第六章 对概率的进一步认识（复习讲义）数学鲁教版五四制九年级下册

第六章 对概率的进一步认识（复习讲义） 一、知识目标 1.理解概率的古典定义（等可能概型）及其适用范围。 2.掌握用树状图和列表法列举随机事件所有可能结果的方法，并能计算简单事件的概率。 3.理解频率与概率的区别与联系，通过大量重复试验认识频率的稳定性，会用频率估计概率。 4.掌握用概率公式计算简单事件概率的方法。 5.初步了解用模拟试验估计概率的方法。 二、能力目标 数据分析与计算能力：能准确列出事件所有等可能结果，并运用公式 P(A)=nm​计算概率。 有序思考与枚举能力：能通过树状图、列表等方式，不重不漏地列出所有可能结果，解决两步及两步以上等可能事件的概率问题。 模型识别与应用能力：能在实际问题中识别“摸球”、“投骰”、“抽卡”等常见概率模型，并选择合适方法求解。 判断与决策能力：能利用概率知识对游戏规则的公平性、事件发生的可能性大小做出判断。 三、重点与难点 重点： 用列举法（树状图、列表）计算随机事件的概率。 理解概率的意义，区分“频率”与“概率”。 用概率公式计算简单事件的概率。 难点： 在复杂情境中，准确判断事件的等可能性。 用树状图或列表法清晰、不重不漏地列举出多步骤事件的所有可能结果。 区分“有放回”与“无放回”两种情形，并正确计算概率。 综合运用概率知识解决实际问题。 1. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表求概率的“三步骤”： 1）列表：分清一次试验中所涉及的两个因素，一个为行标，另一个为列标. 2）计数：通过表格的数据，分别求出等可能的结果总数n，和事件包含的结果数 m. 3）计算：代入公式，计算求出结果. 2. 树状图法 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求事件发生的概率 3. 频率的稳定性 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 4. 用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p. 适用情况：试验的所有可能结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等. 题型一 用列举法或画树状图法求概率---卡片问题 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）有三张外观一样的牌，牌面数字分别为3、4、5，从中随机抽出两张牌，牌面数字和为奇数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，通过列举所有可能抽出的两张牌的组合，并计算数字和为奇数的组合数，再除以总组合数，得到概率即可． 【详解】解：所有可能抽出的两张牌的组合有：，共3种情况． 其中数字和为奇数的组合有：和，共2种情况． 故概率为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）课桌上有五张不透明看上去无差别的卡片，正面分别写着，0，，π，1，把卡片背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查简单概率公式求概率，涉及无理数的定义．根据所给五个数，先根据无理数的定义确定无理数的个数，然后利用概率公式求解． 【详解】解：五张卡片正面的数字分别为 、、、、， 其中， 和 是无理数，共2个， 、、 是有理数， 总共有5张卡片，随机抽取一张，有5种等可能的结果，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可； 【详解】解：总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有种可能的结果：汽化和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华； ∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片， ∴两人都抽到吸热卡片的情况有种， ∴两人都抽到吸热卡片的概率为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了树状图法求概率，用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种，然后利用概率公式即可求解，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 【详解】解：用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，画树状图为， 共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种， ∴抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是， 故选：． 题型二 用列举法或画树状图法求概率---不放回摸球问题 5．（25-26九年级上·山西太原·期中）2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 【答案】 【分析】本题考查了用画树状图或列表求事件概率，熟练掌握用画树状图或列表求事件概率是解题的关键．根据题意列表罗列所有等可能结果，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有种，即可根据概率计算公式计算． 【详解】解：所有可能的结果列表如下：     小平 小何 A B C A    B    C    由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有4种， 所以，恰好有一个文件袋装有空中无人作战方队图片的概率是． 6．（25-26九年级上·甘肃白银·月考）有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片． (1)从中任意取出1张卡片，图案为“哪吒”的概率为多少？ (2)取出第一张卡片不放回再取一张，两次取出的卡片图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“哪吒”、“敖丙”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”、“敖丙”的结果有：，，一共2种， ∴取出的2张卡片为“哪吒”、“敖丙”的概率为． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）不透明的袋子中装有3个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别． (1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为___________ (2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用列举法求概率； （1）根据概率公式计算概率即可； （2）画出树状图，得到共计20种结果，两人摸到相同颜色球的结果有8种，计算即可． 【详解】（1）解：袋子中共有个球，红球有3个， 因此摸到红球的概率为 ； 故答案为：． （2）解：树状图如下： 共计20种结果，两人摸到相同颜色球的结果有8种， ∴两人摸到相同颜色球的概率． 8．（江苏省泰州中学附属初级中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷）为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为的四张卡片（如图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为________； (2)小聪从4张卡片中随机抽取1张不放回，小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家为国家乃至全世界做出卓越贡献的事迹，请用画树状图或列表的方法，求小聪、小明两人中恰好有一人讲述物理学家杨振宁事迹的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的应用，掌握运用了列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）解：随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如图， 共有12种等可能的结果数，其中小聪、小明两人中恰好有一人讲述杨振宁事迹的有6种结果， ∴小聪、小明两人中恰好有一人讲述杨振宁事迹的概率为． 题型三 用列举法或画树状图法求概率---放回的摸球问题 9．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．先画出树状图，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 所有可能的结果有9种，两次摸出红色球的结果有1种，则两次摸出红色球的概率是． 10．（25-26九年级上·浙江金华·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是________________． (2)小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式的应用，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：一共有三种可能，小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图：    共有9种等可能结果，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的结果有5种， ∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是． 答：小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是． 11．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）现有三张不透明的卡片正面分别写有数字1，2，5（卡片除正面所写数字不同外其他均相同），将卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回并洗匀，再随机抽取一张，则两次抽取的卡片上的数字之积为奇数的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 5 1 1 2 5 2 2 4 10 5 5 10 25 由表知，共有9种等可能结果，其中满足两次抽取的卡片上的数字之积为奇数的结果有4种， ∴两次抽取的卡片上的数字之积为奇数的概率为． 故答案为：． 12．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）小瑞将分别标有“进”、“德”、“修”、“业”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字能组成“进德”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率．根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列出表格如下： 进 德 修 业 进 （进，进） （德，进） （修，进） （业，进） 德 （进，德） （德，德） （修，德） （业，德） 修 （进，修） （德，修） （修，修） （业，修） 业 （进，业） （德，业） （修，业） （业，业） 由表可知，一共有16种情况，两次摸出的球上的汉字能组成“进德”的有2种情况， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“进德”的概率． 故选：D． 题型四 用列举法或画树状图法求概率---转盘问题 13．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图，有两个除所标数字外构造完全相同的转盘A 和B，游戏规定：两人各选择一个转盘转一次，指向的数字较大者获胜，则选择转盘A获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单事件的概率，画树状图或用列表法是解题的关键． 将可能的情况通过列表法表示出来，进行判断胜的可能性有几种，除以所有的可能性即可． 【详解】解：转盘指向的数字的可能性如下表所示： B的数字A的数字 8 4 3 9 A胜 A胜 A胜 5 B胜 A胜 A胜 2 B胜 B胜 B胜 故获胜的概率为． 故选B． 14．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）如图所示的两个转盘面积均被等分，用这两个转盘进行“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色．另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，根据题意列表求解即可． 【详解】解：列表如下： 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） 绿 （绿，红） （绿，黄） （绿，蓝） 由表格可知，共有12种等可能的情况，其中可配成紫色的情况有2种， 则配成紫色的概率是， 故选：C． 15．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）“敬老爱老”是中华民族的传统美德．小颖决定通过转转盘的方法从甲、乙、丙三个养老中心中，选择一个参加志愿服务活动．如图，有两个可自由转动的转盘，转盘A被平均分成4份．分别标上数字1、2、3、4、转盘B被平均分成3份，分别标上数字0，，1，小颖分别将两个转盘各转一次，记录下转盘停止转动后指针指向的数字（指针指向分界线时，需重新转动转盘，直至指针指向某一扇形区域为止）． (1)转盘A停止转动后，指针指向的数字大于2的概率为_____； (2)两个转盘都停止转动后，计算指针指向的两个数字的积，若积为正数，则去甲养老中心；若积为负数，则去乙养老中心；若积为零，则去丙养老中心，请用列表或画树状图的方法，求小颖最终去甲养老中心的概率． 【答案】(1) (2)图见解析，小颖最终去甲养老中心的概率为 【分析】本题主要考查概率的计算以及列表法或树状图法求解概率，正确画出树状图或列表是解题的关键． （1）首先确定A转盘中大于2的数字的个数，再根据概率公式进行计算； （2）用树状图列出所有可能的结果，并计算出两个数字的积，找出积为正数的情况数，最后根据概率公式进行计算求解即可． 【详解】（1）解：∵A转盘中有四个数字，其中大于2的数字有两个， ∴； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中积为正数的结果有4种，即小颖最终去甲养老中心的结果有4种， ∴． 16．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色，若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），则指针两次所落区域颜色不同的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率，掌握相关知识是解决问题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，其中指针所落区域颜色不同的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中指针所落区域颜色不同的结果有6种， 指针所落区域颜色不同的概率为． 故答案为：． 题型五 用列举法或画树状图法求概率---数字问题 17．（25-26九年级上·广东佛山·月考）九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动：箱中装有张相同的卡片，它们分别写有数字，，，；箱中装有张相同的卡片，它们分别写有数字，，；小明从箱中随机抽取一张，将其数字作为的值，小凡从箱中随机抽取一张，将其数字作为的值．求小明、小凡随机抽取的数恰好使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，首先用列表法把所有可能出现的情况表示出来，共有种等可能的情况出现，因为一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式可知，所以共有种情况满足条件，可得满足条件的概率为． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能的结果， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理可得：， 、均为非负数， ， 共有种情况， 其中小明、小凡随机抽取的数恰好使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根的结果有种， 所求的概率为. 18．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，3，4．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题． (1)按这种方法能组成哪些两位数？ (2)组成的两位数能被3整除的概率是多少？ 【答案】(1)能组成的两位数有：22，23，24，32，33，34，42，43，44； (2) 【分析】此题主要考查了利用树形图求概率． （1）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和能组成的两位数的情况数； （2）结合树状图可知组成的两位数能被3整除的数有33，42，24，由概率公式即可求出其概率． 【详解】（1）解：画树形图如下： 有图可知，能组成的两位数有：22，23，24，32，33，34，42，43，44； （2）解：由树状图可知组成的两位数能被3整除的数有33，42，24， ∴组成的两位数能被3整除的概率是． 19．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为 ． 【答案】 【分析】二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零，即，从1、2、3、4中随机选取两个不同的数作为和，考虑顺序，总共有12种可能结果，找出满足条件的有序对，计算概率即可． 本题主要考查了简单概率的计算，二次函数与轴的交点问题，熟练掌握“二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零”是解题的关键． 【详解】解：由于选取顺序不同，和的有序对共有、、、、、、、、、、、共12种； 二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式， 即， 解得， 满足的有序对有、、、共4种， 则二次函数与轴有两个不同交点的概率为； 故答案为：． 20．（25-26九年级上·四川达州·月考）从，，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征以及列表或树状图法求概率，通过列表 找出的概率是解题的关键． 根据正比例函数图象上点的坐标特征可得出，列表找出所有的值， 根据表格中所占比例即可得出结论． 【详解】解：∵点在函数图象上， ∴． 列表如下： n m 3 6 2 3 6 3 3 3 6 6 6 6 3 2 共有12种等可能情况，的值为的情况数为1， ∴的值为的概率是． 即点在函数图象上的概率为． 故选：D． 题型六 用列举法或画树状图法求概率---电路问题 21．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为： ． 故答案为：． 22．（21-22九年级上·陕西榆林·期末）如图，某景区有A，B，C三个入口，D，E两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A或B入口进入，从D出口离开的概率是 ． 【答案】 【分析】根据树状图，得出所有可能的结果，再求出选择从A或B入口进入，从D出口离开的有2种情况，根据概率公式即可求得． 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知可能的结果有6种， 设小红选择从A或B入口进入，从D出口离开的概率P， ∵选择从A或B入口进入，从D出口离开的有2种情况， ∴， 答案为：． 【点睛】此题考查了画树状图求概率，解题的关键是列出所有可能的结果和所求事件发生的情况，再根据概率公式求解． 23．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率的知识．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设分别用1、2、3、4表示， 画树状图得： 由树状图可知能够让灯泡发光的概率为：， 故选：C． 24．（25-26九年级上·江西南昌·期中）小明同学在学习初三电学知识《欧姆定律》时，经常需要研究繁杂的电路图．如图所示，随机闭合开关、、中的两个，能让两盏灯泡、同时发光的概率为多少？请你用树状图或者列表格的方式帮助小明解决一下他的困惑． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：列表如下 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡、同时发光的结果有：，，共2种， 能让两盏灯泡、同时发光的概率为． 答：能让两盏灯泡、同时发光的概率为． 题型七 用列举法或画树状图法求概率---实际问题 25．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图是学校食堂一张餐桌的示意图，甲，乙，丙，丁一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． (1)甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是__________． (2)若甲和乙两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位同学不坐在正对面的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了概率公式、利用树状图或列表法求概率， （1）利用概率公式即可得到答案； （2）列表表示出所有等可能的情况，用甲和乙两位同学不坐在正对面的结果数除以所有等可能情况数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一张空餐桌共4个座位， ∴甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： ① ② ③ ④ ① （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中甲和乙两位同学不坐在正对面的结果有：①③，①④，②③，②④，③①，③②，④①，④②，共8种， ∴甲和乙两位同学不坐在正对面的概率为． 26．（25-26九年级上·山西太原·月考）今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，很多爱国主义题材电影上映、小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：A《南京照相馆》、B《东极岛》、C《》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： (1)第一次抽取的卡片是《》的概率为__________； (2)求抽取的两次结果中有《》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，求概率的公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意，可以直接写出第一次抽取的卡片是《》的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出求抽取的两次结果中有《》的概率． 【详解】（1）解：一共有3张卡片，其中有一张是《》，则第一次抽取的卡片是《》的概率为：， 故答案为：； （2）解：从3张卡片中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，画树状图如下： 由上可得，共有6种等可能的结果，两次结果中有《》的有4种， 抽取的两次结果中有《》的概率为． 27．（2025·江苏连云港·模拟预测）某校以传扬蜀绣文化为契机，组织全体学生参加蜀绣文化学习活动，并随机调查了部分学生，对他们每个人的学习时长进行统计，最终，根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．根据图表信息，解答下列问题： 组别 时长t（单位：小时） 人数 所占百分比 A 16 x B 20 C 40% D 12 15% (1)本次调查的学生总人数为______，表中的值为______． (2)该校共有学生1200人，请你估计等级为的学生人数． (3)已知学习时长属于组别的4人中，有两名男生和两名女生．若从中随机抽取两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)80，20% (2)（人） (3) 【分析】本题主要考查统计与概率的综合应用，掌握“由部分求总体的方法”“用样本估计总体”及“画树状图法求概率”是解题的关键． （1）由组别D的人数和所占百分比求总人数，再计算组别A的百分比； （2）先求组别B的百分比，再用全校人数乘以该百分比； （3）用画树状图法列出所有可能结果，再计算符合条件的结果数占比． 【详解】（1）解：总人数：（人）； 的值：． （2）解：组别B的百分比：； 全校等级为B的人数：（人）． （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果数为8， 所以． 28．（24-25九年级上·云南红河·期末）随着科技的发展，改变的不仅仅是人们的生活水平，就连购物的模式和支付方式也在发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外．还有微信、支付宝以及其他支付方式．在学校组织的远足活动中，小华和小丽去“零食很能嗨”便利店购物，她们准备从微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式中选一种方式进行支付，记小华的选择为x，小丽的选择为y． (1)请用画树状图法或列表法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求出小华、小丽两人恰好选择相同支付方式的概率P． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查了画树状图法求概率， （1）根据题意画出树状图，然后根据画树状图法求概率即可， （2）由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案. 【详解】（1）解：设微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式分别用、、、表示， 根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果， （2）他们的选择共有种等可能的结果，其中两人恰好选择相同支付方式的结果数有种， ∴两人恰好选择相同支付方式的概率． 题型八 概率在转盘抽奖中的应用 29．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】(1)0.305，148 (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.305，148． （2）解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． （3）解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 30．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，利用概率公式可得答案． （2）结合概率公式可得转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，由此画图即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示： 31．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 32．（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； （2）解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； （3）解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 题型九 用频率估计概率 33．（25-26九年级上·全国·月考）绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用频率估计概率，正确理解题意是关键．根据频率估计概率，发芽率约为，因此发芽质量等于总质量乘以发芽率计算即可． 【详解】解：发芽率在附近波动，总质量为， 发芽质量约为． 故选:C． 34．（2025九年级上·全国·专题练习）某超市为了解顾客对某品牌牛奶的喜爱程度，随机调查了10名顾客，其中有6人喜欢该品牌牛奶，因此超市宣称该品牌牛奶的受欢迎概率是0.6．请分析该宣称是否合理，并说明如何才能更准确地估计受欢迎概率． 【答案】不合理，见解析 【分析】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是要更准确地估计受欢迎概率，需扩大调查样本． 【详解】解： 不合理；样本容量过小（仅10人），调查结果具有偶然性，不能反映整体顾客的喜好概率；要更准确地估计，需扩大调查样本（如调查1000名或更多顾客），通过大量数据计算频率，此时频率才会趋近于真实的概率（受欢迎概率）． 35．（25-26九年级上·山西运城·月考）奋进小组的同学们展开摸球试验，在一个不透明的口袋中，放入个红球和若干个白球，这些小球除颜色外其余均相同．搅匀后，随机摸出一个球记录下颜色后放回，再搅匀，重复以上操作．奋进小组的同学将白球出现的频率绘制成如下统计图，则袋中白球的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查频率与概率的关系，理解“大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近”是解题关键． 根据题意可知白球出现的概率约为，可设白球的个数为个，根据“摸出白球概率=白球个数总球数”列方程求解即可． 【详解】解：设白球个数为个，则总球数为个， 根据题意，大量重复试验后，白球出现的频率稳定在，则摸出白球的概率为， 得方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴袋中白球个数为个． 故答案为：． 36．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了估计椭圆的面积，小实在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用频率估计概率的 “几何概型” 应用，涉及知识点：频率稳定性（大量实验后频率近似概率）、几何图形面积的比例关系．解题方法是利用 “椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率” 计算椭圆面积；解题关键是理解频率与面积比例的对应关系，易错点是混淆频率与面积的计算关系． 【详解】大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在 ，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为 ． 已知长方形面积为， 因此椭圆面积为：． 故选 ． 题型十 用频率估计概率的综合应用 37．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 48 81 130 201 250 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是________； (2)估算袋中白球的个数； (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【答案】(1) (2)袋中白球有3个 (3) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，利用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系、概率公式及列表法求概率是解题的关键．（1）根据大量重复试验中频率的稳定值估计黑球概率；（2）设白球个数，利用黑球概率公式列方程求解；（3）按“第一列是第一次、第一行是第二次”的格式列表，统计所有结果及符合“一黑一白”的结果数，计算概率． 【详解】（1）解：观察表格，当试验次数增多时，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，故估计从袋中摸出一个黑球的概率是， 故答案为：； （2）设袋中白球有x个，则球的总个数为个， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴袋中白球有3个； （3）袋中球为1个黑球（记为B）、3个白球（记为、、），小强同学无放回地连续两次摸球，列表如下： 第一次\第二次 B B — — — — 总结果数为12种，其中“一个黑球一个白球”的结果有6种（、、、、、）， 故摸出一个黑球一个白球的概率：． 38．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 39．（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 40．（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 题型十一 游戏的公平性问题 41．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，转盘被分成三个面积相等的扇形（其中2块黑色，1块白色），小明和小亮各转动转盘一次，若指针落在同种颜色上，则小明胜；否则，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？若不公平，请你用概率的知识说明谁获胜的概率大． 【答案】不公平，理由见解析 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，游戏公平性，判断游戏是否公平看其概率是否相等是解题关键． 画树状图得到所有等可能结果，然后找出两人分别获胜的结果数，然后求出概率，比较结果得到游戏的公平性即可． 【详解】解：这个游戏不公平，理由如下： 画树状图为： 根据树状图可知共有9种等可能性结果，指针指向同种颜色的有5种，指针指向不同颜色的有4种， ∴P（小明获胜），P（小亮获胜）， ∵， ∴这个游戏对双方不公平，小明的获胜概率大． 42．（25-26九年级上·浙江·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． (1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 【答案】(1) (2)不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，游戏的公平性等知识，正确列表或画出树状图是解题的关键； （1）列表或画树状图，可以求出所有可能事件的总数及事件发生的总数，由概率公式即可求解； （2）根据（1）中列表或树状图可求得乙获胜的概率，若两概率不相等，则改动转盘上的一个数字使得游戏公平即可． 【详解】（1）解：列表如下： A      B 2 3 4 1 3 事件所有可能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种， 则甲获胜的概率为． 答：甲获胜的概率为． （2）解：不公平； 理由如下： 由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种， 则乙获胜的概率为． 而甲获胜的概率小于乙获胜的概率， 所以游戏不公平． 把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 答：游戏不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 43．（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． (2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：， 故答案为：． （2）解：由题可得树状图如下： 小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：， 小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：， ∵， ∴这个游戏不公平． 44．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． (1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________； (2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 【答案】(1)； (2)这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性， （1）根据概率公式计算即可； （2）比较（1）中求出的概率求解即可． 【详解】（1）∵共有1，2，3，4，5五个数字，其中2个偶数，3个奇数， ∴转出偶数的概率是；转出奇数的概率是； （2）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下： ∵， ∴乙获胜的概率大． 题型十二 概率与统计知识的综合应用 45．（16-17九年级·全国·单元测试）人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 【答案】（1）0.0122、0.206；（2）2438.18万 【详解】试题分析：(1)利用频率估算；(2)利用频率估算20000个人中有多少人去世，再乘以赔偿金. 试题解析： （1）P(50岁去世)=0.0122,P（活到80岁）=0.206 . （2）951÷78009×20000×10≈2438.18万 46．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 47．（2024·福建·模拟预测）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) (2)选择方案二更划算 【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树状图法求概率． （1）①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人，进而可以补充表格数据； ②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可； （2）若选方案一：则需付款：元；若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元，根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、，画出树状图分别求出摸到个红球，摸到个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可． 【详解】（1）解：①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人， ∵，， ∴，， 补充表格如下： 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 ②由①可得，女性用户中随机抽取位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是． （2）解：若选方案一：则需付款：元； 若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元， 根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、， 画出树状图为： 根据树状图可知：所有可能的结果共种，摸到个红球的有种，摸到个红球的有种，未摸到红球的有种， 所以摸到个红球的概率为：，则打折， 摸到个红球的概率为：，则打折， 未摸到红球的概率为：，按原价付款． 所以实际付款的平均金额为： （元）． 因为元元， 所以选择方案二更划算． 48．（2025·福建厦门·模拟预测）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1)； (2)选择方案一较为实惠． 【分析】本题主要考查了画树状图求某个事件发生的概率、根据概率选择方案． 画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况，一次抽奖获得折优惠的概率； 根据概率可知，如果选择方案二，顾客大概率可能只省元，如果选择方案一，顾客一定可以省元，选择方案一较为实惠． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况， 一次抽奖获得折优惠的概率； （2）解：如果先择方案二，则顾客打折的概率为， 打折的概率为， 打折的概率为， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 打折的概率是， 如果选择方案二，顾客大约可以省元， 如果选择方案一，顾客一定可以省元， 选择方案一较为实惠． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2010·江苏扬州·中考真题）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（    ）. A．频率等于概率 B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D．实验得到的频率与概率不可能相等 【答案】B 【详解】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故A错误； B、正确； C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误； D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同． 故选：B． 2．（18-19七年级下·福建·月考）一个袋中装有3个红球，5个黄球，10个绿球，小强从袋中任意摸出一球是黑球的概率为（       ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由于频率总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P（A）≤1，不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0． 【详解】解：因为袋中无黑球，所以从袋中任意摸出一球是黑球是不可能发生的事件，由概率的统计定义可知，P摸出黑球＝0． 故选A． 【点睛】本题考查概率的统计意义，熟知不可能事件概率为0和必然事件概率为1是解题关键. 3．（2023·河南新乡·一模）丽丽与雯雯相约去天文馆参观，该馆有A、B两个入口，有C、D、E三个出口，他们从同一入口B进入后分散参观，结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画出树状图，共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种，再根据概率公式，计算即可得出结果． 【详解】解：画树状图如下： ∵共有种等可能的情况，其中恰好从同一出口走出的情况有种， ∴她们恰好从同一出口走出的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·月考）口袋中有白球和红球共10个，这些球除颜色外其它都相同．小明将口袋中的球搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，小明继续重复这一过程，共摸了100次，结果有40次是红球，请你估计下一次操作拱到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在反复试验下，摸到红球的频率为， ∴摸到红球的概率为， ∴估计下一次操作拱到红球的概率是， 故选：B． 5．（22-23九年级上·山西太原·期末）截至去年11月23日，除卫健、公安等全员参与疫情防控的单位外，全市已有3.7万余名党员干部主动向社区（村）报到，共创“无疫社区”．小王、小李和小张3名党员都报名参加所在社区的防控工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小王和小李同时参加的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 小王 小李 小张 小王 小李，小王 小张，小王 小李 小王，小李 小张，小李 小张 小王，小张 小李，小张 所有等可能的情况有6种，其中小王和小李同时参加的情况数有2种， 则小王和小李同时参加的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，弄清题意是解本题的关键． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片任意摆放(卡片大小、质地、颜色完全相同)，将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的图形都是中心对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出哪些图形是中心对称图形，然后利用树状图画出翻开2张卡片的所有结果，找出翻开的图形都是中心对称图形的结果，再利用概率的公式，概率等于所求结果数与总结果数之比即可求解． 【详解】解： 设“正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形”的卡片分别为“A、B、C、D、E”，“A、B、C、D、E”中“A、B、C、E”是中心对称图形，如图， 共有20种等可能的结果，其中，翻开的图形都是中心对称图形的结果有12种， ∴一次过关的概率是． 故选C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，利用树状图求概率． 7．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 8．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图所示的两个转盘中均有5个数字，同时旋转两个转盘，指针落在某一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在奇数上的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两个指针同时落在奇数上的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有25种等可能性的结果数，其中两个指针同时落在奇数上的结果数有4种， ∴两个指针同时落在奇数上的概率为， 故选：A． 9．（16-17九年级上·安徽合肥·期末）如图，数轴上四个点A，B，C，D对应的坐标分别是﹣1，1，4，5，任取两点构成线段，则线段长不大于3的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由四个点中任取两点构成线段，是一个无放回列举法求概率问题，列出线段长不大于3的种数，因而就可求出概率． 解：由四个点中任取两点构成线段，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4×3÷2=6种可能结果，且每种结果出现的机会相同，其中线段长不大于3的有： 线段AB=2，BC=3，CD=1共3种， 则P=3÷6=． 故选B． 考点：概率公式；数轴；比较线段的长短． 10．（2020九年级·河北石家庄·学业考试）将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，记投掷两次的正面数字之和为，则下面关于事件发生的概率说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用列表法或树状图法求出相应事件发生的概率，再进行判断即可． 【详解】投掷质地均匀的骰子两次，正面数字之和所有可能出现的结果如下： 共有36种结果，其中和为5的有4种，和为9的有4种，和为6的有5种，和为8的有5种，和小于7的有15种， ∴，因此选项A不符合题意； ，因此选项B符合题意； ，因此选项C不符合题意； ，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定要注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 二、填空题 11．（25-26九年级上·四川成都·月考）一个布袋内只装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同．随机摸出两个球，则摸出的两个球都是黑球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法以及画树状图求概率，根据题意列出表格，然后得出总的情况以及摸出的两个球都是黑球的情况，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：列表如下： 黑 黑 白 黑 （黑，黑） （白，黑） 黑 （黑，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （黑，白） 一共有6种情况，摸出的两个球都是黑球的有2种情况， ∴摸出的两个球都是黑球的概率为：， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500 损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此可估计柑橘损坏率大约是． 【详解】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在左右， 所以可估计柑橘损坏率大约是， 故答案为：． 13．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）天一和润泽两位小朋友做游戏，在一个不透明的袋子中有4个分别标有数字6，2，，的球，这些球除所标的数字不同外其他都相同，从袋子中随机摸出两个球，若这两个球上的两个数字之积为负数则天一赢，若这两个球上的两个数字之积为正数则润泽赢，问：天一赢的概率是 ． 【答案】 【分析】利用列表法或树状图求概率即可得． 【详解】解：作出树状图如图所示： 由图可得共有12种可能性，且为负数（即两个数异号）的可能性有8种， ∴， 即天一赢的概率为， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用树状图或列表法求概率，熟练掌握运用列表法或树状图法是解题关键． 14．（2020·湖北黄石·三模）有六张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该卡片上的数字加1记为b，则函数y＝ax2+bx+2的图象过点（1，3）的概率为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意列表，求出所有可能结果，得出符合要求的a，b的值，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：∵函数y＝ax2+bx+2的图象过点（1，3）， ∴a×12+b×1+2＝3 即：a+b＝1， 根据题意列表得：（﹣2，﹣1）（﹣1，0）（0，1）（1，2）（2，3）（3，4） ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 （﹣2，﹣1） （﹣1，0） （0，1） （1，2） （2，3） （3，4） 共6种情况，其中只有（0，1）符合题意， 故函数y＝ax2+bx+2的图象过点（1，3）的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ，难度适中． 三、解答题 15．（18-19九年级上·重庆綦江·期末）在我区电视台举行的“讲故事”比赛中，甲、乙、丙三位评委，对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过” 的结论． （1）利用树状图写出三位评委给出选手A的所有可能的结论； （2）对于选手A，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？ 【答案】（1）详见解析；（2）. 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：（1）画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结： （2）由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种． 对于 A选手，“只有甲、乙两位评委给出相同结论”有2种，即： “通过－通过－待定”、“待定－待定－通过”，所以对于A选手 “只有甲、乙两位评委给出相同结论”的概率是． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，概率公式. 16．（2023·广东梅州·二模）已知代数式． (1)化简代数式； (2)在满足的整数中随机抽取1个代入代数式中，求不会使得代数式无意义的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可解答； （2）先求出满足的整数，再求出分式有意义的条件即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：在区间上的整数有，，0，1，2,共个， 由（1）得，分式有意义的条件为：且，即可取0,1， ∴不会使得代数式无意义的概率为． 【点睛】本题考查了分式的运算法则，分式有意义的条件及列举法求概率，解题的关键是熟练掌握以上知识点并保持计算准确． 17．（20-21九年级上·浙江绍兴·期末）在一个不透明的盒子中有个颜色、大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有，，这个号码． （1）搅匀后从中随机抽出个小球，抽到号球的概率是_______． （2）搅匀后先从中随机抽出个小球（不放回），再从余下的个球中随机抽出个球，求抽到的个小球的号码的和为奇数的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用列举法列出所有可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，即可求出概率； （2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率． 【详解】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到号球”的有1种， ∴“抽到号球”的概率为； （2）用列表法表示出所有可能出现的结果情况如下： ∴由表可知，共有6种等可能结果，其中其中“和为奇数”的有4种， ∴． 【点睛】本题考查了列举法、列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解答本题的关键． 18．（19-20九年级上·重庆南川·期末）为庆祝建国70周年，推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，某电影公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对电影A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》的喜爱程度．业务员小王，将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题： （说明：A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》） （1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是_________； （2）小易打算从喜欢《我和我的祖国》的5位山城人民（两男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少? 【答案】（1）补全条形统计图见解析；36°；（2） 【分析】(1)先根据A种类人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再由四个种类人数之和等于总人数求出D种类的人数，据此可补全图形，最后用360°乘以D种类人数所占比例； (2)用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出刚好抽到一男一女的概率. 【详解】(1)∵被调查的总人数为10÷20%=50 (人)， ∴D种类的人数为50- (10+23+12)=5 (人)， 补全图形如下： 扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是 故答案为：36° (2)根据题意列表如下： 女1 女2 女3 男1 男2 女1 女1女2 女1女3| 男1女1 男2女1 女2 女1女2 女2女3| 男1女2| 男2女2 女3 女1女3 |女3女2 男1女3| 男2女3 男1 男1女1 | 男2女1 男3女1 男1男2 男2| 男1女2| 男2女2 男3女2| 男1男2 由表可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种， 所以抽到一男一女的概率 为：P(一男一女)=. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 19．（21-22九年级上·四川成都·期中）四川省某地区为了了解2021年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：A．读普通高中，B．读职业高中，C．直接进入社会就业，D．其他（如出国等），进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图． （1）该地区共调查了 　 　名九年级学生； （2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整； （3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表法求选中甲同学的概率． 【答案】（1）200，8%；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据统计图由A的人数和百分比可以得到本次调查的九年级学生数，根据C的人数除以总人数可得百分比； （2）根据题目中的数据可以得到统计图中未知的数据，从而可以解答本题； （3）根据列表法求选中甲同学的概率． 【详解】解：（1）该地区调查的九年级学生人数为110÷55%=200（人）， 故答案为200； （2）B类别人数为200×35%=70（人），C类别所占百分比为×100%=8%， 补全图形如下： （3）列表如下， 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 共有12中等可能情况，选中甲的有6中情况， 选中甲同学的概率为 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．（2023·云南昭通·二模）在一次复习《四边形》的习题课中，王老师准备了四张形状大小完全相同的卡片，正面分别写有A．平行四边形、B．矩形、C．菱形、D．正方形．现将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在讲桌上，每位同学只能抽取一张，抽到哪一张就要背诵出该张卡片上所写四边形的性质． (1)甲同学抽到写有“C．菱形”卡片的概率为________． (2)若王老师要求甲、乙两位同学同时抽取卡片并分别进行背诵，用画树状图法或列表法求甲、乙两人抽到的卡片中有写有“A．平行四边形”卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可； （2）根据题意，列出表格，可得共有12种等可能性结果，其中甲、乙两人抽到的卡片中有写有“A．平行四边形”卡片的结果有6种，再根据概率公式计算，即可． 【详解】（1）解：同学抽到写有“C．菱形”卡片的概率为； 故答案为： （2）解：根据题意，列表如下： 甲乙 由表可知，共有12种等可能性结果，其中甲、乙两人抽到的卡片中有写有“A．平行四边形”卡片的结果有6种， ∴甲、乙两人抽到的卡片中有写有“A．平行四边形”卡片的概率 【点睛】本题主要考查了求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 21．（23-24九年级上·北京西城·月考）为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A.法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈． 为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）． 将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： (1)本次调查的学生共有__________人，扇形统计图中的度数是__________； (2)请把条形统计图补充完整； (3)学校为举办2023年度校园文化艺术节，决定从A.书法；B.绘画；C.乐器；D. 舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与舞蹈组合在一起的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数据的统计和列举图法求概率，解题关键是从统计图中获取正确信息，准确计算，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或D的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． （1）用A科目人数除以其对应的百分比可得总人数，用乘以对应的百分比可得的度数； （2）用总人数乘以科目的百分比即可得出其人数，从而补全图形； （3）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出恰好是“书法”“舞蹈”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：本次调查的学生共有（人）， 扇形统计图中的度数是， 故答案为：，； （2）解：选择C.乐器的人数为人， 补全条形统计图，如图所示： （3）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共出现种可能的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中A与D组合的情况有种， 因此概率为：． 22．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）为了锻炼身体，增强体质，某校将举行一年一度的校际运动会．体育组想了解同学们最喜爱的体育项目，由此设计了一份调查问卷．问卷要求每人必选且只能选一种最喜爱的体育项目．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： (1)这次共调查了______人； (2)在扇形统计图中，表示“铅球”的扇形圆心角是多少度？ (3)小李和小文都想从“跳高”、“短跑”、“铅球”中任选一种项目进行比赛，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选择同一种比赛项目的概率． 【答案】(1)150 (2) (3) 【分析】（1）本题根据两种统计图可知短跑的人数和所占百分比，利用人数除以百分比即可解题． （2）本题考查扇形统计图的圆心角，根据长跑所占百分比，得到长跑的人数，再得到铅球的人数，得到铅球人数所占比，利用所占比乘以即可解题． （3）本题考查用画树状图或列表的方法求概率，根据题意画出树状图，得到总的情况种数，找出两人恰好选择同一种比赛项目的情况数，再利用概率公式即可解题． 【详解】（1）解：这次共调查的人数为（人）． 故答案为：150． （2）解：由题意得，选择“长跑”的人数为（人）， 选择“铅球”的人数为（人）， 在扇形统计图中，表示“铅球”的扇形圆心角度数是． （3）解：将“跳高”、“短跑”、“铅球”分别记为A，B，C， 可画树状图如下： 由树状图可得，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种比赛项目的结果有3种， 两人恰好选择同一种比赛项目的概率为． 23．（22-23九年级下·江苏南通·月考）有甲、乙两个不透明度的布袋，甲袋中装有两个相同的小球，它们分别标有数字1，2；乙袋中装有三个相同的小球，它们分别标有数字0，， ．现从甲袋中随机摸出一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，记录标有的数字为y，得点． (1)求点在直线上的概率； (2)在平面直角坐标系中，的半径为2，求过点能作切线的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用树状图法展示所有6种等可能的结果数和点在直线上的结果数，再利用概率公式可得答案； （2）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作的切线，则可计算出过点能作的切线的概率． 【详解】（1）解：画树状图： 共有6种等可能的结果数，它们是：，，，，，；其中在直线上的点有，， 点在直线上的概率． （2）解：在上的点有，在⊙O外的点有，，， 所以过点能作⊙O的切线的点有4个， 所以过点能作⊙O的切线的概率． 【点睛】本题考查列表法和树状图法，一次函数图象上的点的坐标特征，切线的性质，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级上·江西赣州·期末）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表一：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（   ） 累计抽测的学生数 100 200 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.85 0.9 0.9 0.93 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9 【答案】A 【分析】本题考查用频数估计概率，熟练掌握利用频数估计概率是解题的关键．根据频数估计概率可直接进行求解． 【详解】解：由表格可知：经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数n的比值稳定在0.92附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为0.92． 故选：A． 2．（21-22九年级上·广东揭阳·期末）某口袋里现有12个红球和若干个绿球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机的从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验600次，其中有300次是红球，估计绿球个数为（      ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中有绿球x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率是解决本题的关键． 3．（22-23九年级上·广东梅州·月考）为丰富学校课后服务的内容，学校为全体学生提供了，，，四种课外活动，现需从八年级的甲、乙、丙三名学生中任选两人担任“课外活动安全监督员”，则乙被选中的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用列举法将可能出现的结果表示出来，选中乙的概率即可求出． 【详解】解：从三个中选两个的结果有甲、乙，甲、丙，乙、丙三种结果，选中的乙的占两个， ∴选中乙的概率为， 故选：． 【点睛】本题主要考查运用列举法计算概率，掌握列举法计算概率是解题的关键． 4．（19-20九年级上·湖北鄂州·期末）我市组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆） 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3， 所以两人恰好选择同一场馆的概率， 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 5．（23-24九年级上·陕西榆林·月考）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可得，成活概率在上下波动，由此即可得到答案． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率稳定在，故这种树苗移植成活的概率约为， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，采用数形结合的方法是解此题的关键． 6．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）从，，1，2，5中任取两数作为，，使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了，二次函数的性质，用列表法或树状图法求概率；首先根据题意得到，，然后利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵开口向下， ∴； ∵对称轴在轴左侧， ∴， ∴； 列表如下：     a b 1 2 5 1 2 5 ∴共有20种等可能结果，其中使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的有2种结果， ∴使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为． 故选：B． 7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）机器人沿网格从点 A 向点B移动，移动方式只能向右或向下，则机器人从点A移动到点 B 的过程中，途中经过点 C 的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 将经过的路口分别记为如图所示，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：如图， 画树状图如下： 由树状图知，共有20种等可能结果，其中经过格点C的有9种结果， 所以途中经过点 C 的概率为， 故选：D． 8．（2014·黑龙江大庆·中考真题）如图，一个质地均匀的正四面体上依次标有数字－2，0，1，2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a，b，将其作为M点的横、纵坐标，则点M(a，b)落在以A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)为顶点的三角形内(包括边界)的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用列表法确定出所有可能的情况数和符合条件的情况数，然后运用概率公式计算即可 【详解】解：列举出事件： ba -2 0 1 2 -2 （-2，-2） （-2，0） （-2，1） （-2，2） 0 （0，-2） （0，0） （0，1） （0，2） 1 （1，-2） （1，0） （1，1） （1，2） 2 （2，-2） （2，0） （2，1） （2，2） 共有16种结果，而落在以A（-2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）有：（-2，0），（0，0），（1，0），（2，0），（0，1），（1，1），（0，2）共7中可能情况， 所以落在以A（-2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的概率是=. 故选B． 【点睛】本题主要考查了运用列表法求概率，正确列表成为解答本题的关键． 9．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有： 闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合四个的情况有：，，，， 故这些开关随机闭合至少两个共11种， 其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种， 将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 10．（20-21九年级上·全国·单元测试）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小正方形的边长为x，根据已知条件得到AB＝2+3＝5，根据勾股定理列方程求得x＝1，再根据三角形的面积公式计算即可得到结论． 【详解】   设小正方形的边长为x ∵a＝2，b＝3 ∴AB＝2+3＝5 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2 ∴（2+x）2+（x+3）2＝52 ∴x＝1，x＝﹣6（不合题意舍去） ∴ ∴，阴影面积 ∴针尖落在阴影域内的概率＝ 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程、概率等知识；求解的关键是熟练掌握概率、一元二次方程和勾股定理的性质，从而完成求解． 二、填空题 11．（2025·四川绵阳·三模）“三孩”政策出台后，某家庭积极响应政府号召，已生育三个小孩（生男生女机会均等，且与顺序无关）．则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是 【答案】 【分析】此题考查了树状图的应用，解题的关键是认真审题画出树状图．画出树状图，根据概率公式计算可得． 【详解】画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，则这三个小孩中至少有一个女孩的有7种结果， ∴则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江台州·期末）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 杯口朝上的频数 杯口朝上的频率 估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率为 （结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可． 【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为， 故答案为： 13．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，小康设计了一个“配紫色”游戏，规则：有A，B两个可以自由转动的转盘，每个转盘被等分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若转盘A 的指针指向红色，转盘 B 的指针指向蓝色，则红色和蓝色就配成了紫色．现同时转动A，B两个转盘一次，则能配成“紫色”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列出表格得到所有等可能性的结果数， 再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 转盘1 转盘2 红 白 黄 （红，黄） （白，黄） 绿 （红，绿） （白，绿） 蓝 （红，蓝） （白，蓝） 由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中可配成紫色的结果数有种， ∴配成紫色的概率是， 故答案为：． 14．（20-21九年级上·四川成都·月考）有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为 ． 【答案】 【分析】根据方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象列出关于n的不等式，从而求出n的取值范围，找出符合条件的整数解，最后根据概率公式进行计算即可． 【详解】有实数根， ， ∴， ， 又， 对称轴为：， 时，随增大而减小， ， 综上， 可取0，2， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的性质及概率公式，得到满足条件的n的情况数是解决本题的关键． 三、解答题 15．（2012·吉林长春·中考真题）有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0,2,5；乙袋中有3个球，分别标有数字0,1,4 .这6个球除所标数字以外没有任何其他区别.从甲、乙两袋各随机摸出1个球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之和是6的概率. 【答案】 【详解】解：根据题意得：画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，摸出的两个球上数字之和是6的有2种情况， ∴摸出的两个球上数字之和是6的概率为：． 【点睛】根据题意画出树状图或列表，然后根据图表即可求得所有等可能的结果与摸出的两个球上数字之和是6的情况，利用概率公式即可求得答案． 16．（21-22九年级上·浙江杭州·期末）一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别． (1)从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率． (2)从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写有“3”的球的个数除以总的球的个数即可得解； （2）利用树状图列举法即可求解； 【详解】（1）根据题意，上面的数字恰好是“3”的概率为：， 即所求概率为； （2）利用树状图列举法： 如图 两次之和为“3”的次数共计有2次，总计有9种抽球的方式，则两次之和为“3”的概率为：． 【点睛】本题考查了公式法和列举法求概率的知识，掌握理解列举法的基本原理是解答本题的关键． 17．（20-21九年级上·广东深圳·期末）《深圳市生活垃圾分类管理条例》9月1日起正式实施，小张从深圳市城市管理和综合执法局网站上搜索到生活垃圾（可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾）分类标准的图标，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A.    B.    C.    D. （1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“可回收物”的概率是_________； （2）小张从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片上的图标恰好分别是“厨余垃圾”和“有害垃圾”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一共有四张卡片，“可回收物”的卡片有一张，由概率公式求解即可； （2）利用列表法求出所有的结果数和满足条件的结果数，由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“可回收物”的概率P= （2）解：列表得 A B C D A B C D 结果共有12种可能，其中符合题意的有2种， ∴． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 18．（10-11七年级下·海南海口·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的黑、白两种球共40个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据: 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的频数 65 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 （1）将数据表补充完整； （2）请你估计: 随着实验次数的增加，摸到白球的频率特点是 ,这个频率将会接近 （精确到0.1）； （3）假如你摸一次，你摸到白球的机会是 ； （4）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【答案】（1）124，0.601；（2）逐渐趋于稳定（平稳）0.6；（3）0.6；（4）白球24个，黑球16个. 【分析】（1）利用频数与频率之间的关系，计算出其值即可； （2）利用频率随着试验次数的增多，会接近于某一个固定值，得出即可； （3）利用概率接近于图表中得到的频率得出即可； （4）白球个数=球的总数×得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数． 【详解】（1）200×0.62=124，1803÷3000=0.601； 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的频数 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （2）随着实验次数的增加，摸到白球的频率特点是逐渐趋于稳定（平稳），这个频率将会接近0.6； 故答案为逐渐趋于稳定（平稳），0.6； （3）利用图表数据可得出：假如你摸一次，你摸到白球的机会是0.6； 故答案为0.6； （4）白球：40×0.6=24（个）， 黑球：40-24=16（个）． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． 19．（2022·江苏淮安·中考真题）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． (1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； (2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 【答案】(1) (2)两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数， ∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 故答案为：. （2）解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：，共4种， ∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为. 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20．（23-24九年级下·陕西宝鸡·开学考试）一只不透明袋中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、揽匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3334 (1)该小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到0.001），由此估出红球有______个； (2)现从该袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图或列表法求恰好摸到1个白球和1个红球的概率． 【答案】(1)0.334，2； (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了频率估计概率． （1）利用频率估计概率，通过大量的实验，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数可作为摸到白球的概率，进而可求解； （2）利用列表法得到所有的等可能结果，再找出符合条件的结果数，然后利用求概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（1）根据表中数据，可知摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是0.334（精确到0.001）， 设红球有x个，则 ， 解得， 由此估出红球的个数为2个． 故答案为：0.334，2； （2）将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种， 则， 答：恰好摸到1个白球和1个红球的概率为． 21．（24-25九年级上·山东临沂·期末）我县某中学开展“了解家乡，热爱家乡”研学活动，七年级准备从红色庄园、厉家寨展览馆两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级准备从红色庄园、厉家寨展览馆、金龙河湿地公园三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选红色庄园为，选择厉家寨展览馆为，选择金龙河湿地公园为，记七年级的选择为，八年级的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级、八年级选择的研学基地互不相同的概率． 【答案】(1)6种 (2) 【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在于根据题意列表或画树状图． （1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题； （2）根据概率所求情况数与总情况数之比．由表格（或树状图），得到共有6个等可能的结果，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可列表如下： 由表格可知，所有可能出现的结果总数为以上种； （2）解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种， （七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）． 22．（19-20九年级下·河北石家庄·开学考试）“新型冠状病毒”的爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城．如图是月日当天全国部分省市支援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．      请解答下列问题： （1）上述省市月日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为______人；请将图①条形统计图补充完整； （2）①图②扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角度数为_______； ②上述省市支援医护工作者的人数的中位数是_______； （3）本次山西驰援武汉的医护工作者中，有人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的人中随机安排人，请用树状图法或列表法求同时安排王医生和李医生的概率． 【答案】（1）5000人，见解析；（2）①21.6°，②350；（3）树状图见解析， 【分析】（1）①根据辽宁的人数和所占的百分比求出2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数； ②先求出江苏、浙江和山东所占的百分比，再用整体1减去各省份所占的百分比，求出山西所占的百分比，再用总人数乘以山西所占的百分比即可补全统计图； （2）①用山西所占的百分比乘以360°即可得出答案； ②中位数为第五位省份的人数； （3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和同时安排王医生和李医生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）①月日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为（人）， ②江苏所占的百分比是：； 浙江所占的百分比是：； 山东所占的百分比是：； 则山西所占的百分比是：， 山西的人数是（人）， 补图如下：    故答案为5000人，见上图； （2）①“山西”所对应扇形的圆心角的度数是； ②排名第五位的省份是上海市，共有（人） 故答案为 ①21.6°，②350； （3）这名医护工作者分别用，，，，表示，其中王医生用表示，李医生用表示，根据题意画图如下：    共有种等情况数，其中同时安排王医生和李医生的有种， 则同时安排王医生和李医生的概率是 故答案为：树状图见上图，； 【点睛】本题考查了统计与概率，列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图． 23．（2020·江苏无锡·模拟预测）寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 【答案】； 【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算； （2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算. 【详解】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6， 其中，掷出5时可以回到点A， ∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为； （2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到点， 则①第一次就掷出5， ②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4， 画树状图如下： 共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到点的情况有7种， ∴经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要求的情况数. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 对概率的进一步认识（复习讲义） 一、知识目标 1.理解概率的古典定义（等可能概型）及其适用范围。 2.掌握用树状图和列表法列举随机事件所有可能结果的方法，并能计算简单事件的概率。 3.理解频率与概率的区别与联系，通过大量重复试验认识频率的稳定性，会用频率估计概率。 4.掌握用概率公式计算简单事件概率的方法。 5.初步了解用模拟试验估计概率的方法。 二、能力目标 数据分析与计算能力：能准确列出事件所有等可能结果，并运用公式 P(A)=nm​计算概率。 有序思考与枚举能力：能通过树状图、列表等方式，不重不漏地列出所有可能结果，解决两步及两步以上等可能事件的概率问题。 模型识别与应用能力：能在实际问题中识别“摸球”、“投骰”、“抽卡”等常见概率模型，并选择合适方法求解。 判断与决策能力：能利用概率知识对游戏规则的公平性、事件发生的可能性大小做出判断。 三、重点与难点 重点： 用列举法（树状图、列表）计算随机事件的概率。 理解概率的意义，区分“频率”与“概率”。 用概率公式计算简单事件的概率。 难点： 在复杂情境中，准确判断事件的等可能性。 用树状图或列表法清晰、不重不漏地列举出多步骤事件的所有可能结果。 区分“有放回”与“无放回”两种情形，并正确计算概率。 综合运用概率知识解决实际问题。 1. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表求概率的“三步骤”： 1）列表：分清一次试验中所涉及的两个因素，一个为行标，另一个为列标. 2）计数：通过表格的数据，分别求出等可能的结果总数n，和事件包含的结果数 m. 3）计算：代入公式，计算求出结果. 2. 树状图法 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求事件发生的概率 3. 频率的稳定性 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 4. 用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p. 适用情况：试验的所有可能结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等. 题型一 用列举法或画树状图法求概率---卡片问题 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）有三张外观一样的牌，牌面数字分别为3、4、5，从中随机抽出两张牌，牌面数字和为奇数的概率为 ． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）课桌上有五张不透明看上去无差别的卡片，正面分别写着，0，，π，1，把卡片背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是 ． 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是 ． 4．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 题型二 用列举法或画树状图法求概率---不放回摸球问题 5．（25-26九年级上·山西太原·期中）2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 6．（25-26九年级上·甘肃白银·月考）有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片． (1)从中任意取出1张卡片，图案为“哪吒”的概率为多少？ (2)取出第一张卡片不放回再取一张，两次取出的卡片图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为多少？ 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）不透明的袋子中装有3个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别． (1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为___________ (2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率． 8．（江苏省泰州中学附属初级中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷）为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为的四张卡片（如图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为________； (2)小聪从4张卡片中随机抽取1张不放回，小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家为国家乃至全世界做出卓越贡献的事迹，请用画树状图或列表的方法，求小聪、小明两人中恰好有一人讲述物理学家杨振宁事迹的概率． 题型三 用列举法或画树状图法求概率---放回的摸球问题 9．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 10．（25-26九年级上·浙江金华·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是________________． (2)小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 11．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）现有三张不透明的卡片正面分别写有数字1，2，5（卡片除正面所写数字不同外其他均相同），将卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回并洗匀，再随机抽取一张，则两次抽取的卡片上的数字之积为奇数的概率为 ． 12．（2025九年级上·福建厦门·专题练习）小瑞将分别标有“进”、“德”、“修”、“业”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字能组成“进德”的概率是（   ） A． B． C． D． 题型四 用列举法或画树状图法求概率---转盘问题 13．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图，有两个除所标数字外构造完全相同的转盘A 和B，游戏规定：两人各选择一个转盘转一次，指向的数字较大者获胜，则选择转盘A获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）如图所示的两个转盘面积均被等分，用这两个转盘进行“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色．另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）“敬老爱老”是中华民族的传统美德．小颖决定通过转转盘的方法从甲、乙、丙三个养老中心中，选择一个参加志愿服务活动．如图，有两个可自由转动的转盘，转盘A被平均分成4份．分别标上数字1、2、3、4、转盘B被平均分成3份，分别标上数字0，，1，小颖分别将两个转盘各转一次，记录下转盘停止转动后指针指向的数字（指针指向分界线时，需重新转动转盘，直至指针指向某一扇形区域为止）． (1)转盘A停止转动后，指针指向的数字大于2的概率为_____； (2)两个转盘都停止转动后，计算指针指向的两个数字的积，若积为正数，则去甲养老中心；若积为负数，则去乙养老中心；若积为零，则去丙养老中心，请用列表或画树状图的方法，求小颖最终去甲养老中心的概率． 16．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色，若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），则指针两次所落区域颜色不同的概率是 ． 题型五 用列举法或画树状图法求概率---数字问题 17．（25-26九年级上·广东佛山·月考）九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动：箱中装有张相同的卡片，它们分别写有数字，，，；箱中装有张相同的卡片，它们分别写有数字，，；小明从箱中随机抽取一张，将其数字作为的值，小凡从箱中随机抽取一张，将其数字作为的值．求小明、小凡随机抽取的数恰好使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率． 18．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，3，4．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题． (1)按这种方法能组成哪些两位数？ (2)组成的两位数能被3整除的概率是多少？ 19．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为 ． 20．（25-26九年级上·四川达州·月考）从，，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 题型六 用列举法或画树状图法求概率---电路问题 21．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 22．（21-22九年级上·陕西榆林·期末）如图，某景区有A，B，C三个入口，D，E两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A或B入口进入，从D出口离开的概率是 ． 23．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·江西南昌·期中）小明同学在学习初三电学知识《欧姆定律》时，经常需要研究繁杂的电路图．如图所示，随机闭合开关、、中的两个，能让两盏灯泡、同时发光的概率为多少？请你用树状图或者列表格的方式帮助小明解决一下他的困惑． 题型七 用列举法或画树状图法求概率---实际问题 25．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图是学校食堂一张餐桌的示意图，甲，乙，丙，丁一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． (1)甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是__________． (2)若甲和乙两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位同学不坐在正对面的概率． 26．（25-26九年级上·山西太原·月考）今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，很多爱国主义题材电影上映、小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：A《南京照相馆》、B《东极岛》、C《》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率： (1)第一次抽取的卡片是《》的概率为__________； (2)求抽取的两次结果中有《》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 27．（2025·江苏连云港·模拟预测）某校以传扬蜀绣文化为契机，组织全体学生参加蜀绣文化学习活动，并随机调查了部分学生，对他们每个人的学习时长进行统计，最终，根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．根据图表信息，解答下列问题： 组别 时长t（单位：小时） 人数 所占百分比 A 16 x B 20 C 40% D 12 15% (1)本次调查的学生总人数为______，表中的值为______． (2)该校共有学生1200人，请你估计等级为的学生人数． (3)已知学习时长属于组别的4人中，有两名男生和两名女生．若从中随机抽取两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 28．（24-25九年级上·云南红河·期末）随着科技的发展，改变的不仅仅是人们的生活水平，就连购物的模式和支付方式也在发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外．还有微信、支付宝以及其他支付方式．在学校组织的远足活动中，小华和小丽去“零食很能嗨”便利店购物，她们准备从微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式中选一种方式进行支付，记小华的选择为x，小丽的选择为y． (1)请用画树状图法或列表法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求出小华、小丽两人恰好选择相同支付方式的概率P． 题型八 概率在转盘抽奖中的应用 29．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 30．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 31．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 32．（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 题型九 用频率估计概率 33．（25-26九年级上·全国·月考）绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（ ） A． B． C． D． 34．（2025九年级上·全国·专题练习）某超市为了解顾客对某品牌牛奶的喜爱程度，随机调查了10名顾客，其中有6人喜欢该品牌牛奶，因此超市宣称该品牌牛奶的受欢迎概率是0.6．请分析该宣称是否合理，并说明如何才能更准确地估计受欢迎概率． 35．（25-26九年级上·山西运城·月考）奋进小组的同学们展开摸球试验，在一个不透明的口袋中，放入个红球和若干个白球，这些小球除颜色外其余均相同．搅匀后，随机摸出一个球记录下颜色后放回，再搅匀，重复以上操作．奋进小组的同学将白球出现的频率绘制成如下统计图，则袋中白球的个数为 ． 36．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了估计椭圆的面积，小实在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十 用频率估计概率的综合应用 37．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 48 81 130 201 250 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是________； (2)估算袋中白球的个数； (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 38．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 39．（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 40．（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 题型十一 游戏的公平性问题 41．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，转盘被分成三个面积相等的扇形（其中2块黑色，1块白色），小明和小亮各转动转盘一次，若指针落在同种颜色上，则小明胜；否则，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？若不公平，请你用概率的知识说明谁获胜的概率大． 42．（25-26九年级上·浙江·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． (1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 43．（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． (2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 44．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． (1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________； (2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 题型十二 概率与统计知识的综合应用 45．（16-17九年级·全国·单元测试）人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题： （1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？ （保留三个有效数字） （2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 46．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 47．（2024·福建·模拟预测）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 48．（2025·福建厦门·模拟预测）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2010·江苏扬州·中考真题）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（    ）. A．频率等于概率 B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D．实验得到的频率与概率不可能相等 2．（18-19七年级下·福建·月考）一个袋中装有3个红球，5个黄球，10个绿球，小强从袋中任意摸出一球是黑球的概率为（       ） A．0 B．1 C． D． 3．（2023·河南新乡·一模）丽丽与雯雯相约去天文馆参观，该馆有A、B两个入口，有C、D、E三个出口，他们从同一入口B进入后分散参观，结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·月考）口袋中有白球和红球共10个，这些球除颜色外其它都相同．小明将口袋中的球搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，小明继续重复这一过程，共摸了100次，结果有40次是红球，请你估计下一次操作拱到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·山西太原·期末）截至去年11月23日，除卫健、公安等全员参与疫情防控的单位外，全市已有3.7万余名党员干部主动向社区（村）报到，共创“无疫社区”．小王、小李和小张3名党员都报名参加所在社区的防控工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片任意摆放(卡片大小、质地、颜色完全相同)，将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的图形都是中心对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 8．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图所示的两个转盘中均有5个数字，同时旋转两个转盘，指针落在某一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在奇数上的概率是(　　) A． B． C． D． 9．（16-17九年级上·安徽合肥·期末）如图，数轴上四个点A，B，C，D对应的坐标分别是﹣1，1，4，5，任取两点构成线段，则线段长不大于3的概率是（ ） A． B． C． D． 10．（2020九年级·河北石家庄·学业考试）将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，记投掷两次的正面数字之和为，则下面关于事件发生的概率说法错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·四川成都·月考）一个布袋内只装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同．随机摸出两个球，则摸出的两个球都是黑球的概率是 ． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500 损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为 ．（精确到） 13．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）天一和润泽两位小朋友做游戏，在一个不透明的袋子中有4个分别标有数字6，2，，的球，这些球除所标的数字不同外其他都相同，从袋子中随机摸出两个球，若这两个球上的两个数字之积为负数则天一赢，若这两个球上的两个数字之积为正数则润泽赢，问：天一赢的概率是 ． 14．（2020·湖北黄石·三模）有六张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该卡片上的数字加1记为b，则函数y＝ax2+bx+2的图象过点（1，3）的概率为 ． 三、解答题 15．（18-19九年级上·重庆綦江·期末）在我区电视台举行的“讲故事”比赛中，甲、乙、丙三位评委，对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过” 的结论． （1）利用树状图写出三位评委给出选手A的所有可能的结论； （2）对于选手A，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？ 16．（2023·广东梅州·二模）已知代数式． (1)化简代数式； (2)在满足的整数中随机抽取1个代入代数式中，求不会使得代数式无意义的概率． 17．（20-21九年级上·浙江绍兴·期末）在一个不透明的盒子中有个颜色、大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有，，这个号码． （1）搅匀后从中随机抽出个小球，抽到号球的概率是_______． （2）搅匀后先从中随机抽出个小球（不放回），再从余下的个球中随机抽出个球，求抽到的个小球的号码的和为奇数的概率． 18．（19-20九年级上·重庆南川·期末）为庆祝建国70周年，推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，某电影公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对电影A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》的喜爱程度．业务员小王，将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题： （说明：A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》） （1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是_________； （2）小易打算从喜欢《我和我的祖国》的5位山城人民（两男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少? 19．（21-22九年级上·四川成都·期中）四川省某地区为了了解2021年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：A．读普通高中，B．读职业高中，C．直接进入社会就业，D．其他（如出国等），进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图． （1）该地区共调查了 　 　名九年级学生； （2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整； （3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表法求选中甲同学的概率． 20．（2023·云南昭通·二模）在一次复习《四边形》的习题课中，王老师准备了四张形状大小完全相同的卡片，正面分别写有A．平行四边形、B．矩形、C．菱形、D．正方形．现将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在讲桌上，每位同学只能抽取一张，抽到哪一张就要背诵出该张卡片上所写四边形的性质． (1)甲同学抽到写有“C．菱形”卡片的概率为________． (2)若王老师要求甲、乙两位同学同时抽取卡片并分别进行背诵，用画树状图法或列表法求甲、乙两人抽到的卡片中有写有“A．平行四边形”卡片的概率． 21．（23-24九年级上·北京西城·月考）为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A.法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈． 为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）． 将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： (1)本次调查的学生共有__________人，扇形统计图中的度数是__________； (2)请把条形统计图补充完整； (3)学校为举办2023年度校园文化艺术节，决定从A.书法；B.绘画；C.乐器；D. 舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与舞蹈组合在一起的概率． 22．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）为了锻炼身体，增强体质，某校将举行一年一度的校际运动会．体育组想了解同学们最喜爱的体育项目，由此设计了一份调查问卷．问卷要求每人必选且只能选一种最喜爱的体育项目．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： (1)这次共调查了______人； (2)在扇形统计图中，表示“铅球”的扇形圆心角是多少度？ (3)小李和小文都想从“跳高”、“短跑”、“铅球”中任选一种项目进行比赛，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选择同一种比赛项目的概率． 23．（22-23九年级下·江苏南通·月考）有甲、乙两个不透明度的布袋，甲袋中装有两个相同的小球，它们分别标有数字1，2；乙袋中装有三个相同的小球，它们分别标有数字0，， ．现从甲袋中随机摸出一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，记录标有的数字为y，得点． (1)求点在直线上的概率； (2)在平面直角坐标系中，的半径为2，求过点能作切线的概率． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级上·江西赣州·期末）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表一：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（   ） 累计抽测的学生数 100 200 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.85 0.9 0.9 0.93 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9 2．（21-22九年级上·广东揭阳·期末）某口袋里现有12个红球和若干个绿球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机的从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验600次，其中有300次是红球，估计绿球个数为（      ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．（22-23九年级上·广东梅州·月考）为丰富学校课后服务的内容，学校为全体学生提供了，，，四种课外活动，现需从八年级的甲、乙、丙三名学生中任选两人担任“课外活动安全监督员”，则乙被选中的概率为（  ） A． B． C． D． 4．（19-20九年级上·湖北鄂州·期末）我市组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·陕西榆林·月考）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）从，，1，2，5中任取两数作为，，使抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）机器人沿网格从点 A 向点B移动，移动方式只能向右或向下，则机器人从点A移动到点 B 的过程中，途中经过点 C 的概率为（    ）． A． B． C． D． 8．（2014·黑龙江大庆·中考真题）如图，一个质地均匀的正四面体上依次标有数字－2，0，1，2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a，b，将其作为M点的横、纵坐标，则点M(a，b)落在以A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)为顶点的三角形内(包括边界)的概率是(　　) A． B． C． D． 9．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（20-21九年级上·全国·单元测试）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（   ）．    A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·四川绵阳·三模）“三孩”政策出台后，某家庭积极响应政府号召，已生育三个小孩（生男生女机会均等，且与顺序无关）．则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是 12．（24-25九年级上·浙江台州·期末）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 杯口朝上的频数 杯口朝上的频率 估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率为 （结果精确到） 13．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，小康设计了一个“配紫色”游戏，规则：有A，B两个可以自由转动的转盘，每个转盘被等分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若转盘A 的指针指向红色，转盘 B 的指针指向蓝色，则红色和蓝色就配成了紫色．现同时转动A，B两个转盘一次，则能配成“紫色”的概率为 ． 14．（20-21九年级上·四川成都·月考）有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为 ． 三、解答题 15．（2012·吉林长春·中考真题）有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0,2,5；乙袋中有3个球，分别标有数字0,1,4 .这6个球除所标数字以外没有任何其他区别.从甲、乙两袋各随机摸出1个球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之和是6的概率. 16．（21-22九年级上·浙江杭州·期末）一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别． (1)从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率． (2)从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明） 17．（20-21九年级上·广东深圳·期末）《深圳市生活垃圾分类管理条例》9月1日起正式实施，小张从深圳市城市管理和综合执法局网站上搜索到生活垃圾（可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾）分类标准的图标，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A.    B.    C.    D. （1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“可回收物”的概率是_________； （2）小张从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片上的图标恰好分别是“厨余垃圾”和“有害垃圾”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）． 18．（10-11七年级下·海南海口·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的黑、白两种球共40个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据: 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的频数 65 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 （1）将数据表补充完整； （2）请你估计: 随着实验次数的增加，摸到白球的频率特点是 ,这个频率将会接近 （精确到0.1）； （3）假如你摸一次，你摸到白球的机会是 ； （4）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 19．（2022·江苏淮安·中考真题）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． (1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； (2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 20．（23-24九年级下·陕西宝鸡·开学考试）一只不透明袋中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、揽匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3334 (1)该小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到0.001），由此估出红球有______个； (2)现从该袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图或列表法求恰好摸到1个白球和1个红球的概率． 21．（24-25九年级上·山东临沂·期末）我县某中学开展“了解家乡，热爱家乡”研学活动，七年级准备从红色庄园、厉家寨展览馆两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级准备从红色庄园、厉家寨展览馆、金龙河湿地公园三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选红色庄园为，选择厉家寨展览馆为，选择金龙河湿地公园为，记七年级的选择为，八年级的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级、八年级选择的研学基地互不相同的概率． 22．（19-20九年级下·河北石家庄·开学考试）“新型冠状病毒”的爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城．如图是月日当天全国部分省市支援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．      请解答下列问题： （1）上述省市月日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为______人；请将图①条形统计图补充完整； （2）①图②扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角度数为_______； ②上述省市支援医护工作者的人数的中位数是_______； （3）本次山西驰援武汉的医护工作者中，有人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的人中随机安排人，请用树状图法或列表法求同时安排王医生和李医生的概率． 23．（2020·江苏无锡·模拟预测）寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $