27.2.1（第4课时）两角分别相等的两个三角形相似（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件围绕“两角分别相等的两个三角形相似”判定定理及直角三角形相似判定展开，通过复习定义法、平行法等旧知搭建学习支架，引导学生从已有认知自然过渡到新知探究。 其亮点在于以画图操作和逻辑证明发展数学思维，通过“三线垂直”“一线三等角”等模型强化数学语言表达，结合分层检测提升应用意识。学生能提升推理能力与模型观念，教师可高效落实教学目标。

第27章 相似 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.2.1 两角分别相等的 两个三角形相似 （第4课时） BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 D B A C E （2）方法2：平行法 符号语言： ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC A C B E D F （1）方法1：定义法（不常用） 符号语言： ∵∠A=∠D, ∠B= ∠E, ∠C= ∠F ∴△ABC∽△DEF 思考：我们学过哪些判定三角形相似的方法？ BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 ∵ ∴△ABC∽△DEF A C B E D F （3）方法3：三边法（三边成比例的两个三角形相似） 符号语言： ∵ ，∠A=∠D ∴△ABC∽△DEF （4）方法4：两边夹角法（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） 符号语言： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长， 并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 探究：一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′， 使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55° 这两个三角形是相似的 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上， 截取 A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′. ∵∠B=∠B′， ∴∠A′DE=∠B. 又∵ A′D=AB，∠A=∠A′， ∴△A′DE ≌△ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′ . C A A' B B' C' D E 思考：试证明△ABC∽△A′B′C′. BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 三角形相似的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 特别地，在直角三角形中： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 结论： 一角对应相等的两个三角形不一定相似. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 证明： ∵AD⊥AB，CE⊥AB, ∴∠A=∠BCE=90°, ∵CD∥BE, ∴∠ACD=∠B, △ACD ∽△CBE． 已知，如图，C是AB上一点，AD⊥AB，CE⊥AB,CD∥BE, 求证：△ACD ∽△CBE． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，C是线段BD上的一点，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥EC. 求证：△ABC∽△CDE. E A 1 B C D 2 证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD ∴∠ABC=∠CDE=90° ∴∠1+∠A=90° ∵AC⊥EC ∴∠1+∠2=90° ∴∠A=∠2(同角的余角相等) ∴△ABC∽△CDE 这是“一线三垂直”的相似模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 变式1 如图，在△ABC中，AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点，∠APD=∠B. 求证：△ABP∽△PCD. 证明：∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵∠APD=∠B,∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP, ∴∠BAP=∠CPD, ∴△ABP∽△PCD. 这是“一线三等角”的相似模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 变式2 如图，在矩形ABCD中，点M在边BC上，连接AM,请用尺规作图法在AM上求作一点P，连接DP，使得△PAD∽△ABM.(不写作法，保留作图痕迹) 证明：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=∠BAM+∠PAD=90°,∠B=90°, ∵DP⊥AM， ∴∠ADP+∠PAD=90°,∠APD∠B=90°, ∴∠ADP=∠MAB, ∴△PAD∽△ABM. P BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 B C A D E E B C A D ∴ △ ADE∽ △ABC ∴ △AED∽ △ABC ∵∠A=∠A ∠AED=∠C ∵∠A=∠A ∠AED=∠B ①作DE，使∠AED=∠C ②作DE，使∠AED=∠B 思考：过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形△ADE与△ABC相似，这样的直线有几条？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，Rt△ABC中，∠C=90°. AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D.求AD的长. 解： ∵ ED⊥AB ∴ ∠ EDA=90 ° 又∵ ∠ C=90 ° ∴ ∠ EDA=∠ C 又∵ ∠ A= ∠ A ∴ △AED ∽ △ABC ，∴ ∴ AD=4 这是“母子型”的相似模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 变式1 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，E与C重合，ED⊥AB,垂足为D.你能找出其中的相似三角形，并写出成比例的线段吗？ △ACD ∽ △ABC ∽ △CBD ∴ ∴ ∴ 射影定理 (E) A B C D AC2=AD·BC BC2=BD·AB CD2=BD·AD BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 变式2 如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D， 求证：△ABC∽△BDC. 证明：∵AB=AC，∠A=36°, BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC. 在△ABC和△BDC中, ∠A=∠DBC，∠C=∠C. ∴△ABC∽△BDC. 这是“母子型”的相似模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD. 证明:连接AC，DB. ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A= _______， 同理 ∠C= _______， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴______ 即PA ·PB = PC · PD. ∠D ∠B 相交弦定理 O D C B A P PA ·PB = PC · PD BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 你能写出已知和求证吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. C A A' B B' C' 要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？ 目标： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′. 由 ，得 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿. ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. 勾股定理 ∴ C A A' B B' C' BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 直角三角形相似的判定方法 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. C A A' B B' C' 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中 ∵ ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴ 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证： D C A B E F BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O BY YUSHEN BY YUSHEN 两角分别相等的 两个三角形相似 归纳总结 内容 利用两角判定三角形相似 运用 直角三角形相似的判定 C A B A' B' C' BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是(　　) A．∠A＝55°，∠D＝35° B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 C 2.在平行四边形ABCD中，点E在边BC的延长线上，连接AE交CD于点F. 图中的相似三角形有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3．下列各组图形不一定相似的是（    ） A．两个等腰直角三角形 B．两个含有100°内角的等腰三角形 C．两个含有50°内角的等腰三角形 D．两个含有50°内角的直角三角形 C D 4.如图，已知△ABC中，∠B=60°,AB=6,BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 40° 6．已知：如图，∠1=∠2，∠B=40°，当∠E= 时，△ABC∽△AED. A B C D E 1 2 7．如图，在△ABC和△ACD中，需要添加一个条件使△ABC∽△ACD，所添加的条件是________________________________． ∠ACD=∠B A B C D (或∠ADC=∠ACB) 8.如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD = . 6 O D C B A P BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高. 若AB=4 cm，BC=10 cm，求BD的长. 解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°, ∴∠ADB=∠CAB. ∴△ABD∽△CBA, 解得 BD=1.6(cm). ∴ ， BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10.如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16. （1）求证：△ABC∽△DAC; （2）求CD的长. （1）证明： ∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C, ∴△ABC∽△DAC. （2）∵△ABC∽△DAC， ∴CD=4. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 AB AC 解： ∴ △ABD ∽ △ACB. ∴ . ∴ AB2 = ∵ AD=4 ，AC=9 ， ∴ AB2 = 36. ∴ AB =6. 11.如图， ∠ABD=∠C ， AD=4 ， AC=9，求AB的长. A B C D ∵∠ABD=∠C， ∠ A= ∠ A ， = AB AD AD · AC. BY YUSHEN BY YUSHEN $