专题09 二次函数与几何图形综合题（知识必备+5大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）九年级数学上学期北师大版

该初中数学期末复习讲义聚焦二次函数与几何图形综合专题，通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，构建“函数性质-图形存在性-动态问题-最值结合-多模型融合”的知识体系，并用框架图呈现线段、角度、相似三角形等知识点的解题思路，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，基础通关练夯实函数性质与几何判定基础，重难突破练通过动点问题（如“抛物线上动点构成平行四边形”）培养推理意识，综合拓展练结合新定义问题（如“好点”“最优纵横值”）提升模型观念。每个题型配备典例与变式，基础学生可掌握分类讨论方法，优秀学生能深化跨模型转化能力，为教师实施分层教学提供精准支持。

专题09 二次函数与几何图形综合题（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数性质与几何图形判定 熟练掌握二次函数核心性质，夯实几何核心知识储备，熟练运用三角形、特殊四边形等知识。 常见考法：①已知二次函数解析式，求抛物线与坐标轴交点，结合交点构成的三角形、四边形，判断图形形状并计算边长、面积；②已知几何图形的性质，求符合条件的二次函数解析式。 特殊图形存在性问题 在解决存在性问题（如特殊三角形、特殊四边形存在性）时，能全面考虑各种可能情况，避免遗漏答案。 高频压轴题型，常见考法：①特殊三角形存在性：在抛物线上或直线上探究是否存在点，使该点与已知两点构成等腰三角形、直角三角形、相似三角形；②特殊四边形存在性：探究是否存在点，使四个点构成平行四边形、矩形、菱形、正方形。 动点/动线/图形变换综合 掌握动态问题分析方法：面对动点、动线、图形变换（平移、旋转、轴对称）等动态场景，能准确划分运动阶段，梳理不同阶段下函数与几何图形的对应关系，建立分段函数模型或利用分类讨论思想求解。 常见考法：①动点问题：动点在抛物线、直线或几何图形上运动，探究线段长度、图形面积、角度等随动点运动的变化规律，或求最值、临界位置；②图形变换问题：抛物线或几何图形经过平移、旋转、轴对称后，分析变换后图形与原图形的位置关系，求解相关参数或几何量。 函数最值与几何量最值结合 能总结二次函数与几何量最值结合题的常见题型及对应解题策略，能将同类题型的解题方法迁移到新的问题情境中。 常见考法：①利用二次函数最值求几何量最值；②结合几何图形的限制条件，求二次函数的定义域及对应最值。 多模型融合与新定义问题 能从综合问题中快速识别涉及的多个模型，实现跨模型的条件转化与问题求解。具备“解读新定义—转化已知知识—应用知识求解”的完整解题逻辑。 最后一道压轴题，常见考法：①多几何模型融合；②新定义问题：结合新定义的几何概念，探究函数与几何的综合规律。 知识点01 二次函数中线段有关综合题 （1）线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 （2）线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 （3）线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 知识点02 二次函数中角度有关综合题 （1）角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 （2）二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 （3）特殊角问题 运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇 45°构造等腰直角三角形，遇 30°、60°构造等边三角形，遇 90°构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。 知识点03 相似三角形的存在性 寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。 确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。 根据相似三角形的性质列方程求解： 导边处理：若已找到一组相等角，可根据 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。 导角处理：根据 “有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A = ∠D，则讨论∠B = ∠E 或∠B = ∠F 的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。 解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。 知识点04 平行四边形的存在性 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类; 2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定) 3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解 常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形 分类讨论: 当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标; 当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解. 4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可 知识点05 矩形、菱形、正方形存在性 1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。 2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。 3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。 知识点06 利用二次函数解决最值与动点问题 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 题型一 函数性质与几何图形判定 【典例1】（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，以原点为位似中心，将按相似比2放大，得到，点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·辽宁·期末）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B点左边），在抛物线上，连接．点D在线段上运动，以为边向右构造正方形．设点D的横坐标为x，则点E的纵坐标为______． 【变式1-2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 题型二 特殊图形存在性问题 【典例2-1】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【典例2-2】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标． (3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例2-3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为抛物线的顶点，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当和相似时，求点P坐标． 【变式2-1】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 题型三 动点/动线/图形变换综合 【典例3-1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标中，已知抛物线（d为常数，），抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)求抛物线的对称轴（用含d的式子表示）； (2)如图1，点D在第四象限，且在抛物线的图像上，连接、，两线相交于点E，求的最大值（用含d的式子表示）； (3)如图2，当时，将抛物线向上平移4个单位得抛物线，抛物线与x轴相交于点E，与y轴相交于点F，点P是直线上任意一点，且点P在抛物线的对称轴右侧，直线、分别交抛物线于点M、N，连接，是否存在某一定点，使得该点总在直线上，若存在求出该定点的坐标，若不存在说明理由． 【典例3-2】（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究 如图，抛物线经过点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线交于点． ①过点作与抛物线的对称轴交于点，当时，求的值． ②连接，是否存在点，使得的一个内角的度数是的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例3-3】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标； (3)若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围． 【典例3-4】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【变式3-1】（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的时，求点的坐标； (3)如图②，点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，一次函数与二次函数交于点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，轴交于点M，，垂足为N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点P的对应点为，且新抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F的左侧），交y轴于点G．H为新抛物线位于第四象限上的一动点，过H作轴，垂足为K，连接．若，直接写出新抛物线的解析式和点H的坐标． 【变式3-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．且． (1)请求出抛物线的解析式； (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象最多只有2个公共点时，请求出n的取值范围． 【变式3-4】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； (4)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四 函数最值与几何量最值结合 【典例4-1】（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境： 学校有一块矩形空地，空地中有一条小路可近似地看成抛物线的一部分，该抛物线的顶点在矩形空地的边上．为了将此矩形空地加以利用，设置课外活动区和劳动实践区，其余部分为绿化区域，现面向全体同学征集设计方案． 方案设计： 小慧同学设计了如下方案： 第一步，如图1，在矩形中，，以边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点在矩形的边上．根据测得的数据得到小路所在抛物线的函数表达式为． 第二步：如图2，连接，将其作为小路，在线段上取一点，过点作轴与抛物线交于点，连接，将设置为课外活动区． 第三步：如图2，在线段上取一点，过点分别作轴于点，轴于点，将四边形设置为劳动实践区． 问题解决： (1)请直接写出直线的函数表达式． (2)①当是以为底边的等腰三角形时，求所设置的课外活动区底边的长；②求所设置的劳动实践区（四边形）的最大面积． (3)在满足（2）的条件下，请直接写出此矩形空地中绿化区域的面积．（小路的面积忽略不计） 【典例4-2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点．点是第一象限的抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如左图，连接，当时，求点的坐标； (3)如右图，过点作于点，求的最大值． 【典例4-3】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线经过，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线上一点，当时，求点M的坐标 (3)P是直线下方抛物线上一点，连接交于E，求的最大值． 【变式4-1】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线的顶点，求的面积； (3)若点P为直线下方抛物线上的一点，是否存在点P使的面积为最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（24-25九年级上·天津·期末）如图，抛物线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此拋物线的函数解析式． (2)点P是直线上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，求的最大值，及此时P点的坐标． (3)点M为该拋物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点M的坐标． 题型五 多模型融合与新定义问题 【典例5-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）定义：若一个点的纵坐标的绝对值是横坐标绝对值的2倍，则称这个点为“好点”，如：，，等都是“好点”． (1)在点中，点______是“好点”； (2)若“好点”在直线上，求点的坐标； (3)若抛物线上恰好有3个“好点”，求的值． 【典例5-2】（24-25九年级上·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，若点N为直线与抛物线的一个交点，则称点N为此抛物线的“叠点”．例如：经过计算可知和都是抛物线的“叠点”．已知抛物线与x轴分别交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)抛物线M有 个“叠点”； (2)若抛物线M的对称轴是直线，对称轴与x轴交于点E． ①请直接写出抛物线L的解析式为：_____________； ②如图所示，P是抛物线L上的一个动点，且位于第一象限，连接，请问：当的面积取到最大值时，点P是否为抛物线M上的“叠点”？请给出结论，并说明理由． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为_____． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值：若不存在，请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边在轴上，顶点、在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知二次函数 (1)当时，如图，此抛物线与x轴交于两点， ①求抛物线的解析式． ②若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (2)当时，若，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线，始终与二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：与x轴交于，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点，是抛物线上不同的两个点，设，求w关于k的函数表达式并证明； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴交于B、C两点（在C的左侧）． ①若A、B是线段的三等分点，则t的值为______； ②若A、B两点重合，则抛物线的函数表达式为______； ③在②的条件下，过抛物线第一象限内一点M作直线，交抛物线于点设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，判断的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值． (3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； (3)抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，，，．当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标． 5．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：40分钟） 1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接， ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09二次函数与几何图形综合题（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 函数性质与几何 熟练掌握二次函数核心性质，夯实 常见考法：①已知二次函数解析式，求抛物线与 图形判定 几何核心知识储备，熟练运用三角 坐标轴交点，结合交点构成的三角形、四边形， 形、特殊四边形等知识。 判断图形形状并计算边长、面积；②已知几何图 形的性质，求符合条件的二次函数解析式 特殊图形存在性 在解决存在性问题（如特殊三角形、 高频压轴题型，常见考法：①特殊三角形存在性： 问题 特殊四边形存在性)时，能全面考 在抛物线上或直线上探究是否存在点，使该点与 虑各种可能情况，避免遗漏答案。 己知两点构成等腰三角形、直角三角形、相似三 角形；②特殊四边形存在性：探究是否存在点， 使四个点构成平行四边形、矩形、菱形、正方形。 动点/动线/图形 掌握动态问题分析方法：面对动点、 常见考法：①动点问题：动点在抛物线、直线或 变换综合 动线、图形变换（平移、旋转、轴 几何图形上运动，探究线段长度、图形面积、角 对称)等动态场景，能准确划分运 度等随动点运动的变化规律，或求最值、临界位 动阶段，梳理不同阶段下函数与几 置；②图形变换问题：抛物线或几何图形经过平 何图形的对应关系，建立分段函数 移、旋转、轴对称后，分析变换后图形与原图形 模型或利用分类讨论思想求解。 的位置关系，求解相关参数或几何量。 函数最值与几何 能总结二次函数与几何量最值结合 常见考法：①利用二次函数最值求几何量最值； 量最值结合 题的常见题型及对应解题策略，能 ②结合几何图形的限制条件，求二次函数的定义 将同类题型的解题方法迁移到新的 域及对应最值。 问题情境中。 多模型融合与新 能从综合问题中快速识别涉及的多 最后一道压轴题，常见考法：①多几何模型融合； 定义问题 个模型，实现跨模型的条件转化与 ②新定义问题：结合新定义的几何概念，探究函 问题求解。具备“解读新定义一转 数与几何的综合规律。 化已知知识一应用知识求解”的完 整解题逻辑。 1/107 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 记·必备知识 同知识点01二次函数中线段有关综合题 (1)线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标， 计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段 相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对 称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 (2)线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 (3)线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段 相等（加倍法)；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根 据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF,相似比为k,若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 局知识点02二次函数中角度有关综合题 (1)角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特 殊角来发现等角)，其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用 一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。 借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分 线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。 2/107 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还 可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。 (2)二倍角问题 倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。 加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。 二倍角的构造方法 如图，已知∠0，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造2，在BC边上找一点D,使得BD=AD, 则∠ADC=2a. 2u B 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 (3)特殊角问题 运用三角函数值：已知特殊角（如30°、45°、60°、90°等），可直接利用其三角函数值来建立边与 边之间的关系，进而解决问题。 构造特殊三角形：遇45°构造等腰直角三角形，遇30°、60°构造等边三角形，遇90°构造直角三角形， 利用特殊三角形的性质来求解。 邑知识点03相似三角形的存在性 寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需 要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰 三角形等得到相等角。 确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分 情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有 多种可能。 根据相似三角形的性质列方程求解： 导边处理：若已找到一组相等角，可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判 定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。 3/107 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 导角处理：根据“有两组角对应相等的三角形相似”，在己确定一组相等角的基础上，分两种情形讨 论另外两组角的对应相等关系，即若∠A=∠D,则讨论∠B=∠E或∠B=∠F的情况。通过导角，将问 题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。 解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、 确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。 同知识点04平行四边形的存在性 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类； 2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..（坐标平移规律：左减右加 变x上加下减变y如何平移？可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定) 3.两定两动：以定线段作边或对角线，确定分类：常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等 式求解 常见设问：己知A、B,求另外两点C、D与A、B两点构成平行四边形 分类讨论： 当AB为边时，找AB平行且等于的CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标； 当AB为对角线时，AB的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐 标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解， 4.三动点或四动点：往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可 局知识点05矩形、菱形、正方形存在性 1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。 2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。 3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。 邑知识点06利用二次函数解决最值与动点问题 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后 利用函数的最值解决面积最值问题。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合 直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条 4/107 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 件进行计算. 破·重难题型 它题型一 函数性质与几何图形判定 【典例1】(24-25九年级上山东德州·期末)如图，以原点0为位似中心，将△0AD按相似比2放大，得 到△OBC，,点D(2,2)是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是() B 1 A.y=二x2-2x+4 B.y=x2-4x+6 2 C.y=1x2-4x+6 D.y=x2-4x+4 2 【答案】A 【详解】解：：将△OAD放大为原来的2倍，得到△OBC,点D(2,2), 点C(2×2,2×2),即点C(4,4), :点D(2,2)是抛物线y=ax2+bx+c的顶点， y=a(x-22+2, 将C(4,4)代入得，4=a4-2)+2, 解得a=2' 1 抛物线的解新式是x-2小+2，即y=方式-2x+4. 故选：A。 【变式1-1】(24-25九年级上辽宁期末)如图，抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、B两点(A在B点左边)， C(4,5)在抛物线上，连接AC,点D在线段AC上运动，以BD为边向右构造正方形BDEF,设点D的横坐 标为x,则点E的纵坐标为 5/107 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】4 【详解】解：由题可知抛物线y=x2-2x-3=(x+1)(x-3, 令y=0, 即(x+1(x-3)=0, 解得x=3,x2=-1, :A在B左边， A-1,0),B(3,0), 设直线AC的解析式为y=x+b, 把A(-1,0),C(4,5)代入可得， [-k+b=0 4k+b=5 得：4k+b--k+b)=5-0, 即5k=5,解得k=1, 把k=1代入-k+b=0,解得b=1, :直线AC的解析式为y=x+1, :点D在直线AC上运动，横坐标为x, 把x代入y=x+1, 得点D的纵坐标为yo=x+1, 过D作DH垂直x轴，过E作EG⊥DH交DG的延长线于G点， ∠G=∠DHB=90°， ∴.∠GED+∠GDE=90°，∠HDB+∠GDE=90°， 6/107 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠HDB=∠GED, 由于四边形BDEF为正方形， DE⊥DB且DE=DB, ∴△DHB≌△EGD, .BH=DG,DH=EG, yD -Y8 XE -XD, XB -XD yE -YD, x=yp-yg+xp=x+1-0+x=2x+1, yE=X8-xD +yp=3-x+x+1=4, 即E的纵坐标为4， 故答案为4. 【变式1-2】（24-25九年级上山西晋中.期末)如图，在正方形ABCD中，点B,D的坐标分别为(-1，-2)， ,2)，点C在抛物线y=- 一2+bc的图象上，则b的值为 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，过点C作 MN⊥x轴，过点B作BM⊥MN于M,过点D作DN⊥MN于N,利用三角形全等的性质，即可得出C点 7/107 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 坐标，代入y=-二x2+bx即可得出b的值， 【详解】解：过点C作MN⊥x轴，过点B作BM⊥MN于M,过点D作DN⊥MN于N, B .∠BMC=∠CND=90°， 由条件可知∠BCD=90°，BC=DC, ∴.∠BCM+∠DCN=90°=∠BCM+∠CBM, .∠DCN=∠CBM, 在aCBM和aDCN中， ∠BMC=∠CND ∠CBM=∠DCN, BC=CD aCBM≌DCN(AAS), .BM CN,CM DN, m-（-1=2-n 设C(m,n),则 n--2)=m-1 m=2 解得： n=-1' C(2,-1), :点C在抛物线y=x+bx的图象上， ) 1 -1=-5×22+2b, 1 :.b= 2 故答案为：2 题型二 特殊图形存在性问题 8/107 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例2-1】(24-25九年级上·吉林松原·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c经过原 点O,与x轴正半轴交于另一点A,点B(-1,-3)在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其 横坐标为m,以BM为对角线作矩形BCMD,BC垂直于y轴， (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形BCMD内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形BCMD内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求m的值； (4)当点M在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点E,使△MBE是以BM为斜边的等腰直角三 角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+2x+c经过原点0， ·抛物线的表达式为y=ax2+2x, 将点B(-1,-3)代入上式得，-3=a-2, 解得a=-1, :抛物线的解析式为y=-x2+2x; (2)由(1)中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线x=1,则点B关于抛物线对称轴的对称点为 (3,-3), 当M在(3，-3)的左侧时，抛物线在矩形BCMD内部的图象从左到右逐渐上升， 即m<3, :点B、M不重合， 故m≠-1， 即m<3且m≠-1； (3):点B(-1,-3),矩形BC☑MD内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， 9/107 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :当点M的纵坐标为-3+4=1时，1=-m2+2m, 解得m=1; 当点M的纵坐标为-3-4=-7时，-7=-m2+2m, 解得：m=1-2√2或m=1+2W2, 综上，m的值为1或1-2√2或1+22： (4)存在，m=0或m=-2,理由如下： 当点M在点B的上方时，如图，设点E1,), 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G, G :△MBE是以BM为斜边的等腰直角三角形， H 则EM=BE,∠BEM=90°， :.∠MEG+∠BEH=90°，LBEH+∠EBH=90°，∠MEG+LBEH=90°， ∠MEG=∠EBH, :∠BHE=∠EGM=90°， :△BHE≌aEGM(AAS), MG=HE=1+3,GE=BH=1--1=2, 则点M(-1-2,t+2), 将点M的坐标代入抛物线表达式得1+2=-(-1-2)+2(-1-2)， 解得1=-5（舍去）或-2， 则m=-1-2=0; 当点M在点B的下方时， 同理可得，点M(t+4,1-2), 将点M的坐标代入抛物线表达式得，t-2=-(t+4)+2(t+4), 10/107