精品解析：云南省昭通市昭阳区 部分学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋季学期学生综合素养阶段性练习九年级数学（4） （命题范围：第21章至24章） （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列新能源汽车的车标，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，0， B. 2，，0 C. 2，3，0 D. 2，0，3 4. ⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知在中，半径垂直于弦，，，那么（　　） A. 12 B. C. 13 D. 16 8. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 经过三个点一定可以作圆 B. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等 C. 三角形三条内角平分线的交点是三角形内切圆的圆心，叫做该三角形的内心 D. 三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，叫做该三角形的外心 9. 抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是（ ） A. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 10. 设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为（ ） A. B. C. 3 D. 11. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 没有交点 D. 不能确定 12. 如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 13. 已知点，均在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 15. 如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 下列各选项中，正确的是（ ） A. 这个函数的图象开口向下 B. 当，y的值随x值的增大而增大 C. 这个函数的最小值是3 D. 一元二次方程没有实数根 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 二次函数的最大值为______． 17. 在平面直角坐标系中，点（－2，5）关于原点对称的点的坐标是___________． 18. 秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染_____人． 19. 如图，圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，则高的值为__________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出． （2）画出关于原点成中心对称的． 22. 已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 23. 如图所示，四边形内接于，连接，，．求的大小． 24. 如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接， （1）求证:是等边三角形． （2）当时，，求的长． 25. 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中） （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，设每天销售该特产的利润为元，则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 26. 如图，是直径，点C在上，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 27. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期学生综合素养阶段性练习九年级数学（4） （命题范围：第21章至24章） （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列新能源汽车的车标，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数， 选项A中a可能为0，选项C化简后为一次函数，选项D是分式函数，均不符合，只有选项B符合定义． 【详解】解：A、，若则不是二次函数，故不一定是二次函数； B、，其中，，，符合定义； C、，是一次函数； D、，是分式函数，不是多项式函数． 故选：B． 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，0， B. 2，，0 C. 2，3，0 D. 2，0，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式，直接识别二次项系数、一次项系数和常数项，即可作答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是2，，0， 故选：B． 4. ⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系可知：在同一个平面内，当一点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外；当一点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；由此问题可求解． 【详解】解：由⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，可知：点到圆心的距离大于圆的半径，所以点P与⊙O的位置关系是点在圆外； 故选A． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根是解题的关键．通过计算判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵ 一元二次方程的判别式， ∴，且， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，然后用线段和差即可求解． 【详解】解：由旋转性质可知：，， ∴， 故选：． 7. 如图，已知在中，半径垂直于弦，，，那么（　　） A. 12 B. C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据垂径定理得出，设设，则，，再利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：半径垂直于弦， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ． 故选：C． 8. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 经过三个点一定可以作圆 B. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等 C. 三角形三条内角平分线的交点是三角形内切圆的圆心，叫做该三角形的内心 D. 三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，叫做该三角形的外心 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不在同一直线上的三点确定一个圆，切线长定理，三角形内心的定义，三角形外心的定义，正确理解圆的相关概念和性质是解题的关键．根据圆的相关性质逐一判定即可． 【详解】解：A选项：不在同一直线上的三点确定一个圆．当 三个点共线时无法作圆， A选项不正确，此选项符合题意； B选项：从圆外一点可以引圆的两条切线 ，它们的切线长相等．正确，此选项不符合题意； C选项：三角形的三条内角平分线交于一点，这点是三角形的内心，正确，此选项不符合题意； D选项：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等，它是三角形的外心，正确，此选项不符合题意； 故选：A． 9. 抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是（ ） A. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记函数图象的平移法则是解决问题的关键． 根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，直接求解即可得到答案． 【详解】解：A、将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，不是，不符合题意； B、将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，不是，不符合题意； C、将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，符合题意； D、将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，不是，不符合题意； 故选：C． 10. 设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、勾股定理，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据根与系数关系求得，，利用完全平方公式求得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直角三角的两条直角边，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴该直角三角形的斜边为， 故选：B． 11. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 没有交点 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交， ∴直线与有2个交点， 故选：B． 12. 如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定和性质，连接，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理求出的长，得到为等腰直角三角形，得到，圆周角定理，得到，，利用三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴； 故选C 13. 已知点，均在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数函数值大小，将点的坐标代入表达式计算后比较值是解决问题的关键． 通过直接计算点，的纵坐标，再比较纵坐标大小，且判断与的关系即可得到答案． 【详解】解：∵点，均在抛物线上， ∴；， ， ∴， 故选：B． 14. 为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为米，宽为米， 则， 故选：A． 15. 如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 下列各选项中，正确的是（ ） A. 这个函数的图象开口向下 B. 当，y的值随x值的增大而增大 C. 这个函数的最小值是3 D. 一元二次方程没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】将，，代入，得，解方程组即可求出、、的值，进而得出二次函数解析式，然后由二次函数的图象与系数的关系即可判断选项；由的图象与性质即可判断选项；把化成顶点式，然后求其最值，即可判断选项；对于一元二次方程，先求出，然后根据一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系即可判断选项；综上，即可得出答案． 【详解】解：将，，代入，得： ，解得：， ， ， 该函数图象开口向上，故选项错误； 该抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，故选项错误； ， 该函数的最小值是，故选项错误； 对于一元二次方程， ， 一元二次方程没有实数根，故选项正确； 故选：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，把化成顶点式，二次函数的最值，抛物线与轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况，解三元一次方程组等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质及一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 二次函数的最大值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】因为此题中解析式为顶点式的形式，所以根据其解析式求出顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数的顶点坐标为，且开口向下， ∴二次函数的最大值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知对于二次函数，当，函数有最小值，当时，函数有最大值． 17. 在平面直角坐标系中，点（－2，5）关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】（2，-5） 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）． 【详解】解：根据中心对称的性质，得点P（-2，5）关于原点对称点的点的坐标是（2，-5）． 故答案为：（2，-5）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，比较简单． 18. 秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染_____人． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染x人，根据两轮传染后总患病人数列出方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人． 经过第一轮传染后，患病人数为； 经过第二轮传染后，患病人数为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 故每轮传染中平均一人传染11人． 故答案为：11． 19. 如图，圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，则高的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，求出R，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得：． 即圆锥的母线长为， ∴圆锥的高， 故答案是：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 21. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出． （2）画出关于原点成中心对称的． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，画已知图形关于某点对称的图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据中心对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，根据抛物线的对称轴为直线，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线解析式为， 抛物线经过， ， 解得， 抛物线解析式为． 23. 如图所示，四边形内接于，连接，，．求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，先结合四边形内接于，，得，根据以及三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形内接于， ． ， ． ， ． ． 24. 如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接， （1）求证:是等边三角形． （2）当时，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵将绕点C按顺时针方向旋转得， ∴， ∴是等边三角形 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理的知识点，掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的性质可得，即可求证； （2）由旋转得，推出；结合是等边三角形可得，，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 25. 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中） （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，设每天销售该特产的利润为元，则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）当时，销售利润最大，最大为6480元 【解析】 【分析】（1）当时，可直接根据图象写出；当时，y与x成一次函数关系，用待定系数法求解即可． （2）销售利润，根据销售利润=每千克的利润×销售量，可得与的二次函数，再根据二次函数求最值的方法即可求出结果． 【小问1详解】 解：由图象知，当时，； 当时，设，将，代入得 ，解得， 与之间的函数关系式为， 综上所述，， 故答案为：. 【小问2详解】 解：当时，， ，， 当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元． 故答案为：当时，销售利润最大，最大为6480元． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数．正确理解题意求出函数关系式、熟练掌握求二次函数的最值的方法是解题的关键． 26. 如图，是直径，点C在上，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键． 27. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $