90°，∠CBD=30°，∴∠BCD=60°， 由圆内接四边形性质得， ∴∠BAD=180°－∠BCD. 返回目录 正多边形与圆(3年1考) 命题点 5 12. (苏科九上操作与思考改编)如图，正六边形ABCDEF内接 于⊙O，连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于点G，已知⊙O的半径为2. (1)∠AOB的度数为 ，∠ABC的度数为 ⁠； 【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB==60°，∠ABC==120°. 60° 120° 返回目录 (2)AB= ⁠； 【解析】∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵⊙O的半径为2，∴AB=OA=OB=2. 2 12. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于点G，已知⊙O的半径为2. 返回目录 (3)边心距OG= 　​　； 【解析】∵OA=OB，OG⊥AB，∴∠AOG=∠BOG=30°， ∴OG=OB∙cos∠BOG=2×=. ​ 12. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于点G，已知⊙O的半径为2. 返回目录 ( 4)正六边形ABCDEF的面积为 　. 【解析】由(2)得，AB=2，△AOB是等边三角形，∴△AOB的面积为 ×2×2=，∴正六边形ABCDEF的面积为6×=6. 6 12. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于点G，已知⊙O的半径为2. 返回目录 $ 第六单元　圆 第28课时　与圆有关的计算 节前复习导图 与圆有关 的计算 圆锥的相关计算 弧长公式 圆的周长 扇形弧长 面积公式 圆的面积 扇形面积 阴影部分 面积的计算 1 考点梳理 2 多设问串核心 3 江苏真题随堂练 4 分层作业本 考点梳理 一、弧长公式 1. 圆的周长：C= ⁠ 2. 扇形弧长：l= ⁠ 2πr ​ 二、面积公式 1. 圆的面积：S= ⁠ 2. 扇形面积：S扇形= 　​　=rl 　　　　 πr2 ​ r为圆(或扇形)的半径， n°为弧所对的圆心角的度数， l是扇形的弧长 返回思维导图 返回目录 三、圆锥的相关计算 1. r为圆锥底面圆的半径，则底面圆的面积S= ，周长C= ⁠ 2. r为圆锥底面圆的半径，n°为圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数，l既为圆锥的母 线长，又为圆锥侧面展开图的扇形的半径，则n= ⁠ 3. h为圆锥的高，l为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆的半径，则r2＋ =l2 4. 圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开图的扇形的 ，即2πr= ⁠ 5. 圆锥的侧面积为πrl πr2 2πr ​ h2 弧长 ​ 返回思维导图 返回目录 【满分技法】圆锥与扇形的关系： 1. 圆锥的侧面展开图是扇形； 2. 圆锥的底面周长等于其侧面展开后所得扇形的弧长； 3. 圆锥的母线长等于其侧面展开后所得扇形的半径 返回思维导图 返回目录 四、阴影部分面积的计算 1. 规则图形：直接用面积公式计算； 2. 不规则图形：①割补法；②拼凑法；③等积转化法 注：实质是转化，即将不规则图形的面积转化为规则图形的面积或几个规则图形面积 的和或差 返回思维导图 返回目录 多设问串核心 基础题固考点 1. 如图，已知扇形AOB. (1)若∠AOB=50°，OA=3，则的长为 　​　，扇形AOB的面积为 　​ 　； (2)若∠AOB=75°，的长为2.5π，则OA的长为 ⁠； ​ ​ 6 (3)若∠AOB=60°，OA=2，用扇形AOB围成的圆锥的 底面圆半径为 　​　，高线为 　​ 　. ​ ​ 返回目录 综合题明考法 与圆有关的阴影部分面积计算 方法一　直接公式法 直接公式法(所求阴影部分面积为扇形) 返回目录 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，以点A为圆心，AD为半径的弧 交BC于点E，则阴影部分的扇形面积是(　D　) A. π B. π C. 2π D. 3π D 返回目录 3. (苏科九上复习题改编)如图，AB是⊙O的切线，连接OB交⊙O于点C， 若⊙O的半径为2，∠B=40°，连接OA，则图中阴影部分的面积为 　​　. 【解析】∵AB是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴∠OAB=90°， ∵∠B=40°，∴∠AOB=90°－∠B=50°，∵⊙O的半径为2，∴S阴影=S扇 形AOC==. ​ 返回目录 方法二　转化法 直接等面积转化法(CD∥AB) 平移转化法(E，F分别为AB，CD的中点，AB=2AD) 返回目录 对称转化法(D为AB的中点) 返回目录 4. (苏科九上复习题改编)如图，在正方形ABCD中，AB=1，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交CB的延长线于点E，连接DE. 求图中阴影部分的面积. 解：如图，设AB，DE交于点F， F 根据题意可知BE=AD， 在正方形ABCD中，∠FAD=∠ABC=90°，AD∥BC， ∴∠ADF=∠BEF， ∴△ADF≌△BEF， ∴S阴影=S阴影AEF＋S△ADF=S阴影AEF＋S△BEF =S扇形ABE==. 返回目录 题后反思 你还有其他方法求阴影部分面积吗？ 解：在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=1， ∴BE=1，∠ABE=90°，BC=CD=1， ∴BE＋BC=CE=2， ∴S阴影=S扇形ABE＋S正方形ABCD－S△DCE =＋1×1－×2×1=. 返回目录 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于 点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，求阴影部分的面积. 解：如图，连接OE，OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC=90°， ∵AB=AC， ∴BE=CE，即E是BC的中点， ∵O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， 返回目录 ∴S△AOD=S△AED， ∴S阴影=S扇形AOD， ∵∠AEC=90°， ∴∠AEB=90°， ∵∠BED=45°， ∴∠AED=45°， ∴∠AOD=90°， ∵AB=AC=2， ∴OA=AC=1， ∴S阴影=S扇形AOD==. 返回目录 6. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，以点B为圆心，AB长为半 径作弧交BC于点E，以点C为圆心，CE长为半径作弧交CD于点D，求图中 阴影部分的面积. 解：∵BC=2AB=4，以点B为圆心，AB长为半径作弧交BC于点E， ∴E为BC的中点，即扇形ABE与扇形DCE半径相同，均为2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE＋∠DCE=180°， 返回目录 如解图，将扇形ABE平移至AB与DC重合的位置，点E的对应点为E′， ∴S阴影=S半圆C==2π. 解图 返回目录 方法三　和差法 直接和差法(所求阴影部分面积可以看作扇形、三角形、特殊四边形的面积相加减) 返回目录 构造和差法(连半径，找和差，用公式法表示扇形、三角形、特殊四边形的面积再进行加减) 返回目录 7. (苏科九上复习题改编)如图，在扇形AOB中，已知∠AOB=90°，OA=，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，求图中 阴影部分的面积. 解：∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°， ∴四边形CDOE是矩形， 如解图，连接OC， ∵C是的中点， ∴∠AOC=∠BOC， 返回目录 ∴CD=CE， ∴四边形CDOE是正方形， ∵OC=OA=， ∴OE=1， ∴S阴影=S扇形AOB－S正方形CDOE=－1×1=－1. 返回目录 8. (苏科九上习题改编)如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上， DC与⊙O相切，切点为C，若∠ACD=120°，AB=2，求阴影部分的面积. 解：如图，连接BC，OC， ∵∠ACD=120°，∠ACB=90°， ∴∠BCD=120°－90°=30°， ∵DC与⊙O相切， ∴∠DCO=90°， ∴∠BCO=60°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠BOC=60°， 返回目录 ∵AB=2， ∴OC=1， ∴OD=2OC=2，CD=OC=， ∴S阴影=S△OCD－S扇形BOC=××1－=－. 返回目录 方法四　容斥原理法 容斥原理法(所求阴影部分面积由两个基本图形相互重叠) 返回目录 9. 如图，等边△ABC的边长为2，分别以等边△ABC的三个顶点为圆 心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形，求图中阴影部 分的面积. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∟ D ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD⊥BC， ∴BD=CD=1，AD=， ∴S△ABC=BC∙AD=，S扇形BAC==π， ∴S阴影=3(S扇形BAC－S△ABC)=3×(π－)=2π－3. 返回目录 江苏真题随堂练 与弧长有关的计算(3年5考) 命题点 1 1. (2025连云港13题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若 ⊙O的半径为2，则劣弧的长为 ⁠. π 返回目录 2. (2024宿迁15题)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆 心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 　 ⁠. π 返回目录 3. (2023镇江10题)如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A，B为圆心、大 于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP=35°，则的长l=  　　　　.(结果保留π) π　 返回目录 4. (2025苏州14题)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28 个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高 点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转 一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿 厢所经过的路径(即)长度为 m.(结果保留π) 40π 返回目录 【解析】∵最高点离水面平台MN的距离为128 m，圆心O到MN的距离为 68 m，∴摩天轮的半径为128－68=60(m)，∵摩天轮匀速旋转一圈用时30 min，轿厢从点A出发，10 min后到达点B，∴∠AOB=×360°=120°， ∴该轿厢所经过的路径长度为=40π(m). 返回目录 圆锥的相关计算(3年4考) 命题点 2 5. (2024盐城13题)已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积 为 ⁠. 6. (2024扬州13题)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面， 则这个圆锥底面圆的半径为 ⁠cm. 7. (2023宿迁15题)若圆锥的底面半径为2 cm，侧面展开图是一个圆心角为 120°的扇形，则这个圆锥的母线长是 ⁠cm. 20π 5 6 返回目录 8. (2023徐州16题)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇 形.若母线长l为6 cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r 为 ⁠cm. 【解析】由题意可知2πr=，解得r=2. 2 返回目录 9. (2023苏州15题)如图，在▱ABCD中，AB=＋1，BC=2，AH⊥CD， 垂足为H，AH=.以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分 别交于点 E，F，G. 若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面 圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的 半径为r2，则r1－r2= 　​ 　​ 　.(结果保留根号) ​ 返回目录 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=2，AH=，AH⊥CD，∴HD=1，∴∠D=60°，∴∠DAB=120°，∵AB=CD=＋1，∴CH=，∴∠ACH=45°，∴∠EAF=45°，则的长为=π，则r2=，则r1－r2=. 返回目录 与圆有关的阴影部分面积计算(3年3考) 命题点 3 10. (2023连云港8题)如图，矩形 ABCD内接于⊙O，分别以 AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆.若 AB=4，BC=5，则阴影部分的面积是(　D　) A. π－20 B. π－20 C. 20π D. 20 D 【点拨】如图，连接AC，S阴影=S矩形ABCD＋π×()2＋π×()2－π×()2=S矩形ABCD. 返回目录 【解析】如解图，连接AC，∵矩形ABCD内接于⊙O，AB=4，BC=5， ∴AC2=AB2＋BC2，∴S阴影=S矩形ABCD＋π×()2＋π×()2－π×()2=S矩形 ABCD＋π×(AB2＋BC2－AC2)=S矩形ABCD=4×5=20. 解图 返回目录 11. (2023宿迁25题)(1)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE，DB， 　　　.求证：  　　　．从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选．择．一．个．作为已知条件，余．下．的．一．个．作为结论，将题目补充完整(填．写．序．号．)，并完成证明过程； 证明：如图，连接OD， ∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO， ∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAO， ∴∠ADO=∠DAC，∴AC∥DO， ∵DE与⊙O相切，∴∠ODE=90°，∴∠AED=90°， ∴DE⊥AC； 一题多解法 返回目录 解法二：证明：如解图，连接OD， ∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO， ∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAO， ∴∠ADO=∠DAC， ∴AC∥OD， ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切； (答案不唯一，任选一种作答即可) 解图 返回目录 AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE，DB，①DE 与⊙O相切；②DE⊥AC． (2)在(1)的前提下，若AB=6，∠BAD=30°，求阴影部分的面积. 解：如图，连接OF， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°， ∵∠BAD=30°，AB=6， ∴AD=AB∙cos 30°=3，OD=AB=3， ∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB=30°， ∴∠DOF=2∠DAC=60°， 返回目录 ∵∠DEA=90°， ∴ED=AD=，AE=AD∙cos 30°=， ∴S阴影=S四边形AODE－S△AOF－S扇形FOD =－×3×－=－. 返回目录 $ 第六单元　圆 微专题　构造辅助圆 一阶　方法训练 方法一　定点定长作圆 方法 用“圆的定义”→现“圆” 图形 基础图形 构造辅助圆思路 O为定点，OA为定长 以定点O为圆心，定长OA为半径，构造辅助圆 原理 同圆半径相等 返回目录 几何画板动态演示 温馨提示：点击查看原文件 返回目录 例1　如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=84°. (1)点B，C，D可以看作定点定长的圆上的点，圆心为点 ⁠，半径长 为 ⁠，请在图中画出该圆； 解：画出该圆如解图； 解图 A AB(或AC或AD)的长 返回目录 例1　如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=84°. (2)∠CBD= ⁠°. 【解析】∵AB=AC=AD，∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB(或 AC或AD)长为半径的圆上的三个点，∴∠CBD是所对的圆心角， ∵∠CAD=84°， ∴∠CBD=∠CAD=×84°=42°. 42 解图 返回目录 例2　( )如图，一个长2米的梯子AB放在墙角(∠ACB=90°)，P为AB 的中点，若梯子AB沿墙从竖直状态下滑至水平放置，则在下滑的过程 中，点P运动的路径长度为  　　　　米. 【解析】∵∠ACB=90°，AB=2，P为AB中点，∴CP=1，∴点P的轨迹在 以C为圆心，1为半径的⊙C上，∴点P移动的路径长度为=(米). ​ 返回目录 方法二　定弦定角作圆(3年1考) 方法 见顶角→找对边→想周角→转心 角→现“圆” 见直角→找斜边→想直径→ 定外心→现“圆” 图形 基础图形 构造辅助圆思路 基础图形 构造辅助圆思路 返回目录 图形 在△ABC 中，AB为定长，∠C为定角，C为动点 (作△ABC的外接圆)以2∠C为顶角，AB为底边长作等腰三角形，再以等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径，构造辅助圆 在△ABC 中，AB为定长，∠C=90°，C为动点 (作△ABC的外接圆)以AB的中点为圆心，AB的一半长为半径，构造辅助圆 原理 同弧所对的同侧圆周角相等 返回目录 几何画板动态演示 温馨提示：点击查看原文件 返回目录 例3　如图，在△ABC中，BC=6，∠A=45°，定弦是 ⁠，定角 是 ，在图中画出点A的运动轨迹. 解：如解图，点A的运动轨迹为优弧(不包含B，C两点). BC ∠A 解图 返回目录 例4　如图，在正方形ABCD中，BC=4，E是正方形内部一点，且 ∠BEC=90°，则定弦是 ，定角是 ，请在图中画出点E 的运动轨迹. 解：如解图，点E的运动轨迹为以BC的中点O为圆心的半圆 (不包含B，C两点). BC ∠BEC 解图 返回目录 方法三　定角定高作圆(3年1考) 方法 见顶角→找对边→想周角→转心角→现“圆” 图形 基础图形 构造辅助圆思路 线段最值求解思路 返回目录 图形 E，F为直线AB上的动点，DC⊥EF，∠EDF为定角，CD为定高 (作△DEF的外接圆)以2∠EDF为顶角， EF为底边长作等腰 三角形，再以等腰三 角形的顶点为圆心， 腰长为半径，构造辅 助圆 圆心O在DC上时， EF取最小值 原理 圆周角恒等 返回目录 几何画板动态演示 温馨提示：点击查看原文件 返回目录 例5　如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，AD为定值. (1)定角是 ，定高是 ⁠； ∠BAC AD (2)请画出当BC取最小值时点A的位置(用点A′表示). 解：如解图，点A′即为所求. 解图 返回目录 方法四　四点共圆(3年1考) 方法 见相等顶角→找对边→四点 共圆→现“圆” 对角互补→四点共圆→现 “圆” 基础图形 ∠C=∠D ∠B＋∠D=180° 返回目录 构造辅助 圆思路 四点共圆 四点共圆 原理 同弧所对同侧圆周角相等 圆内接四边形对角互补 返回目录 几何画板动态演示 温馨提示：点击查看原文件 返回目录 例6　如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC=∠ADC，∠ACB=65°，当AD 取得最大值时. (1)圆心是 ，半径长为 　 ⁠，在图中画出该圆； 解：画出该圆如解图； 解图 AD的中点 AD的长 返回目录 例6　如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC=∠ADC，∠ACB=65°，当AD取得最大值时. (2)∠BCD的度数为 ⁠°. 【解析】∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∴∠BCD=90°－∠ACB=25°. 25 解图 返回目录 二阶　综合训练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部一点，且AE⊥BE，连接CE，则线段CE的最小值为_____________⁠. 2－2 返回目录 【解析】如解图，以AB中点O为圆心，AO长为半径作⊙O，连接CO交 ⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB=4， ∴OA=OB=OE′=2，∵BC=6，∴OC===2， ∴CE′=OC－OE′=2－2，即CE的最小值为2－2. 解图 返回目录 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，P是AD上一动点，连接BP， 将矩形ABCD沿BP折叠，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，在点P从 点D到点A的运动过程中，点C′运动的路径长为______. 2π 返回目录 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，CD=AB=3，在Rt△BCD 中，tan∠CBD===，∴∠CBD=30°，如解图，当点P与点D重合 时，∠CBC′=2∠CBD=60°，∴∠C′BC″=120°，∴点C′在以点B为圆 心，BC′长为半径的圆弧上运动，∴点C′运动的路径长为 =2π. 解图 返回目录 3. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，D为等腰△ABC外一点，且AD=AB， 连接BD，CD，若∠BAC=100°，则∠BDC的度数为 ⁠. 50°或130° 返回目录 【解析】点B，C，D在⊙A上，如解图①，当点D在优弧 上时， ∵AB=AD=AC， ∴∠ABD=∠ADB，∠ADC=∠ACD， ∠ADB=×(180°－∠BAD)， ∠ADC=×(180°－∠DAC)， 解图 返回目录 解图 ∵∠BAD＋∠DAC=∠BAC=100°， ∴∠BDC=∠ADB＋∠ADC=×(360°－100°)=130°. 综上所述，∠BDC的度数为50°或130°. 返回目录 4. 如图，在边长为6的等边△ABC中，P为△ABC内的一个动点，且 ∠PBC=∠PCA，则△PBC面积的最大值为 　. 3 返回目录 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵∠PBC=∠PCA，∴∠PBC＋∠PCB=∠PCA＋∠PCB=∠ACB=60°， ∴∠BPC=120°.如解图，作△BPC的外接圆⊙O，连接AO交BC于点D， 交劣弧于点P′，当点P运动到点P′(即点A，P，O三点共线)时，△PBC 的面积最大，连接BP′，CP′，由题意得∠BOC=2×(180°－ ∠BPC)=120°，∵△ABC为等边三角形，∴OD⊥BC， ∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，∠P′BD=30°， ∵BC=6，∴BD=3，∴P′D=， ∴S△P′BC=BC∙P′D=×6×=3. 解图 返回目录 5. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，D为AB边的中点，连接CD， 过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E. 若∠ACD=30°，则△BCE的面积 为 　​　　​　. ​ 【点拨】如解图，A，C，B，E四点在以BC为直径的圆上.在 Rt△ADC中，∠ACD=30°，CD=4， 在Rt△BDE中，∠EBD=30°，DE=1，BE=， ∴S△BCE=CE∙BE. 解图 返回目录 【解析】∵∠A=90°，BE⊥CE，∴A，C，B，E四点在以BC为直径的圆 上.如解图，∵∠ACE与∠ABE为同弧所对的圆周角， ∴∠ABE=∠ACE=30°，∵D为AB边的中点，AB=4，∴AD=BD=2，在 Rt△ADC中，∠ACD=30°，AD=2，∴CD=4， 在Rt△BDE中，∠EBD=30°，BD=2，∴DE=1，BE=， ∴CE=CD＋DE=4＋1=5， ∴S△BCE=CE∙BE=×5×=. 解图 返回目录 6. ［2025连云港27(4)题考法］如图，在△ABC中，∠ACB=45°，CD为 AB边上的高，若CD=6，则求△ABC面积的最小值. 解：如解图，作△ABC的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于点E，连接 AO，BO，CO， 解图 几何画板动态演示 温馨提示：点击查看原文件 返回目录 ∵OA=OB=OC，∴AE=BE=AB， ∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°， ∴∠OAB=∠OBA=45°， 设⊙O的半径为r，∴OE=BE=r， ∴AB=r， ∵OC＋OE≥CD， ∴r＋r≥6，解得r≥12－6， 解图 返回目录 ∴S△ABC=AB∙CD≥××(12－6)×6=36－36， ∴当C，O，E三点共线，即点D与点E重合时，AB取得最小值， 此时△ABC的面积最小，最小值为36－36. 解图 返回目录 $ 第六单元　圆 微专题　圆中最值问题 一阶　方法训练 方法一　点圆最值(3年2考) 类型一　过圆内一点的弦 位置关系 AB⊥OQ于点P CD与OQ交于点P EQ是过点P的直径 图示 长度关系 AB＜CD＜EQ 返回目录 例1　OA是⊙O的半径，点B在OA上，若OA=5，AB=2，EF是过点B的 ⊙O的弦.求EF的长的取值范围. 解：如解图，当EF⊥OA时，连接OF， 解图 返回目录 ∵OA=5，AB=2， ∴OB=3， ∴BF==4， ∴EF=2BF=8， 当EF是过点B的直径时，EF=10， ∴EF的长的取值范围是8≤EF≤10. 解图 返回目录 类型二　平面内一点到圆上一点的距离 点与圆的位置 关系 图示 辅助线作法 点到圆上一点的距离最值 点在圆外 最小值为AB的长，最大值 为AB′的长 点在圆上 最小值为0，最大值为AB的 长 返回目录 点与圆的位置 关系 图示 辅助线作法 点到圆上一点的距离最值 点在圆内 最小值为AB的长，最大值 为AB′的长 返回目录 例2　如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=10，D是BC的中 点，E是平面内一点，∠BEC=90°，连接AE. (1)在图中画出点E的运动轨迹； 解：(1)点E的运动轨迹为⊙D(不与点B，C重合)，如解图①； 解图① 返回目录 例2　如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=10，D是BC的中点，∠BEC=90°. (2)求线段AE的最小值. (2)如解图②，连接AD交⊙D于点E′，当点E与点E′重合时，线段AE取最 小值， 解图② 返回目录 ∵BC=10，D是BC的中点， ∴BD=5， 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD==13， ∴AE′=13－5=8， ∴线段AE的最小值为8. 解图② 返回目录 题后反思 你能求出线段AE的最大值吗？ 解：如解图，连接AD并延长交⊙D于点E″，当点E与点E″重合时，线段 AE取最大值， ∵BC=10，D为BC的中点， ∴BD=5， 在Rt△ABD中，由勾股定理得， AD==13， ∴AE″=13＋5=18， ∴线段AE的最大值为18. 解图 返回目录 方法二　线圆最值(3年1考) 直线与圆的 位置关系 图示 辅助线作法 直线到圆上一点 的距离的最值 相离 过点O作l的垂线，垂足为A，交⊙O于点B，B′ 最小值为AB的长， 最大值为AB′的长 返回目录 直线与圆的 位置关系 图示 辅助线作法 直线到圆上一点 的距离的最值 相切 (切点为A) 作直线AO交⊙O于点B 最小值为0， 最大值为AB的长 返回目录 直线与圆的 位置关系 图示 辅助线作法 直线到圆上一点 的距离的最值 相交 过点O作l的垂线，垂足为A，交⊙O于点B，B′ 最小值为0，最大 值为AB′的长 返回目录 例3　如图，在△ABC中，AB=6，C是⊙O上任意一点，若⊙O的半径为 2，点O到AB的距离为5，求△ABC面积的最小值和最大值. 解：如解图①，过点O作OD⊥AB于点D，OD交⊙O于点E，连接AE，BE， 解图① 当点C与点E重合时，△ABC的面积最小， 此时S△ABC=S△ABE=AB∙DE=×6×(5－2)=9； 返回目录 如解图②，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点F，连接AF， BF， 当点C与点F重合时，△ABC的面积最大， 此时S△ABC=S△ABF=AB∙DF=×6×(5＋2)=21. 综上所述，△ABC面积的最小值为9，最大值为21. 解图② 返回目录 二阶　综合训练 1. 在同一平面内，已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为5，P为圆 上的一个动点，则点P到直线l的距离不可能是(　D　) A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 D 返回目录 2. 如图，在正方形ABCD中，BC=2，E为正方形内一点，且∠AEB=90°，连接CE，则CE的最小值为 　 ⁠. －1 【点拨】如解图，点E在以AB为直径的半圆(不含A，B两点)上运动，O是AB的中点，连接CO交半圆于点E，此时CE取得最小值，在Rt△BCO中，CO=，CE=CO-OE. 解图 返回目录 3. 如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD交于点O，M，N分别是BD，AC 上的动点，且MN=2，P是MN的中点，若AC=6，BD=8. (1)在图中画出点P的运动轨迹； 解：(1)如解图①，点P的运动轨迹为⊙O； 解图① 返回目录 在菱形ABCD中， M，N分别是BD，AC上的动点， MN=2，P是MN的中点，若AC=6，BD=8. (2)求点P到线段AB的距离的最小值； (2)如解图②，连接OP， ∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8， ∴AC⊥BD，OA=OC=3， OB=OD=4， 解图② 返回目录 ∵在Rt△MON中，MN=2，P为MN的中点， ∴OP=1， ∴根据“定点定长”模型，点P在以点O为圆心，OP长为半径的圆上. 以点O为圆心，OP长为半径作⊙O，过点O作OQ′⊥AB于点Q′， 交⊙O于点P′，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接OQ. ∴由勾股定理得，AB==5. 解图② 返回目录 ∵OP＋PQ≥OQ≥OQ′=OP′＋P′Q′，且OP=OP′， ∴PQ≥P′Q′， ∵S△ABO=AB∙OQ′=AO∙OB， ∴OQ′=， ∴P′Q′=OQ′－OP′=， ∴点P到AB距离的最小值是； 解图② 返回目录 在菱形ABCD中， M，N分别是BD，AC上的动点， MN=2，P是MN的中 点，若AC=6，BD=8. (3)求△ABP面积的最大值. (3)如解图③，过点O作OH⊥AB于点H，延长HO交⊙O于点G， 解图③ 返回目录 当点P运动到G时，△ABP的面积最大， 易知，OH=，AB=5， ∴HG=OH＋OG=， ∴S△ABG=AB∙HG=， ∴△ABP面积的最大值为. 解图③ 返回目录 $ 第六单元　圆 第27课时　与圆有关的位置关系 节前复习导图 点、直线与圆 的位置关系 点与圆的 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交 切线的性质 与判定 性质定理 判定定理 判定方法 切线长 ∗切线长定理 三角形的 内切圆 定义 圆心O 性质 角度关系 1 考点梳理 2 多设问串核心 3 江苏真题随堂练 4 分层作业本 考点梳理 一、点与圆的位置关系(设圆的半径为r，平面内任意一点到圆心的距离为d)如图① 1. 点在圆外⇔d r，如点A 2. 点在圆上⇔d r，如点B 3. 点在圆内⇔d r，如点C 图① ＞ = ＜ 返回思维导图 返回目录 二、直线与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d) 位置关系 相离 相切 相交 d与r的关系 d ⁠r d ⁠r d ⁠r 交点的个数 ⁠公共点 有且只有一个公共点 有 ⁠公共点 示意图 ＞ = ＜ 没有 两个 返回思维导图 返回目录 三、切线的性质与判定 1. 性质定理：圆的切线 ⁠于过切点的半径(或直径) 2. 判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3. 判定方法 (1). 直线与圆有公共点：“有公共点，连半径，证垂直”. 若已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直 线垂直； (2). 直线与圆公共点未知：“公共点未知，作垂直，证半径”. 若已知条件中不确定与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的 长等于半径的长 垂直 返回思维导图 返回目录 四、切线长： 如图②，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切，这点和切点之间的线段的 长，叫作这点到圆的切线长 图② 返回思维导图 返回目录 五、*切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长 ，这一点和圆心的连线 ⁠ 两条切线的夹角.如图②，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，那么PA= ，∠APO= = ∠APB 图② 相等 平分 PB ∠BPO ​ 返回思维导图 返回目录 六、三角形的内切圆 1. 定义：与三角形各边都相切的圆 2. 圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三条 ⁠的交点) 3. 性质：三角形的内心到三角形的 ⁠的距离相等 4. 角度关系：如图③，∠BOC=90°＋∠BAC 图③ 角平分线 三条边 返回思维导图 返回目录 【满分技法】 任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆 利用等面积法可得：r= 利用等面积法可得： r=； 利用切线长定理可得： r= 想一想：这两个结论是怎么推导出来的？ 返回思维导图 返回目录 多设问串核心 基础题固考点 1. (苏科九上习题改编)如图，△ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点 A，若∠B=20°，则∠C的度数为(　D　) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° D 【解析】如图，连接OA，∵∠B=20°，∴∠AOC=2∠B=40°，∵AC与圆相切于点A，∴∠OAC=90°，∴∠C=90°－40°=50°. 返回目录 2. (苏科九上习题改编)如图，AF，BF与⊙O分别相切于点A，B，AF=7， CD与⊙O相切于点E，与AF，BF分别交于点C，D，则△CDF的周长为 (　D　) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【解析】由题意得，CA，CE与⊙O相切，∴CA=CE， 同理DB=DE，FA=FB， ∵△CDF的周长为FC＋CD＋FD，CD=CE＋ED=AC＋BD， ∴△CDF的周长为FA＋FB=14. D 返回目录 3. (苏科九上练习改编)如图，△ABC为等边三角形，AB=5. (1)以点A为圆心，r为半径作圆. ①若r=4，则点B与⊙A的位置关系是 ，直线BC与⊙A的位置 关系是 ⁠； 点在圆外 相离 ②若r=5，则点B与⊙A的位置关系是 ， 直线BC与⊙A的位置关系是 ⁠； ③若⊙A与直线BC相切，则r=  　； 点在圆上 相交 ​ 返回目录 (2)如图②，作△ABC的内切圆，圆心为点O，连接OB，OC，则∠BOC的 度数为 ，点O到边BC的距离为  　. 120° ​ 3.(苏科九上练习改编)如图，△ABC为等边三角形，AB=5. 返回目录 4. (苏科九上习题改编)如图，在△OAB中，OA=OB，以点O为圆心的⊙O 经过AB的中点C，求证：AB是⊙O的切线. 证明：如图，连接OC， ∵OA=OB， ∴△OAB是等腰三角形， ∵C是底边AB的中点， ∴OC⊥AB. ∵OC是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线. 返回目录 5. (苏科九上习题改编)如图，在△ADC中，∠CAD=90°，∠ACD的平分 线交AD于点O，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，交AD于点B，求证： CD是⊙O的切线. 证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E， ∟ E ∴∠CAO=∠CEO=90°， ∵CO平分∠ACD， ∴OA=OE， ∵OA为⊙O的半径， ∴OE为⊙O的半径， ∵OE⊥CD， ∴CD为⊙O的切线. 返回目录 做完第4，5题，你能发现证明切线的方法都有哪些？列举出来. 解：切点已知：连半径，证垂直；切点未知：作垂直，证半径 题后反思 返回目录 综合题明考法 与切线有关的证明及计算 6. 如图，在△ABC中，∠A=90°，E是BC上(异于点B，C)的 一点，以BE为直径的⊙O交AC于点D，且BD平分∠ABC，连接DE. (1)如图①，求证：∠ABD=∠CDE； 图① 证明：∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE=90°， ∴∠ADB＋∠CDE=90°， ∵∠A=90°，∴∠ABD＋∠ADB=90°， ∴∠ABD=∠CDE； 返回目录 (2)如图②，若∠ABD=30°，AD=.求OC的长； 图② 解：如图，连接OD， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ODB， 6. 如图，在△ABC中，∠A=90°，E是BC上(异于点B，C)的一点，以BE为直径的⊙O交AC于点D，且BD平分∠ABC，连接DE. 返回目录 ∴OD∥AB， ∴∠DOC=∠ABC=2∠ABD=60°， ∠ODC=∠A=90°， ∴∠C=30°， 图② 在Rt△ABD中，BD=2AD=2， 在Rt△BDE中，BE==4， ∴OD=OE=BE=2， ∴在Rt△ODC中，OC=2OD=4； 返回目录 (3)如图③，过点E作EH⊥BC交AC于点H，求证：DH=EH； 图③ (3)证明：如图，连接OD， 由(2)知∠ODC=90°，即DH⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DH是⊙O的切线， 同理，∵HE⊥BC， ∴HE是⊙O的切线， ∴DH=EH； 6. 如图，在△ABC中，∠A=90°，E是BC上(异于点B，C)的一点，以BE为直径的⊙O交AC于点D，且BD平分∠ABC，连接DE. 返回目录 (4)如图④，F为CD的中点，连接EF，若∠C=30°，求证：EF∥AB； 图④ (4)证明：如图，连接OD， 由(2)得∠ODC=90°， ∵∠C=30°， ∴∠DOC=60°， ∵OD=OE， ∴△ODE为等边三角形， 6. 如图，在△ABC中，∠A=90°，E是BC上(异于点B，C)的一点，以BE为直径的⊙O交AC于点D，且BD平分∠ABC，连接DE. 返回目录 ∴∠ODE=60°， ∴∠CDE=30°， ∴∠CDE=∠C， ∴CE=DE=OE， 图④ ∴E是OC的中点， ∵F是CD的中点， ∴EF是△ODC的中位线， ∴EF∥OD， 由(2)知，OD∥AB， ∴EF∥AB； 返回目录 (5)如图⑤，过点C作⊙O的切线交⊙O于点P，若CP∥BD，CE=2，求⊙O 的半径. 图⑤ (5)解：如图，连接OD，OP， 由(2)得∠ODC=90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线， ∵CP和CD是⊙O的两条切线， ∴CP=CD，∠DCE=∠PCE， 6. 如图，在△ABC中，∠A=90°，E是BC上(异于点B，C)的一点，以BE为直径的⊙O交AC于点D，且BD平分∠ABC，连接DE. 返回目录 ∵BD∥CP， ∴∠PCE=∠DBC， ∴∠DCE=∠DBC， ∴CD=PC=BD， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE=90°， ∴∠CDE=∠BDO=90°－∠ODE， 在△DCE和△DBO中， ， 图⑤ ∴△DCE≌△DBO(ASA)， ∴BO=CE=2， 即⊙O的半径为2. 返回目录 江苏真题随堂练 直线与圆的位置关系(3年2考) 命题点 1 1. (2023宿迁7题)在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距 离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是(　B　) A. 2 B. 5 C. 6 D. 8 B 返回目录 与切线有关的证明及计算(3年7考) 命题点 2 2. (2022连云港13题)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD. 若∠AOD=82°，则∠C= ⁠°. 49 返回目录 3. (2022盐城13题)如图，AB，AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线 于点D，若∠BAD=35°，则∠C= ⁠°. 35 【解析】如图，连接OA，OB，∵AD 是⊙O的切线，∴AD⊥OA， ∴∠DAO=90°，∵∠BAD=35°，∴∠BAO=∠DAO－∠BAD=55°， ∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAO=55°，∴∠AOB=180°－2×55°=70°， ∴∠C=∠AOB=×70°=35°. 返回目录 4. (2023徐州15题)如图，在 ⊙O中，直径 AB与弦 CD交于点 E，=2. 连接 AD，过点 B的切线与 AD的延长线交于点 F. 若 ∠AFB=68°，则 ∠DEB= ⁠°. 66 【解析】∵BF为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABF=90°， ∵∠AFB=68°，∴∠BAF=22°， ∵， ∴∠ADC=2∠BAF=44°， ∵∠DEB为△AED的外角， ∴∠DEB=∠ADC＋∠BAF=66°. 返回目录 5. (2024淮安25题)如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作⊙O交AC 于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F. (1)求证：DF为⊙O的切线； (1)证明：如解图，连接OD，BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AC， ∵BA=BC， ∴D为AC的中点， 返回目录 ∵O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC， ∴∠ODE=∠DEC， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=90°， ∴∠ODE=90°， ∴DF⊥OD， ∵OD为⊙O的半径， ∴DF为⊙O的切线； 返回目录 在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D， DE⊥BC. (2)若BE=1，BF=3，求sin C的值. (2)解：如图， ∵DE⊥BC，BE=1，BF=3，∴EF==2， 由(1)知BE∥OD， ∴△ODF∽△BEF，∴==， ∵BE=1，BF=3，OB=OD， ∴==， 返回目录 解得OB=，DE=， ∴AB=2OB=3，BD==， ∵BA=BC， ∴∠C=∠A， ∴sin C=sin A==. 返回目录 6. (2024宿迁25题)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂 足为E，AB=20，CD=12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使 ∠FCD=2∠B. (1)求证：CF是⊙O的切线； (1)证明：如图，连接OC， 则∠COE=2∠B， ∵∠FCD=2∠B， ∴∠FCD=∠COE， ∵AB⊥CD， ∴∠CEO=90°， 返回目录 ∴∠COE＋∠OCE=90°， ∴∠FCD＋∠OCE=90°， ∴∠OCF=90°，即OC⊥CF， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； 返回目录 在⊙O中，AB是直径， AB⊥CD， AB=20，CD=12，∠FCD=2∠B. (2)求EF的长. (2)解：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD， ∴OC=AB=10，CE=CD=6， ∴OE==8， ∵∠OEC=∠CEF=90°，∠COE=∠FCE， ∴△OCE∽△CFE， ∴=，即=， 解得EF=. ∴EF的长为. 返回目录 7. (2024盐城23题)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线 l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC. (1)求证：△ABC∽△ACD； (1)证明：如图，连接OC， ∵l为⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥l， ∵AD⊥l，∴∠ADC=90°，AD∥OC， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠BAC， 返回目录 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ADC， ∴△ABC∽△ACD； 返回目录 点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，AD⊥l. (2)若AC=5，CD=4，求⊙O的半径. (2)解：在Rt△ADC中，AC=5，CD=4， ∴AD==3， 由(1)得△ABC∽△ACD， ∴=，即=， ∴AB=， ∴OA=AB=， 即⊙O的半径为. 返回目录 切线长和切线长定理※ 命题点 3 8. (苏科九上练习改编)如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F， G，且AB∥CD，若OB=6 cm，OC=8 cm，则BE＋CG的长等于(　D　) A. 13 cm B. 12 cm C. 11 cm D. 10 cm D 返回目录 【解析】∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD=180°， ∵CD，BC，AB分别与⊙O相切于G，F，E， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF， ∴∠OBC＋∠OCB=90°，∴∠BOC=90°， ∴BC==10(cm)， ∴BE＋CG=BF＋CF=BC=10(cm). 返回目录 9. (苏科九上复习题改编)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，连接AB，若∠P=50°，则∠BAC的度数为 ⁠. 25° 【解析】∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA=PB， ∴∠PAB=(180°－∠P)=65°， ∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC=90°， ∴∠BAC=∠PAC－∠PAB=25°. 返回目录 三角形的内切圆 命题点 4 10. (苏科九上复习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4， sin∠ABC=，⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC，AB，BC相切于点F， P，E. (1)∠EPF= °； 60 返回目录 【解析】∵sin∠ABC=，∴∠B=30°，∵∠A=90°，∴∠C=60°，如解 图①，连接OE，OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC，AB，BC相 切于点F，P，E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠OEC=∠OFC=90°， ∴∠EOF=120°，∴∠EPF=∠EOF=60°. 解图① 返回目录 (2)AP= 　 ⁠. －1 10. (苏科九上复习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4， sin∠ABC=，⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC，AB，BC相切于点F， P，E. 返回目录 【解析】∵BC=4，∠B=30°，∴AC=BC=2，AB=2，如解图②，连接 OP，OE，OF，则OP⊥AB，OF⊥AC，OP=OF，∵∠A=90°，∴四边形 OFAP为正方形，∴AF=AP，设AF=AP=x，则CE=CF=AC－AF=2－x， BE=BP=AB－AP=2－x，∴BC=CE＋BE=2－x＋2－x=4，解得x= －1，即AP=－1. 解图② 返回目录 11. (2023镇江11题)《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问勾 中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步， 长直角边的长为15步.问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出 的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的 长.用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2 作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径.根据以上 方法，求得该直径等于 步.(注：“步”为长度单位) 6 返回目录 【点拨】根据勾股定理，得斜边长为=17，则按书中的方法，该 直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径d为=6(步). 返回目录 $