2.2.1 直线的点斜式方程 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.1直线的点斜式方程 一、选择题 1．已知直线l的倾斜角为120°，在y轴上的截距是3，则直线l的方程为(　　) A．y＝x＋3 B．y＝－x－3 C．y＝－x＋3 D．y＝x－3 2．已知直线l的倾斜角为60°，且过点(2，)，则l在y轴上的截距为(　　) A．－1 B．－ C．1 D． 3．直线y＋2＝(x－4)的倾斜角及在y轴上的截距分别是(　　) A．，6 B．，－6 C．，6 D．，－6 4．垂直于向量(2，1)，并且经过点A(3，－2)的直线方程为(　　) A．y＋2＝－2(x－3) B．y＋2＝2(x－3) C．y－2＝－2(x＋3) D．y－2＝2(x＋3) 5．过点(2，1)且与直线y＝－3x＋2平行的直线的方程为(　　) A．y＝－3x＋7 B．y＝－3x＋5 C．y＝x＋ D．y＝3x－5 10．(多选)下列结论正确的是(　　) A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 6．(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　) A．l的倾斜角等于120° B．l与x轴的交点坐标是 C．l与直线y＝x＋2垂直 D．l与直线y＝－x＋2平行 二、填空题 7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是________． 8．已知直线l的一个方向向量为a＝(2，3)，若l过点A(－4，3)，则直线l的点斜式方程为 ________． 9．已知直线y＝x＋1绕其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l在y轴上的截距为________． 10．有一根蜡烛点燃6 min后，蜡烛长为17.4 cm；点燃21 min后，蜡烛长为8.4 cm．已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时________min． 三、解答题 11．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，6)，B(－3，－1)，C(4，2)． (1)若点D是AC边上的中点，求直线BD的点斜式方程； (2)求AB边上的高所在直线的点斜式方程． 12．如图所示，在▱OABC中，C(1，3)，A(3，0)． (1)求直线AB的方程； (2)过点C作CD⊥AB于点D，求直线CD的方程． 13．已知直线l：y＝kx＋k－1． (1)求证：直线l过定点； (2)若当－4＜x＜4时，直线l上的点都在x轴下方，求k的取值范围． 答案解析 1．C　[直线l的倾斜角为120°，即斜率为－， 因为在y轴上的截距是3，则直线l的方程为y＝－x＋3． 故选C．] 2．B　[因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k＝tan 60°＝， 因为直线l过点(2，)，所以直线l的点斜式方程为y－(x－2)， 当x＝0时，y＝－2，所以直线l在y轴上的截距为－． 故选B．] 3．B　[根据题意，可得直线y＋2＝(x－4)的斜率k＝， 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝，且θ∈[0，π)，可得θ＝，即倾斜角为，当x＝0时，y＋2＝×(－4)＝－4，得y＝－6，所以直线在y轴上的截距为－6． 故选B．] 4．A　[∵直线垂直于向量(2，1)，∴直线的斜率为k＝－2，又直线经过点A(3，－2)， ∴直线的方程为y＋2＝－2(x－3)．故选A．] 5．A　[∵所求直线与直线y＝－3x＋2平行，∴可设所求直线方程为y＝－3x＋m， ∵所求直线过点(2，1)，∴1＝(－3)×2＋m，解得m＝7，故所求直线的方程为y＝－3x＋7．故选A．] 6．BC　[对于A，方程k＝不经过(－1，2)，与方程y－2＝k(x＋1)不表示同一直线，故A错误；对于B，直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1，故B正确； 对于C，直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1，故C正确． 对于D，不是所有的直线都有点斜式和斜截式方程，只有斜率k存在时成立，故D错误．故选BC．] 7．ABD　[由直线l的一个方向向量为u＝(1，－)，得k＝－，又直线l经过点(1，－2)，所以y＋2＝－(x－1)，则直线l的方程为y＝－－2，所以直线l的倾斜角为120°，故A正确；当y＝0时，x＝1－，故B正确；－×＝－3≠－1，故C错误；因为－，且－2≠2，所以两直线平行，故D正确．] 8．y＝x－6　[因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为．又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程是y＝x－6．] 9．y－3＝(x＋4)　[根据直线l的一个方向向量a＝(2，3)， 可得直线l的斜率为，又因为直线l过点A(－4，3)， 所以直线l的点斜式方程为y－3＝(x＋4)．] 10．7　[直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°． 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k'＝tan 135°＝－1，又点P(3，4)在直线l上， 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)，当x＝0时，解得y＝7，故纵截距为7．] 11．35　[根据题意，不妨设直线方程为l＝kt＋b， 则 所以直线方程为l＝－0.6t＋21． 当l＝0时，即－0.6t＋21＝0，解得t＝35． 所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min．] 12．解：(1)因为点D是AC边上的中点，A(－1，6)，C(4，2)， 则D，又B(－3，－1)，所以kBD＝， 所以直线BD的点斜式方程为y＋1＝(x＋3)或y－4＝． (2)因为kAB＝， 所以AB边上的高所在的直线的斜率为， 所以AB边上的高所在直线的点斜式方程为y－2＝－(x－4)． 13．解：(1)易得kOC＝＝3． 因为AB∥OC，所以kAB＝3． 又直线AB过点A(3，0)， 所以直线AB的方程为y＝3(x－3)，即y＝3x－9． (2)由(1)知直线AB的斜率为3，因为CD⊥AB， 所以kCD＝－，又直线CD过点C(1，3)， 所以直线CD的方程为y－3＝－(x－1)， 即y＝－． 14．解：(1)证明：由y＝kx＋k－1，得y＋1＝k(x＋1)， 由直线方程的点斜式可知，直线l过定点(－1，－1)． (2)若当－4<x<4时，直线l上的点都在x轴下方， 则≤k≤， 所以k的取值范围是． 1/7 学科网（北京）股份有限公司 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $