专题03 一次函数与反比例函数的图象、性质与综合应用（专项训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题03 一次函数与反比例函数的图象、性质与综合应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 题型一：求函数定义域 易｜混｜易｜错 1. 忽略复合条件：同时含分式和二次根式时，漏考虑其中一个条件，如仅满足根号下非负，忘记分母不为0。 2. 不等式求解错误：解含分式、二次根式的不等式时，符号变形或边界值判断错误，如误解为。 3. 定义域表示错误：用“或”代替“且”，如“或”误写为“且”，或边界值遗漏等号。 4. 变量限制遗漏：实际问题中未考虑自变量的实际意义，如时间、长度为正，导致定义域扩大。 1．（2025·上海金山·二模）函数的定义域为 ． 【答案】且 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】该题考查了求解函数定义域，根据二次根式有意义和分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 2．（2025·上海浦东新·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查的知识点是求自变量的取值范围，解题关键是明确要使函数有意义，则． 由即可得解． 【详解】解：要使函数有意义， 则， ， 即函数的定义域为． 故答案为：． 3．（2025·上海崇明·二模）函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数的定义域问题，二次根式的被开方数大于等于 0 的性质，这是常考点，需重点掌握． 根据二次根式的被开方数大于等于 0 即可得． 【详解】解：由二次根式的性质得：， 解得：， 故答案为：． 题型二：求函数值 易｜混｜易｜错 1. 代入符号错误：代入负数或分数时未加括号，如误算为，正确应为。 2. 特殊运算失误：涉及负整数指数幂、根式运算时出错，如误算为，正确应为。 3. 分步计算遗漏：多层函数值求解时，漏算中间步骤，如先求再代入求时，中间结果错误。 4. 解析式混淆：多个函数并存时，代入错误的解析式，导致计算偏差。 4．（2025·上海金山·二模）已知，那么 ． 【答案】/ 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数值，把代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：． 5．（2025·上海奉贤·二模）已知，那么 ． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值、负整数指数幂 【分析】本题考查求函数值．当已知自变量的值时，求函数值就是将自变量代入解析式求代数式的值． 把代入函数即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 6．（2025·上海闵行·一模）已知，那么 ． 【答案】5 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查求函数值．将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：5． 题型三：求一次函数解析式 易｜混｜易｜错 1. 两直线平行/垂直性质记错：平行时误将值取倒数，垂直时未掌握，或混淆平行与垂直的值关系。 2. 平移规律错误：一次函数平移时误改值，或“上加下减、左加右减”应用错误，如向右平移1个单位误写为外的错误形式。 3. 待定系数法计算失误：代入两点坐标解方程组时，加减消元或代入消元出错，导致或值求解错误。 4. 忽略隐含条件：与反比例函数交点问题中，未先求反比例函数解析式，直接代入一次函数求解。 7．（2025·上海嘉定·二模）如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查两直线相交或平行问题，根据两条直线平行，则k值相等，可设这个一次函数的解析式是，再根据一次函数的图象经过点，求得． 【详解】解：设直线解析式是， ∵它与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴， ∴这个一次函数的解析式是． 故答案为：． 8．（2025·上海杨浦·二模）如果将直线平移，使其经过点，那么平移后所得直线的表达式是 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数图象平移，待定系数法求一次函数解析式；设平移后所得直线的表达式是，将点代入，计算得出即可求出． 【详解】解：根据题意，经过平移k值不变， ∴设平移后所得直线的表达式是， 将点代入，得 ∴ 故答案为：． 9．（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得反比例函数解析式，将点代入反比例函数，得到点坐标，然后将点、分别代入一次函数，解方程组即可； （2）先求得一次函数的图像与x轴交点为，然后利用，即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得，解得， ， 将点代入反比例函数，得， ， 将点、分别代入一次函数，得． 解这个方程组，得． 一次函数解析式为； （2）解：当时，代入，得到， 一次函数的图像与x轴交点， ． 10．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】求一次函数解析式、求角的正弦值、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 11．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象平移问题、内错角相等两直线平行 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 12．（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】分式的求值、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴ 答：当水加满时，储水装置内水的温度为． 题型四：一次函数的图象 易｜混｜易｜错 1. 象限判断错误：混淆、符号对图象的影响，如、时，误判图象经过第二象限，实际经过一三四象限。 2. 与坐标轴交点计算错误：求与轴交点时，误将算成，或解方程时移项、系数化为1出错。 3. 图象平移后交点错误：平移后未重新计算与坐标轴的交点，仍沿用原交点坐标分析面积或位置关系。 4. 多条直线位置关系混淆：未通过、值判断平行、相交，盲目画图导致错误。 13．（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式得出其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，从而得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数，其中常数、， ∴其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 14．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如果一次函数（、是常数，）的图像经过第一、三、四象限，那么、应满足的条件是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与性质．根据一次函数图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：一次函数（、是常数，）的图像经过第一、三、四象限，， ，且， 故选：． 15．（2025·上海金山·二模）已知直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小，那么这条直线的表达式是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数，当时，函数图象与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小． 直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小， ， ∴符合条件的一条直线可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 16．（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 【答案】(1) (2)①D，；②． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了函数与不等式的关系，掌握函数的性质和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求解； （2）①根据一次函数的性质求解； ②根据三角形的面积的和差求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴； （2）解：①观察图形得：经过一二三象限，经过一二四象限， ∴，，，，， 故选：D；， ②∵，， ∴图象如下： 由图象得：． 题型五：一次函数的性质 易｜混｜易｜错 1. 增减性与值关系搞反：误将记为随增大而减小，记为增大。 2. 分段函数性质判断错误：未分区间讨论增减性，笼统判断整个定义域的增减趋势。 3. 最值求解错误：一次函数在无定义域限制时误求最值，或有定义域时未结合边界值计算。 4. 系数符号与性质对应错误：忽略时函数为常函数，无增减性，仍按一次函数增减性判断。 17．（2025·上海虹口·二模）下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，熟练掌握一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质即可解答． 【详解】解： A.， 的值随的值增大而减小，符合题意； B. ， 的值随的值增大而增大，不符合题意； C. ，当时，的值随的值增大而增大，当时，的值随的值增大而减小，不符合题意； D选项，，在每一象限内，的值随的值增大而增大，不符合题意； 故选：A． 18．（2025·上海黄浦·二模）下列函数图像中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象的性质，解题的关键是根据函数表达式判断出函数的图象性质． 利用函数的表达式值和值，逐项判断出各函数的图象性质即可． 【详解】解：A. ，，函数值随自变量的值增大而增大，该选项错误，不符合题意； B. ，，函数值随自变量的值增大而减小，该选项正确，符合题意； C. ，，在每个象限内函数值随自变量的值增大而减小，但第一象限内的函数值比第三象限内的函数值要大，该选项错误，不符合题意； D. ，，开口向下，当时，函数值随自变量的值增大而增大，当时，函数值随自变量的值增大而减小，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 19．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【知识点】判断一次函数的增减性、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 解得：， 又， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 20．（2025·上海浦东新·二模）如果正比例函数（为常数，且）的图像经过点，那么函数值随着的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题考查的知识点是判断一次函数的增减性，解题关键是熟练掌握判断一次函数的增减性． 先根据该图像经过点求出值，再根据时，函数值随着的值增大而增大；时，函数值随着的值增大而减小即可得解． 【详解】解：正比例函数（为常数，且）的图像经过点， ，， 函数值随着的值增大而减小． 故答案为：减小． 题型六：正比例函数图象和性质 易｜混｜易｜错 1. 与一次函数混淆：忘记正比例函数是的一次函数（），误加常数项。 2. 图象象限判断错误：时误判图象经过二四象限，时误判经过一三象限。 3. 增减性记忆错误：与一次函数增减性混淆，或忽略正比例函数增减性与值的唯一对应关系。 4. 过定点错误：忘记正比例函数必过原点，代入求值时遗漏原点条件。 21．（2025·上海嘉定·二模）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键． 根据正比例函数的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 22．（2025·上海宝山·二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是 ．（写出一个符合题意的k的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的增减性，掌握正比例函数的意义是解题关键． 由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：在正比例函数中， ∵的值随的值增大而减小， ∴． 解不等式得 ． ∴只要取大于2的数都符合题意； 故答案为：3（答案不唯一）． 23．（2025·上海崇明·二模）已知正比例函数（是常数，且）的函数值随的增大而增大，且不经过点，那么这个正比例函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．根据正比例函数的性质可知，根据正比例函数不经过点得出，从而可以写出一个符合要求的函数解析式． 【详解】解：∵正比例函数的值随着自变量的值增大而增大， ， 当正比例函数过点时，则， 故不经过点时，， 且， ∴这个正比例函数的解析式可以是， 故答案为：． 24．（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 根据“，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限”解题即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为： ． 题型七：反比例函数的性质 易｜混｜易｜错 1. 增减性限制遗漏：忽略“在每个象限内”的前提，笼统说“随增大而增大/减小”，未排除不同象限的情况。 2.值符号与象限关系搞反：时误判图象经过二四象限，时误判经过一三象限。 3. 函数值比较错误：跨象限比较函数值，如认为（时）小于（）是正确的，但误将不同象限的对应的值按单一增减性比较。 4. 解析式形式错误：将反比例函数误写为，与正比例函数混淆。 25．（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及图像的特点，理解和掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式可知，函数图像经过第二，四象限，根据图形特点即可求解． 【详解】解：A选项，当时，选项不符合题意； B选项，反比例函数的，函数图像经过第二，四象限，B选项不符合题意； C选项，函数图像在第二，四象限内，随的增大的增大，C选项符合题意； D选项，函数图象关于直线对称，D选项不符合题意． 故选：C． 26．（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、用描点法画函数图象 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意； 图像不经过第二象限，经过第四象限， 故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 27．（2025·上海杨浦·二模）如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像上有两点、， 当时，有， ∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大， ∴ 得， 故选：D． 28．（2025·上海静安·二模）已知点、在双曲线上，如果，那么 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 29．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 30．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案． 【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴该反比例函数的比例系数大于0， ∴符合题意的反比例函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 题型八：一次函数的实际问题 易｜混｜易｜错 1. 等量关系列错：行程问题（）、经济问题（总价=单价×数量）等核心关系混淆，导致解析式列错。 2. 单位不统一：速度单位（千米/时与米/分）、长度单位等未统一，直接代入计算。 3. 定义域忽略实际意义：未限制自变量的正整数或正数范围，如人数、重量为负数或小数。 4. 图象信息解读错误：误将横纵坐标代表的量混淆，如把“时间-路程”图象误读为“时间-速度”图象。 31．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 【答案】4500 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 32．（2025·上海黄浦·二模）某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为千克（），那么快递费（元）关于物品重量（千克）的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用．根据题意，可以写出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：当时，， ∴y与x之间的函数关系式为：． 故答案为：． 33．（2025·上海奉贤·二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是 分钟． 【答案】12 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可． 【详解】解：由图象可知： 设的解析式为：， ∵经过点， ∴，得， ∴函数解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张到达乙地所用时间为48（分钟）； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张比小王早到乙地的时间是（分钟）． 故答案为：12． 34．（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1)，，且x为整数； (2)①25辆；②20分钟 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，再根据函数图象利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 在中，当时，， ∴，且x为整数； （2）解：①在中，当时，， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②由题意得，， 解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 35．（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 【答案】(1)3月份各种型号计算器的销售总量为300个 (2)A型计算器销售量为120个，图形见解析 (3)y关于x的函数关系式为 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了统计图和一次函数，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题． （1）根据条形统计图B型的销售量和扇形统计图B型计算器所占百分比求出3月份各种型号计算器的销售总量； （2）根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量，即可补充条形图； （3）根据设购进A型计算器x只，B型计算器y只，则C型计算器为只，根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，得到，整理即可． 【详解】（1）解：（个）， ∴3月份各种型号计算器的销售总量为300个； （2）解：A型计算器销售量为：（个）， 条形统计图如图： （3）解：∵设购进A型计算器x只，B型计算器y只， ∴C型计算器为只， 根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元， ∴， 整理得：， ∴y关于x的函数关系式为． 题型九：反比例函数与一次函数的综合 易｜混｜易｜错 1. 交点求解错误：联立方程时移项、化简出错，或漏解其中一个交点，未检验交点是否在各自函数定义域内。 2. 面积计算错误：求两函数与坐标轴围成的面积时，底或高找错，或未分割图形直接计算。 3. 对称性应用错误：忘记正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，求另一个交点时重复计算。 4. 参数范围求解错误：结合增减性求参数时，未分象限讨论，或忽略反比例函数的条件。 36．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合．根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：A． 37．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为 ．    【答案】/ 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、重心的有关性质、三线合一、中点坐标 【分析】由题意得点关于直线对称，由可得的重心在直线：上，联立函数解析式求出点坐标，即得，再根据三角形重心的性质可得，得到，设点，则，最后利用中点坐标公式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，点关于直线对称， ∵， ∴的重心在直线：上，即为点， 由，解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∵点为的重心， ∴， ∴， ∴， 设（），则， ∴， ∴， 设点，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 解得或， ∵点的横坐标大于点的横坐标， ∴点的横坐标为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，等腰三角形性质，三角形的重心，勾股定理，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 38．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 【答案】(1)； (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、其他问题(一元一次方程的应用)、反比例函数与几何综合、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）将代入直线方程求出后可得点坐标，再将该坐标代入双曲线方程即可得到； （2）结合题意得出，，，根据垂直平分线的判定推得，解方程后可得，，将的值代入求得点和点坐标，满足存在即可． 【详解】（1）解：已知直线过点， 将代入直线方程， ， 双曲线过点，把，代入， ； （2）解：由题知：，，， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ，， 当时，，，， 当时，，，此时、重合，舍去， 综上：． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、垂直平分线的判定、两点间的距离、一元二次方程的实际应用，解题关键是运用数形结合思想解题． 39．（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 题型十：反比例函数与几何综合 易｜混｜易｜错 1. 几何性质应用错误：旋转、对称后坐标变换错误，或平行四边形、三角形性质与函数结合时，边长、角度关系推导失误。 2. 坐标计算错误：根据几何图形（如垂直、中点）求点坐标时，勾股定理或中点公式应用出错。 3. 面积转化错误：将几何图形面积转化为函数表达式时，等量关系找错，如误将三角形面积等同于函数图象与坐标轴围成的面积。 4. 漏解情况：几何图形存在多种位置关系时（如点在不同象限、线段的不同端点），未分类讨论导致漏解。 40．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数、平行四边形的性质，旋转的性质，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意画出图像，先证明四边形是平行四边形，易得，在中利用三线合一得到，利用面积即可求解． 【详解】解：根据题意画出图像得， 过点作于点， ，， 根据旋转得，，，， ， 四边形是平行四边形， 易知， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 41．（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】画圆(尺规作图)、正比例函数的性质、反比例函数与几何综合 【分析】（1）由题意得，，设，则，点，即可解答． （2）先画出和 的图像，再过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，再作圆O，长为半径画圆交x轴于点E，过点E作直线垂直于x轴，过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q，即可解答． 【详解】（1）解：若，， 设，则，点， ∴． （2）如图： 画图步骤：①画平面直角坐标系中和 的图像； ②过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，则，， ③以点O为圆心，长为半径画圆交x轴于点E． ④过点E作直线垂直于x轴； ⑤过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q． ∴Q为所求． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，尺规作图，正比例函数． 42．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），联结，与轴交于点，且，求的正切值． 【答案】(1)的值为 (2) 【知识点】求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出，求出值即可； （2）过点分别作轴的垂线，垂足为点，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，再利用三角形相似的性质得到，最后根据正切的定义求出的正切值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 解得； 所以，的值为2． （2）解：过点分别作轴的垂线，垂足为点， 由（1）可知，点，则，， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 所以，在中，． 1．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、求加权平均数 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 2．（2025·上海普陀·二模）2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（   ） A．数值随着体重的值的增加而减少 B．数值与体重的值之间成正比例关系 C．数值与体重的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D．如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的应用，根据题意及反比例函数图象上点的坐标特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、某位成年人身高为1.6米，数值随着体重m的值的增加而增加，原说法错误，不符合题意； B、某位成年人身高为1.6米，数值与体重m的值之间成正比例关系，原说法正确，符合题意； C、某位成年人身高为1.6米，数值与体重m的值之间的函数图象为第一象限内的直线，原说法错误，不符合题意； D、某位成年人身高为1.6米，这位成年人的体重为64公斤，则数值是25，属于偏胖，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)直线， (2) (3)直线恒过定点． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 4．（2025·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．    (1)求的长； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键， （1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，从而得到点，再利用点、的坐标得，进而求得的长； （2）根据点、的坐标得直线的表达式为：，由于，可得直线的表达式为：，则点，代入点，求得，进而得到抛物线的表达式； （3）由于点与点关于原点对称，可得点，则新抛物线的表达式为：，联立两个抛物线的表达式得点点，由点、的坐标得，该直线表达式函数值中的，而直线的表达式为：，再根据，可求得，进而求得△的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点， ∵点， ∴， ∴； （2）解：∵点、，设直线的表达式为：， ∴ 解得：， ∴直线的表达式为：， ， ∴直线的表达式为：， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， ∴（舍去）或， ∴抛物线的表达式为：； （3）解：∵点与点关于原点对称， ∴点，    ∴新抛物线的表达式为：， ∴ 整理得：， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵直线的表达式为：，且， ∴， ∴， ∴△的面积． 1．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 2．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 试卷第1页，共3页 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 专题03 一次函数与反比例函数的图象、性质与综合应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 题型一：求函数定义域 易｜混｜易｜错 1. 忽略复合条件：同时含分式和二次根式时，漏考虑其中一个条件，如仅满足根号下非负，忘记分母不为0。 2. 不等式求解错误：解含分式、二次根式的不等式时，符号变形或边界值判断错误，如误解为。 3. 定义域表示错误：用“或”代替“且”，如“或”误写为“且”，或边界值遗漏等号。 4. 变量限制遗漏：实际问题中未考虑自变量的实际意义，如时间、长度为正，导致定义域扩大。 1．（2025·上海金山·二模）函数的定义域为 ． 2．（2025·上海浦东新·二模）函数的定义域为 ． 3．（2025·上海崇明·二模）函数的定义域是 ． 题型二：求函数值 易｜混｜易｜错 1. 代入符号错误：代入负数或分数时未加括号，如误算为，正确应为。 2. 特殊运算失误：涉及负整数指数幂、根式运算时出错，如误算为，正确应为。 3. 分步计算遗漏：多层函数值求解时，漏算中间步骤，如先求再代入求时，中间结果错误。 4. 解析式混淆：多个函数并存时，代入错误的解析式，导致计算偏差。 4．（2025·上海金山·二模）已知，那么 ． 5．（2025·上海奉贤·二模）已知，那么 ． 6．（2025·上海闵行·一模）已知，那么 ． 题型三：求一次函数解析式 易｜混｜易｜错 1. 两直线平行/垂直性质记错：平行时误将值取倒数，垂直时未掌握，或混淆平行与垂直的值关系。 2. 平移规律错误：一次函数平移时误改值，或“上加下减、左加右减”应用错误，如向右平移1个单位误写为外的错误形式。 3. 待定系数法计算失误：代入两点坐标解方程组时，加减消元或代入消元出错，导致或值求解错误。 4. 忽略隐含条件：与反比例函数交点问题中，未先求反比例函数解析式，直接代入一次函数求解。 7．（2025·上海嘉定·二模）如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 ． 8．（2025·上海杨浦·二模）如果将直线平移，使其经过点，那么平移后所得直线的表达式是 ． 9．（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 10．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 11．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 12．（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 题型四：一次函数的图象 易｜混｜易｜错 1. 象限判断错误：混淆、符号对图象的影响，如、时，误判图象经过第二象限，实际经过一三四象限。 2. 与坐标轴交点计算错误：求与轴交点时，误将算成，或解方程时移项、系数化为1出错。 3. 图象平移后交点错误：平移后未重新计算与坐标轴的交点，仍沿用原交点坐标分析面积或位置关系。 4. 多条直线位置关系混淆：未通过、值判断平行、相交，盲目画图导致错误。 13．（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（23-24八年级下·重庆江津·期末）如果一次函数（、是常数，）的图像经过第一、三、四象限，那么、应满足的条件是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 15．（2025·上海金山·二模）已知直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小，那么这条直线的表达式是 ．（写出一种情况即可） 16．（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 题型五：一次函数的性质 易｜混｜易｜错 1. 增减性与值关系搞反：误将记为随增大而减小，记为增大。 2. 分段函数性质判断错误：未分区间讨论增减性，笼统判断整个定义域的增减趋势。 3. 最值求解错误：一次函数在无定义域限制时误求最值，或有定义域时未结合边界值计算。 4. 系数符号与性质对应错误：忽略时函数为常函数，无增减性，仍按一次函数增减性判断。 17．（2025·上海虹口·二模）下列函数中，的值随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 18．（2025·上海黄浦·二模）下列函数图像中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 19．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 20．（2025·上海浦东新·二模）如果正比例函数（为常数，且）的图像经过点，那么函数值随着的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 题型六：正比例函数图象和性质 易｜混｜易｜错 1. 与一次函数混淆：忘记正比例函数是的一次函数（），误加常数项。 2. 图象象限判断错误：时误判图象经过二四象限，时误判经过一三象限。 3. 增减性记忆错误：与一次函数增减性混淆，或忽略正比例函数增减性与值的唯一对应关系。 4. 过定点错误：忘记正比例函数必过原点，代入求值时遗漏原点条件。 21．（2025·上海嘉定·二模）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 22．（2025·上海宝山·二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是 ．（写出一个符合题意的k的值即可） 23．（2025·上海崇明·二模）已知正比例函数（是常数，且）的函数值随的增大而增大，且不经过点，那么这个正比例函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 24．（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 题型七：反比例函数的性质 易｜混｜易｜错 1. 增减性限制遗漏：忽略“在每个象限内”的前提，笼统说“随增大而增大/减小”，未排除不同象限的情况。 2.值符号与象限关系搞反：时误判图象经过二四象限，时误判经过一三象限。 3. 函数值比较错误：跨象限比较函数值，如认为（时）小于（）是正确的，但误将不同象限的对应的值按单一增减性比较。 4. 解析式形式错误：将反比例函数误写为，与正比例函数混淆。 25．（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 26．（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 27．（2025·上海杨浦·二模）如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·上海静安·二模）已知点、在双曲线上，如果，那么 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 29．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是 ． 30．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个） 题型八：一次函数的实际问题 易｜混｜易｜错 1. 等量关系列错：行程问题（）、经济问题（总价=单价×数量）等核心关系混淆，导致解析式列错。 2. 单位不统一：速度单位（千米/时与米/分）、长度单位等未统一，直接代入计算。 3. 定义域忽略实际意义：未限制自变量的正整数或正数范围，如人数、重量为负数或小数。 4. 图象信息解读错误：误将横纵坐标代表的量混淆，如把“时间-路程”图象误读为“时间-速度”图象。 31．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 32．（2025·上海黄浦·二模）某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为千克（），那么快递费（元）关于物品重量（千克）的函数解析式为 ． 33．（2025·上海奉贤·二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是 分钟． 34．（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 35．（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 题型九：反比例函数与一次函数的综合 易｜混｜易｜错 1. 交点求解错误：联立方程时移项、化简出错，或漏解其中一个交点，未检验交点是否在各自函数定义域内。 2. 面积计算错误：求两函数与坐标轴围成的面积时，底或高找错，或未分割图形直接计算。 3. 对称性应用错误：忘记正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，求另一个交点时重复计算。 4. 参数范围求解错误：结合增减性求参数时，未分象限讨论，或忽略反比例函数的条件。 36．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为 ．    38．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 39．（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 题型十：反比例函数与几何综合 易｜混｜易｜错 1. 几何性质应用错误：旋转、对称后坐标变换错误，或平行四边形、三角形性质与函数结合时，边长、角度关系推导失误。 2. 坐标计算错误：根据几何图形（如垂直、中点）求点坐标时，勾股定理或中点公式应用出错。 3. 面积转化错误：将几何图形面积转化为函数表达式时，等量关系找错，如误将三角形面积等同于函数图象与坐标轴围成的面积。 4. 漏解情况：几何图形存在多种位置关系时（如点在不同象限、线段的不同端点），未分类讨论导致漏解。 40．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是 ． 41．（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 42．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），联结，与轴交于点，且，求的正切值． 1．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 2．（2025·上海普陀·二模）2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（   ） A．数值随着体重的值的增加而减少 B．数值与体重的值之间成正比例关系 C．数值与体重的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D．如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 3．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 4．（2025·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．    (1)求的长； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积． 1．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 2．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $