专题06 圆的证明与计算考点专练（期末复习专项训练）九年级数学上学期沪科版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06圆的证明与计算考点专练 题型归纳·内容导航 题型1利用垂径定理求线段的长度 题型5切线的证明与计算 题型2利用弧、弦、圆心角的关系进行求解 题型6三角形内心的有关应用（重点） 题型3利用圆周角的性质进行证明和计算（重点） 题型7弧长与扇形面积的计算 题型4利用圆的内接四边形的性质进行证明和计算 题型8求不规则图形的面积 题型通关·靶向提分 题型一利用垂径定理求线段的长度（共5小题） 1.(24-25九年级上：安徽阜阳期末)如图，0C为⊙0的半径，弦AB垂直平分半径0C,垂足为E.若AB的 长为6，求⊙0的半径. B 2.(24-25九年级上江西上饶期末)如图，⊙0的直径CD=10cm,AB是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为E ，0E0C=3:5, D (1)线段CE的长为多少？ (2)弦AB的长为多少？ 3.(24-25九年级上河南新乡期末)如图，⊙0的直径AB与弦CD交于点E,AB=4,∠CD0=30° 1/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E (I)求CD的长. 2)当BE=2-V2时，求CE的长。 4.(24-25九年级上重庆合川期末)如图，0A=0B,AB交⊙0于点C,D,0E是半径，且0ELAB于点 F (1)若CD=5,EF=求⊙0的半径； (2)求证：AC=BD 5.(24-25九年级上安徽合肥期末)已知：⊙O的直径AB与弦CD相交于点P,E是弦AD的中点， CELAB,F为垂足. PO B D (I)如图，当F是0A中点时，求∠APC的度数； (2)求证：AC=V2AE. 题型二利用弧、弦、圆心角的关系进行求解（共5小题） 6.(23-24九年级上浙江温州期末)如图，⊙0的直径AB垂直弦CD于点E,F是圆上一点，D是BF的中 点，连接CF交OB于点G,连结BC 2/16 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 GE B D (1)求证：GE=BE; (2)若0G=1,CD=8,求BC的长. 7.(24-25九年级上·安微合肥期末)己知AB是半圆O的直径，AB=6,点C在半圆O上，过点A作 AD⊥OC,垂足为点D,AD的延长线与弦BC交于点E,与半圆O交于点F(点F不与点B重合)· 图1 图2 (I)如图1，若CD=1,求AF的长； (2)如图2，若BC=AF,求AF的长. 8.(24-25九年级上·浙江宁波期末)如图，AB是⊙0的弦，分别以点A,B为圆心，同样长度为半径画圆 弧交圆内于点C,连接0C并延长交⊙0于点D,连接0A,OB. D (I)求证：∠A0D=∠B0D: (2)若∠A0D:∠A0B=3:2,AB=4y2,CD=0C,求CD的长. 9.(24-25九年级上江西赣州·期末)如图，正方形ABCD内接于⊙0，M为弧AD中点，连接BM,CM. 3/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M (I)求证：△MBC是等腰三角形； (2)若AB=2,求点M到BC的距离. 10.(24-25九年级上·北京西城期末)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB=AC,直径BD⊥AC,垂足是E (I)求证：△ABC是等边三角形： (2)若AB=3,求DE的长 题型三利用圆周角的性质进行证明和计算（共10小题） 11.(25-26九年级上广东广州期末)如图，AB为⊙0的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E连接AC0C BC. B D (I)证明：∠B=∠ACD: (2)若AE=2,BE=8,求弦CD的长. 12.(25-26九年级上，北京·期中)如图，在⊙0中，点E是弦CD的中点，过点0，E作直径AB(AE>BE), 连接BD,过点C作CFIBD交AB于点G,交⊙O于点F,连接AF. 4/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E D B (1)求证：AG=AF; (2)己知CD=4,EB=1,求⊙0的半径. 13.(24-25九年级上·广东·期末)如图，CD为圆O的直径，BC为圆O的弦，AB=AC,AB、CD的延长 线交于点E. B E D (I)直接写出∠ABC与∠BCD之间的数量关系； (②)若DE=DC,求的值： (3)在(2)的条件下，若BC=5V5,CE=30,求BE的长 14.(24-25九年级下·福建泉州期末)如图，锐角三角形ABC内接于⊙0，∠ABC=2∠ACB,点D平分AC ,连接AD,BD,CD· G (I)求证：AB=CD. (2)过点D作DGAB,分别交AC,BC于点E,F,交⊙0于点G. ①若AD=a,BC=b,求线段EF的长（用含a,b的代数式表示）· ②若∠ABC=72°，试用一个等式表示FG,EF,DF,并证明. 15.(24-25九年级上浙江金华期末)如图，MN为⊙0的直径，点A在⊙0上且AM=AN,C为AM上的 一点，连接CN,过A作AB⊥CN于点D,交⊙O于点B,交MN于点E,连接DO并延长交⊙O于点F,连AC 5/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E (I)请判断△ACD的形状，并说明理由. (2)求证：DF平分∠BDN, (⑥)当器-时，求ABEN与△DEN的面积之比. 16.（24-25九年级上：广东·期末)如图，△ABC中，AB=ACAB为⊙0的直径，分别交AC,BC于点D,E, 连接DE,AE. 0 B (I)求证：∠CED=2∠CAE: (2)若DE=15,AE=20,求CD的长 17.(24-25八年级上江西景德镇期末)在锐角△ABC中，AD⊥BC,D为垂足，DELAC,E为垂足， DFLAB,F为垂足.O为△ABC的外心，求证： B (I)△AEF△ABC: (2)A0⊥EF 18.(24-25九年级上江苏南京·期末)如图，C是⊙0上一点，在直径AB上取点E,使CE=CA,延长CE交 ⊙0于点D,分别作CM,DN垂直于AB,垂足分别为M,N.己知⊙0的半径是2. 6/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Mh E N B (I)求证：DC是∠ADN的平分线： (2)若BD=AC,则AC的长是 19.(24-25九年级上河北承德·期末)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AB是⊙0的直径，过点B作 BD⊥AB交AC的延长线于点D,点E在⊙O上，连接AE,CE,∠CAE=∠D, B E (1)求证：AC=CE: (2)若∠CAB=28°，求∠ACE的度数. 20.(24-25九年级上浙江杭州期末)如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块.A,E,B三 点在一条直线上，且∠A=∠B=∠DEC=60°，BE=AD D E B (I)求证：△ADE≌△BEC: (2)若DE=√3且E点在弧CD所在的圆上，在劣弧CD上找一点P,使得四边形CPDE的周长最大，并求出周 长的最大值 题型四利用圆的内接四边形的性质进行证明和计算（共5小题） 21.(24-25九年级上江苏无锡期末)如图，在⊙0的内接四边形ABCD中，AB=AC,点D是弧AC的中 7/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点. A D 0 (I)当∠DAC=35时，求∠CAB的度数； (2)连接0D,当AD=5,AB=8时，求0D的长. 22.(2425九年级上湖北武汉·期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，过点A作AE引CB交CD的延长线 于E,AD=DE E D C 图1) 图(2) (I)求证：∠BAD=∠EAD; (2)连接AC,若D是优弧ACB的中点，CE=4CD=4,直接写出AC的长. 23.(24-25九年级上浙江湖州·期末)如图1，在⊙0中，AB为直径，C为圆上一动点（不与AB重合）， CD⊥AB于点G,E为AC上的一动点，延长AE交DC的延长线于点F,连结AC,CE,CB. D G Gh B D C 图1 图2 (I)求证：∠ACG=∠ABC (②)若=，EC=2,求CF的长. 8/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，若AB=20,AE=16,EC=2BC,求EF的长. 24.(24-25九年级上江苏南京·期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，经过点A,D的⊙0与边 AB,AC,BC分别交于点E,F,G,连接DE,DF,且DF=EC O。 (I)求证△ADE△DCF: (②)若⊙0的半径为5，DE=4V5,CF=2W5,求GD的长。 25.(24-25九年级上·浙江·期末)如图，在圆内接△ABC中，∠ABC90°，弦BD>AC,延长AD至点E, 延长BA至点F,连接EF,使EF=BD,延长CD交EF于点G,使∠EGD十∠DAB=180°，延长CB,DA交于 点H. (1)若∠EGD=75°，CD为直径，求∠BAC的度数. 2)求证：需=盌 (3)求证：AE=AC. 题型五切线的证明与计算（共5小题） 26.(24-25九年级上河北张家口期末)如图，在△ABC中，以边AC上一点O为圆心，0A为半径作⊙0 ,与AB相切于点A.作CD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠CBD=∠DCO. D B (1)求证：BC是⊙0的切线： (2)若AB=5,BC=13,则⊙0的半径是 9/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 27.(23-24九年级上湖北期末)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙0交BC于D,点E在⊙0上， BE=DE,连接AE交BD于F,∠C=2∠BAE. (1)求证：AC是⊙0的切线； (2)若AB=8,AC=6,求BF的长， 28.(22-23九年级上甘肃平凉期末)如图，△ABC内接于⊙0，CA=CB,CDAB,CD与0A的延长线 交于点D (1)求证：CD是⊙0的切线： (2)若∠ACB=120°，0A=2,求CD的长. 29.(24-25九年级上四川泸州期末)如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，PC与⊙0相切于 点C,BD⊥PC于点D,∠BPD的平分线分别与AC,BC,BD交于点E,F,G. (I)求证：CE=CF; (2)若PC=7.5,CD=4.5,求⊙0的半径. 30.(24-25九年级上广东东莞期末)如图，AB是⊙0的直径，AC平分∠DAB,过点C作CD⊥AE,交 AE的延长线于D. 10/16品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题06圆的证明与计算考点专练 题型归纳·内容导航 题型1利用垂径定理求线段的长度 题型5切线的证明与计算 题型2利用弧、弦、圆心角的关系进行求解 题型6三角形内心的有关应用（重点） 题型3利用圆周角的性质进行证明和计算（重点） ↓题型7弧长与扇形面积的计算 题型4利用圆的内接四边形的性质进行证明和计算 !题型8求不规则图形的面积 题型通关•靶向提分 题型一利用垂径定理求线段的长度（共5小题） 1.(24-25九年级上安徽阜阳期末)如图，OC为⊙O的半径，弦AB垂直平分半径OC,垂足为E.若AB 的长为6，求⊙O的半径. B 【答案】23 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，勾股定理.熟练掌握垂径定理，线段垂直平分线性 质，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形，是解题关键， 连接OA,根据垂直平分线的性质和垂径定理可得OE=OC,AE=BE=AB=3,设⊙O的半径为r,则OE -,在R△OAE中，由勾股定理得4E2=O4.O,然后代入求值，即可获得答案. 【详解】解：如图，连接OA, B 1/72 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC为⊙O的半径，弦AB垂直平分半径OC,AB=6, .OE-OC,AE =BE-14B=3, 设⊙O的半径为， 则oE=, 在Rt△OAE中， 由勾股定理得AE2=OA2-OE2, 即32=2(， 解得r=2√3或r=-2√5（不合题意，舍去）， :⊙O的半径为2√3. 2.(24-25九年级上江西上饶期末)如图，⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦，AB1CD,垂足为 E,OE:0C=3:5, (I)线段CE的长为多少？ (2)弦AB的长为多少？ 【答案】(1)CE=2cm (2)4B=8cm 【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键， (1)由于⊙O的直径CD=10cm,则⊙O的半径为5cm,又已知OE:OC=3:5,则可以求出OE=3,OC =5,即可求得CE=2cm; (2)连接OA,根据勾股定理和垂径定理可求得AB的长度， 【详解】(1)解：~直径CD=10cm, ·半径OC=5cm, OE:OC=3:5, 0E=3,0C=5, 2/72 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CE=2cm; (2)解：连接OA, y D B AB⊥CD,垂足为E, ·AB=2AE,∠AE0=90°， 04=5cm,OE =3cm, ∴AE=4cm, ·AB=8cm 3.（24-25九年级上河南新乡·期末)如图，⊙O的直径4B与弦CD交于点E,AB=4,∠CD0=30. B (1)求CD的长. (2)当BE=2-V2时，求CE的长 【答案】(1)23 (2W3.1 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质， (1)过点O作OF1CD于点F,根据4B是⊙O的直径，AB=4,∠CDO=30°，求出OF,进而利用勾股定理 求出DF,再根据垂径定理即可求出CD: (2)根据题意求出OE,利用勾股定理求出EF即可解答 【详解】(1)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F. ~AB是⊙O的直径，AB=4, 3/72 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E D .OA=OD =OB=2. LCD0=30°， 0F=0D=1, DF=JOD2.0F2=22.12=3, ∴CD=2DF=2√3，即CD的长为2√3； (2)解：BE=2-V2,OB=2, ∴0E=V2 又'OF1CD,OF=1, CF=DF=3,EF=OE2.0F2=(2)2-12=1. ∴CE=CF-EF=3-1,即CE的长为5-1. 4.(24-25九年级上重庆合川期末)如图，OA=OB,AB交⊙O于点C,D,OE是半径，且OE1AB于点 F. (1)若CD=5,EF=求⊙0的半径： (2)求证：AC=BD. 【答案】（唱 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质： (1)由垂径定理得CF=DF=CD=多设C0=,由勾股定理得CFP2+OF2=Oc2,即可求解； (2)由等腰三角形的性质得4F=BF,即可得证； 4/72 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 掌握垂径定理，等腰三角形的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键， 【详解】(1)解：OE是⊙O的半径，CD是⊙O的弦，OE1AB, CF=DF=CD= 设CO=r, 则OF=OE-EF=r-影 .CF2+OF2=0C2, (+=, 解得：=名 ⊙0的半径为0 (2)证明：OA=OB,OF⊥AB AF =BF, 由(I)得CF=DF, AF-CF=BF-DF, ∴4C=BD 5.(24-25九年级上·安微合肥期末)已知：⊙O的直径AB与弦CD相交于点P,E是弦AD的中点，CE1 AB,F为垂足， PO B (1)如图，当F是OA中点时，求LAPC的度数； (2)求证：AC=V2AE. 【答案】(1)75 (2)见解析 【分析】(1)连接OC,OD,先证明△AOC是等边三角形得到∠4OC=∠4C0-60°，∠OCF=∠ACO 5/72 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =30°，再证明EF为△AOD的中位线得到EF I OD,进而44OD=L4FE=90°，∠COD=150°，然后利用等边 对等角求解∠OCP=15°即可求解： (2)连接OE,分别证明△AEO一△AFE,△ACB~△AFC得到AE2=AF·AO,AC2=AF·AB,进而得到 AC2=24E2即可得结论， 【详解】(1)解：连接OC,OD, F是OA中点，CE⊥AB, CF垂直平分OA, ∴AC=OC=OA, “△AOC是等边三角形， 240C=L4C0=60,则L0CF=女4C0=30°， F是OA中点，E是弦AD的中点， EF为△AOD的中位线， .EF II OD, .∠AOD=LAFE=90°， ∴.∠COD=90°+60°=150°，又OC=OD, 20CP=(180-4C0D)=15°， ∴∠APC=LOCP+LCOP=75°； B D (2)解：连接OE, E是弦AD的中点， ..OE L AD, .∠AEO=4AFE=90°，又∠EAO=LFAE, .△AEO~△AFE, 6/72 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 岩品则4E-4F·40 4B是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠AFC=90°，又∠CAB=∠FAC, ·△ACB一△AFC, 答总，则4C2=FAB, AB=240, :AC2=2AE2,则AC=V24AE 题型二利用弧、弦、圆心角的关系进行求解（共5小题） 6.(23-24九年级上浙江温州期末)如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E,F是圆上一点，D是BF的 中点，连接CF交OB于点G,连结BC. G E (I)求证：GE=BE; (2)若OG=1,CD=8,求BC的长. 【答案】(1)见解析 (22V5 【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂 径定理是解题的关键 (1)根据圆心角、弧、弦的关系得到∠FCD=LBCD,证明△GCE兰△BCE,根据全等三角形的性质证明 即可； (2)连接OC,根据勾股定理求出BE,再根据勾股定理计算，得到答案， 【详解】(1)证明：D是BF的中点， DF =DB, .∠FCD=LBCD, 在△GCE和△BCE中， 7/72 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠GCE=∠BCE CE=CE (LCEG=LCEB-90° ·.△GCE≌△BCE(ASA), ..GE=BE; (2)解：如图，连接OC, 设GE=BE=x,则OB=1+2x, AB⊥CD,CD=8, ∴CE=DE=4, 在△OCE中，OE2+CE2=OC2, (1+x)2+42=(1+2x)2 3x2+2x-16-0, 解得：=2，=（舍去)， BE=2, BC=VCE2+BE2=V42+22=2V5. B D 7.(24-25九年级上·安徽合肥期末)已知AB是半圆O的直径，AB=6,点C在半圆O上，过点A作AD ⊥OC,垂足为点D,AD的延长线与弦BC交于点E,与半圆O交于点F(点F不与点B重合)· 图1 图2 (1)如图1，若CD=1,求AF的长； (2)如图2，若BC=AF,求AF的长， 【答案】(1)25 (2)3V5 8/72 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】本题考查了垂径定理，弧弦圆心角三者关系以及含30度的直角三角形性质，熟练掌握基本性质 是解题关键 (1)通过垂径定理可知4D=DF,再通过直径算出半径OC,进而得到OD,再通过勾股定理计算即可； (2)先证得4C=FC=BF,进而得到∠4OD的度数，进而通过含30度的直角三角形性质以及勾股定理计 算即可。 【详解】(1)解：4D1OC, +AD=DF, AB=6, .0A=0C=3, 0D=OC-CD=3-1=2, 在Rt△AOD中，AD=VOA2.OD2=V32.22=V5, 4F=24D=2N5; (2)4F=BC, AF BC, 即AC+CF=CF+BF, AC=BF, AD⊥OC, AD=DF,AC FC, .AC=FC BF, ∠A0D=1×180°=60°， 在Rt△AOD中，∠AOD=60°， ∠OAD=30°， 0D=0A= AD=VA02.0D2=3 2 4F=24D=3V3 8.(24-25九年级上浙江宁波期末)如图，AB是⊙O的弦，分别以点A,B为圆心，同样长度为半径画圆 9/72 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 弧交圆内于点C,连接OC并延长交⊙O于点D,连接OA,OB. D B (1)求证：∠AOD=∠BOD; (2)若∠AOD:∠AOB=3:2,AB=4V2,CD=OC,求CD的长. 【答案】(1)见解析 (2)CD=2 【分析】本题主要考查了弦和弧的关系、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点， 灵活运用相关性质定理成为解题的关键， (1)连接AC、BC,由圆的相关知识可得AC=BC,再证明△AOC兰△BOC即可证明结论； (2)先根据角的比例以及(1)的结论可得△AOB为等腰直角三角形，再结合AB=4V2可得4O=4,最后 结合CD=OC即可解答 【详解】(1)解：如图，连接AC、BC, D ~以点A,B为圆心，同样长度为半径画圆弧 ·AC=BC, 又A0=BO,OC=OC, △4OC≌△BOC(SSS) ∠AOD=∠BOD (2)解：LAOD:∠AOB=3:2,∠AOD=∠BOD, ∠AOD=∠BOD=3LAOB, 10/72