10.2.1.2 用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组，课堂导入先复习定义，对比含系数1/-1与无的方程组，通过解简单方程组自然过渡到新知，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于分层递进的例题设计与实际问题建模，通过例3选择系数绝对值较小方程变形培养运算能力与推理意识，快递员报酬问题转化为方程组体现模型意识，课堂小结用框图梳理步骤。学生能提升解题技巧与应用能力，教师可借助丰富实例实施高效教学。

人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件 第十章 二元一次方程组 10.2.1.2用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组 复习导入 1.什么是二元一次方程组？ 方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 2. y =3x ， 2x-y = 9， ① x+5y = 8， 2x-y = 5， ② 2x+7y = 11， 3x-4y = 6 ③ 是二元一次方程组吗？①②和③有什么不同？ 都是二元一次方程组.①②的两个方程中有一个未知数的系数是1或-1，而③没有. 用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组 教学过程幻灯片 第1页：旧知回顾 导入新课 1. 提问回顾：上节课学习的代入消元法核心步骤是什么？（学生回答：变形→代入→求解→回代→检验） 2. 小练习：解方程组$\begin{cases}x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1\end{cases}$，引导学生思考：选择变形哪个方程？为什么？（明确优先选系数为±1的未知数，简化计算） 3. 新课导入：展示方程组$\begin{cases}2x + 3y = 10 \\ 4x - 5y = 6\end{cases}$，提问：此方程组未知数系数均不为±1，还能用代入消元法吗？引出课题。 第2页：探究新知 例题讲解 例：用代入法解$\begin{cases}2x + 3y = 10 ① \\ 4x - 5y = 6 ②\end{cases}$ 1. 探究变形策略：引导学生讨论，选择系数绝对值较小的方程变形（选①变形x），理由：减少分数运算。 2. 步骤演示：① 变形：由①得$2x = 10 - 3y$，即$x = \frac{10 - 3y}{2}$ ③；② 代入：将③代入②，得$4×\frac{10 - 3y}{2} - 5y = 6$，化简为$2(10 - 3y) - 5y = 6$；③ 求解：20 - 6y - 5y = 6，解得$y = \frac{14}{11}$；④ 回代：将$y = \frac{14}{11}$代入③，得$x = \frac{34}{11}$；⑤ 检验：代入原方程组验证左右两边相等。 第3页：巩固应用 变式训练 1. 对应训练：解方程组$\begin{cases}3x + 4y = 16 ① \\ 5x - 6y = 33 ②\end{cases}$，学生独立完成，教师巡视指导。 2. 易错点强调：变形时注意等式性质，代入时需加括号，计算后必检验。 3. 小组讨论：若先消去x，该如何变形？对比不同解法，总结最优策略。 第4页：课堂总结 核心梳理 1. 核心技巧：解稍复杂方程组，优先选系数绝对值较小的方程变形，实现“二元转一元”。 2. 步骤回顾：变形（选优）→代入（消元）→求解→回代→检验。 3. 思想提炼：深化“消元”思想，体会化未知为已知的转化思想。 2 3.如何用代入法解方程组①②?试着做一做. y =3x ， 2x-y = 9， ① x+5y = 8， 2x-y = 5， ② 2x+7y = 11， 3x-4y = 6 ③ 解方程组①，得 x = -9， y = -27. 解方程组②，得 x = 3， y = 1. 方程组③也可以用代入法求解? 探索新知 例3 用代入法解方程组 2x-5y = -11， 9x+7y = 39. 所以这个方程组的解是 x = 3， y = 2. 把 y = 3 代入③，得 x = 2. 把③代入②，得 9( y - )+7y = 39. 解：由①，得 x = y - . ③ 解这个方程，得 y = 3. ① ② 方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②. 解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看. 2x-5y = -11， 9x+7y = 39. 2x-5y = -11， 9x+7y = 39. 所以这个方程组的解是 x = 2， y = 3. 把 x = 2 代入③，得 y = 3. 把③代入②，得 9x + 7( x + ) = 39. 解：由①，得 y = x + . ③ 解这个方程，得 x = 2. ① ② 用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧: ① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入； ② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形； ③ 当未知数的系数都不是1或-1时，一般选择未知数系数的绝对值较小的方程进行变形. 1.用代入法解下列方程组： 【选自教材P95 练习第1题】 4x-3y=-2， 5x+4y=13. （1） 3m+2n=17 ， 2m-3n+6=0. （2） ① ② 所以这个方程组的解是 x = 1， y = 2. 把 x = 1 代入③，得 y = 2. 把③代入②，得 5x + 4( x + ) = 13. 解：(1) 由①，得 y = x + . ③ 解这个方程，得 x = 4. 1.用代入法解下列方程组： 【选自教材P95 练习第1题】 4x-3y=-2， 5x+4y=13. （1） 3m+2n=17 ， 2m-3n+6=0. （2） ① ② 所以这个方程组的解是 m = 3， n = 4. 把 m = 3 代入③，得 n = 4. 把③代入②，得 2m - 3(- m + ) +6=0. (2) 由①，得 n =- m + . ③ 解这个方程，得 m = 3. 例4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90件和 25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 例4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90件和 25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 分析: 送 120 件的报酬 + 揽 45 件的报酬 = 270， 送 90 件的报酬 + 揽 25 件的报酬 = 185. 10 分析: 送 120 件的报酬 + 揽 45 件的报酬 = 270， 送 90 件的报酬 + 揽 25 件的报酬 = 185. 解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元. 120x+45y=270， 90x+25y=185. 由①，得 把③代入②，得 ① ② x= - y ③ 90( - y)+25y=185. 解这个方程，得 y = 2. 把 y=2 代入③，得 x = 1.5 . 所以这个方程组的解是 x = 1.5， y = 2. 答:这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元. 11 二元一次方程组 消去x 变形 解得x 用( - y)代替x，消去未知数x 代入 上面解方程组的过程可以用下面的框图表示： 90x+25y=185 120x+45y=270 x= - y 代入 一元一次方程 90( - y)+25y=185 解得 y y = 2 x = 1.5 一种商品分装在大、小两种包装盒内，3 大盒，4 小盒共装 108 瓶，2 大盒，3 小盒共装 76 瓶. 大、小包装盒每盒各装多少瓶? 【选自教材P95 练习第2题】 分析: 3 大盒装的瓶数+ 4 小盒装的瓶数=108， 2 大盒装的瓶数+ 3 小盒装的瓶数=76. 解：设大包装盒每盒装 x 瓶，小包装盒每盒装 y 瓶. 3x+4y=108， 2x+3y=76. 13 解：设大包装盒每盒装 x 瓶，小包装盒每盒装 y 瓶. 3x+4y=108， 2x+3y=76. ① ② 由②，得 把③代入①，得 x=38- y ③ 3(38- y)+4y=108. 解这个方程，得 y = 12. 把 y=12 代入③，得 x = 20 . 所以这个方程组得解是 x = 20， y = 12. 答:大包装盒每盒装 20 瓶，小包装盒每盒装 12 瓶. 知识点1 用含一个未知数的式子表示另一个未知数 1.[廊坊期末] 已知方程，用含的式子表示 为( ) D A. B. C. D. 考试考法 15 2.已知方程，用含的式子表示 为____________；用含 的式子表示 为_ _________. 考试考法 16 知识点2 用代入法解未知数的系数不为1或 的二元一次方程组 3.用代入消元法解二元一次方程组 的过程中，下列变 形正确的是( ) B A.由①，得 B.由①，得 C.由②，得 D.由②，得 考试考法 17 4.解方程组 时，用代入法消去未知数___较好. 考试考法 18 5.二元一次方程组用代入消元法消去，得到关于 的一 元一次方程为________. 考试考法 19 6.（12分）用代入法解方程组： （1） 解：由①，得 ，③ 把③代入②，得 ， 解得，把 代入③， 得 . 原方程组的解是 考试考法 20 （2） 解：由②，得 ，③ 把③代入①，得，解得 , 把代入③，得 . 原方程组的解是 考试考法 21 （3） 解：由②，得 ，③ 把③代入①，得，解得,把 代入③，得 . 原方程组的解是 考试考法 22 知识点3 用代入法解二元一次方程组的应用 7.（4分）某班决定购买两种绿植，已知购买A种绿植3盆和B种绿植4盆 共需52元，购买A种绿植6盆和B种绿植5盆共需83元，问A种绿植和B种 绿植每盆各多少元？ 解：设A种绿植和B种绿植每盆分别为元和 元， 依题意，得解得 答：A种绿植和B种绿植每盆分别为8元和7元. 考试考法 23 8.（4分）胜利运输队有甲、乙两种型号的货车用来运输货物，已知2辆 甲型货车和3辆乙型货车一次可运输货物18吨，5辆甲型货车和6辆乙型 货车一次可运输货物39吨.则每辆甲型货车和每辆乙型货车一次分别能 运输货物多少吨？ 解：设每辆甲型货车一次能运输货物 吨，每辆乙型货车一次能运输货 物 吨， 依题意，得解得 答：每辆甲型货车一次能运输货物3吨，每辆乙型货车一次能运输货物4吨. 考试考法 24 9. 老师设计了一个解方程组的接力游戏:学习小组的四 个成员每人做一步，每人只能看到前一人的结果，并进行下一步计算， 再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过 程如图所示.合作中出现错误的同学是( ) B A.甲 B.丙 C.乙和丁 D.甲和丙 考试考法 25 10.已知，则， 的值分别为 ( ) C A.2； B.； C.2； D.； 考试考法 26 11.方程组与有相同的解，则 ___. 5 考试考法 27 12.（8分）某商场用14 500元以成本价购进甲、乙两种矿泉水共500箱， 矿泉水的成本价与销售价如表所示： 类别 成本价/（元/箱） 销售价/（元/箱） 甲 25 35 乙 35 48 考试考法 28 （1）求购进甲、乙两种矿泉水各多少箱； 解：设购进甲种矿泉水箱，乙种矿泉水 箱. 依题意,得 解得 答:购进甲种矿泉水300箱,乙种矿泉水200箱. （2）该商场售完这500箱矿泉水可获利多少元？ 解： （元）. 答:该商场售完这500箱矿泉水可获利5 600元. 考试考法 29 13.（12分） 数学课上，同学们用代入消元法解二元一次方程 组 下面是三名同学的解答思路，请你认真阅读并完成 相应的任务.#1 小彬：由①，同得 ____,③ 将③代入②，得 ____，解得 ____, 将____代入③，得 ____. 考试考法 30 小轩：由①，得 ____,③ 将③代入②，得 ____，解得 ____, 将____代入③，得 ____. 小颖：将②变形，得 , 即 .③ 把①代入③,得____，解得 ____, 把____代入①，得 ____. 续表 考试考法 31 （1）请将三名同学的解题思路补充完整； 解：；；；；4；；；； ；4； ；； ；4 （2）小轩和小颖都运用了整体代入法，小轩是将____看成一个整体， 小颖是将_________看成一个整体； 考试考法 32 （3）请用小颖的方法解方程组 解：将②变形，得 ， 即 ，③ 将①代入③，得，解得 . 把代入①，得 . 原方程组的解为 考试考法 33 课堂小结 实际问题 转化 代入 求解 回代 写解 检验 二元一次方程组 消元思想 代入消元法 谢谢观看！ $