专题01 空间向量及其运算（7重点+8题型+复习提升）（复习讲义）高二数学人教A版

专题01 空间向量及其运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. （2）空间向量的长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模. （3）表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为.规定：与任意向量平行. （2）单位向量：长度为1的空间向量，即. （3）相等向量：方向相同且模相等的向量. （4）相反向量：方向相反但模相等的向量. （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． （6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 知识点2：空间向量的运算 1、 空间向量的加法运算 三角形法则（首尾相连） 四边形法则（对角线） 2、 空间向量的减法运算 三角形法则（共起点） 3、 空间向量加减法运算律 （1）交换律： （2）结合律： 方法总结： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 4、 空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．的长度是的长度的倍． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． （2）运算律：分配律：；结合律：． 知识点3：空间向量共线定理 1、空间向量共线的充要条件： 对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量. 3、证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有. 知识点4：空间向量共面定理 1、定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 2、向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、向量共面证明： （1）证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足. （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中） 知识点5：空间向量的数量积运算 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 注意：数量积是数量，不是向量。 2、数量积满足的运算律 ；（交换律）；（分配律）． 3、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 3 ； ②； ③或； ④； ⑤ 4、向量夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，范围：通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． 5、 数量积的应用 （1） 利用数量积求模长 如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长 （2） 利用数量积求夹角 根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 5、向量的投影 1、向量在向量上的投影向量 如图，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量. 2、向量在平面上的投影 如图，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量.这时向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. 知识点6：空间向量基本定理 1、定义：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使． 2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量． 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示． 4、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解． 知识点7：空间向量及其运算的坐标表示 1、空间中知道两点求向量：若，则 2、空间中知道两点求距离：若，则 3、空间两点中点坐标的运算 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 4、向量加减法、数乘、数量积的坐标运算 若，则 ①;   ②;      ③;       ④ 5、空间向量的模及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 ① ② 6、空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 【题型1 空间向量线性运算】 高妙技法 空间向量加法运用三角形法则（首位相连）与四边形法则（对角线），空间向量运用减法三角形法则（共起点）。 1．（25-26高二上·河南新乡·月考）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·广东清远·期中）在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减结合相反向量的运算可得答案. 【详解】 故选：A 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 4．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算进行求解即可. 【详解】因为平行六面体， 所以，， 所以. 故选：C. 【题型2 空间向量共线定理及应用】 高妙技法 若空间三点共线，常考的两点有： 1、 对线外一点O，有. 2、 存在实数，使成立. 1．（25-26高二上·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．（25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱的特征及空间向量线性运算的几何意义计算即可. 【详解】易知. 故选：C 3．（25-26高二上·重庆·月考）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 4．（25-26高三上·云南昆明·期中）在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点M的位置，利用空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据向量的运算法则，可得 . 故选：B.    【题型3 空间向量共面定理及应用】 高妙技法 向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 证明四点共面常用（其中） 1．（多选）（25-26高二上·河北·期中）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 2．（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 3．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求出，，，利用向量共面，即存在实数，使得，列出方程，解方程即可得到答案. 【详解】因为点，，分别在棱，，上，且，，， 则， ， 设，则， 因为四点共面，所以共面． 设存在实数，使得， 所以，，，解得，． 即，所以． 故选：A．    4．（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 【题型4 空间向量求数量积】 高妙技法 运用数量积公式，求数量积的范围及最值是数量积应用中比较难的部分，要熟悉几何意义、投影、极化恒等式。 1．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 2．（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为. 故选：B 3．（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 4．（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【详解】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 【题型5 应用空间向量数量积求模长、夹角、投影】 高妙技法 1、 求向量的模，可以把向量分解成几个已知向量的和，利用向量的平方来求。 2、 求两直线的夹角，可以通过方向向量的夹角来求，但注意向量夹角范围与直线夹角范围不一致。 3、 求投影，注意投影向量是个向量，要成方向上的单位向量，且投影的几何意义也是求数量积最值的常用方法之一。 1．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的计算公式求解出结果. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. 2．（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量运算化简已知条件，求得，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案， 【详解】由， 所以，由于，所以 在正三棱锥中，，则三角形是等边三角形， 分别是中点，所以， 所以，所以. 故选：C 3．（25-26高二上·山东济南·月考）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角 . 【答案】 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 4．（多选）（25-26高二上·新疆喀什·期中）三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积的运算律以及完全平方公式，计算可得A正确，B正确，再由锥体的体积公式可验证C错误，利用向量夹角公式代入计算可得D正确. 【详解】对于A，易知， 因为两两垂直，所以，而，所以，即A正确； 对于B，知， 因为两两垂直，所以，所以，即B正确； 对于C，易知， 显然，所以， 因此， 又，，所以， 所以， 因为两两垂直，且， 所以三棱锥的体积为，即C错误； 对于D，因为， 又，所以， ， 同理， 设和的夹角为，可得，可得，即D正确. 故选：ABD. 【题型6 空间向量基本定理】 高妙技法 用基底表示向量的步骤 1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； 2．找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； 3．下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 1．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量基本定理即可求解. 【详解】对于A，由，所以共面，故A错误； 对于B，假设共面，设，所以与矛盾， 所以不共面，故B正确； 对于C，由，所以共面，故C错误； 对于D，由，所以共面，故D错误； 故选：B. 2．（25-26高二上·广东茂名·期中）如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由P是MN靠近N的三等分点得到，整理得到 ，又为BC的中点得到，由为OA的中点得到，从而得到． 【详解】M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点． 则，即，也即， 则，因，，， 又为BC的中点，则， 为OA的中点，则， 因此，． 故选：C. 2．（多选）（25-26高二上·河南·月考）在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A选项通过空间向量的加减法，将向量按向量减法法则变形为，利用向量与基底的关系得到表达式；对于B选项根据空间向量的线性运算，通过选取路径，结合三等分点的向量表示，得出结果；对于C选项，展开向量平方并代入已知模长与夹角的内积公式，综合运用空间向量数量积的运算法则；对于D选项，通过计算其数量积是否为零来实现，再次利用已知夹角与向量内积的性质. 【详解】对于A选项，在平行六面体中，，故A正确； 对于B选项，因为点是上靠近的三等分点，所以， 又，所以，故B正确； 对于C选项，因为，， ， 所以，所以，故C错误； 对于D选项，，所以，故D正确. 故选：ABD 3．（多选）（25-26高三上·河南·月考）在棱长为2的正方体中，，则（   ） A．若，则 B．若，且，，则直线与所成角的最小角为 C．若，则点所在的平面截正方体所得的截面面积为 D．若，则直线和直线所成角可能为 【答案】AC 【分析】对于A，根据得到点四点共面，又平面，再根据线面垂直的定义得到；对于B，求出点的轨迹，将与所成的角转化为直线和所成的角，结合图象即可判断；对于C，先证明截面为，再求面积即可；对于D，先证明点的轨迹为平面，直线和所成角的最小角即为直线和平面所成的角，即，求出即可进行判断. 【详解】对A，若，则点四点共面，如图1， 因为是正方体， 所以平面平面，所以，所以A正确； 对B，若，且，则点的轨迹为线段， 又因为，所以与所成的角转化为直线和所成的角， 由图2可知，直线和所成的角的范围为，所以选项B错误； 对C，若，则过点的平面截正方体所得的截面为，如图3所示， 其中点分别为，的中点． 证明如下：因为， 因为点在平面内，所以， 又因为分别为的中点，所以，，， 所以， 又因为，所以， 所以，即所得的截面为， 因为正方体的棱长为2，所以是边长为的正三角形， 所以的面积为：，所以选项C正确； 对D，若，则点的轨迹为平面．证明如下：如图4所示， 在平面内任取一点为，连接，与平面的交点为， 连接，分别与平面和平面的交点为，连接， 因为平面平面，所以．因为，所以， 则．设，则， 所以， 又因为，所以， 则，即点的轨迹为平面． 直线和所成角的最小角即为直线和平面所成的角．连接， 则即为直线和平面所成的角，且，， 所以，又因为，所以，所以选项D错误． 故选：AC． 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（   ） A．当为底面中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为8 D．当时，长度为定值. 【答案】B 【分析】根据题意及各项的前提条件，应用数形结合、空间向量进行逐项进行分析求解判断. 【详解】当为底面的中心时，由，则 故，A错误； 当时， ， 当且仅当，取最小值为， 当时，，则点在及内部， 而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分， 当或时，得最大值为， 综上，B正确，C、D错误. 故选：B 【题型7 空间向量坐标表示】 高妙技法 用坐标表示应用于空间向量的关系中，点坐标的表示、向量的表示、向量的运算、共线共面、基底。 1．（25-26高二上·重庆·期中）在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式可得答案. 【详解】因为点、，则线段的中点坐标为， 即. 故选：B. 2．（25-26高二上·北京·期中）已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三点共线，转化为（），再结合与不重合，确定的范围，对赋值，求解即可. 【详解】因为 所以，， 当三点共线时，（） 所以，即， 因为与不重合，所以且， 假设，则， 所以使三点共线一个点的坐标可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 3．（25-26高二上·北京·月考）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【详解】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 4．（25-26高二上·广东惠州·月考）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可. 【详解】A：设，则，因为方程组无解，所以不共面，所以可以作为空间向量的一组基底； B：设，则，因为方程组无解，所以不共面，所以可以作为空间向量的一组基底； C：设，则，因为方程组无解，所以不共面，所以可以作为空间向量的一组基底； D：设，则，所以共面，所以不能作为空间向量的一组基底. 故选：D 【题型8 空间向量坐标应用于数量积】 高妙技法 用坐标表示应用于空间向量数量积的应用中，包括求模长、求夹角、求投影，垂直关系等。 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）在空间直角坐标系中，，，，且，则 ． 【答案】1 【分析】根据空间向量垂直得出数量积为0，再应用空间向量数量积坐标运算公式求解. 【详解】在空间直角坐标系中，，，，则， 又因为，所以，所以. 故答案为：1. 2．（多选）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【分析】根据向量的加法法则，计算即可判断A的正误；根据两向量平行的坐标关系，可判断B的正误；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C的正误；根据夹角为锐角，可得，且与不共线，根据数量积公式，分析计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意，解得，故A正确； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：在上的投影向量为， 所以，即， 判别式，方程无实数根，故C错误； 选项D：若与夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得，由与不共线，得 所以，故D正确. 故选：ABD 3．（多选）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，则（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【分析】由空间向量垂直和平行的坐标运算判断AD，由空间向量基坐标运算判断B，由投影向量的概念判断C. 【详解】对于A，因为，，所以，A正确； 对于B，， 故，B正确； 对于C，，在上的投影向量即为，C错误； 对于D，因为，所以，且， 故向量是与平行的一个单位向量，D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高二上·四川成都·月考）设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量的垂直和平行关系得到方程，求出，求得，利用坐标求其模即可. 【详解】由⊥，可得，解得， ，故可设，即， 则，解得，即， 则， 故. 故选：B 1．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 2．（多选）（25-26高二上·广东深圳·期中）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 【答案】AC 【分析】对于A，当时，可得，所以点P与重合，即为，由利用线面平行的判定定理可判断；对于B，当时，由得，所以点P在线段上；对于C，当时，可得点P在线段上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断；对于D，当时，取的中点E，的中点F，可得点P在线段上，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】对于A，当时，，得，即， 所以点P与重合，即为， 因为，平面，平面， 所以平面，即平面，故A正确； 对于B，当时，，得，即， 因为，所以点P在线段上，故B错误； 对于C，当时，，得，则， 因为，所以点P在线段上， 平面，即平面， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，当时，取的中点，的中点，则， 则， 则，则， 因为，所以点在线段上， 设，则， 则，， ， 若，则，则， 则，所以，即点为线段的中点， 即当时，存在一个点，使得，故D错误． 故选：AC． 3．（25-26高二上·广东·期中）已知正八棱锥，设，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正八棱锥的对称性以及向量的线性运算来推导的表达式. 【详解】设底面正八边形的中心为点，设， 易知点与分别在和的角平分线上，且， 由平行四边形法则，与方向相同，且， 又，故， 同理，， 则，，，， 故，即， 同理有，则， 代入得，即. 故选：A. 4．（25-26高二上·山东青岛·期中）在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，延长、、至点、、，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到、、、四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的，结合正三棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长、、至点、、，使得，，， 所以， 又由，所以、、、四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为，则点到平面的距离是点到平面的距离的， 又因为，， 所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接、，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据内切球半径求得正四面体的棱长，利用向量数量积运算以及球的几何性质求得的取值范围. 【详解】设正四面体的棱长为，设是等边三角形的中心，连接， 则平面，且球的球心， ， 则， 所以，解之得， 所以,， 由向量运算的三角形法则可得， 所以， 而，则． 由题设可知，所以. 故答案为： 6．（25-26高二上·山东临沂·月考）在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则在平面PAC内的投影向量为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】A选项,利用重心的向量性质，结合向量减法推导向量表达式.B选项,取AC中点O，结合二面角得向量夹角，将分解为，通过向量模长平方公式计算判断.C选项,由二面角为90°得平面，根据投影向量定义确定的投影向量.D选项,由得为等边三角形，利用的向量表达式，通过向量模长平方公式计算的长度. 【详解】对于A选项，因为， 所以，故A正确. 对于B选项，如图，取中点，过作且，连接，则平面. 因为△为正三角形，所以，， 因为，所以，所以， 所以二面角的平面角为，则. ，则，则， 因为，，，，， 所以 ， 所以，故B不正确. 对于C选项，若，则平面平面， 由于平面平面，平面且， 所以平面， 所以在平面PAC内的投影向量为，故C正确. 对于D选项，若，又因为，则为等边三角形， 则，因为，，则， 则，则. 因为， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD 7．（多选）（25-26高二上·江西南昌·月考）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量线性运算，可判断A正确；利用空间向量数量积的运算性质与运算，可判断B错误，C正确；根据投影的定义及计算公式，可判断D错误. 【详解】对于A：由，可得， 则，所以A正确； 对于B，由 ，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误； 故选：AC. 8．（25-26高三上·上海·月考）已知、、为空间三个向量，又且，向量满足，，，则对于任意实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律及数量积的定义化简，结合配方法求出最小值. 【详解】依题意， ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 9．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】因为， 所以,， 则,所以, 故选：B 10．（25-26高二上·湖北·月考）已知向量，，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【分析】根据投影向量的定义计算． 【详解】向量 在向量 上的投影向量的坐标为, 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. （2）空间向量的长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模. （3）表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为.规定：与任意向量平行. （2）单位向量：长度为1的空间向量，即. （3）相等向量：方向相同且模相等的向量. （4）相反向量：方向相反但模相等的向量. （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． （6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 知识点2：空间向量的运算 1、 空间向量的加法运算 三角形法则（首尾相连） 四边形法则（对角线） 2、 空间向量的减法运算 三角形法则（共起点） 3、 空间向量加减法运算律 （1）交换律： （2）结合律： 方法总结： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 4、 空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．的长度是的长度的倍． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． （2）运算律：分配律：；结合律：． 知识点3：空间向量共线定理 1、空间向量共线的充要条件： 对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量. 3、证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有. 知识点4：空间向量共面定理 1、定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 2、向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、向量共面证明： （1）证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足. （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中） 知识点5：空间向量的数量积运算 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 注意：数量积是数量，不是向量。 2、数量积满足的运算律 ；（交换律）；（分配律）． 3、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 3 ； ②； ③或； ④； ⑤ 4、向量夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，范围：通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． 5、 数量积的应用 （1） 利用数量积求模长 如果知道，的模长，以及、向量夹角，则可以根据求向量的模长 （2） 利用数量积求夹角 根据可以求向量夹角的余弦值，从而可以求向量的夹角 5、向量的投影 1、向量在向量上的投影向量 如图，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量. 2、向量在平面上的投影 如图，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量.这时向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. 知识点6：空间向量基本定理 1、定义：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使． 2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量． 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示． 4、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解． 知识点7：空间向量及其运算的坐标表示 1、空间中知道两点求向量：若，则 2、空间中知道两点求距离：若，则 3、空间两点中点坐标的运算 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 4、向量加减法、数乘、数量积的坐标运算 若，则 ①;   ②;      ③;       ④ 5、空间向量的模及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 ① ② 6、空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 【题型1 空间向量线性运算】 高妙技法 空间向量加法运用三角形法则（首位相连）与四边形法则（对角线），空间向量运用减法三角形法则（共起点）。 1．（25-26高二上·河南新乡·月考）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东清远·期中）在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 空间向量共线定理及应用】 高妙技法 若空间三点共线，常考的两点有： 1、 对线外一点O，有. 2、 存在实数，使成立. 1．（25-26高二上·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·月考）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·云南昆明·期中）在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（    ）    A． B． C． D． 【题型3 空间向量共面定理及应用】 高妙技法 向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 证明四点共面常用（其中） 1．（多选）（25-26高二上·河北·期中）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 2．（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 空间向量求数量积】 高妙技法 运用数量积公式，求数量积的范围及最值是数量积应用中比较难的部分，要熟悉几何意义、投影、极化恒等式。 1．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 3．（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【题型5 应用空间向量数量积求模长、夹角、投影】 高妙技法 1、 求向量的模，可以把向量分解成几个已知向量的和，利用向量的平方来求。 2、 求两直线的夹角，可以通过方向向量的夹角来求，但注意向量夹角范围与直线夹角范围不一致。 3、 求投影，注意投影向量是个向量，要成方向上的单位向量，且投影的几何意义也是求数量积最值的常用方法之一。 1．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东济南·月考）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角 . 4．（多选）（25-26高二上·新疆喀什·期中）三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 【题型6 空间向量基本定理】 高妙技法 用基底表示向量的步骤 1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； 2．找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； 3．下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 1．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东茂名·期中）如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·河南·月考）在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高三上·河南·月考）在棱长为2的正方体中，，则（   ） A．若，则 B．若，且，，则直线与所成角的最小角为 C．若，则点所在的平面截正方体所得的截面面积为 D．若，则直线和直线所成角可能为 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（   ） A．当为底面中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为8 D．当时，长度为定值. 【题型7 空间向量坐标表示】 高妙技法 用坐标表示应用于空间向量的关系中，点坐标的表示、向量的表示、向量的运算、共线共面、基底。 1．（25-26高二上·重庆·期中）在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·期中）已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是 ． 3．（25-26高二上·北京·月考）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（25-26高二上·广东惠州·月考）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 空间向量坐标应用于数量积】 高妙技法 用坐标表示应用于空间向量数量积的应用中，包括求模长、求夹角、求投影，垂直关系等。 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）在空间直角坐标系中，，，，且，则 ． 2．（多选）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 3．（多选）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，则（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D．向量是与平行的一个单位向量 4．（25-26高二上·四川成都·月考）设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 1．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 2．（多选）（25-26高二上·广东深圳·期中）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 3．（25-26高二上·广东·期中）已知正八棱锥，设，，，则（  ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东青岛·期中）在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为 ． 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是 . 6．（25-26高二上·山东临沂·月考）在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则在平面PAC内的投影向量为 D．若，则 7．（多选）（25-26高二上·江西南昌·月考）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 8．（25-26高三上·上海·月考）已知、、为空间三个向量，又且，向量满足，，，则对于任意实数的最小值为 ． 9．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 10．（25-26高二上·湖北·月考）已知向量，，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $