专题10 圆（知识必备+5大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）九年级数学上学期北师大版

该初中数学圆的期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点构建知识框架，涵盖圆的概念、对称性、垂径定理等九大模块，结合易错提醒与辅助线方法，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，按题型设典例与变式题，如垂径定理结合勾股定理计算、切线判定证明等，培养推理意识与运算能力。配套基础、重难、拓展通关练，适配不同学生，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

专题10 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆周角定理及其推论的应用 牢记并区分圆心角、圆周角的定义，准确把握点与圆、直线与圆的位置关系判定标准，通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置。 核心热点，常结合圆内接四边形、直径的性质设计角度计算问题，题型覆盖选择、填空、解答题。 垂径定理的应用 精准理解垂径定理的核心内涵，熟练掌握垂径定理相关的辅助线构造方法，并能准确推导与计算。 高频考查弦长、弦心距、半径的计算，通常需要构造“半径-弦心距-半弦”的直角三角形，结合勾股定理求解，是填空题和基础解答题的常见考点。 切线的判定与性质 熟练掌握切线的判定与性质应用，能根据切线判定定理证明直线为圆的切线，能利用切线性质推导线段垂直、角相等关系，解决相关计算问题；同时掌握切线长定理。 解答题核心考点，常以“证明某直线是圆的切线”“已知切线求线段长度或角度”的形式出现，解题关键在于准确构造辅助线，灵活运用切线的判定定理和性质定理。 弧长与扇形面积的计算 能准确进行弧长、扇形面积及组合图形面积的计算，掌握割补法、等积变换等技巧，能将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差进行求解；能结合实际情境建立圆的模型，解决弧长、面积相关的实际问题。 高频考点，既包括直接代入公式的简单计算，也包括结合垂径定理、圆周角定理的综合计算，还会涉及阴影部分面积的求解。 圆与三角形的综合应用 全面梳理圆与三角形综合的核心知识点，包括：三角形的外接圆与内切圆的定义、性质；外心与内心的判定与性质；圆周角定理及其推论在三角形中的应用；三角形形状与外接圆位置的关系。 压轴题，包括三角形外接圆、内切圆的性质应用，以及圆与三角形全等、相似的综合证明与计算，此类题目综合性强，能全面考查学生的知识整合能力和逻辑推理能力。 知识点01 圆及与的相关的概念 1.圆的定义 （1）圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 （2）基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） （3）确定一个圆的两要素（圆心、半径） （4）圆的任一半径长度都相等 （5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 （6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等； （7）C=2r S= ①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧； ③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的（能完全重合），不仅指弧长相等，弧度也相等。 2.弦与直径、弧与半圆 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB； ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，�小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧． ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 3.同心圆和等圆 同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图2所示： 图2 图3 等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。 易错提醒：同圆或等圆的半径相等。如图3.等圆与位置无关 等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合的弧叫做等弧。 易错提醒：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。 知识点02 圆的对称性 1.圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 2.弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1o的圆心角，我们也称这样的弧为1o的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 知识点03 垂径定理及推论和重要公式 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 2）知二推三（推论） ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④=；⑤= 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 3）重要公式：设半径为r，，=d，根据勾股定理： 圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。 知识点04 圆周角定理及推论 1）推论1：同弧或等弧所对圆周角相等 ∵同弧或等弧所对圆心角相等 ∴同弧或等弧所对圆周角相等 2）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结： 在同圆或等圆中，有如下关系： 即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。 3）推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。（因为圆心角为180°） 4）推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆 证明：∵∠A=90° ∴△ACB外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∵∠D=90° ∴△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∴四点共圆 知识点05 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 点和圆的位置关系 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个． 1）经过一个已知点A可画无数个圆。 2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4）经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 4.点和圆的位置关系 1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则： P在圆外d>r； P在圆上d=r； P在圆内d<r 知识点06 直线与圆的位置关系 1.直线和圆有几种位置关系 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，�这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．[ 2.切线的判定和性质 （1）切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 （2）推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4.弦切角定理及其逆定理 弦切角定理(需证明) 弦切角的定义 顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹得弧所对得圆心角得一半,等于它所交得弧所对得圆周角得度数． 如图所示,线段PT所在的直线切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角． 证明过程略. 弦切角定理逆定理(需证明) 弦切角定理逆定理 如右图,在△ABC的形外作∠PAB=∠BCA,则PA是△ABC的外接圆的切线. 证明:只要用切线的定义,要证AP垂直于过切点的半径,先作过A点的直径,连接DB,则∠DBA=90°,∠D=∠C=∠PAB,所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°. 所以PA是圆O的切线. 知识点07 切线长定理 知识点08 圆内接正多边形 1.圆内接正多边形 把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． 2.正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　 （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 3.正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 知识点09 弧长及扇形面积 1.弧长的计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 2.与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR. 题型一 圆周角定理及其推论的应用 【典例1-1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例1-3】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 【典例1-4】（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 【变式1-1】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【变式1-4】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 题型二 垂径定理的应用 【典例2-1】（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【典例2-3】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【典例2-4】（24-25九年级上·江西上饶·期末）加图，内接于，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-1】（23-24九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，为圆O的弦，圆O的半径为5，于点D，交圆O于点C，且，则的长是 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【变式2-4】（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． (1)求证：； (2)如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 题型三 切线的判定与性质 【典例3-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【典例3-2】（24-25九年级上·广东·期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 【典例3-3】（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆江北·期末）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【变式3-3】（24-25九年级上·全国·期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 题型四 弧长与扇形面积的计算 【典例4-1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【典例4-2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 【典例4-3】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，半径，则所对的长为 cm． 【典例4-4】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，． (1)证明：为的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 【变式4-1】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F． (1)求证：是圆的切线． (2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号） 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，中，，平分交于点D，交于点E，以为直径作． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积． 题型五 圆与三角形的综合应用 【典例5-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，弦与弦交于点且，．已知，，若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【典例5-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 【典例5-3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【典例5-4】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【典例5-5】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． (1)作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出； ②画出三角形的外接圆； (2)求的面积． 【典例5-6】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，菱形边长为3，延长至点C，使得．连接，．点E，F分别在线段和上，且满足，连接，交于点O，过点B作，交延长线于点M，连接． (1)求与之间的数量关系； (2)当时，求的长度； (3)如图2，过点M作交于N，求的最大值． 【变式5-1】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，内接于，，直径交于点，若，则 °．    【变式5-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图所示，已知中，为斜边上的高，为中点，为外心，交于．求证：． 【变式5-4】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图1，是的直径，和是它的两条切线，点是右侧半圆上不同于的一个动点，过点作的切线与分别相交于两点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接，与相交于点，延长交于点，过点作于点．则以下关于线段的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【变式5-5】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若， ①求证：； ②连接，若，求证：． 期末基础通关练（测试时间：5分钟） 1.（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（25-26九年级上·全国·期末）已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3.（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，一个固定的圆形滑轮起重装置的半径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向的旋转的角度为 ． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为 ． 5．（24-25九年级上·广东惠州·期末）在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图所示，的顶点均在格点上，点C的坐标为 (1)将绕原点O顺时针方向旋转得到对应的，请画出，并写出点的坐标； (2)请在图中标出的外接圆的圆心M以及写出点M的坐标，并计算的外接圆的面积． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，是的平分线． (1)尺规作图：作，圆心O在线段上，且经过A，D两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)； (3)在（2）的前提下，在图（2）中继续用无刻度的直尺和圆规在边上方作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)． 2.（24-25九年级上·江苏南京·期末）在数学中，常常通过构造基本图形帮助我们解决问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知，求证． 【灵活应用】 （2）如图②，和中，，，，，求． 【深度思考】 （3）尺规作图：如图③，线段与直线相交于点．在直线上作一点，使得最小（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 3．（23-24九年级上·北京西城·期末）在中，，，于点．点在射线上，连接，作于点．连接，作于点，作交直线于点，连接． (1)当点在线段上时，在图1中补全图形，并直接写出的度数； (2)当点在线段的延长线上时，利用图2探究线段与之间的数量关系，并证明； (3)取线段的中点，连接，若，直接写出线段的长的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆周角定理及其推论的应用 牢记并区分圆心角、圆周角的定义，准确把握点与圆、直线与圆的位置关系判定标准，通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置。 核心热点，常结合圆内接四边形、直径的性质设计角度计算问题，题型覆盖选择、填空、解答题。 垂径定理的应用 精准理解垂径定理的核心内涵，熟练掌握垂径定理相关的辅助线构造方法，并能准确推导与计算。 高频考查弦长、弦心距、半径的计算，通常需要构造“半径-弦心距-半弦”的直角三角形，结合勾股定理求解，是填空题和基础解答题的常见考点。 切线的判定与性质 熟练掌握切线的判定与性质应用，能根据切线判定定理证明直线为圆的切线，能利用切线性质推导线段垂直、角相等关系，解决相关计算问题；同时掌握切线长定理。 解答题核心考点，常以“证明某直线是圆的切线”“已知切线求线段长度或角度”的形式出现，解题关键在于准确构造辅助线，灵活运用切线的判定定理和性质定理。 弧长与扇形面积的计算 能准确进行弧长、扇形面积及组合图形面积的计算，掌握割补法、等积变换等技巧，能将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差进行求解；能结合实际情境建立圆的模型，解决弧长、面积相关的实际问题。 高频考点，既包括直接代入公式的简单计算，也包括结合垂径定理、圆周角定理的综合计算，还会涉及阴影部分面积的求解。 圆与三角形的综合应用 全面梳理圆与三角形综合的核心知识点，包括：三角形的外接圆与内切圆的定义、性质；外心与内心的判定与性质；圆周角定理及其推论在三角形中的应用；三角形形状与外接圆位置的关系。 压轴题，包括三角形外接圆、内切圆的性质应用，以及圆与三角形全等、相似的综合证明与计算，此类题目综合性强，能全面考查学生的知识整合能力和逻辑推理能力。 知识点01 圆及与的相关的概念 1.圆的定义 （1）圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 （2）基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） （3）确定一个圆的两要素（圆心、半径） （4）圆的任一半径长度都相等 （5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 （6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等； （7）C=2r S= 易错提醒： ①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧； ③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的（能完全重合），不仅指弧长相等，弧度也相等。 2.弦与直径、弧与半圆 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB； ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，�小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧． ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 3.同心圆和等圆 同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图2所示： 图2 图3 等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。 易错提醒：同圆或等圆的半径相等。如图3.等圆与位置无关 等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合的弧叫做等弧。 易错提醒：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。 知识点02 圆的对称性 1.圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 2.弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1o的圆心角，我们也称这样的弧为1o的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 知识点03 垂径定理及推论和重要公式 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 2）知二推三（推论） ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④=；⑤= 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 3）重要公式：设半径为r，，=d，根据勾股定理： 圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。 知识点04 圆周角定理及推论 1）推论1：同弧或等弧所对圆周角相等 ∵同弧或等弧所对圆心角相等 ∴同弧或等弧所对圆周角相等 2）圆周角、圆心角、弧长、弦长关系总结： 在同圆或等圆中，有如下关系： 即在同圆或等圆的情况下，圆周角、圆心角、弦长、弧长中任一个相等，则另外几个条件也相等。 3）推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°。（因为圆心角为180°） 4）推论3：两直角三角形共斜边，这四点共圆 证明：∵∠A=90° ∴△ACB外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∵∠D=90° ∴△BCD外接圆的圆心在CB上，且CB为直径 ∴四点共圆 知识点05 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 点和圆的位置关系 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个． 1）经过一个已知点A可画无数个圆。 2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4）经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 4.点和圆的位置关系 1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则： P在圆外d>r； P在圆上d=r； P在圆内d<r 知识点06 直线与圆的位置关系 1.直线和圆有几种位置关系 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，�这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．[ 2.切线的判定和性质 （1）切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 （2）推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4.弦切角定理及其逆定理 弦切角定理(需证明) 弦切角的定义 顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹得弧所对得圆心角得一半,等于它所交得弧所对得圆周角得度数． 如图所示,线段PT所在的直线切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角． 证明过程略. 弦切角定理逆定理(需证明) 弦切角定理逆定理 如右图,在△ABC的形外作∠PAB=∠BCA,则PA是△ABC的外接圆的切线. 证明:只要用切线的定义,要证AP垂直于过切点的半径,先作过A点的直径,连接DB,则∠DBA=90°,∠D=∠C=∠PAB,所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°. 所以PA是圆O的切线. 知识点07 切线长定理 知识点08 圆内接正多边形 1.圆内接正多边形 把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． 2.正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　 （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 3.正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 知识点09 弧长及扇形面积 1.弧长的计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 2.与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR. 题型一 圆周角定理及其推论的应用 【典例1-1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【典例1-2】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∵与所对的弧都是， ∴． ∴． 故选：A． 【典例1-3】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ． 【答案】/125度 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【典例1-4】（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵， ∴是圆的直径． ∵，， ∴，， 根据勾股定理，在中， ． ∴圆的半径为． 故答案为：． 【变式1-1】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与所对的弧为同一弧， ∴， 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵点B是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， 故选：C． 【变式1-4】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，即， ∴点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为1的圆周上运动， 如图，作点A关于原点的对称点E，连接，并延长交于点C， ∵O为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， 当最大时，也就是最大，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最大， 在中，，，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二 垂径定理的应用 【典例2-1】（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中，， ∴， 故选B． 【典例2-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 【典例2-3】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【典例2-4】（24-25九年级上·江西上饶·期末）加图，内接于，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵内接于，， ∴， ∴平分， ∵过圆心， ∴； （2）解：如图，延长交于，连接， 由上得，平分， ∵过圆心， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴由勾股定理得，． 【变式2-1】（23-24九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，为圆O的弦，圆O的半径为5，于点D，交圆O于点C，且，则的长是 【答案】8 【详解】解：如图，连接， ∵圆O的半径为5， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ． 【答案】8 【详解】解：∵的半径为10， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 【变式2-3】（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【详解】（1）解：经过圆心O，且弦， ； （2）解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 【变式2-4】（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． (1)求证：； (2)如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 【详解】（1）证明：点F为弦的中点， ， 是的垂直平分线， （2）① 证明：点F为弦的中点， ， ， 又是的直径， ， ， ， ， 由得， 是等腰三角形， 点F为的中点， 平分， ， ②解：连接，则，如图所示， ， ， 由①得， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， ， 整理得， 解得，不符合题意，舍去， 的半径为 题型三 切线的判定与性质 【典例3-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【典例3-2】（24-25九年级上·广东·期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 【答案】10 【详解】解：∵切于点A，B，切于点E， ， 的周长是20， ， ， ， ， 故答案为：10． 【典例3-3】（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆江北·期末）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H， 猜想， （2）解：已知：四边形的四边，，，都于相切于G，F，E，H， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即： 【变式3-3】（24-25九年级上·全国·期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【详解】（1）解：连接， ∵A点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 又∴， ∵， ∴； （2）证明：设与、、边相切于点、、，连接，，，如图， 则, ∵是的切线， ∴， 在和中， ∴， ∴∴, 同理可证：，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∴， ∴ ∴平分． （3）解：的值是定值为， 在上取点V，使，即， ∵， ∴， ∵，， ∴，，即； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 题型四 弧长与扇形面积的计算 【典例4-1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【详解】设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 【典例4-2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 【答案】 【详解】解：，， 山水画所在纸面的面积： ． 故答案为：． 【典例4-3】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，半径，则所对的长为 cm． 【答案】 【详解】解：在中，， 则， 因此所对的长为：， 故答案为：． 【典例4-4】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，． (1)证明：为的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：点是的中点，点是的中点， ， ， ， ，， ， ， 为的切线； （2）解：①设的半径为， ， ， 由（1）知， ， ， ，， ， ； ②由①知，， ，， 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 【变式4-1】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F． (1)求证：是圆的切线． (2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号） 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵是圆的半径， ∴是圆的切线． （2）解：如图，连接，，其中交于点， ∵，， ∴， ∵圆的半径是， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，中，，平分交于点D，交于点E，以为直径作． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：∵，以为直径作， ∴点D在上， 如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； （3）解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分面积为． 题型五 圆与三角形的综合应用 【典例5-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，弦与弦交于点且，．已知，，若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：弦与弦交于点， ， ， ， ， ，，， 、， ， 或， 当时，，当时，， ， ， 故选：A． 【典例5-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 则， 则， 解得：． 故选：B ． 【典例5-3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 ． 【答案】13 【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为和， 直角三角形模具的斜边长为， 用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形， 圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长， 这个圆形纸片的最小直径为； 故答案为：13． 【典例5-4】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 【典例5-5】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． (1)作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出； ②画出三角形的外接圆； (2)求的面积． 【详解】（1）①将点A、B绕点C逆时针旋转得到， 连接，得到, 如图所示： ②分别取边垂直平分线上的格点， 作边的垂直平分线相交于点O， 以O为圆心长为半径画圆， 得到的外接圆，如图所示： （2）连接， ∴的面积为． 【典例5-6】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，菱形边长为3，延长至点C，使得．连接，．点E，F分别在线段和上，且满足，连接，交于点O，过点B作，交延长线于点M，连接． (1)求与之间的数量关系； (2)当时，求的长度； (3)如图2，过点M作交于N，求的最大值． 【详解】（1）四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图1， 作，交的延长线于点，作于点， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图2， 以为边在下方作等边三角形， 由上知：， ， 点在等边三角形的外接圆上运动， 连接，，，交于，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，3为半径的圆上运动， 当与相切时，最大， ， 最大， 延长，交于点， ，， ， 设，则， ，， ， ， ． 【变式5-1】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，内接于，，直径交于点，若，则 °．    【答案】75 【详解】解：连接，如图，   ， ， ， 为直径， ， ， ． 故答案为：75 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过作于点， 设， ， ， 过作于点，过作于点，则， ， ， ，， ， ，即， ， ， 即， 解得， 的半径最小值为 故答案为： 【变式5-3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图所示，已知中，为斜边上的高，为中点，为外心，交于．求证：． 【详解】证明：如图，连接，连接交于， 为外心， ， ，， ． ， ， ， ， 为重心． ． ， ． 【变式5-4】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图1，是的直径，和是它的两条切线，点是右侧半圆上不同于的一个动点，过点作的切线与分别相交于两点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接，与相交于点，延长交于点，过点作于点．则以下关于线段的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【详解】（1）解： 是直径，、是切线， ∴， ， 由切线长定理可知，， ， ， ， ； （2）证明： 是直径， 、 是切线， ， ， 由 （1）知 ， ， 由切线长定理可知 ， ， ， 即 ， ； （3）我认为正确，理由如下： 如下图，延长至，使得，连接， 由垂径定理知，垂直平分， ， ， 在四边形中，， 又 ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式5-5】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若， ①求证：； ②连接，若，求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：①∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知：，即， ∴， ∴； ②由可知：点D、C、B三点在以点A为圆心，半径为的圆上，如图， ∴， 由①可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 期末基础通关练（测试时间：5分钟） 1.（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 【详解】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·期末）已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：设圆锥的母线长为． ∵ 扇形弧长，其中 ，， ∴ ，解得：． 故选B． 3.（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，一个固定的圆形滑轮起重装置的半径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向的旋转的角度为 ． 【答案】 【详解】解：设旋转的角的度数是， 根据弧长公式得：， 解得：， 所以绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴， 解得， 即扇形的圆心角为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·广东惠州·期末）在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【详解】（1）解：圆心位置如图所示，； （2）如图所示，为所求三角形． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图所示，的顶点均在格点上，点C的坐标为 (1)将绕原点O顺时针方向旋转得到对应的，请画出，并写出点的坐标； (2)请在图中标出的外接圆的圆心M以及写出点M的坐标，并计算的外接圆的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于点M，则， ∵， ∴， ∴的外接圆半径为， ∴的外接圆的面积为． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，是的平分线． (1)尺规作图：作，圆心O在线段上，且经过A，D两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的半径为6． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)； (3)在（2）的前提下，在图（2）中继续用无刻度的直尺和圆规在边上方作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是点的“关联点”． （2）解：如图，即为所求， 作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； 简证：点在以为直径的圆上运动， ， ， 由（1）可得，此时点为点的“关联点”． （3）解：如图， 作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧． 简证：在以为直径的圆上运动， ， 根据第一问很容易得出， ， ． 2.（24-25九年级上·江苏南京·期末）在数学中，常常通过构造基本图形帮助我们解决问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知，求证． 【灵活应用】 （2）如图②，和中，，，，，求． 【深度思考】 （3）尺规作图：如图③，线段与直线相交于点．在直线上作一点，使得最小（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ，， ； （2）解：作，交于点． ， ， ， ， ，， ． ，， ， ， ，， 在 中，， 即， ； （3）理论依据： 过点作，当点在点左侧时，如图，连接、， 、组成， 是定值，且有特殊值， 构造，连接，如图， ，， ， 要求最小值，即求最小值， 为定值， 求出最大值即可，取中点，当、、共线时，最大，则此时最小， 如图，延长交圆于点，连接并延长交于点即为所求， 尺规作图： 如图，点即为所求， 作法提示：①作交于点； ②以为直径作圆，圆心为，连接并延长交于点； ③连接并延长交直线于点，点即为所求． 3．（23-24九年级上·北京西城·期末）在中，，，于点．点在射线上，连接，作于点．连接，作于点，作交直线于点，连接． (1)当点在线段上时，在图1中补全图形，并直接写出的度数； (2)当点在线段的延长线上时，利用图2探究线段与之间的数量关系，并证明； (3)取线段的中点，连接，若，直接写出线段的长的最小值． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： ∵，， ∴， 取的中点，连接，， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图所示： ∵，，， ∴，， 由（1）同理可得：，，，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴； （3）如图，取的中点，连接，，，取的中点，连接， 由（2）同理可得：，而， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，而为中点，为中点， ∴， ∴在以为圆心，半径为2的弧上运动， ∴当，，三点共线时，最小， 在中， 此时， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $