第07讲 正切函数的图像与性质 （寒假预习讲义）高一数学沪教版

第07讲 正切函数的图像与性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：正切函数的图像 1.正切函数的定义 概念：函数，定义域为，对应关系是“角（弧度制）→单位圆中角终边与正切线的交点纵坐标”。 易错辨析 易错点：忽略正切函数的定义域限制 辨析：正切函数在（）处无定义，这些点是函数的间断点，画图时需用虚线标注. 概念比较 与正弦/余弦函数定义域比较：正弦、余弦函数定义域为，但正切函数因，需满足，故定义域是间断的区间. 重点记忆+常考结论 重点记忆：正切函数定义域是（）. 常考结论：若有意义，则不能取的奇数倍. 知识点2：画出正切函数图象 画图方法： 1.取一个周期内（如）的关键点：（）、（）、（）； 2.正切函数图象是无限接近渐近线的单调递增曲线（称为“正切曲线”）； 3.利用周期性（周期），将内的图象向左右平移（），得到整个定义域内的图象. 易错辨析 易错点：将正切曲线画成连续曲线 辨析：正切函数在处无定义，图象在这些点处“断开”，需用虚线（渐近线）分隔不同周期的图象. 概念比较 与正弦/余弦曲线比较：正弦、余弦曲线是连续的周期性曲线，而正切曲线是间断的、以为周期的单调递增曲线，且无最大值、最小值. 重点记忆+常考结论 重点记忆：正切曲线在每个周期（）内是“从递增到”的曲线，渐近线为. 常考结论：正切曲线的一个周期区间是开区间（因端点无定义）. 知识点3：正切函数图象的应用 核心应用：通过图象直观判断正切函数的单调性、值域、间断点等性质. 易错辨析 易错点：认为正切函数在整个定义域内是单调递增函数 辨析：正切函数在每个周期区间内单调递增，但在整个定义域内不单调（如，，不满足“自变量大则函数值大”）. 重点记忆 正切图象的核心特征：“间断、渐近线、周期、区间内单调递增”. 知识点4：正切函数的性质 1.单调性 （1）求含的函数的单调性 正切函数的单调性：在每个周期区间（）内单调递增. （2）求正切型三角函数的单调性 正切型函数：（），单调性由的符号决定： 当时，单调递增区间为，解得（）； 当时，单调递减区间为上述区间（因会反转单调性）. （3）利用正切函数的单调性求参数 方法：根据单调区间的包含关系，结合正切函数的区间单调性列不等式求解. 易错辨析 易错点1：解正切型函数单调区间时，忽略区间是“开区间” 辨析：正切函数在端点处无定义，故单调区间必须是开区间，不能写闭区间. 易错点2：时未反转单调性 辨析：若，需先化为，此时函数的单调递减区间对应的单调递增区间. 概念比较 与正弦/余弦函数单调性比较：正弦、余弦函数有增有减，而正切函数在每个周期区间内只有递增；且正切函数的单调区间长度为，远小于正弦/余弦函数的单调区间长度（vs）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：正切函数的单调区间是（），开区间、单调递增. 常考结论：正切型函数的单调区间长度为. 2.比较正切值的大小 方法：利用周期性将角转化到同一周期区间内，再根据单调性比较（同一递增区间内，角越大，正切值越大）. 易错辨析 易错点：直接比较不同周期内的角的正切值 辨析：需先利用（）将角转化到同一周期，再比较.例如：比较与，先将，因，故. 重点记忆 比较正切值的步骤：“化同周期→利用单调性比较”. 3.解正切不等式 方法：先解一个周期内的不等式（如），再利用周期性加（）. 易错辨析 易错点：解不等式时写成闭区间 辨析：正切函数在端点处无定义，故不等式的解集必须是开区间.例如：解，一个周期内的解是，故解集为（）. 常考结论 解正切不等式的核心：“先求一个周期的解，再加周期”. 4.奇偶性 （1）求正切（型）函数的奇偶性 正切函数的奇偶性：，故是奇函数，图象关于原点对称. 正切型函数的奇偶性：为奇函数的充要条件是（）（需定义域关于原点对称）. （2）由正切（型）函数的奇偶性求参数/函数值 方法：利用奇偶性定义（）列方程求解参数；利用奇函数性质求函数值. 易错辨析 易错点：忽略定义域关于原点对称的前提 辨析：若正切型函数的定义域不关于原点对称，即使满足，也不是奇函数.例如：定义域限制为时，不是奇函数. 概念比较 与余弦函数奇偶性比较：余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数；正切型函数的奇偶性仅与有关（时为奇函数），而余弦型函数的奇偶性与有关（偶函数）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：正切函数是奇函数，核心式. 常考结论：若是奇函数，则（）. 5.周期性 （1）求正切（型）函数的周期 正切函数的周期：最小正周期为（因）. 正切型函数的周期：的最小正周期为（与无关）. （2）由正切函数的周期求值 方法：利用周期性（），将大角转化为小角求值. 易错辨析 易错点：混淆正切与正弦/余弦函数的周期公式 辨析：正切函数的周期公式是，而正弦/余弦函数的周期公式是，两者分母的系数不同. 重点记忆+常考结论 重点记忆：正切函数的最小正周期是，正切型函数周期为. 常考结论：若，则其周期为. 【题型1 作正切函数图像】 例1．（24-25高一·上海·随堂练习）求函数的定义域与值域，并作其图像． 【答案】答案见解析 【分析】由和去掉上的绝对值符号，可得函数的定义域与值域；当时，函数在y轴右侧的图像即为的图像不变，当时，函数在y轴左侧的图像为在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，画出即可. 【详解】由已知，设 ， 可知，函数的定义域为： ，值域为R； 当时，函数在y轴右侧的图像即为的图像不变； 当时，在y轴左侧的图像为在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示（实线部分）. 例2．（23-24高一·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出函数和，的图象，依据图象回答以下问题： (1)写出这两个函数图象的交点坐标； (2)写出使成立的x的取值范围； (3)写出使成立的x的取值范围； (4)写出使成立的x的取值范围； (5)写出使这两个函数有相同的单调性的区间． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)，. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）在同一坐标系内作出两个函数的图象，再依次求出对应问题即可. 【详解】（1）在同一坐标系内，作出函数和，的图象，如图，    由图象知，两个函数的交点坐标为. （2）由图象知，当或时，， 所以使成立的x的取值范围是. （3）由图象知，当或或时，， 所以使成立的x的取值范围是. （4）由图象知，当或时，， 所以使成立的x的取值范围是. （5）由图象知，当时，两个函数都为增函数，当时，两个函数都为增函数， 所以使这两个函数有相同的单调性的区间是，. 变式1．（23-24高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 【答案】答案见解析 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    变式2．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解. 作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数. 【详解】由，得， 作出，，的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 【题型2 正切函数图像的应用】 例1．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据阴影面积得出，再结合诱导公式求出函数值. 【详解】函数的最小正周期， 由图可知，，函数， 所以， 故答案为： 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为P，过点P作垂直于x轴的垂线，其垂足为.设直线与的图象交于点，求线段的长. 【答案】 【分析】作出函数，，的图象，将线段的长转化为的值，再由得出线段的长. 【详解】由题意知，函数，，的图象，如下图所示： 由正弦线的定义知，线段的长即为的值， 且其中满足 变形为， 即， ， ，即线段的长为. 变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）根据条件，求下列方程的解集． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，由特殊角的三角函数值，结合三角函数的周期性，代入计算，即可求解. 【详解】（1）由题意得或，． ∴或． ∵，∴ （2）由题意得，， ∴． ∵，∴． （3）由题意得或，， ∴或． ∵，∴． 变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】根据已知条件得，求出，即可判断①；令，求出，解不等式，即可判断②. 【详解】依题意得，所以，故①为假命题； 所以， 令，得，，得，， 由，得，， 所以整数的值有个，函数在上有4048个零点，故②为真命题. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据为函数的一个周期，求出是解决本题的关键. 【题型3 正切函数的单调性】 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 例2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出； 【详解】， 令，， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 变式2．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间： (1) ； (2). 【答案】(1)单调递增区间为，，无单调递减区间 (2)单调递减区间为，，无单调递增区间 【分析】（1）直接根据正切函数的性质计算可得； （2）首先利用诱导公式将函数化简，再结合正切函数的性质计算可得. 【详解】（1）由题意得，， 解得， 所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间； （2）， 由题意得，， 解得， 所以函数的单调递减区间为，，无单调递增区间. 【题型4 比较正切值的大小】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】利用三角函数的单调性可得答案. 【详解】∵， ∴ ，即. 故答案为：. 变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较与的大小. 【答案】. 【分析】根据诱导公式结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】， ， ∵，在上为严格增函数， ∴，即. 【题型5 求正切型函数的奇偶性】 例1．（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质判断即可. 【详解】函数为最小正周期为的奇函数. 故选：C 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 (3)奇函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【分析】根据函数奇偶性以及正切函数的知识求得正确答案. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. （3）是奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. （4）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断. 【详解】由，得或， ∴函数定义域为∪，关于原点对称． 又 ， ∴，∴是奇函数． 故答案为：奇函数. 【题型6 正切型函数的奇偶性求参数】 例1．（24-25高一·上海·随堂练习）函数（，）为奇函数需满足条件为 ． 【答案】， 【分析】由正切型函数为奇函数，根据正切函数的对称中心求解即可. 【详解】若函数（，）为奇函数， 则根据正切函数的对称中心可得，． 所以，， 故答案为：， 例2．（23-24高一上·河北邢台·月考）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的奇偶性列式运算得解. 【详解】因为的图象关于原点中心对称， 所以，又，故的最小值为． 故答案为：. 变式1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知为奇函数，且m满足不等式，则m的值为 ． 【答案】或或 【分析】利用奇函数性质求出的关系式，再解不等式求出的范围即可得解. 【详解】函数的定义域为，而该函数为奇函数， 则当时，，即，解得， 经检验当时，函数为奇函数， 由，得，因此或或， 所以m的值为或或. 故答案为：或或 变式2．（25-26高三上·湖北武汉·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函数的性质列式，化简求值，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得的图象对应的函数为， 由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故， 即， 故， 即， 因为，故当时，m取最小值. 另解：由题意知的图象关于原点对称， 故，即， 因为，故当时，m取最小值， 故选：A 【题型7 求正切型函数的周期】 例1．（2025·广东·模拟预测）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是 . 【答案】/ 【分析】根据正切函数的周期性可求答案. 【详解】由正切函数的图象的特点，直线与函数的图象的相邻两个交点的距离，即为最小正周期； 因为最小正周期是，所以直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】利用正切函数的周期公式直接求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为： 变式1．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为 【答案】 【分析】利用正切型函数的最小正周期公式即可求得. 【详解】的最小正周期为, 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海宝山·月考）设常数，已知函数的最小正周期为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正切型函数的最小正周期及其周期求法，即可得. 【详解】由题设及正切函数的性质，有且，则. 故答案为： 【题型8 求正切型函数的定义域】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 【答案】定义域为，增区间为，没有减区间 【分析】根据正切型三角函数定义域、单调区间的求法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域，并写出其单调区间． 【答案】定义域为，单调递增区间为，没有减区间 【分析】根据正切型函数定义域和单调区间的求法求得正确答案. 【详解】由解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域是 . 【答案】且 【分析】利用分式和正切函数的定义域求法，列不等式求解. 【详解】由函数， 则，即， 所以函数的定义域且， 故答案为：且 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的定义域； 【答案】. 【分析】根据对数的真数大于零及开偶数次方根号里得数大于等于零即可得解. 【详解】由题意得，所以，， 如图所示可得函数定义域为. 【题型9 求正切型函数的值域】 例1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性求解. 【详解】因为单调递增，所以. 故选：B. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时所有的值． 【答案】当时，取得最小值；当时取得最大值为 【分析】根据正切函数的单调性和最值的求法求得正确答案. 【详解】正切函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. 变式1．（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 【答案】最大值为，最小值为. 【分析】结合分离常数法和基本不等式，然后分类讨论即可求解. 【详解】解：①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. 【题型10 换元法求正切型函数的最值】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】利用换元法，结合正切函数、二次函数等知识求得正确答案. 【详解】依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 例2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）已知，求函数的最值． 【答案】，． 【分析】令，将问题转化为二次函数在上的最值问题，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】因为， 令， 则． 因此，当时，该函数取得最小值； 当时，该函数取得最大值． 变式2．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【答案】(1)最小值，无最大值； (2)； (3). 【分析】（1）令，用换元法得到，然后结合二次函数性质求解即可； （2）将原式化为，，根据函数奇偶性，然后结合二次函数性质求解即可； （3）令，用换元法得到，即可求解. 【详解】（1）设，， 则. 当时，y取最小值，无最大值， （2） ，. 由知为偶函数. 当时，， 令，， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为. 故值域为. （3）令，则， 因为函数的定义域为，即， 所以， 则，. 由得， 所以函数值域为. 【题型11 求正切型函数的对称性】 例1．（24-25高一下·上海·期中）点 正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】先求出正切函数的对称中心，再判断即可. 【详解】的对称中心为， 所以是正切函数图象的对称中心. 故答案为：是 例2．（25-26高三上·江苏·月考）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数对称中心的通式，结合函数内部的线性变换和平移量，求出对称中心的横、纵坐标表达式，再通过取整参数验证选项是否符合通式。 【详解】正切函数的对称中心为， 令，则原函数化为， 当时，，此时，故对称中心的纵坐标， 横坐标满足：，，， 于是：， 当时，. 故选：A 变式1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）函数的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得到的对称中心为再判断选项即可． 【详解】的对称中心为， 令，解得， 所以的对称中心为， 时，的一个对称中心为，其他都不符合． 故选：A． 变式2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的对称中心即可得解. 【详解】因为函数的对称中心为，， 所以的对称中心为，， 所以，，又，所以a的最小值为. 故选：A. 【题型12 正切性型函数的综合应用】 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【答案】(1)定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间. （2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集. （3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图. 【详解】（1）由， 得（）， ∴的定义域是, ∵， ∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是. （3）令，则； 令，则； 令，则. ∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，. 从而得函数在一个周期内的简图如下： 例2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 变式1．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 一、核心概念 1.函数形式：（定义域）、正切型（） 2.参数意义：（振幅）、（周期）、（初相） 二、核心性质（正切函数） 1.单调性：每个周期区间内单调递增 2.奇偶性：奇函数（），图象关于原点对称 3.周期性：最小正周期 4.值域：，无最值，图象渐近线 三、高频应用 1.单调区间求解：整体代换，结合符号定增减 2.正切值比较：化同周期区间后用单调性 3.不等式求解：先求单周期解，再加 4.奇偶性判定：正切型为奇函数需且定义域关于原点对称 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性求解. 【详解】因为单调递增，所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数中，周期为，且在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的最小正周期，并利用整体法验证函数的单调性，得到答案. 【详解】A选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递减，故A正确； B选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递增，故B错误； C选项，的最小正周期为，不合要求，C错误； D选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递增，故D错误； 故选：A 3．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由三角函数的周期性，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，因为的最小正周期为， 将函数的图像轴上方不变，下方部分向上翻折， 得到的图像，则其周期减半，所以的最小正周期为，故D正确； 故选：D 4．（24-25高一下·上海·期中）（）是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】判断（）和之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当（）时,, 当时，有（）或（）， 故（）是的充分非必要条件， 故选：A 5．（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 【答案】D 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当或时，不等式在中无整数解； 当时，若不等式有在内只有1个整数解， 比如时，此时在内的整数解为， 而， 则在中可能有个整数解； 若不等式有在内只有2个整数解， 比如时，此时在内的整数解为或， 则在中可能有个整数解； 由于， 则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解. 故选：D. 6．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义得，结合正切函数的性质可得结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为. 故选：B. 7．（24-25高一下·上海杨浦·月考）对于的绝对值函数的性质研究，可以借助将图象在x轴下半部分沿x轴翻折进行研究.那么对于函数的绝对值函数：的共性的两个命题（    ） ①这三个绝对值函数较原函数周期均减半；②在[0,π]的区间上，这三个绝对值函数周期性与原函数相同. A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】D 【分析】根据题设描述，结合三角函数的性质判断两个命题的真假即可得. 【详解】对于，其最小正周期为，而的最小正周期也为，①错； 对于与、与，原函数的周期都是，而绝对值函数周期为，②错. 故选：D 二、填空题 8．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ． 【答案】或 【分析】根据正切型函数的周期公式计算得解. 【详解】由，解得. 故答案为：或. 9．（23-24高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，由单调性求出函数的最大值. 【详解】当时，所以在上单调递增， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 10．（24-25高一上·广东·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由正切函数的定义得出定义域. 【详解】由，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海·期中）函数，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 【答案】0 【分析】根据阴影面积得出，再根据诱导公式求解即可． 【详解】由图可知，，则， 所以， 故答案为：0． 12．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，函数取得最小值为. 故答案为： 13．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 14．（24-25高一下·上海松江·月考）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是 ． 【答案】/ 【分析】根据正切型函数的图象与性质，求得函数的最小正周期为，结合周期，即可得到答案. 【详解】由正切型函数的图象与性质，可得函数的最小正周期为， 所以直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是. 故答案为：. 15．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】． 【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可. 【详解】令，， 解得， 故函数的单调递减区间是:． 故答案为:． 16．（23-24高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 【答案】 【分析】由题意得，求出的值后，得题述方程等价于，从而或，由此解三角函数方程即可得解. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 从而方程即，即，所以或， 而在上的解集为，在上的解集为， 从而方程在上的解集为. 故答案为： . 17．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 【答案】 【分析】求得的周期和奇偶性，结合题意，只需求在的值域即可；再根据的单调性即可求得结果. 【详解】因为，定义域为，故为偶函数； 又，故的一个周期为； 根据题意可得：的值域，也就是在的值域，也就是上的值域； 当，，又在上均为单调增函数，故在单调递增， 又，当趋近于时，趋近于，故的值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求得的周期以及判断其是偶函数，同时要注意已知条件的利用，属中档题. 三、解答题 18．（25-26高三上·河南周口·月考）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)函数的定义域为：，单调递增区间为： (2) 【分析】（1）由，解得，再利用正切函数定义域及单调性列式求解； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期，则； ，即，所以函数的定义域为：； 令，化简得：， 所以函数的单调递增区间为：； （2）令，因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即，则有， 解得，又因为，所以或1， 则或，即的取值范围为． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 【答案】答案见解析. 【分析】用换元，结合分离常数法与基本不等式求最值，然后根据正切函数性质即可求解. 【详解】解：令（，），则. 当时，； 当时，，当且仅当，即时，取等号， 所以，所以，时取到等号； 当时，所以， ，当且仅当， 即时，所以，所以，时取到等号. 所以，y的最小值为，此时，；y的最大值为3，此时，. 所以当时，函数为常数函数； 当时，函数取得最小值，自变量的集合为， 当时，函数取得最大值，自变量的集合为. 20．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求方程的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正切函数的最小正周期公式计算即可; （2）由，可得，然后解正切函数方程即可. 【详解】（1）最小正周期． （2）由，， 由题意可得，，解得，， 故方程的解集为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 正切函数的图像与性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：正切函数的图像 1.正切函数的定义 概念：函数，定义域为，对应关系是“角（弧度制）→单位圆中角终边与正切线的交点纵坐标”。 易错辨析 易错点：忽略正切函数的定义域限制 辨析：正切函数在（）处无定义，这些点是函数的间断点，画图时需用虚线标注. 概念比较 与正弦/余弦函数定义域比较：正弦、余弦函数定义域为，但正切函数因，需满足，故定义域是间断的区间. 重点记忆+常考结论 重点记忆：正切函数定义域是（）. 常考结论：若有意义，则不能取的奇数倍. 知识点2：画出正切函数图象 画图方法： 1.取一个周期内（如）的关键点：（）、（）、（）； 2.正切函数图象是无限接近渐近线的单调递增曲线（称为“正切曲线”）； 3.利用周期性（周期），将内的图象向左右平移（），得到整个定义域内的图象. 易错辨析 易错点：将正切曲线画成连续曲线 辨析：正切函数在处无定义，图象在这些点处“断开”，需用虚线（渐近线）分隔不同周期的图象. 概念比较 与正弦/余弦曲线比较：正弦、余弦曲线是连续的周期性曲线，而正切曲线是间断的、以为周期的单调递增曲线，且无最大值、最小值. 重点记忆+常考结论 重点记忆：正切曲线在每个周期（）内是“从递增到”的曲线，渐近线为. 常考结论：正切曲线的一个周期区间是开区间（因端点无定义）. 知识点3：正切函数图象的应用 核心应用：通过图象直观判断正切函数的单调性、值域、间断点等性质. 易错辨析 易错点：认为正切函数在整个定义域内是单调递增函数 辨析：正切函数在每个周期区间内单调递增，但在整个定义域内不单调（如，，不满足“自变量大则函数值大”）. 重点记忆 正切图象的核心特征：“间断、渐近线、周期、区间内单调递增”. 知识点4：正切函数的性质 1.单调性 （1）求含的函数的单调性 正切函数的单调性：在每个周期区间（）内单调递增. （2）求正切型三角函数的单调性 正切型函数：（），单调性由的符号决定： 当时，单调递增区间为，解得（）； 当时，单调递减区间为上述区间（因会反转单调性）. （3）利用正切函数的单调性求参数 方法：根据单调区间的包含关系，结合正切函数的区间单调性列不等式求解. 易错辨析 易错点1：解正切型函数单调区间时，忽略区间是“开区间” 辨析：正切函数在端点处无定义，故单调区间必须是开区间，不能写闭区间. 易错点2：时未反转单调性 辨析：若，需先化为，此时函数的单调递减区间对应的单调递增区间. 概念比较 与正弦/余弦函数单调性比较：正弦、余弦函数有增有减，而正切函数在每个周期区间内只有递增；且正切函数的单调区间长度为，远小于正弦/余弦函数的单调区间长度（vs）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：正切函数的单调区间是（），开区间、单调递增. 常考结论：正切型函数的单调区间长度为. 2.比较正切值的大小 方法：利用周期性将角转化到同一周期区间内，再根据单调性比较（同一递增区间内，角越大，正切值越大）. 易错辨析 易错点：直接比较不同周期内的角的正切值 辨析：需先利用（）将角转化到同一周期，再比较.例如：比较与，先将，因，故. 重点记忆 比较正切值的步骤：“化同周期→利用单调性比较”. 3.解正切不等式 方法：先解一个周期内的不等式（如），再利用周期性加（）. 易错辨析 易错点：解不等式时写成闭区间 辨析：正切函数在端点处无定义，故不等式的解集必须是开区间.例如：解，一个周期内的解是，故解集为（）. 常考结论 解正切不等式的核心：“先求一个周期的解，再加周期”. 4.奇偶性 （1）求正切（型）函数的奇偶性 正切函数的奇偶性：，故是奇函数，图象关于原点对称. 正切型函数的奇偶性：为奇函数的充要条件是（）（需定义域关于原点对称）. （2）由正切（型）函数的奇偶性求参数/函数值 方法：利用奇偶性定义（）列方程求解参数；利用奇函数性质求函数值. 易错辨析 易错点：忽略定义域关于原点对称的前提 辨析：若正切型函数的定义域不关于原点对称，即使满足，也不是奇函数.例如：定义域限制为时，不是奇函数. 概念比较 与余弦函数奇偶性比较：余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数；正切型函数的奇偶性仅与有关（时为奇函数），而余弦型函数的奇偶性与有关（偶函数）. 重点记忆+常考结论 重点记忆：正切函数是奇函数，核心式. 常考结论：若是奇函数，则（）. 5.周期性 （1）求正切（型）函数的周期 正切函数的周期：最小正周期为（因）. 正切型函数的周期：的最小正周期为（与无关）. （2）由正切函数的周期求值 方法：利用周期性（），将大角转化为小角求值. 易错辨析 易错点：混淆正切与正弦/余弦函数的周期公式 辨析：正切函数的周期公式是，而正弦/余弦函数的周期公式是，两者分母的系数不同. 重点记忆+常考结论 重点记忆：正切函数的最小正周期是，正切型函数周期为. 常考结论：若，则其周期为. 【题型1 作正切函数图像】 例1．（24-25高一·上海·随堂练习）求函数的定义域与值域，并作其图像． 例2．（23-24高一·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出函数和，的图象，依据图象回答以下问题： (1)写出这两个函数图象的交点坐标； (2)写出使成立的x的取值范围； (3)写出使成立的x的取值范围； (4)写出使成立的x的取值范围； (5)写出使这两个函数有相同的单调性的区间． 变式1．（23-24高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图． 变式2．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2 正切函数图像的应用】 例1．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为P，过点P作垂直于x轴的垂线，其垂足为.设直线与的图象交于点，求线段的长. 变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）根据条件，求下列方程的解集． (1)，； (2)，； (3)，． 变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【题型3 正切函数的单调性】 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 例2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间： (1) ； (2). 【题型4 比较正切值的大小】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则的大小关系为 . 变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较与的大小. 【题型5 求正切型函数的奇偶性】 例1．（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【题型6 正切型函数的奇偶性求参数】 例1．（24-25高一·上海·随堂练习）函数（，）为奇函数需满足条件为 ． 例2．（23-24高一上·河北邢台·月考）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 变式1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知为奇函数，且m满足不等式，则m的值为 ． 变式2．（25-26高三上·湖北武汉·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【题型7 求正切型函数的周期】 例1．（2025·广东·模拟预测）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是 . 例2．（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是 . 变式1．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为 变式2．（24-25高一下·上海宝山·月考）设常数，已知函数的最小正周期为2，则的值为 ． 【题型8 求正切型函数的定义域】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域，并写出其单调区间． 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域是 . 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的定义域； 【题型9 求正切型函数的值域】 例1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时所有的值． 变式1．（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 【题型10 换元法求正切型函数的最值】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 例2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）已知，求函数的最值． 变式2．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【题型11 求正切型函数的对称性】 例1．（24-25高一下·上海·期中）点 正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 例2．（25-26高三上·江苏·月考）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）函数的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型12 正切性型函数的综合应用】 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 例2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 变式1．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 一、核心概念 1.函数形式：（定义域）、正切型（） 2.参数意义：（振幅）、（周期）、（初相） 二、核心性质（正切函数） 1.单调性：每个周期区间内单调递增 2.奇偶性：奇函数（），图象关于原点对称 3.周期性：最小正周期 4.值域：，无最值，图象渐近线 三、高频应用 1.单调区间求解：整体代换，结合符号定增减 2.正切值比较：化同周期区间后用单调性 3.不等式求解：先求单周期解，再加 4.奇偶性判定：正切型为奇函数需且定义域关于原点对称 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数中，周期为，且在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·期中）（）是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 5．（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 6．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·上海杨浦·月考）对于的绝对值函数的性质研究，可以借助将图象在x轴下半部分沿x轴翻折进行研究.那么对于函数的绝对值函数：的共性的两个命题（    ） ①这三个绝对值函数较原函数周期均减半；②在[0,π]的区间上，这三个绝对值函数周期性与原函数相同. A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 二、填空题 8．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ． 9．（23-24高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 10．（24-25高一上·广东·期末）函数的定义域为 . 11．（23-24高一下·上海·期中）函数，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 12．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 13．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 14．（24-25高一下·上海松江·月考）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是 ． 15．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 16．（23-24高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 17．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 三、解答题 18．（25-26高三上·河南周口·月考）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合.. 20．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求方程的解集． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $