5.4用一次函数解决问题讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦用一次函数解决实际问题，系统梳理从实际问题中抽象数量关系、建立一次函数模型的“五步流程”，衔接一次函数表达式与图象性质，延伸至与方程、不等式的综合应用，构建解决行程、利润等问题的学习支架。 资料以“问题情境—建模求解—验证应用”为主线，通过行程问题图象分析、利润方案决策等例题，培养学生模型意识与几何直观。课堂检测分层设题，课后知识清单与强化训练结合，助力教师突破重难点，学生查漏补缺，提升应用意识与推理能力。

2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第五章一次函数第四节用一次函数解决问题》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.能根据实际问题中变量的数量关系，确定一次函数表达式，体会模型思想。 2.学会运用一次函数的图象、性质解决行程、调运、利润等实际问题，提升数形结合能力。 3.经历 “ 问题情境 — 建立模型 — 求解验证 ” 的过程，增强应用意识和实践能力。 4.掌握一次函数与方程、不等式的联系，能综合运用解决决策类问题。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.从实际问题中抽象出一次函数模型，确定函数表达式。 2.运用一次函数解决简单实际问题，理解函数值、自变量的实际意义。 （二）难点 1.分析实际问题中的复杂数量关系，建立合适的一次函数模型。 2.结合函数图象提取关键信息，解决含分段函数、最优方案的综合问题。 3.   区分一次函数与方程、不等式的内在联系并灵活运用。 ) ( 三． 课前预习 1. 一次函数的一般形式为_______（其中k、b为常数，且k ≠ 0），其图象是一条__________。 2. 若一次函数y=2x+b的图象经过点(3,7)，则b的值为__________。 3. 某商店销售某种商品，每件进价为10元，售价为15元，每天销售量y（件）与销售天数x（天）无直接关联，但每天固定销售20件，则每天的利润w（元）与销售天数x（天）的函数关系式为__________，自变量x的取值范围是__________。 4.甲 乙两人相距300米，同时出发相向而行，甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，两人相距的路程y（米）与行走时间x（分）的函数关系式为__________，相遇时x的值为__________。 5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x+3平行，且经过点(1,4)，则该直线的表达式为______。 ) 四．课堂探秘 1.模型建立步骤 解决一次函数实际问题的核心是“建模”，遵循“一审、二设、三列、四解、五验”五步流程： （1）审题：梳理题目中的已知条件、未知量，明确变量之间的关系（如路程-时间、成本-产量、利润-销量等）。 （2）设元：设自变量为x（通常是变化的量，如时间、数量），因变量为y（如路程、费用、利润）。 （3）列函数：根据数量关系列出一次函数表达式y=kx+b，结合题意确定k、b的值（k是单位变化量，b是初始量）。 （4）求解：根据问题要求，求函数值、自变量的值，或结合方程、不等式解决决策问题。 （5）验证：检验结果是否符合实际意义（如时间、数量不能为负数）。 2. 关键题型突破 （1）图象类问题：从折线图、直线图中提取起点、交点、终点坐标，明确每个阶段的函数意义（如停留、匀速行驶、提速等）。 （2）最优方案问题：根据函数增减性（k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小），结合自变量取值范围确定最值。 （3）分段函数问题：根据实际情境的不同阶段（如超过一定数量后收费标准变化），分别列出函数表达式，注意分界点的取值。 3. 易错点警示 （1）忽略自变量的实际取值范围（如人数、件数为正整数，时间非负）。 （2）混淆一次函数中k、b的实际意义（如k是速度、单价差，b是初始距离、固定成本）。 （3）解决图象问题时，误读横纵坐标的含义（如横坐标是时间，纵坐标是距离而非速度）。 （4）两直线平行时忘记“k相等，b不等”的条件，垂直时忽略“k₁·k₂=-1”或特殊情况（一条水平、一条垂直）。 【经典例题】 （一）行程问题 例1．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案． 例2.昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象． 根据下面图象，回答下列问题： （1）求线段AB所表示的函数关系式； （2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？ （二）利润最值问题 例3.为了提高身体素质，有些人选择到专业的健身中心锻炼身体，某健身中心的消费方式如下： 普通消费：35元/次； 白金卡消费：购卡280元/张，凭卡免费消费10次再送2次； 钻石卡消费：购卡560元/张，凭卡每次消费不再收费． 以上消费卡使用年限均为一年，每位顾客只能购买一张卡，且只限本人使用． （1）李叔叔每年去该健身中心健身6次，他应选择哪种消费方式更合算？ （2）设一年内去该健身中心健身x次（x为正整数），所需总费用为y元，写出选择普通消费和白金卡消费的y与x的函数关系式； （3）王阿姨每年去该健身中心健身至少18次，请帮助王阿姨选择最合算的消费方式． 例4．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克． （1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式； （2）小明选择哪家快递公司更省钱？ （三）图象信息题 例5．如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km． （1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为　　L/km、　　L/km． （2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式． （3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？ 例6.小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象． （1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式； （2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？ （3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？ 五．课堂检测 （一）选择题 1．购买一些铅笔，单件为2元，总价y元随着购买铅笔支数x的变化而变化，则函数y与自变量x的关系式可以表示为（　　） A． B． C． D． 2．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（　　） A．路程一定时，时间y（h）和速度x（km/h）的关系 B．斜边长为5cm的直角三角形的直角边y（cm）和x（cm） C．圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm） D．10m长铁丝折成长为y（m），宽为x（m）的长方形 3．我市推出上网课包月制，每月收取上网课费用单位：元与上网时间单位：小时的函数关系如图所示若小明三月份在家上网课的费用为78元，则他三月份在家上网课的时间为（　　） A．32小时 B．35小时 C．36小时 D．38小时 4．如图是温度计的示意图，图中左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度．小明观察温度计发现，两个刻度x，y之间的关系如下表： x/℃ 10 20 25 30 y/℉ 50 68 77 86 据此可知，摄氏温度为15时，对应的华氏温度应为（　　） A．15 B．59 C．-9.4 D．54 5．一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为（　） A． B． C． D． 6．、两地相距，甲、乙沿同一条路从A地到地．，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系．以下说法：①乙车出发1.5小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地；③甲的速度是，乙的速度是；④当乙车出发2小时时，两车相距．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（单位：）与所用的时间（单位：）之间的关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（   ） A．乙走的路程比甲远 B．甲的平均速度为 C．前，甲的速度比乙快 D．经过，甲、乙都走了 8．已知一款商务签字笔购买数量x（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 1 2 3 4 … 应付钱数（元） 15 30 45 60 … 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 9．某公司市场部的营销人员的个人收入与其每月的销售业绩满足一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知：营销人员的销售业绩是1万时的月收入是（   ） A．780元 B．790元 C．800元 D．810元 10．在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标的倍与纵坐标之差为，则称这个点为“如意点”．下列结论中错误的是（    ） A．点是“如意点” B．第二象限内不存在“如意点” C．若点是“如意点”，且在坐标轴上，则点的坐标为 D．已知点，，若点是第四象限内的“如意点”，点到直线的距离为，则 （二）填空题 11.“农村公路”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分,某县某村要铺设一条全长为2 200米的水泥公路.工程队铺设公路施工x天与铺设公路y米之间的关系如下表所示,则施工30天后,未铺设的公路长度为　　　　米.  时间x(天) 1 2 3 4 5 … 公路长度y(米) 50 100 150 200 250 … 12．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3(分)时，电话费y(元)与t(分)之间的函数关系式是　 　． 13.为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第　　秒． 14．如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省　　元． 15．如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是　 　． 16．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有　　．（在横线上填写正确的序号） 17．甲、乙两人同时从家里出发，沿同一条笔直的公路向公园进行跑步训练，乙的家比甲的家离公园近100米，5分钟后甲追上乙．此时乙将速度提高到原来的速度的2倍，又经过15分钟后，乙先到达公园并立即返回，但因体力不支，乙返回时的速度又降低到原来的速度，甲跑到公园后也立即掉头回家，整个过程中，甲的速度始终保持不变，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则当乙回到家时，甲离自己的家还有__________. 18．已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y（米）与甲所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示．站点B到C地的距离为 　 　米； 当x＝　 　时，甲、乙两人相遇． 19．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，l1，l2表示两人离A地的距离：s（km）与时间t（h）的关系，则乙出发　 　h两人恰好相距5千米． 20．如图，小明从A地前往B地，到达后立刻返回，他与A地的距离y（千米）和所用时间x（小时）之间的关系如图所示，则小明出发5小时后距A地 　 　千米． （三）解答题 21（8分）甲乙两位同学对跑步时应该采取什么策略争论不休，甲同学认为应该保持匀速，乙同学认为应该保存体力，先慢后快，他们最终决定进行一次实战练习，两人同时从起点出发，跑向终点，两人距终点距离y（米）与时间x（秒）的关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： （1）两人比赛的全程是 　 　米，　 　同学先到达终点； （2）两人相遇时乙的速度为 　 　m/s； （3）两人相遇前他们在何时相距40米？ 22．（8分）涛涛同学骑共享单车保持匀速从家到博学书店买书，选好书付好款后，以相同的速度原路骑共享单车返回家中．设涛涛同学距离家的路程为，运动时间为，y与x之间的函数图象如图所示． (1)______． (2)在涛涛同学从书店返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式． (3)在涛涛从家里出发的同时，小波同学以60m/min的速度从博学书店匀速步行去涛涛家，当小波同学与涛涛同学在路上相遇时，直接写出涛涛同学的运动时间． 23．某农场急需氨肥8 t，在该农场南北方向分别有A，B两家化肥公司，A公司有氨肥3 t，每吨售价750元；B公司有氨肥7 t，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b(元/千米)与运输质量a(t)的关系如图所示． (1)根据图象求出b关于a的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m(km)，设农场从A公司购买x(t)氨肥，购买8 t氨肥的总费用为y元(总费用＝购买氨肥的费用＋运输费用)，求出y关于x的函数表达式(m为常数)，并向农场建议总费用最低的购买方案． 24．1号探测气球从海拔5 m处出发，以l m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50 min. 设气球上升的时间为x(min)(0≤x≤50)． (1)根据题意，填写下表： 上升时间(min) 10 30 … x 1号探测气球所在位置的海拔(m) 15 35 … x＋5 2号探测气球所在位置的海拔(m) 20 30 … 0.5x＋15 (2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由． (3)当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？ 25．【问题情境】用同样大小的黑色棋子按如图①所示的规律摆放，则第2018个图形中共有多少枚黑色棋子 关于这个问题我们可以通过建立函数模型的方法求解． 【建立模型】上述图形的规律我们可以借助建立函数模型探讨，具体步骤如下： (1)确定变量；(2)画函数图象；(3)求函数表达式；(4)代入验证． 【解决问题】完成下列问题： (1)上述问题情境中以__________为自变量，以________________________________为函数． (2)请在如图②所示的平面直角坐标系中画出图象． (3)猜想它是什么函数？求这个函数的表达式． (4)求第2025个图形中共有多少枚黑色棋子． 26．给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最短间距”，例如：如图，点的“最短间距”是1（即的长）． (1)点的最短间距是_________； (2)已知点，点在第三象限． ①若点O，A，B的最短间距是1，求y的值； ②点O，A，B的“最短间距”的最大值为__________； (3)已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点，当点的最短间距取到最大值时，则此时点P的坐标_________． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.用一次函数解决实际问题的核心是建立______，即将实际问题中的变量关系抽象为一次函数表达式y = kx + b（k≠0）。 2.建立一次函数模型解决实际问题的基本步骤为：审（审题理解题意）、____（找出变量与常量及关系）、列（列函数表达式）、____（求变量值）、验（检验实际意义）。 3.实际问题中，一次函数的自变量取值范围需满足______，因此函数图象可能是线段或射线，而非完整直线。 4.一次函数y = kx + b（k≠0）中，当k>0时，y随x的增大而______；当k<0时，y随x的增大而______，这是解决最值问题的关键依据。 5.若实际问题中变量关系通过表格呈现，需先判断两组变量的变化是否满足______，再用待定系数法求函数表达式。 6.若实际问题中变量关系通过图象呈现，需先确定图象的______（如线段的端点、射线的起点），再提取关键点坐标代入求函数表达式。 7.方案选择问题的实质是比较多个一次函数的______大小，通常转化为解______或不等式组来确定最优方案。 8.某商店推出两种优惠方案：方案一买1件A商品送1件B商品，方案二所有商品打八折。设购买A商品x件、B商品y件（y>x），需分别列出两种方案的费用函数表达式，再通过比较函数值大小确定______的购买数量范围。 9.一次函数y = kx + b（k≠0）在全体实数范围内______最大值和最小值，但在实际问题的自变量取值范围内，函数图象为线段，最值通常出现在______或自变量取值范围的端点处。 10.利润最值问题中，利润y通常等于总销售额减去总成本，需先根据题意列出利润关于销售量x的一次函数表达式，再结合自变量的______，利用函数增减性求最大或最小利润。 11.运费最省问题中，需根据不同运输路线的费用标准，列出总运费关于运输量x的一次函数，再结合运输量的______限制求最优解。 12.行程问题中，若速度恒定，路程s与时间t满足一次函数关系s = vt + s_0，其中v表示______，s_0表示初始路程（出发时已有的距离）。 13.两人相遇问题可通过联立两个一次函数表达式（分别表示两人的路程与时间关系），求解______得到相遇时间和相遇位置。 14.分段函数常用于表示行程中的不同阶段（如不同速度行驶），需明确每段函数的______和对应的自变量取值范围，分段求解后整合结果。 15.动态几何问题中，用一次函数表示线段长度、图形面积等与动点路程的关系时，需采用______思想，根据动点的不同位置分段建立函数表达式。 16.正方形ABCD边长为4，动点P沿A→D→C→B→A运动，设路程为x，△APD的面积为y，需分0≤x≤4、4<x≤8、8<x≤12、12<x≤16四段分析，其中当4<x≤8时，△APD的面积为________ 。 17.用待定系数法求一次函数表达式时，需根据题意找到______个独立的条件（如两点坐标），代入y = kx + b建立方程组求解。 18.解决分段函数问题的关键是识别“______”（即分段点），明确各段自变量的取值范围和对应的函数表达式，避免混淆区间。 19.实际问题中，需检验所求的函数值或自变量值是否符合______（如人数为正整数、长度为正数等），不符合的需舍去。 20.当一次函数与方程、不等式结合时，函数值等于某个常数对应解方程，函数值大于或小于某个常数对应解______，函数值比较大小对应解不等式组。 （二）强化训练 一．选择题 1．某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．长为5，宽为2的长方形的长减少x (0≤x<5)， 宽不变，所得长方形的面积y关于x的函数表达式为（　　） A．y=10－x B．y=5x C．y=2x D．y=－2x+ 10 3.某弹簧的长度y与所挂物体的质量x（kg）之间的关系为一次函数，其函数图象如图所示，则不挂物体时弹簧的长度为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与时间汪水时t（s）的大致图像是（　　） A．B． C．D． 5．小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度与图形个数之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 6．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲、乙两地相距90千米 B．轿车返回的速度为每小时90千米 C．两车在出发小时后相遇 D．货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 7.为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（ ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 8.在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 9．如图，的顶点坐标分别为，，轴，，蒋沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（　　） A．12 B．24 C．15 D．30 10.小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题 11．某种气体的体积y (L)与气体的温度x (C)对应值如下表．若要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于　 　℃． x(℃) …… 0 1 2 3 …… 10 …… y(L) …… 100 100.3 100.6 100.9 …… 103 …… 12．某游乐园有甲、乙两个自行车租车营业点，顾客租车后当天须在营业结束前在任意一个营业点还车．某一天该游乐园营业结束清点车辆时，发现所有出租的自行车都已经归还，在甲营业点归还的自行车比从甲营业点出租的多4辆，当天从甲营业点出租且在甲营业点归还的自行车为25辆，从乙营业点出租且在乙营业点归还的自行车为23辆．设当天从甲营业点出租自行车x辆，从乙营业点出租自行车y辆，下面结论中，①在甲营业点归还的自行车为（x+4）辆；②从甲营业点出租且在乙营业点归还的自行车为（x-25）辆；③ x与y之间的数量关系为y=x+2．所有正确结论的序号为　 　． 13．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是　　米． 14.一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s（km）与行驶时间t（h）的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前　　小时到达B地． 15．在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发　　h时，两车相距350km． 16．某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标准如下表： 医疗费用范围 报销比例标准 不超过800元 不予报销 超过800元且不超过3000元的部分 50% 超过3000元且不超过5000元的部分 60% 超过5000元的部分 70% 设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，按上述标准报销的金额为y元．请写出800＜x≤3000时，y关于x的函数关系式为　 　． 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝　 　． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为　 　，点D的坐标为　 　． 19.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是　 　。 20.某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过　 　分钟时，两仓库快递件数相同． 三．解答题 21．红色教育呼唤有志青年挑战自我，超越自我，奉献社会的崇高精神，不忘初心，牢记使命．陕西省延安革命纪念馆是著名的红色教育基地之一．某日，小李驾车从家出发送朋友前往该纪念馆，在途中休息了半个小时后，继续以相同的速度前往纪念馆．将朋友送达后小李立即按照原路返回，小李离家的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请根据图象，解决下列问题： (1)求BC段的函数关系式； (2)小李出发5小时后离家多远？ 22．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上．甲、乙两人从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数图象如图所示． (1)分别求出甲、乙两人步行的速度； (2)分别求出甲从景点A出发步行到景点C和乙乘观光车时y与时间x之间的函数关系式； (3)问乙出发多长时间与甲在途中相遇． 23．如图是甲骑自行车与乙骑摩托车分别从A，B两地向C地（A，B，C地在同一直线上）行驶过程中离B地的距离与行驶时间的关系图，请你根据图象回答下列问题： （1）A点表示的意义是什么？ （2）甲、乙两人在途中行驶的平均速度分别为多少？ （3）直接写出甲乙两人相距10km时t的值． 24．一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度、（单位：，且）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了，沿原路仍以速度匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，与之间的函数关系． (1)甲乙两地相距______；点实际意义：______； (2)求，的值； (3)慢车出发多长时间后，两车相距？ 25．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由； （2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（5，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标； （3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点C是x轴上的动点，线段CA绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ． 26．在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则． 【理解定义】 （1）若点、，则______． （2）在点、、、中，到坐标原点的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号） 【深入探索】 （3）已知点，，为坐标原点，求的值． 【拓展延伸】 （4）经过点的一次函数（、是常数，）的图像上是否存在点，使，为坐标原点，直接写出点的个数及对应的的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第五章一次函数第四节用一次函数解决问题》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.能根据实际问题中变量的数量关系，确定一次函数表达式，体会模型思想。 2.学会运用一次函数的图象、性质解决行程、调运、利润等实际问题，提升数形结合能力。 3.经历 “ 问题情境 — 建立模型 — 求解验证 ” 的过程，增强应用意识和实践能力。 4.掌握一次函数与方程、不等式的联系，能综合运用解决决策类问题。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.从实际问题中抽象出一次函数模型，确定函数表达式。 2.运用一次函数解决简单实际问题，理解函数值、自变量的实际意义。 （二）难点 1.分析实际问题中的复杂数量关系，建立合适的一次函数模型。 2.结合函数图象提取关键信息，解决含分段函数、最优方案的综合问题。 3.   区分一次函数与方程、不等式的内在联系并灵活运用。 ) ( 三． 课前预习 1. 一次函数的一般形式为_______（其中k、b为常数，且k ≠ 0），其图象是一条__________。 【 答案 】 ：y=kx+b；直线 2. 若一次函数y=2x+b的图象经过点(3,7)，则b的值为__________。 【 答案 】： 1 3. 某商店销售某种商品，每件进价为10元，售价为15元，每天销售量y（件）与销售天数x（天）无直接关联，但每天固定销售20件，则每天的利润w（元）与销售天数x（天）的函数关系式为__________，自变量x的取值范围是__________。 【 答案 】 ：w=(15-10) × 20x=100x；x为正整数 4.甲 乙两人相距300米，同时出发相向而行，甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，两人相距的路程y（米）与行走时间x（分）的函数关系式为__________，相遇时x的值为__________。 【 答案 】 ：y=300-(60+40)x=300-100x；3 5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x+3平行，且经过点(1,4)，则该直线的表达式为______。 【 答案 】 ：y=-2x+6 ) 四．课堂探秘 1.模型建立步骤 解决一次函数实际问题的核心是“建模”，遵循“一审、二设、三列、四解、五验”五步流程： （1）审题：梳理题目中的已知条件、未知量，明确变量之间的关系（如路程-时间、成本-产量、利润-销量等）。 （2）设元：设自变量为x（通常是变化的量，如时间、数量），因变量为y（如路程、费用、利润）。 （3）列函数：根据数量关系列出一次函数表达式y=kx+b，结合题意确定k、b的值（k是单位变化量，b是初始量）。 （4）求解：根据问题要求，求函数值、自变量的值，或结合方程、不等式解决决策问题。 （5）验证：检验结果是否符合实际意义（如时间、数量不能为负数）。 2. 关键题型突破 （1）图象类问题：从折线图、直线图中提取起点、交点、终点坐标，明确每个阶段的函数意义（如停留、匀速行驶、提速等）。 （2）最优方案问题：根据函数增减性（k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小），结合自变量取值范围确定最值。 （3）分段函数问题：根据实际情境的不同阶段（如超过一定数量后收费标准变化），分别列出函数表达式，注意分界点的取值。 3. 易错点警示 （1）忽略自变量的实际取值范围（如人数、件数为正整数，时间非负）。 （2）混淆一次函数中k、b的实际意义（如k是速度、单价差，b是初始距离、固定成本）。 （3）解决图象问题时，误读横纵坐标的含义（如横坐标是时间，纵坐标是距离而非速度）。 （4）两直线平行时忘记“k相等，b不等”的条件，垂直时忽略“k₁·k₂=-1”或特殊情况（一条水平、一条垂直）。 【经典例题】 （一）行程问题 例1．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案． 解：（1）快车速度：180×2÷（）=120千米/时，慢车速度：120÷2=60千米/时； （2）快车停留的时间：﹣×2=（小时），+=2（小时），即C（2，180）， 设CD的解析式为：y=kx+b，则将C（2，180），D（，0）代入，得，解得，∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y=﹣120x+420（2≤x≤）； （3）相遇之前：120x+60x+90=180，解得x=；相遇之后：120x+60x﹣90=180，解得x=； 快车从甲地到乙地需要180÷120=小时，快车返回之后：60x=90+120（x﹣﹣）解得x=综上所述，两车出发后经过或或小时相距90千米的路程． 例2.昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象． 根据下面图象，回答下列问题： （1）求线段AB所表示的函数关系式； （2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？ 解：（1）设线段AB所表示的函数关系式为：y=kx+b，依题意有，解得． 故线段AB所表示的函数关系式为：y=﹣96x+192（0≤x≤2）； （2）12+3﹣（7+6.6）=15﹣13.6=1.4（小时），112÷1.4=80（千米/时），（192﹣112）÷80=80÷80=1（小时），3+1=4（时）．答：他下午4时到家． （二）利润最值问题 例3.为了提高身体素质，有些人选择到专业的健身中心锻炼身体，某健身中心的消费方式如下： 普通消费：35元/次； 白金卡消费：购卡280元/张，凭卡免费消费10次再送2次； 钻石卡消费：购卡560元/张，凭卡每次消费不再收费． 以上消费卡使用年限均为一年，每位顾客只能购买一张卡，且只限本人使用． （1）李叔叔每年去该健身中心健身6次，他应选择哪种消费方式更合算？ （2）设一年内去该健身中心健身x次（x为正整数），所需总费用为y元，写出选择普通消费和白金卡消费的y与x的函数关系式； （3）王阿姨每年去该健身中心健身至少18次，请帮助王阿姨选择最合算的消费方式． 解：（1）35×6=210（元），210＜280＜560，∴李叔叔选择普通消费方式更合算． （2）根据题意得：y普通=35x．当x≤12时，y白金卡=280；当x＞12时，y白金卡=280+35（x﹣12）=35x﹣140．∴y白金卡=． （3）当x=18时，y普通=35×18=630；y白金卡=35×18﹣140=490；令y白金卡=560，即35x﹣140=560， 解得：x=20．当18≤x≤19时，选择白金卡消费最合算；当x=20时，选择白金卡消费和钻石卡消费费用相同；当x≥21时，选择钻石卡消费最合算． 例4．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克． （1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式； （2）小明选择哪家快递公司更省钱？ 解：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7． y乙=16x+3． （2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜；令y甲=y乙，即22x=16x+3， 解得：x=；令y甲＞y乙，即22x＞16x+3解得：＜x≤1．②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：1＜x＜4．综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱． （三）图象信息题 例5．如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km． （1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为　　L/km、　　L/km． （2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式． （3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？ 解：（1）设AB的解析式为：y=kx+b，把（30，0.15）和（60，0.12）代入y=kx+b中得： 解得∴AB：y=﹣0.001x+0.18，当x=50时，y=﹣0.001×50+0.18=0.13，由线段BC上一点坐标（90，0.12）得：0.12+（100﹣90）×0.002=0.14， 故答案为：0.13，0.14； （2）由（1）得：线段AB的解析式为：y=﹣0.001x+0.18； （3）设BC的解析式为：y=kx+b，把（90，0.12）和（100，0.14）代入y=kx+b中得： 解得，∴BC：y=0.002x﹣0.06，根据题意得 解得， 答：速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km． 例6.小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象． （1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式； （2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？ （3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？ 解：（1）s=； （2）设小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式为：s=kt+b，则， 解得，，则小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s=30t+250， 当50t﹣500=30t+250，即t=37.5min时，小明与爸爸第三次相遇； （3）30t+250=2500，解得，t=75，则小明的爸爸到达公园需要75min，∵小明到达公园需要的时间是60min，∴小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min． 五．课堂检测 （一）选择题 1．购买一些铅笔，单件为2元，总价y元随着购买铅笔支数x的变化而变化，则函数y与自变量x的关系式可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵铅笔的单价为2元/件，∴y=2x，故答案为：D. 2．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（　　） A．路程一定时，时间y（h）和速度x（km/h）的关系 B．斜边长为5cm的直角三角形的直角边y（cm）和x（cm） C．圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm） D．10m长铁丝折成长为y（m），宽为x（m）的长方形 【答案】D 【解析】A. 路程一定时，时间y（h）和速度x（km/h）的关系为 （ ， 为常数），不符合题意； B. 斜边长为5cm的直角三角形的直角边y（cm）和x（cm）： ，不符合题意；C. 圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）： ，不符合题意；D. 10m长铁丝折成长为y（m），宽为x（m）的长方形： ，符合题意；故答案为：D 3．我市推出上网课包月制，每月收取上网课费用单位：元与上网时间单位：小时的函数关系如图所示若小明三月份在家上网课的费用为78元，则他三月份在家上网课的时间为（　　） A．32小时 B．35小时 C．36小时 D．38小时 【答案】C 【解析】设射线AC的解析式为y=kx+b（x＞30），将（30，60）与（40，90）分别代入得 ，解得，∴所求的函数解析式为y=3x-30，将y=78代入得x=36.∴ 小明三月份在家上网课的费用为78元，则他三月份在家上网课的时间为36小时.故答案为：C. 4．如图是温度计的示意图，图中左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度．小明观察温度计发现，两个刻度x，y之间的关系如下表： x/℃ 10 20 25 30 y/℉ 50 68 77 86 据此可知，摄氏温度为15时，对应的华氏温度应为（　　） A．15 B．59 C．-9.4 D．54 【答案】B 【解析】设y=kx+b，根据题意，得，解得，故解析式为y=， 当x=15时，y=59，故答案为：B． 5．一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数解析式为y=kx+b，将（0，50）、（500，0）代入得 解得：∴函数解析式为 当y=35时，代入解析式得：x=150故答案为：A 6．、两地相距，甲、乙沿同一条路从A地到地．，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系．以下说法：①乙车出发1.5小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地；③甲的速度是，乙的速度是；④当乙车出发2小时时，两车相距．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】由题意得①乙车出发1.5小时前甲才出发，①错误；②两人相遇时，他们离开A地，②正确；③甲的速度是，乙的速度是，③正确；④设，，把（1.5，20）、（3，80）代入解得， 把（3，40）代入解得，∴当乙车出发2小时时，两车相距，④错误；故答案为：B 7．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（单位：）与所用的时间（单位：）之间的关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（   ） A．乙走的路程比甲远 B．甲的平均速度为 C．前，甲的速度比乙快 D．经过，甲、乙都走了 【答案】D 【解析】 A．后，甲的路程比乙的路程远， 故A不符合题意；B．根据图象可知， 甲走了，所以甲的平均速度为，故B不符合题意；C．前，甲走了，乙走了，所以乙比甲的速度快，故C不符合题意；D．经过，由函数图象可知，甲、乙都走了，故D符合题意．故选∶ D 8．已知一款商务签字笔购买数量x（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 1 2 3 4 … 应付钱数（元） 15 30 45 60 … 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 【答案】A 【解析】由表格可知，每有一个确定的购买数量（支），对应唯一的应付钱数（元）．例如，时，时，依此类推．根据函数的定义，因变量是自变量的函数，因此小明的结论正确．小亮给出的解析式为．当时，代入得，但实际表格中，矛盾．观察表格数据，与的比值恒为15，说明与成正比例关系，正确解析式应为．因此小亮的结论错误．综上，只有小明的结论正确，故选：A． 9．某公司市场部的营销人员的个人收入与其每月的销售业绩满足一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知：营销人员的销售业绩是1万时的月收入是（   ） A．780元 B．790元 C．800元 D．810元 【答案】C 【解析】设，则，解得，∴，当时，， 即营销人员的销售业绩是1万时的月收入是800元，故选：C． 10．在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标的倍与纵坐标之差为，则称这个点为“如意点”．下列结论中错误的是（    ） A．点是“如意点” B．第二象限内不存在“如意点” C．若点是“如意点”，且在坐标轴上，则点的坐标为 D．已知点，，若点是第四象限内的“如意点”，点到直线的距离为，则 【答案】C 【解析】∵，∴点是“如意点”，故A选项不符合题意；令“如意点”的坐标为，则，∴，∵此一次函数图象不经过第二象限，∴第二象限内不存在“如意点”，故B选项不符合题意；令“如意点”的坐标为，当点是轴上的“如意点”时，得：，解得：，∴点的坐标为；当点是轴上的“如意点”时，得：，解得：，∴点的坐标为；综上所述，若点是“如意点”，且在坐标轴上，则点的坐标为或，故C选项符合题意； 如图所示，设过点，的直线解析式为，且交直线于点， ∴，解得：，∴过点，的直线解析式为，即， 即直线上的点都是“如意点”，∵点，，∴点到直线的距离为，点在直线上，此点到直线的距离为，∵点是第四象限内的“如意点”，∴，故D选项不符合题意．故选：C． （二）填空题 11.“农村公路”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分,某县某村要铺设一条全长为2 200米的水泥公路.工程队铺设公路施工x天与铺设公路y米之间的关系如下表所示,则施工30天后,未铺设的公路长度为　　　　米.  时间x(天) 1 2 3 4 5 … 公路长度y(米) 50 100 150 200 250 … 【答案】700 【解析】观察表格数据可知y=50x.当x=30时,y=1 500,所以未铺设的公路长度为2 200-1 500=700(米). 13．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3(分)时，电话费y(元)与t(分)之间的函数关系式是　 　． 【答案】y=t-0.6（t≥3） 【解析】∵3分钟内收费2.4元，∴y=2.4∵每加1分钟加收1元 ，∴t≥3(分)时 ，y=2.4+1×（t-3）=t-0.6故答案为：y=t-0.6（t≥3）。 13.为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第　　秒． 【答案】120 【解析】设直线OA的解析式为y=kx，代入A（200，800）得800=200k，解得k=4，故直线OA的解析式为y=4x，设BC的解析式为y1=k1x+b，由题意，得，解得：， ∴BC的解析式为y1=2x+240，当y=y1时，4x=2x+240，解得：x=120．则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．故答案为120．　 14．如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省　　元． 【答案】4 【解析】由线段OB的图象可知，当0＜x＜时，y=5x，1千克笔记本的价钱为：y=5，设射线EB的解析式为y=kx+b（x≥2），把（4，20），（10，44）代入得，解得：， ∴射线EB的解析式为y=4x+4，当x=8时，y=4×8+4=36，5×8﹣36=4（元），故答案为：4． 15．如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是　 　． 【答案】24＜x＜38 【解析】根据甲15﹣33分钟运动了2千米，所以可得甲这段时间的速度为： km/分， 故从5千米运动至6千米需要9分钟，即6千米对应的时间为24分钟，可得：第一次相遇的时间是第24分钟；点B的坐标为（33，7），点C的坐标为（43，12），设直线BC的解析式为y=ax+b，则，解得：，即直线BC的解析式为y=x﹣， 联立直线OD与直线BC的解析式可得：，解得：，即第二次相遇的时间是第38分钟，所以乙领先甲时的x的取值范围是24＜x＜38．故答案为：24＜x＜38． 16．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中： ①甲队每天挖100米； ②乙队开挖两天后，每天挖50米； ③甲队比乙队提前3天完成任务； ④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米． 正确的有　　．（在横线上填写正确的序号） 【答案】①②④ 【解析】①根据函数图象得：甲队的工作效率为：600÷6=100米/天，故正确；②根据函数图象，得乙队开挖两天后的工作效率为：（500﹣300）÷（6﹣2）=50米/天，故正确；③乙队完成任务的时间为：2+（600﹣300）÷50=8天，∴甲队提前的时间为：8﹣6=2天．∵2≠3，∴③错误；④当x=2时，甲队完成的工作量为：2×100=200米，乙队完成的工作量为：300米．当x=6时，甲队完成的工作量为600米，乙队完成的工作量为500米．∵300﹣200=600﹣500=100，∴当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．故正确．故答案为：①②④． 17．甲、乙两人同时从家里出发，沿同一条笔直的公路向公园进行跑步训练，乙的家比甲的家离公园近100米，5分钟后甲追上乙．此时乙将速度提高到原来的速度的2倍，又经过15分钟后，乙先到达公园并立即返回，但因体力不支，乙返回时的速度又降低到原来的速度，甲跑到公园后也立即掉头回家，整个过程中，甲的速度始终保持不变，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则当乙回到家时，甲离自己的家还有__________. 【答案】300m D．315m 【解析】设乙的速度为v米/分钟，则甲的速度为（v+20）米/分钟，根据题意得：5v+15×2v+100＝25（v+20）+5v，解得：v＝80，v+20＝100．乙的家离公园的距离5v+15×2v＝35v＝2800．乙回到家的时间为5+15+2800÷80＝55（分钟），此时甲离自己的家的距离为2×（2800+100）﹣55×100＝300（米）． 18．已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y（米）与甲所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示．站点B到C地的距离为 　 　米； 当x＝　 　时，甲、乙两人相遇． 【答案】10 【解析】根据题意，站点B到C地的距离为：50×（18﹣2）＝800（米），故答案为：800；由图象可知甲的速度：400÷5＝80（米/分），设经过x分钟，甲、乙两人相遇，则80x＝400+50（x﹣2），解得解得x＝10，∴甲出发10分钟，甲、乙两人相遇， 故答案为：10． 19．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，l1，l2表示两人离A地的距离：s（km）与时间t（h）的关系，则乙出发　 　h两人恰好相距5千米． 【答案】0.8或1 【解析】由题意可知，乙的函数图象是l2，甲的速度是＝30（km/h），乙的速度是＝20（km/h）．设乙出发x小时两人恰好相距5km．由题意得：30（x+0.5）+20x+5＝60或30（x+0.5）+20x﹣5＝60，解得x＝0.8或1，所以甲出发0.8小时或1小时两人恰好相距5km．故答案为：0.8或1． 20．如图，小明从A地前往B地，到达后立刻返回，他与A地的距离y（千米）和所用时间x（小时）之间的关系如图所示，则小明出发5小时后距A地 　 　千米． 【答案】200 【解析】设当4≤x≤10时，y与x的函数关系式为y＝kx+b，则，解得：∴当4≤x≤10时，y与x的函数关系式为y＝﹣40x+400，∴当x＝5时，y＝﹣40×5+400＝200，即小明出发5小时后距A地200千米，故答案为：200． （三）解答题 21（8分）甲乙两位同学对跑步时应该采取什么策略争论不休，甲同学认为应该保持匀速，乙同学认为应该保存体力，先慢后快，他们最终决定进行一次实战练习，两人同时从起点出发，跑向终点，两人距终点距离y（米）与时间x（秒）的关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： （1）两人比赛的全程是 　 　米，　 　同学先到达终点； （2）两人相遇时乙的速度为 　 　m/s； （3）两人相遇前他们在何时相距40米？ 解：（1）由图象可得，两人比赛的全程是800米，乙同学先到达终点，故答案为：800，乙； （2）由图象可得，两人相遇时乙的速度为：540÷（180﹣90）＝6（m/s），故答案为：6； （3）由图象可得，甲的速度为：800÷200＝4（m/s），当x＝90时，甲乙两人相距：4×90﹣（800﹣540）＝100（m），∴相遇之前，他们相距40米存在两种情况，当x＜90时，乙的速度为：（800﹣540）÷90＝（m/s），则（4﹣）x＝40，解得x＝36；当x＞90且在甲乙相遇之前时，4x﹣（800﹣540）﹣6（x﹣90）＝40，解得x＝120； 答：两人相遇前他们在第36秒和第120秒时相距40米． 22．（8分）涛涛同学骑共享单车保持匀速从家到博学书店买书，选好书付好款后，以相同的速度原路骑共享单车返回家中．设涛涛同学距离家的路程为，运动时间为，y与x之间的函数图象如图所示． (1)______． (2)在涛涛同学从书店返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式． (3)在涛涛从家里出发的同时，小波同学以60m/min的速度从博学书店匀速步行去涛涛家，当小波同学与涛涛同学在路上相遇时，直接写出涛涛同学的运动时间． 解：（1）根据题意涛涛同学去书店和返回时的速度相同，则所用时间相等，， （2）设y与x之间的函数关系式为，将与代入，得， 解得，∴y与x之间的函数关系式为：． （3）涛涛骑车的速度为设涛涛从家里出发min后，两人相遇， ①涛涛同学去书店时与小波同学相遇，解得 ②涛涛同学返回时与小波同学相遇，解得综上所述，当小波同学与涛涛同学在路上相遇时，直接写出涛涛同学的运动时间为或20min． 23．某农场急需氨肥8 t，在该农场南北方向分别有A，B两家化肥公司，A公司有氨肥3 t，每吨售价750元；B公司有氨肥7 t，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b(元/千米)与运输质量a(t)的关系如图所示． (1)根据图象求出b关于a的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m(km)，设农场从A公司购买x(t)氨肥，购买8 t氨肥的总费用为y元(总费用＝购买氨肥的费用＋运输费用)，求出y关于x的函数表达式(m为常数)，并向农场建议总费用最低的购买方案． 解:(1)当0≤a≤4时，设b＝ka(k≠0)．把点(4，12)的坐标代入，得4k＝12，解得k＝3.∴b＝3a.当a≥4时，设b＝ma＋n(m≠0)．把点(4，12)，(8，32)的坐标分别代入，得 解得∴b＝5a－8.∴b＝ (2)∵A公司有氨肥3 t，B公司有氨肥7 t，∴0≤x≤3，0≤8－x≤7，∴1≤x≤3， ∴y＝750x＋3mx＋(8－x)×700＋[5(8－x)－8]×2m＝(50－7m)x＋5600＋64m. ∴当m＞时，到A公司买3 t，B公司买5 t费用最低；当m＝时，到A公司或B公司买费用一样；当m＜时，到A公司买1 t，B公司买7 t，费用最低． 24．1号探测气球从海拔5 m处出发，以l m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50 min. 设气球上升的时间为x(min)(0≤x≤50)． (1)根据题意，填写下表： 上升时间(min) 10 30 … x 1号探测气球所在位置的海拔(m) 15 35 … x＋5 2号探测气球所在位置的海拔(m) 20 30 … 0.5x＋15 (2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由． (3)当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？ 解:(2)两个气球能位于同一高度．由题意，得x＋5＝0.5x＋15，解得x＝20，∴x＋5＝25.答：两个气球能位于同一高度，此时气球上升了20 min，都位于海拔25 m的高度． (3)当30≤x≤50时，由题意可知，1号气球所在位置的海拔始终高于2号气球．设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差y(m)，则y＝(x＋5)－(0.5x＋15)＝0.5x－10.∵k＝0.5＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝50时，y取得最大值15.答：两个气球所在位置的海拔最多相差15 m. 25．【问题情境】用同样大小的黑色棋子按如图①所示的规律摆放，则第2018个图形中共有多少枚黑色棋子 关于这个问题我们可以通过建立函数模型的方法求解． 【建立模型】上述图形的规律我们可以借助建立函数模型探讨，具体步骤如下： (1)确定变量；(2)画函数图象；(3)求函数表达式；(4)代入验证． 【解决问题】完成下列问题： (1)上述问题情境中以__________为自变量，以________________________________为函数． (2)请在如图②所示的平面直角坐标系中画出图象． (3)猜想它是什么函数？求这个函数的表达式． (4)求第2025个图形中共有多少枚黑色棋子． 解:（1）第x个图形，第x个图形中黑色棋子的数量y. 　(2)如解图． (3)猜想它是一次函数．设猜想的一次函数表达式为y＝kx＋b，由题意，得解得∴y＝3x＋1.当x＝3时，y＝10；当x＝4时，y＝13.均符合所求的函数表达式y＝3x＋1.∴y＝3x＋1是所求的函数表达式． (4)当x＝2025时，y＝3×2025＋1＝6076.答：第2025个图形中共有6076枚黑色棋子． 26．给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最短间距”，例如：如图，点的“最短间距”是1（即的长）． (1)点的最短间距是_________； (2)已知点，点在第三象限． ①若点O，A，B的最短间距是1，求y的值； ②点O，A，B的“最短间距”的最大值为__________； (3)已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点，当点的最短间距取到最大值时，则此时点P的坐标_________． 解：(1)∵Q1（2，1），Q2（4，1），∴Q1Q2∥x轴，∴Q1Q2=2，同理，Q2Q3=3，在Rt△Q1Q2Q3中，Q1Q3=，∵2＜3＜，∴“最短间距”为2，故答案为：2； (2)①∵O（0，0），A（-3，0），∴OA=3，同理，AB=|y|，在直角△ABO中，OB＞OA，OB＞AB，又∵点O，A，B的“最佳间距”是1，且3＞1，∴|y|=1，∵点在第三象限， ∴y=-1，故答案为：-1；②由①可得，OB＞OA，OB＞AB，∴“最佳间距”的值为OA或者是AB的长，∵OA=3，AB=|y|，当AB≥OA时，“最佳间距”为3，当AB＜OA时，“最佳间距”为|y|＜3，∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3，故答案为：3； (3)设直线CD为y=kx+3，代入点D得，如图2， 4k+3=0∴k=，∴直线CD的解析式为：，∵P（m，n），E（m，0），且P是线段CD上的一个动点，∴PE∥y轴，∴OE=m，PE=n=m+3，①当m≥m+3时，即OE≥PE时，m≥，“最佳间距”为m+3，此时m+3≤；②当m＜m+3时，即OE＜PE时，m＜，“最佳间距”为m，此时m＜；∴点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”取到最大值时，m+3=，∴m=，∴n=m+3=，∴P（，）． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.用一次函数解决实际问题的核心是建立______，即将实际问题中的变量关系抽象为一次函数表达式y = kx + b（k≠0）。 2.建立一次函数模型解决实际问题的基本步骤为：审（审题理解题意）、____（找出变量与常量及关系）、列（列函数表达式）、____（求变量值）、验（检验实际意义）。 3.实际问题中，一次函数的自变量取值范围需满足______，因此函数图象可能是线段或射线，而非完整直线。 4.一次函数y = kx + b（k≠0）中，当k>0时，y随x的增大而______；当k<0时，y随x的增大而______，这是解决最值问题的关键依据。 5.若实际问题中变量关系通过表格呈现，需先判断两组变量的变化是否满足______，再用待定系数法求函数表达式。 6.若实际问题中变量关系通过图象呈现，需先确定图象的______（如线段的端点、射线的起点），再提取关键点坐标代入求函数表达式。 7.方案选择问题的实质是比较多个一次函数的______大小，通常转化为解______或不等式组来确定最优方案。 8.某商店推出两种优惠方案：方案一买1件A商品送1件B商品，方案二所有商品打八折。设购买A商品x件、B商品y件（y>x），需分别列出两种方案的费用函数表达式，再通过比较函数值大小确定______的购买数量范围。 9.一次函数y = kx + b（k≠0）在全体实数范围内______最大值和最小值，但在实际问题的自变量取值范围内，函数图象为线段，最值通常出现在______或自变量取值范围的端点处。 10.利润最值问题中，利润y通常等于总销售额减去总成本，需先根据题意列出利润关于销售量x的一次函数表达式，再结合自变量的______，利用函数增减性求最大或最小利润。 11.运费最省问题中，需根据不同运输路线的费用标准，列出总运费关于运输量x的一次函数，再结合运输量的______限制求最优解。 12.行程问题中，若速度恒定，路程s与时间t满足一次函数关系s = vt + s_0，其中v表示______，s_0表示初始路程（出发时已有的距离）。 13.两人相遇问题可通过联立两个一次函数表达式（分别表示两人的路程与时间关系），求解______得到相遇时间和相遇位置。 14.分段函数常用于表示行程中的不同阶段（如不同速度行驶），需明确每段函数的______和对应的自变量取值范围，分段求解后整合结果。 15.动态几何问题中，用一次函数表示线段长度、图形面积等与动点路程的关系时，需采用______思想，根据动点的不同位置分段建立函数表达式。 16.正方形ABCD边长为4，动点P沿A→D→C→B→A运动，设路程为x，△APD的面积为y，需分0≤x≤4、4<x≤8、8<x≤12、12<x≤16四段分析，其中当4<x≤8时，△APD的面积为________ 。 17.用待定系数法求一次函数表达式时，需根据题意找到______个独立的条件（如两点坐标），代入y = kx + b建立方程组求解。 18.解决分段函数问题的关键是识别“______”（即分段点），明确各段自变量的取值范围和对应的函数表达式，避免混淆区间。 19.实际问题中，需检验所求的函数值或自变量值是否符合______（如人数为正整数、长度为正数等），不符合的需舍去。 20.当一次函数与方程、不等式结合时，函数值等于某个常数对应解方程，函数值大于或小于某个常数对应解______，函数值比较大小对应解不等式组。 【答案】1.一次函数模型 2.找；解 3.实际意义 4.增大；减小 5.线性关系（或一次函数关系） 6.类型（或形状） 7.函数值；方程 8.两种方案费用相等（或更省钱） 9.没有；线段的端点 10.取值范围 11.实际（或数量） 12.速度 13.方程组的解 14.表达式 15.分类讨论 16.0 17.两 18.拐点 19.实际意义 20.不等式 （二）强化训练 一．选择题 1．某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：y=8-6x，故答案为：B. 2．长为5，宽为2的长方形的长减少x (0≤x<5)， 宽不变，所得长方形的面积y关于x的函数表达式为（　　） A．y=10－x B．y=5x C．y=2x D．y=－2x+ 10 【答案】D 【解析】由题意可得：y=2（5-x）=-2x+10.故答案为：D. 3.某弹簧的长度y与所挂物体的质量x（kg）之间的关系为一次函数，其函数图象如图所示，则不挂物体时弹簧的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设y与x的关系式为y=kx+b，∵图象经过（5，12.5）（20，20）， ∴ ，解得： ，∴ ，当x=0时，y=10，即弹簧不挂物体时的长度是10cm．故答案为：C． 4．如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与时间汪水时t（s）的大致图像是（　　） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度h（cm）为零，即h不会随时间t的增加而增大，故选项A、B、C不合题意；当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度h（cm）随时间t的增加而增大，当小烧杯注满水后大烧杯的液面高度升高速度应该是由快到慢，故选项D符合题意．故答案为：D 5．小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度与图形个数之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，当x=1时，y=6×1+4；当x=2时，y=6×2+4；当x=3时：y=6×3+4，......，∴图2：y=6x+4。故答案为：A。 6．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲、乙两地相距90千米 B．轿车返回的速度为每小时90千米 C．两车在出发小时后相遇 D．货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 【答案】D 【解析】由图象可得：甲乙两地相距90千米，故A选项正确，不符合题意；货车的速度为：（千米/小时），轿车返回时的速度为：（千米/小时），故B选项正确，不符合题意；设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，货车行驶的时间为a小时，，解得：，故C选项正确，不符合题意；当货车到达乙地时，，此时轿车离乙地的距离为（千米），故D错误，符合题意； 故选：D． 7.为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（ ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 【答案】C 【解析】设购买A型球拍x副，B型球拍为副，根据题意，，解得， 设总费用为，则。∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低，∴当时，B型球拍为10副，故选：C． 8.在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示：，在和中∴， ∴，∵点，∴∴，由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值，，∴,在中，，利用勾股定理得，故选：C． 9．如图，的顶点坐标分别为，，轴，，蒋沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（　　） A．12 B．24 C．15 D．30 【答案】B 【解析】如图，∵，，∴，∵轴，， ∴在中，，∴，∴在函数中，当时，，即，∴，∴，∴三角形平移距离为6个单位长度，∴平移中扫过的面积为：．故选：B． 10.小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】∵小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，即小刚从家出发7分钟时距离学校3500﹣1200=2300m，∴公交车的速度为： =400米/分钟，故①正确； 由①知公交车速度为400米/分钟，∴公交车行驶的时间为=7分钟，∴小刚从家出发乘上公交车是在第12﹣7=5分钟时，故②正确；∵从上公交车到他到达学校公用10分钟，∴小刚下公交车后跑向学校的速度是=100米/分钟，故③正确；∵小刚从下车至到达学校所用时间为5+10﹣12=3分钟，而小刚下车时发现还有4分钟上课，∴小刚下车较上课提前1分钟，故④错误；故选：B． 二．填空题 11．某种气体的体积y (L)与气体的温度x (C)对应值如下表．若要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于　 　℃． x(℃) …… 0 1 2 3 …… 10 …… y(L) …… 100 100.3 100.6 100.9 …… 103 …… 【答案】20 【解析】由题意得：y与x的函数关系式为y=100+0.3x，将y=106代入得x=20，所以要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于20摄氏度.故答案为：20. 12．某游乐园有甲、乙两个自行车租车营业点，顾客租车后当天须在营业结束前在任意一个营业点还车．某一天该游乐园营业结束清点车辆时，发现所有出租的自行车都已经归还，在甲营业点归还的自行车比从甲营业点出租的多4辆，当天从甲营业点出租且在甲营业点归还的自行车为25辆，从乙营业点出租且在乙营业点归还的自行车为23辆．设当天从甲营业点出租自行车x辆，从乙营业点出租自行车y辆，下面结论中，①在甲营业点归还的自行车为（x+4）辆；②从甲营业点出租且在乙营业点归还的自行车为（x-25）辆；③ x与y之间的数量关系为y=x+2．所有正确结论的序号为　 　． 【答案】①②③ 【解析】设当天从甲营业点出租自行车x辆，从乙营业点出租自行车y辆，①由甲营业点归还的自行车比从甲营业点出租的多4辆，则在甲营业点归还的自行车为（x+4）辆，即①符合题意；②由当天从甲营业点出租且在甲营业点归还的自行车为25辆，那么从甲营业点出租且在乙营业点归还的自行车为（x-25）辆，即②符合题意；③在甲营业点归还的自行车为（x+4）辆；从甲营业点出租且在甲营业点归还的自行车为25辆； 从乙营业点出租且在甲营业点归还的自行车为（y-23）辆；则x+4=25+y-23，化简得y=x+2，即③符合题意．故答案为①②③． 13．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是　　米． 【答案】175 【解析】根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m米/秒，则（m﹣2.5）×150=75，解得：m=3米/秒，则乙的速度为3米/秒，乙到终点时所用的时间为： =500（秒），此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500﹣1325=175（米）．故答案为：175． 14．一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s（km）与行驶时间t（h）的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前　　小时到达B地． 【答案】2 【解析】320﹣160=160千米，160÷2=80千米/小时．320÷80=4小时．6﹣4=2．故答案为：2． 15．在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发　　h时，两车相距350km． 【答案】 【解析】由题意，得AC=BC=240km，甲的速度240÷4=60km/h，乙的速度240÷3=80km/h． 设甲出发x小时甲乙相距350km，由题意，得60x+80（x﹣1）+350=240×2，解得x=， 答：甲车出发 h时，两车相距350km，故答案为：． 16．某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标准如下表： 医疗费用范围 报销比例标准 不超过800元 不予报销 超过800元且不超过3000元的部分 50% 超过3000元且不超过5000元的部分 60% 超过5000元的部分 70% 设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，按上述标准报销的金额为y元．请写出800＜x≤3000时，y关于x的函数关系式为　 　． 【答案】y=x﹣400 【解析】当800＜x≤3000时，y=；故答案为：y=x﹣400． 17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝　 　． 【答案】2 【解析】∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分∴直线必经过正方形的中心∵点B的坐标为（4，4）∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝2 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为　 　，点D的坐标为　 　． 【答案】（﹣1，0）；（0，） 【解析】由折叠的性质得：△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，BD＝CD，对于直线y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝4，∴OA＝4，OB＝3， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝5，∴OC＝AC﹣OA＝AB﹣OA＝5﹣4＝1，即C（﹣1，0）；在Rt△COD中，设CD＝BD＝x，则OD＝3﹣x，根据勾股定理得：x2＝（3﹣x）2+1，解得：x＝，∴OD＝，即D（0，）．故答案为：（﹣1，0）；（0，） 19.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是　 　。 【答案】 【解析】当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x＝2时，y＝﹣2+m＝0，即m＝2，所以直线AB的解析式为y＝﹣x+2，则B（0，2）．∴OB＝OA＝2，AB＝2．设点O到直线AB的距离为d，由S△OAB＝OA2＝AB•d，得4＝2d，则d＝．故答案是：． 20.某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过　 　分钟时，两仓库快递件数相同． 【答案】 20 【解析】设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，∴y1＝6x+40；设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4， ∴y2＝﹣4x+240，联立，解得，∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．故答案为：20 三．解答题 21．红色教育呼唤有志青年挑战自我，超越自我，奉献社会的崇高精神，不忘初心，牢记使命．陕西省延安革命纪念馆是著名的红色教育基地之一．某日，小李驾车从家出发送朋友前往该纪念馆，在途中休息了半个小时后，继续以相同的速度前往纪念馆．将朋友送达后小李立即按照原路返回，小李离家的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请根据图象，解决下列问题： (1)求BC段的函数关系式； (2)小李出发5小时后离家多远？ 解：（1）由图像可得，小李从家到纪念馆的数度为，120÷80=1.5h； ∴A(1.5，120)、B(2,120)；设BC段的函数表达式为y=kx+b(k≠0)；将B(2,120)、C（3.5，240）分别代入得；，解得；∴BC段的函数表达式为; （2）设CD段的函数表达式为y=mx+n(m≠0)；将C（3.5，240）、D（7.5，0）分别代入； ，解得；∴CD段的函数表达式为y=-60x+450； ∴当x=5时，y=-60×5+450=150；∴小李出发5小时后离家150千米． 22．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上．甲、乙两人从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数图象如图所示． (1)分别求出甲、乙两人步行的速度； (2)分别求出甲从景点A出发步行到景点C和乙乘观光车时y与时间x之间的函数关系式； (3)问乙出发多长时间与甲在途中相遇． 解：（1）由图象可得，甲步行的速度为：5400÷90=60（米/分），乙步行的速度为：（5400-3000）÷（90-60）=80（米/分），即甲、乙两人步行的速度分别为60米/分，80米/分； （2）设甲从景点A出发步行到景点C时y与x之间的函数关系式为y=kx，5400=90k， 解得k=60，即甲从景点A出发步行到景点C时y与x之间的函数关系式为y=60x（0≤x≤90）， 设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式y=ax+b，，解得：， 即乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式y=300x-6000（20≤x≤30）； （3）由，解得：，即乙出发25-20=5分钟与甲第一次相遇；令60x=3000，解得x=50，即乙出发50-20=30分钟与甲第二次相遇；由上可得，乙出发5分钟或30分钟时与甲在途中相遇． 23．如图是甲骑自行车与乙骑摩托车分别从A，B两地向C地（A，B，C地在同一直线上）行驶过程中离B地的距离与行驶时间的关系图，请你根据图象回答下列问题： （1）A点表示的意义是什么？ （2）甲、乙两人在途中行驶的平均速度分别为多少？ （3）直接写出甲乙两人相距10km时t的值． 解：（1）由图象可得A点表示的意义是：A地距离C地比B地距离C地近，近20km； （2）甲的平均速度：（km/h），乙的平均速度：＝40（km/h）； （3）设甲出发t小时后，甲乙两人相距10km， ①甲在乙前方时，20+10t﹣40（t﹣2）＝10，解得：t＝3； ②甲在乙后方时，40（t﹣2）﹣（20+10t）＝10，解得：t＝；③当乙已到达C点，甲离C点还剩10km时，20+10t+10＝80，解得：t＝5，综上所述，t的值为3或或5． 24．一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度、（单位：，且）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了，沿原路仍以速度匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，与之间的函数关系． (1)甲乙两地相距______；点实际意义：______； (2)求，的值； (3)慢车出发多长时间后，两车相距？ 解：（1）由图象知，甲、乙两地之间的距离为900km；点实际意义：快车到达乙地； （2）根据图象，得慢车的速度为=60（km/h），快车的速度为：900÷=150（km/h）， ∴a==8，b==14； （3）由题意得A(=6，540)，B(8，540-60×2=420)，C(=10，0)，D(14，14×60=840)，分别代入y=kx+b，可得线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y3=90x（0≤x＜6）；线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1=-60x+900（6≤x＜8）线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2=210x-2100（10≤x＜14）， ①线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y3=90x（0≤x＜6），令y3=480，得x=， ②线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1=-60x+900（6≤x＜8），令y1=480，得x=7， ③线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2=210x-2100（10≤x＜14），令y2=480，得x=．答：慢车出发h、7h、h后，两车相距480km． 25．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由； （2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（5，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标； （3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点C是x轴上的动点，线段CA绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ． 解：（1）△AED是等腰直角三角形，理由如下：在△ABE和△ECD中，， ∴△ABE≌△ECD（SAS），∴∠AEB＝∠EDC，∠BAE＝∠DEC，∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠AED＝90°，∴△AED是等腰直角三角形； （2）①如图1，当∠CAB＝90°时，AC＝BA，过点B作BH⊥x轴交于H点，过点C作GC⊥x轴交于点G，由（1）可得△ACG≌△BAH（AAS），∴CG＝AH，AG＝BH，∵A（2，0），点B（5，1），∴BH＝AG＝1，AH＝3，∴C（1，3）； ②如图2，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，过点B作LK⊥x轴交x轴于点L，过点C作CK⊥LK交于点K，由（1）可得△ABL≌△BCK（AAS），∴AL＝BK，BL＝CK，∵点A（2，0），点B（5，1），∴BL＝CK＝1，AL＝BK＝3，∴C（4，4）；      ③如图3，当∠ACB＝90°，AC＝BC时，过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥x轴交EF于点E，过点B作BF⊥x轴交EF于点F，由（1）可得△EAC≌△FCB（AAS），∴EC＝BF，AE＝CF，∵点A（2，0），点B（5，1），∴EF＝3，CE＝BF，AE＝CF，设C（x，y）， ∴BF＝y﹣1，AE＝y，∴y﹣1+y＝3，∴y＝2，∴AE＝2，EC＝1，∴C（3，2）； 综上所述：C点坐标为（4，4）或（1，3）或C（3，2）； （3）如图4，在x轴上取D（1，0），在y轴上截取AE＝CD，连接EC，BD，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＝90°+∠OCA，∵∠EAC＝90°+∠OCA，∴∠DCB＝∠EAC，∵EA＝CD，AC＝BC，∴△AEC≌△CDB（SAS），∴∠ECA＝∠DBC，∵∠ECA+∠ECB＝90°，∴∠DBC+∠ECB＝90°，∴BD⊥EC，∵OC＝OE，∴∠ECO＝∠BDC＝45°，∴∠ODG＝45°，∴G（0，﹣1），设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣1， ∴B点在直线y＝x﹣1上运动，作A点关于直线BD的对称点A'，连接A'G，A'O，A'B， ∴OB＝BA'，∴AB+OB＝AB+BA'≥OA'，∴当O、B、A'三点共线时，AB+OB有最小值， ∵GD垂直平分AA'，GA＝GA'，AD＝GD，∴A'G⊥AG，∴A'（2，﹣1），∴OA'， ∴AB+OB的最小值为，故答案为：． 26．在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则． 【理解定义】 （1）若点、，则______． （2）在点、、、中，到坐标原点的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号） 【深入探索】 （3）已知点，，为坐标原点，求的值． 【拓展延伸】 （4）经过点的一次函数（、是常数，）的图像上是否存在点，使，为坐标原点，直接写出点的个数及对应的的取值范围． 解：（1） 点、， 而 （2） 点 同理可得：、、到原点的“极大距离”为： 故答案为： （3）， 而 解得：或 （4）如图，直线过 则 直线为： ，为坐标原点，在正方形的边上，且 当直线过时， 则： 解得： 当直线过时，则： 解得： 结合函数图象可得：当或时，满足条件的点有1个，当时，满足条件的点有2个，当时，不存在满足条件的点，当时，满足条件的点有2个， 当时，不存在满足条件的点， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $