10.2.1.1 用代入消元法解简单的二元一次方程组 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“用代入消元法解二元一次方程组”，以新疆机械化采棉问题导入，先呈现一元一次方程解法，再引出二元一次方程组，通过对比两者关系引导学生发现代入消元思想，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过问题链引导学生推理消元原理体现数学思维，步骤规范且练习分层，涵盖基础变形、技巧应用及整体思想拓展，助力学生发展运算能力与应用意识，教师使用可提升教学效率，帮助学生形成系统解题方法。

人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件 第十章 二元一次方程组 10.2.1.1用代入消元法解简单的二元一次方程组 新课导入 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用 6 台大、小两种型号的采棉机. 1 h 就完成了 8 hm2 棉田的采摘.如果大型采棉机 1 h完成 2 hm2 棉田的采摘，小型采棉机 1 h 完成 1 hm2 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ 设大型采棉机x台，则小型采棉机(6-x)台. 2x+(6-x)=8 设大型采棉机x台，小型采棉机 y 台. x+y =6， 2x+y =8 解法一: 解法二: 10.2.1.1 用代入消元法解简单的二元一次方程组 教学过程幻灯片 第1页：情境导入，引发思考 问题：篮球联赛中，胜1场得2分，负1场得1分。某队计划22场比赛得40分，胜负场数各是多少？ 1. 引导列二元一次方程组：设胜x场，负y场，得$\begin{cases}x + y = 22 \\ 2x + y = 40\end{cases}$ 2. 追问：能否列一元一次方程求解？（设胜x场，负(22 - x)场，得2x + (22 - x) = 40） 3. 思考：两个方程中y与(22 - x)的关系？如何将二元方程组转化为一元方程？ 第2页：新知探究，掌握核心 1. 小组讨论转化方法：由方程组第一个方程得y = 22 - x（变形），代入第二个方程替换y，消去一个未知数。 2. 规范解题过程演示： 解：由①得y = 22 - x ③；把③代入②得2x + (22 - x) = 40；解得x = 18；把x = 18代入③得y = 4；所以方程组的解为$\begin{cases}x = 18 \\ y = 4\end{cases}$ 3. 关键追问：为何代入另一个方程而非原变形方程？回代求另一个未知数时，代入哪个式子更简便？ 第3页：归纳总结，明确步骤 1. 核心思想：消元（将二元转化为一元） 2. 代入消元法步骤： ① 变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数；② 代入：代入另一个方程，得一元一次方程；③ 求解：解一元一次方程；④ 回代：求另一个未知数的值；⑤ 检验：验证解是否满足原方程组（口算或笔算） 第4页：巩固训练，强化应用 1. 基础训练：用含x的式子表示y（2x - y = -3）；用含y的式子表示x（x + 2y = 1） 2. 例题求解：解方程组$\begin{cases}3x - y = 3 \\ 8x - 3y = 14\end{cases}$（小组PK展示，规范步骤） 3. 易错点拨：关注符号变化，优先选择系数为±1的方程变形，减少计算量。 第5页：课堂小结 1. 代入消元法的核心是“变形-代入”，实现二元到一元的转化；2. 掌握规范解题步骤，养成检验习惯；3. 体会化归思想在数学中的应用。 解法一中的一元一次方程与解法二中的二元一次方程组有什么关系？ 设一个未知数 设两个未知数 大型采棉机 x x 小型采棉机 6 - x y 等量关系式 2x + (6 - x) = 8 x+y = 6， 2x+y = 8 探索新知 y = 6-x 3 2x+ y = 8 y = 6 - x ， (6 - x ) 2x + (6 - x) = 8 ① ② 转化 等量代换 y = 6 - x ， 你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程组吗？ 解得 x = 2 代入①式 y = 4 所以方程组的解为 x = 2， y = 4. 把求出的未知数的值代入原方程组，可以检验所得是否正确. 如何判断所得方程组的解是否正确? 4 解二元一次方程组的基本思路“消元” 转化 一元一次方程 二元一次方程组 消元 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想. 消元的目的就是: 代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。 5 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. x+y = 6， 2x+y = 8 2x + (6 - x) = 8 y= 6 - x 例1 用代入法解方程组 x-y = 3， 3x-8y = 14. ① ② ……………… 变形 ………………代入 ………………求解 ………………回代 ………………写解 所以这个方程组的解是 x = 2， y = -1. 把 y = -1代入③，得 x = 2. 把③代入②，得 3(y + 3)-8y = 14. 解：由①，得 x = y + 3 . ③ 解这个方程，得 y = -1. 思考：把③代入 ①可以吗？ 思考：把y=-1代入①或②可以吗？ 代入时此处要带括号. 方程①能否用含x的式子表示y来求解？试试看. x-y = 3， 3x-8y = 14. ① ② 解:由①，得 y=x-3. ③ 把③代入②，得 3x-8(x-3)=14. 解这个方程，得 x=2. 把 x=2 代入③，得 y=-1. 所以这个方程组的解是 x = 2， y = -1. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 变形：用含有未知数的式子表示另一个未知数； 代入：把y=ax+b(或 x=ay+b)代入另一个没有变形的方程； 求解：解消元后的一元一次方程； 回代：把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中； 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来 10 例2 用代入法解方程组 3x-5y = 3， 2x-y = 16. ① ② ……………… 变形 ………………代入 ………………求解 ………………回代 ………………写解 所以这个方程组的解是 x = 11， y = 6. 把 x = 11代入③，得 y = 6. 把③代入①，得 3x-5(2x -16)=3 . 解：由②，得 y =2x - 16 . ③ 解这个方程，得 x = 11. 3x-5y = 3， 2x-y = 16. ① ② 思考:怎么在二元一次方程组中选择合适的方程进行变形呢? 解:由______得_______________， 将③代入_______，消去______. 解:由______得_______________， 将③代入_______，消去______. 解:由______得_______________， 将③代入_______，消去______. 解:由______得_______________， 将③代入_______，消去______. ① x= ② x ① y= ② y ② x= ① x ② y=2x-16 ① y 用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧: ① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入； ② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形； 知识点1 用含一个未知数的式子表示另一个未知数 1.已知，用含的式子表示 得( ) C A. B. C. D. 考试考法 14 2.［教材P 93练习T1变式］已知二元一次方程，用含 的 式子表示为___________，用含的式子表示 为____________. 考试考法 15 知识点2 直接用代入法解二元一次方程组 3.用代入消元法解方程组 时，下列说法正确的是( ) B A.直接把①代入②,消去 B.直接把①代入②,消去 C.直接把②代入①,消去 D.直接把②代入①,消去 考试考法 16 4.解方程组 时，把①代入②，得( ) D A. B. C. D. 考试考法 17 5.（8分）用代入法解方程组： （1） 解：将①代入②,得,解得 . 将代入①,得 . 原方程组的解为 考试考法 18 （2） 解：把①代入②，得,解得 , 把代入①，得 ， 原方程组的解为 考试考法 19 知识点3 用代入法解有一个未知数的系数为1或 的二元一次方程组 6.用代入法解方程组 下列解法中正确的是( ) B A.先将①变形为 ,再代入② B.先将①变形为 ,再代入② C.先将②变形为 ,再代入① D.先将②变形为 ,再代入① 考试考法 20 7.用代入法解二元一次方程组 时，最简便的方法是先消 去未知数___，得到的一元一次方程是______________________. 考试考法 21 8.（8分）用代入法解方程组： （1） 解：由①，得 ，③ 把③代入②，得,解得，把 代入①，得 ，解得， 原方程组的解是 考试考法 22 （2） 解：由②，得 ，③ 把③代入①，得，解得 . 把代入③，得 . 原方程组的解是 考试考法 23 9.对于二元一次方程组将①代入②，消去 可以得 ，则方程①是( ) A A. B. C. D. 考试考法 24 10.已知关于，的二元一次方程组的解为 则 的值是( ) B A. B.2 C.3 D. 考试考法 25 11.以的解为坐标的点 在平面直角坐标系中的位置是 ( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考试考法 26 12. 对，定义一种新运算“ ”，规定： （其中，均为非零常数），若 ， ，则 的值是( ) C A.3 B.5 C.9 D.11 考试考法 27 13.（8分）已知关于，的二元一次方程组的解， 互为 相反数,求 的值. 解： ，互为相反数， ， ，③ 把③代入①，得 ， 解得，把代入③，得 . 把代入②，得，解得 . 考试考法 28 14.（8分） 下面是李明同学的一篇学习笔记（部分）， 请你认真阅读，并完成相应任务.#1 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程.具体的应用 方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用 “整体思想”通常会使解题更加简便快捷. 例：解方程组 考试考法 29 分析：在这个方程组中，方程②中的 在方程①中也存在，此时运 用整体思想，把 看成一个整体，就可以直接代入方程①进行计 算，避免了先去括号等复杂操作. 解：把②代入①，得，解得 . 把代入②，得 . 所以原方程组的解为 续表 考试考法 30 任务：利用上面的方法解方程组：#1.2 （1） 解：把②代入①，得，解得 . 把代入②，得 . 原方程组的解为 考试考法 31 （2） 解：由①得 ，③ 把③代入②，得，解得 . 把代入③，得 . 原方程组的解为 考试考法 32 课堂小结 代入消元法 概念 基本思想 步骤 技巧 消元思想: 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想 ①变形； ②代入； ③求解； ④回代； ⑤写解. 最后记得检验结果的正确性. ①变形的技巧； ②代入的技巧. 谢谢观看！ $