专题05 除数是两位数的除法（必备知识+十四大题型+分层训练）（期末复习讲义）四年级数学上学期人教版

该小学数学复习讲义通过表格系统梳理除数是两位数除法的核心考点、复习目标与考情规律，按口算估算、笔算步骤、试商调商、商的位数判断及变化规律等知识点分层呈现，构建从基础到应用的知识脉络，清晰标注重难点内在联系。 讲义亮点在于14类题型设计覆盖口算、笔算、解决问题等，结合“进一法”“去尾法”等实际应用案例，培养运算能力与应用意识。分层练习（基础、重难、综合）适配不同学生，试商调商步骤指导强化推理思维，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

专题05 除数是两位数的除法（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 口算与估算能力： 整十数除整十数、几百几十数的口算方法，以及两、三位数除以两位数的估算技巧。 熟练掌握口算除法，能快速准确计算整十数除法；灵活运用四舍五入法进行估算，提升计算效率。 多以填空、选择形式出现，考查对基本口算方法的掌握和估算技巧的运用。 笔算方法与步骤： 从被除数高位除起，先用除数试除被除数前两位，若不足再除前三位；除到哪一位商写在哪一位上；余数必须小于除数。 规范笔算步骤，确保每一步计算准确无误，余数处理得当，提高笔算正确率。 常以竖式计算题形式出现，重点考查笔算步骤的完整性和准确性。 试商与调商技巧： 运用四舍五入法试商，试商大了调小，试商小了调大；根据余数与除数关系调整商。 熟练掌握试商方法，能根据试商结果快速调整商，提高计算速度和准确性。 多在笔算题中结合考查，检验学生试商和调商的灵活运用能力。 商的位数判断： 三位数除以两位数时，被除数前两位小于除数则商是一位数，大于或等于除数则商是两位数。 能快速判断商的位数，为准确计算提供基础，避免计算错误。 常以填空、选择形式出现，考查对商位数判断方法的掌握。 商的变化规律： 除数不变，被除数与商同向变化；被除数不变，除数与商反向变化；被除数和除数同时变化，商不变。 理解并牢记商的变化规律，能运用规律进行简便计算和解决实际问题。 多以填空、选择、解决问题形式出现，考查对规律的理解和应用能力。 有余数的除法关系： 在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数之间的关系，即被除数=商×除数+余数。 掌握有余数除法中各部分的关系，能根据已知条件求出未知量。 常以填空、解决问题形式出现，考查对关系式的理解和运用。 知识点01：口算除法 1.整十数除整十数的口算： （1）方法1（想乘法算除法）： 例如，80 ÷ 20 = ？ 想：20 × (4) = 80，所以 80 ÷ 20 = 4。 （2）方法2（利用表内除法）： 例如，80 ÷ 20 = ？ 把80看作8个十，20看作2个十，8个十 ÷ 2个十 = 4，所以 80 ÷ 20 = 4。 2.整十数除几百几十数的口算： （1）方法类似： 例如，150 ÷ 30 = ？ 想：30 × (5) = 150，所以 150 ÷ 30 = 5。 或 15个十 ÷ 3个十 = 5。 3.两位数除两位数（能整除，且商是一位数）的估算： （1）方法： 把被除数和除数都看作与它们接近的整十数，再口算出结果。 （2）例如，83 ÷ 20 ≈ ？ 83 ≈ 80，80 ÷ 20 = 4，所以 83 ÷ 20 ≈ 4。 （3）又如，80 ÷ 19 ≈ ？ 19 ≈ 20，80 ÷ 20 = 4，所以 80 ÷ 19 ≈ 4。 4.两位数除几百几十数（能整除，且商是一位数）的估算： （1）例如，122 ÷ 30 ≈ ？ 122 ≈ 120，120 ÷ 30 = 4，所以 122 ÷ 30 ≈ 4。 （2）又如，120 ÷ 28 ≈ ？ 28 ≈ 30，120 ÷ 30 = 4，所以 120 ÷ 28 ≈ 4。 知识点02：笔算除法（一）—商是一位数（用“四舍五入”法试商） 1.计算法则核心步骤： “四舍五入”法试商、调商、除的顺序、商的书写位置、余数处理。 2.用“四舍”法试商（除数的个位是1、2、3、4）： （1）步骤： ①把除数看作和它接近的整十数。 ②用口算除法的方法试商。 ③用试得的商和原来的除数相乘，看够不够减，余数是否比除数小。 ④如果商大了（乘积大于被除数），就把商调小1再试；如果商正好或余数小于除数，就确定商。 （2）例如：84 ÷ 21 = ？ 把21看作20试商，84 ÷ 20想商4。21 × 4 = 84，正好，所以商4。 （3）例如：197 ÷ 39 = ？ 把39看作40试商，197 ÷ 40想商4。39 × 4 = 156，197 - 156 = 41。余数41比除数39大，说明商小了，改商5。39 × 5 = 195，197 - 195 = 2，余数2 < 39，所以商5。 3.用“五入”法试商（除数的个位是5、6、7、8、9）： （1）步骤： 同上。 （2）例如：178 ÷ 36 = ？ 把36看作40试商，178 ÷ 40想商4。36 × 4 = 144，178 - 144 = 34。余数34 < 36，商4合适。 （3）例如：270 ÷ 38 = ？ 把38看作40试商，270 ÷ 40想商6。38 × 6 = 228，270 - 228 = 42。余数42 > 38，商小了，改商7。38 × 7 = 266，270 - 266 = 4，余数4 < 38，所以商7。 知识点03：笔算除法（二）—商是两位数 1.商是两位数的判断： 被除数的前两位大于或等于除数，商是两位数。 2.计算步骤： （1）除： 先用除数去除被除数的前两位。 （2）商： 商写在被除数的十位上面。 （3）乘： 商和除数相乘，积写在被除数前两位的下面。 （4）减： 从被除数的前两位中减去乘积，看余数是否比除数小。 （5）比： 比较余数和除数的大小。 （6）落： 把被除数个位上的数落下来，和十位上的余数合在一起，再继续除。 （7）重复： 重复以上步骤，商写在被除数的个位上面。 （8）注意： 每次除得的余数必须比除数小。 知识点04：商的变化规律 1.规律一： 除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。 （1）例如：16 ÷ 8 = 2 ①160 ÷ 8 = 20 （被除数×10，除数不变，商×10） ②16 ÷ 8 = 2 ③8 ÷ 8 = 1 （被除数÷2，除数不变，商÷2） 2.规律二： 被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。 （1）例如：160 ÷ 8 = 20 ①160 ÷ 16 = 10 （除数×2，被除数不变，商÷2） ②160 ÷ 8 = 20 ③160 ÷ 4 = 40 （除数÷2，被除数不变，商×2） 3.规律三（商不变的性质）： 被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。 （1）例如：80 ÷ 20 = 4 ①(80 × 2) ÷ (20 × 2) = 160 ÷ 40 = 4 ②(80 ÷ 10) ÷ (20 ÷ 10) = 8 ÷ 2 = 4 （2）应用： 可以利用商不变的性质进行简便计算（主要是被除数和除数末尾都有0的情况）。 ①例如：630 ÷ 70 = (630 ÷ 10) ÷ (70 ÷ 10) = 63 ÷ 7 = 9 知识点05：解决实际问题 1.常见数量关系： （1）总价 ÷ 单价 = 数量 （2）路程 ÷ 速度 = 时间 （3）工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 （4）总产量 ÷ 单产量 = 数量 （5）（这些关系在具体问题中灵活运用，有时会需要乘法） 2.“进一法”和“去尾法”的应用： （1）进一法： 在解决实际问题时，即使剩下的不多，不够一份，也要向前一位进一。 （2）去尾法： 在解决实际问题时，即使剩下的部分够一份，也不能算一份，要舍去。 3.估算解决问题： （1）题目中出现“大约”、“估一估”等词语时，或不需要精确结果时，可以用估算。 （2）估算时要根据实际情况选择合适的估算方法（往大估、往小估或四舍五入）。 题型一 除数是整十数的口算除法 【例1】（24-25四年级上·河北保定·期末）直接写得数。 300×50＝     7200÷800＝      613＋77＝        630÷（30×3）＝ 502×21≈     212÷69≈      72万－48万＝       475－15×5＝ 【答案】15000；9；690；7；10000；3；24万；400 【变式】（24-25四年级上·安徽淮南·期末）爸爸步行的速度是3千米/时，妈妈步行的速度是50米/分，他们的步行速度哪个快？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．同样快 【答案】C 【思路引导】比较两人的步行速度，需统一单位。将爸爸的速度3千米/时转换为以“米/分”为单位的数，1千米＝1000米，1时＝60分，用3×1000÷60即可，然后再与妈妈的50米/分比较。 【规范解答】3×1000÷60 ＝3000÷60 ＝50（米/分） 50＝50 所以，他们的步行速度同样快。 故答案为：C 题型二 除数是两位数的估算 【例2】（24-25四年级上·福建厦门·期末）2025国际工业自动化及机器人展将在上海举行，吸引全球各大自动化品牌参展。李叔叔从厦门开小轿车到上海参展，厦门到上海的距离约为1100千米。 （1）李叔叔以100千米/小时的速度行了3小时后，到达某服务区。如图所示，该服务区的位置大约在（    ）号。 （2）休息后，李叔叔从该服务区继续出发，在不违反交通规则的情况下，李叔叔最快再过7小时可以到达上海吗？请说明你的理由。 【答案】（1）② （2）可以到达；理由见详解 【思路引导】（1）由题意得，李叔叔以100千米/小时的速度行了3小时，路程＝速度×时间，那么直接用100乘3算出李叔叔3小时行驶的路程。然后再用1100除以3小时行驶的路程算出1100里面大约有几个这样的路程，据此推算出服务区大概的位置。 （2）由题意得，高速上的最快限速为120千米/小时。可以先用1100减去3小时行驶的路程算出剩下的路程，然后再用120乘上7算出李叔叔7小时最多可以行驶的路程。最后把两者作比较即可解答。 再根据时间＝路程÷最大速度，即可解答。 【规范解答】（1）100×3＝300（千米） 1100÷300≈4 答：该服务区的位置大约在②号。 （2）1100－300＝800（千米） 7×120＝840（千米） 840＞800 答：李叔叔最快再过7小时可以到达上海。 【变式】（24-25四年级上·河北邯郸·期末）直接写得数。 90÷30＝        73－54＝          80×120＝          80÷16＝ 67×2＝      13×50＝          240÷60＝          632÷90≈ 【答案】3；19；9600；5 134；650；4；7 题型三 除数是整十数的笔算除法 【例3】（24-25四年级上·河南许昌·期末）一辆摩托车和一辆小汽车分别从相距320千米的甲乙两地相向而行，已知摩托车从甲地出发一段时间后小汽车才从乙地出发，摩托车每小时行驶50千米，小汽车每小时行驶85千米，小汽车行驶了2小时后两车相遇，相遇时摩托车行驶了多少小时？ 【答案】3小时 【思路引导】小汽车每小时行驶85千米，行驶了2小时，根据路程＝速度×时间，可得小汽车行驶的距离为85×2＝170（千米），又因甲、乙两地相距320千米，小汽车行驶了170千米，所以摩托车行驶的距离为320－170＝150（千米），然后根据时间＝路程÷速度，用摩托车行驶的距离除以摩托车每小时行驶的距离，即可得到相遇时摩托车行驶了多少小时。 【规范解答】320－85×2 ＝320－170 ＝150（千米） 150÷50＝3（小时） 答：相遇时摩托车行驶了3小时。 【变式】（24-25四年级上·河南许昌·期末）括号里最大能填几？ 80×( )＜567     ( )21÷48，商是一位数 4( )0000＜452007        27( )999≈27万 【答案】 7 4 5 4 【思路引导】要求乘法算式中，括号里最大能填几，可以用小于号（大于号）开口所对的那个数除以乘法算式中的乘数，如果有余数，所得的商便是能填的最大数，如果没有余数，所得的商减1便是能填的最大数，据此用567÷80即可； 三位数除以两位数，如果被除数的前两位大于等于除数，商是两位数，如果被除数的前两位小于除数，则商是一位数； 整数比较大小，首先看位数，位数多的这个数就大，如果位数相同，就比较最高位，最高位大的这个数就大，如果最高位相等就比较最高位的下一位，依此类推； 一个数估算成以“万”为单位的数，首先看千位，如果千位大于等于5，则向前一位进一后再省略，如果千位数小于5则直接省略，然后再在数的后面写上“万”字， 27（      ）999≈27万，万位上的数没变，说明括号内的数应该小于5，小于5最大的整数是4，据此解题。 【规范解答】567÷80＝7……7；所以80×7＜567； 421÷48，商是一位数； 450000＜452007； 274999≈27万。 题型四 除数是两位数的笔算除法 【例4】（24-25四年级上·陕西安康·期中）列竖式计算。（带※的要验算） 134×57＝           305×52＝          860×90＝ ※840÷24＝         612÷18＝          ※672÷48＝ 【答案】7638；15860；77400； 35；34；14 【思路引导】这道题目主要是三位数乘两位数的乘法计算和除数是两位数的除法计算。三位数乘两位数的计算方法：先用两位数的个位去乘三位数，积的末尾与个位对齐，再用两位数的十位去乘三位数，积的末尾与十位对齐，最后把两次乘得的积相加。如果因数的末尾有0，可以先把0前面的数字相乘，再在积的末尾添上0，添0的个数是两个因数末尾所有的0的个数。除数是两位数的计算方法：从最高位除起，先看被除数的前两位，如果前两位不够除要看前三位，除到哪位商就写到那位，每次除得的余数都要比除数小。据此解答。 【规范解答】134×57＝7638       305×52＝15860              860×90＝77400             ※840÷24＝35            612÷18＝34     ※672÷48＝14 验算：      验算： 【变式】（25-26四年级上·全国·单元测试）某干果店运进一批坚果，销售方案如下表。 销售方案1 1斤装 每斤28元 销售方案2 2斤装 一盒每盒55元 为了刺激顾客消费，该干果店调整了销售方案2，增加了“买两盒赠一斤”的优惠。某公司为了庆祝中秋节，要用500元钱去购买坚果，请你算算，按调整后的销售方案2购买，能买多少斤？比按销售方案1购买多买多少斤？ 【答案】22斤；5斤 【思路引导】方案1：总钱数÷每斤的钱数＝买的斤数……余下的钱数； 方案2：总钱数÷每盒的钱数＝买的盒数……余下的钱数；买的盒数×2＋赠送的斤数＝购买的斤数。 方案2买的斤数－方案1买的斤数＝多买的斤数。据此解答。 【规范解答】方案1： 500÷28＝17（斤）……24（元） 方案2： 500÷55＝9（盒）……5（元） 买两盒赠一斤，买9盒赠4斤， 9×2＋4＝22（斤） 多购买：22－17＝5（斤） 答：按调整后的销售方案2购买，能买22斤；比按销售方案1购买多买5斤。 题型五 多位数除以两位数的试商 【例5】（24-25四年级上·贵州安顺·期末）计算460÷39时，可以把除数看成 来试商，商是 位数。 【答案】 40 两 【思路引导】首先把除数利用“四舍五入法”看作与它接近的整十数进行试商，确定商的位数时，如果被除数的前两位比除数大，则商就是两位数；反之，商就是一位数，据此解答。 【规范解答】39≈40 被除数的前两位46＞40，所以计算460÷39时，可以把除数看成40来试商，商是两位数。 【变式】（24-25四年级上·贵州黔东南·期末）计算357÷52时，把52看成( )来试商，商是( )，商偏( )（填“大”或“小”），调商( )，余数是( )。 【答案】 50 7 大 6 45 【思路引导】除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近的整十数来试商。根据被除数÷除数＝商，被除数不变，除数变小，则商会偏大，试算后把商调小。 【规范解答】357÷52＝6……45 计算357÷52时，把52看成（50）来试商，商是（7），商偏（大）（填“大”或“小”），调商（6），余数是（45）。 题型六 判断商是几位数（除数是两位数） 【例6】（24-25四年级上·河南漯河·期末）要使□的商是两位数，□里的数有（    ）种填法。（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】A 【思路引导】根据题意，三位数除以两位数，要使商是一位数，那么被除数百位、十位上的数合起来要小于除数；要使商是两位数，那么被除数百位、十位上的数合起来要等于或大于除数，依此填空。 【规范解答】根据分析可知： □57÷62，要使商是两位数，即□5≥62，□里可以填6、7、8、9，有4种填法。 故答案为：A 【变式】（24-25四年级上·新疆乌鲁木齐·期末）在3□4÷33中，如果商是一位数，□里最大填( )；如果商是两位数，□里最小填( )。 【答案】 2 3 【思路引导】根据除法算式中商的位数判断方法，当三位数除以两位数，如果被除数的前两位大于或等于除数，则前两位够除，商的最高位在十位，则商是两位数；如果被除数的前两位小于除数，则前两位不够除，要看前三位，商的最高位在个位，则商是一位数；据此作答。 【规范解答】要使3□4÷33的商是一位数，则3□＜33，因十位3相同，则个位□＜3，所以□里最大填2； 要使3□4÷33的商是两位数，则3□大于或等于33，因十位3相同，则个位□应大于或等于3，所以□里最小填3； 324÷33＝9……27 334÷33＝10……4 所以，在3□4÷33中，如果商是一位数，□里最大填2；如果商是两位数，□里最小填3。 题型七 单归一问题 【例7】（24-25四年级上·湖南益阳·期末）大国工匠袁隆平是我国著名的杂交水稻专家，也是我国研究与发展杂交水稻的开创者，被誉为“杂交水稻之父”。他指导的海南杂交水稻试验田18公顷产量约288吨。某小型基地有24公顷这样的水稻试验田，其产量约是多少吨？ 【答案】384吨 【思路引导】由题干可知，18公顷产量约288吨，用总吨数除以公顷数，据此计算出每公顷产量约多少吨，然后将所得的结果乘24，据此可求出24公顷这样的水稻试验田产量约是多少吨。 【规范解答】288÷18×24 ＝16×24 ＝384（吨） 答：其产量约是384吨。 【变式】（24-25四年级上·贵州黔南·期末）5G技术加快了贵州数字经济的步伐。5G具有高速率、低时延等特征。运用5G网络，15秒可下载1380兆文件，按照这样的速度，妈妈下载一份文件用时9秒，这份文件有多少兆？ 【答案】828兆 【思路引导】根据题意，15秒可下载1380兆文件，先用1380÷15求出每秒可下载多少兆文件，再乘妈妈下载这份文件用的秒数，即可求出这份文件有多少兆。 【规范解答】1380÷15×9 ＝92×9 ＝828（兆） 答：这份文件有828兆。 题型八 双归一问题 【例8】（23-24四年级上·陕西安康·期末）四（1）班同学们保护环境，利用课余时间收集废旧电池，21名同学两周共收集了882节废旧电池，平均每人每天收集（    ）节废旧电池。 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路引导】用废旧电池总数量除以2，求出这些同学平均一周收集废旧电池数量，再除以7，求出这些同学平均每天收集废旧电池数量。再除以人数，求出平均每人每天收集废旧电池数量。 【规范解答】882÷2÷7÷21 ＝441÷7÷21 ＝63÷21 ＝3（节） 平均每人每天收集3节废旧电池。 故答案为：C 【变式】（23-24四年级上·湖北黄冈·期末）四年级在向流动图书馆捐赠活动中，共捐赠了900本图书，要把这些图书25本装一捆，6捆装一箱，一共需要装多少个箱子？ 【答案】6个 【思路引导】解法一：用总共捐赠的图书数量除以每捆装的图书数量，求出一共可以装的捆数，再除以每箱装的捆数，即可求出需要装的箱数。 解法二：用每箱装的捆数乘每捆装的图书数量，求出每箱装的图书数量，再用总共的图书数量除以每箱装的图书数量，即可求出需要装的箱数。 【规范解答】解法一：900÷25÷6 ＝36÷6 ＝6（个） 解法二：900÷（25×6） ＝900÷150 ＝6（个） 答：一共需要装6个箱子。 题型九 归总问题 【例9】．（24-25四年级上·安徽芜湖·期末）王叔叔从县城出发去王庄镇送化肥。去时的速度是42千米/时，用了4小时。回来时原路返回，用了3小时，回来时的速度是多少？ 【答案】56千米/时 【思路引导】根据路程＝速度×时间，先用42乘4求出县城到王庄镇的距离，再用这个距离除以3即可求解。 【规范解答】42×4÷3 ＝168÷3 ＝56（千米/时） 答：回来时的速度是56千米/时。 【变式】（24-25四年级上·湖南株洲·期末）小明从图书馆借了一本科幻小说，计划平均每天看28页，27天可以看完。如果想在免费借阅时间内看完，那么平均每天需要看多少页？ 图书室逾期费用收取标准 每本图书免费借阅时间为三周（21天），超时按每本0.1元/天收取逾期费用。 【答案】 36页 【思路引导】根据题意，用计划平均每天看书页数乘计划看书天数，求出这本故事书的总页数。根据题意可知，免费借阅时间是21天。则用这本故事书的总页数除以21天，求出实际平均每天需要看书页数。列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 28×27÷21 ＝756÷21 ＝36（页） 答：平均每天需要看36页。 题型十 商的变化规律及应用 【例10】（23-24四年级上·湖南张家界·期末）两个数相除，商是23，如果在被除数和除数的末尾都添上两个0，商( )；如果被除数扩大到原来的10倍，除数不变，商( )。 【答案】 23 230 【思路引导】在被除数和除数的末尾都添上两个0，即被除数和除数同时乘100。根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。因此，商仍然是23。 被除数扩大到原来的10倍（即被除数乘10），除数不变。根据商的变化规律，被除数乘10，除数不变，商也乘10。因此，商变为23×10＝230。 【规范解答】根据分析可知： 两个数相除，商是23，如果在被除数和除数的末尾都添上两个0，商23；如果被除数扩大到原来的10倍，除数不变，商230。 【变式】（25-26四年级上·广东·期末）（1）已知算式23×5＝115，那么230×5＝ ；23× ＝11500。 （2）已知算式504÷42＝12，那么504÷84＝ ；252÷ ＝12。 【答案】 1150 500 6 21 【思路引导】（1）根据积的变化规律，一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数不变，积也扩大到原来的10倍；一个因数不变，另一个因数扩大到原来的100倍，积也扩大到原来的100倍，据此填空即可。 （2）被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几；被除数和除数乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。对比算式504÷42＝12和算式504÷84可知，被除数不变，42×2＝84，除数乘2，商应该除以2。对比算式504÷42＝12和算式252÷（ ）＝12可知，商不变，被除数和除数都应该乘或除以相同的数。504÷2＝252，即被除数除以2，那么除数也应该除以2。 【规范解答】（1）因为23×10＝230，所以115×10＝1150，即230×5＝1150； 因为115×100＝11500，所以5×100＝500，即23×500＝11500。 已知算式23×5＝115，那么230×5＝1150；23×500＝11500。 （2）因为42×2＝84，所以12÷2＝6，即504÷84＝6。 因为504÷2＝252，所以42÷2＝21，即252÷21＝12。 已知算式504÷42＝12，那么504÷84＝6，252÷21＝12。 题型十一 商不变的规律及应用 【例11】（24-25四年级上·新疆乌鲁木齐·期末）小明在用计算器计算97500÷150时，错误地输入了9750÷150，除了按清除键清除后再重新输入外，下列操作（    ）也可以弥补错误。 A．÷10 B．×10 C．×100 【答案】B 【思路引导】根据商不变的规律，商不变时，被除数乘（或除以）几（0除以），除数也要同时除以（或乘）相同的数，据此解答。 【规范解答】根据商不变的规律，97500÷10＝9750，也就是小明按计算机时将被除数少输了个0，也就是被除数除以10，那么要使商不变，除数要乘10，即需要再乘10也可以弥补错误。 故答案为：B 【变式】（24-25四年级上·贵州黔西·期末）490÷30＝16……10，如果被除数和除数同时乘10，余数是（    ）。 A．1 B．10 C．100 D．1000 【答案】C 【思路引导】商不变的性质及其余数的变化规律：被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变，余数也要乘（或除以）相同的数，据此解答即可。 【规范解答】490÷30＝16……10，如果被除数和除数同时乘10，商不变，但是余数也要乘10，即10×10＝100，余数是100。 故答案为：C 题型十二 相遇问题 【例12】（24-25四年级上·山东临沂·期末）甲、乙两人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇。如果两人的速度各增加1千米/时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。甲、乙两人原来的速度各是多少？ 【答案】甲6千米/时或4千米/时；乙4千米/时或6千米/时 【思路引导】由题意得，甲、乙两人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇，根据“路程÷相遇时间＝速度和”，用60除以6算出两人的速度之和； 如果两人的速度各增加1千米/时，那么两人的速度和会增加2千米/时，根据“路程÷速度和＝相遇时间”，用60千米除以现在的速度计算出两人走几个小时后相遇。 速度增加后，相遇地点距前一次相遇地点1千米，说明甲（或乙）走的路程比原来多走了1千米；根据路程差、速度差和时间差推算出甲的速度，最后再用速度之和减去甲（或乙）的速度算出乙（或甲）的速度。 【规范解答】60÷6＝10（千米/时） 60÷（10＋2） ＝60÷12 ＝5（小时） 甲：（1＋5×1）÷（6－5） ＝（1＋5）÷1 ＝6÷1 ＝6（千米/时） 乙：10－6＝4（千米/时） 答：甲的速度是6千米/时或4千米/时，乙的速度是4千米/时或6千米/时。 【变式】（24-25四年级上·浙江杭州·期末）A、B两城相距560千米，甲、乙两车同时分别从A、B两城相对开出，甲车每小时行65千米，乙车每小时行75千米。几小时后两车相遇？ 【答案】4小时 【思路引导】由题干可知，甲、乙两车相对开出，甲车每小时行65千米，乙车每小时行75千米，先求出速度之和，然后用总路程除以速度之和，即可求出相遇时间。 【规范解答】560÷（65＋75） ＝560÷140 ＝4（小时） 答：4小时后两车相遇。 题型十三 追及问题 【例13】．（22-23四年级上·福建厦门·期末）10月1日，聪聪全家要跟旅行团到广州旅游，聪聪要先到学校参加升旗仪式后才能出发。爷爷奶奶先乘坐大巴车以平均每小时76千米的速度从厦门出发，沿着沈海高速公路开往广州，2小时后，爸爸载着聪聪以平均每小时114千米的速度从厦门出发，沿着同一路线追赶，几小时后能追上？（两车均未到达广州） 【答案】4小时 【思路引导】每小时76千米的速度乘2小时计算出路程差，再用每小时114千米减去每小时76千米求出两种车的速度差，再计算出追赶的时间：路程差÷速度差＝追及时间；据此解答。 【规范解答】76×2÷（114－76） ＝152÷38 ＝4（小时） 答：4小时后能追上。 【考点剖析】本题考查的是追及问题的计算方法，以及除数是两位数的除法计算的实际应用。 【变式】（20-21四年级上·全国·期末）快车和慢车从甲地开往乙地，快车每小时行60千米，慢车每小时行30千米。如果慢车比快车早出发3小时，当快车追上慢车时，快车行了多远？ 【答案】180千米 【思路引导】先根据路程＝速度×时间，求出慢车3小时行驶的路程。快车每小时行60千米，慢车每小时行30千米，则快车每小时比慢车多行驶60－30千米。根据时间＝路程÷速度，求出快车追上慢车时行驶的时间。再根据路程＝速度×时间解答即可。 【规范解答】30×3÷（60－30） ＝30×3÷30 ＝90÷30 ＝3（小时） 60×3＝180（千米） 答：快车行了180千米。 【考点剖析】本题考查追击问题。追及路程就是慢车3小时所行驶的路程，而追及时间＝追及路程÷速度差。快车追上慢车时所用的时间就是追及时间。 题型十四 火车过桥问题 【例14】（24-25四年级上·浙江杭州·期末）一列火车长234米，以26米/秒的速度向前行驶，这列火车通过一座长676米的桥梁需要多长时间？ 【答案】35秒 【思路引导】从火车头上桥到车尾离桥所用的时间就是全车通过这座桥所用的时间，火车通过的路程正好是桥长加火车长，时间＝路程÷速度；据此解答。 【规范解答】（234＋676）÷26 ＝910÷26 ＝35（秒） 答：这列火车通过一座长676米的桥梁需要35秒。 【变式】（20-21四年级上·四川自贡·期末）一列火车通过米的大桥需要秒，以同样的速度穿过米长的隧道需要秒，这列火车的速度是每秒 米，车身长 米。 【答案】 18 240 【思路引导】通过480米的大桥比穿过300米长的隧道多走了480－300＝180（米），多用了40－30＝10（秒），通过路程除以时间可得出速度；火车过桥或者隧道路程均为桥（隧道）长加上车身长度，用火车过大桥所用的时间乘它的速度减去桥长，就是车身长。 【规范解答】火车的速度是： （米/秒） 车身长是：18×40－480 ＝720－480 ＝240（米） 一列火车通过米的大桥需要秒，以同样的速度穿过米长的隧道需要秒，这列火车的速度是每秒18米，车身长240米。 【考点剖析】此题属于列车过桥问题，此题解答的关键：火车过桥或者山洞路程均为桥（山洞）长加上车身长度。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25四年级上·浙江台州·期末）明明在解决“有183本故事书，每个班分13本，可以分给几个班？”时列了图的竖式，竖式中箭头所指的数表示的是（    ）。 A．1个班分掉13本 B．10个班分掉13本 C．1个班分掉130本 D．10个班分掉130本 【答案】D 【思路引导】根据题意，竖式中商“1”在十位上，表示1个十，即10个班级，除数13表示的是每份的数量，箭头所指处是13与10的乘积，即表示10个班级分走故事书数量，据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 10个班级分走的故事书数量是：13×10＝130（本） 因此，箭头所指的数表示的是10个班分掉130本。 故答案为：D 2．（25-26四年级上·广东·期末）已知■÷●＝6，如果■和●同时扩大到原来的10倍，则商的变化是（    ）。 A．扩大到原来的100倍 B．缩小到原来商的 C．大小不变 D．扩大到原来的10倍 【答案】C 【思路引导】根据商不变的规律解答：在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 【规范解答】已知■÷●＝6，如果■和●同时扩大到原来的10倍，即被除数和除数同时乘10，则商的大小不变。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·河北张家口·期末）在试商时，如果余数比除数大，那么应把商（    ）。 A．不变 B．调小 C．调大 D．不确定 【答案】C 【思路引导】在除数是两位数的除法计算中，先试商，当余数比除数大时，说明商的这个数偏小，应将其调大，直到商使得余数比除数小，或者没有余数时，说明商对了。 【规范解答】由分析知：如果余数比除数大，说明商小了，应将商调大。 故答案为：C 4．（24-25四年级上·贵州遵义·期末）书籍是人类智慧的源泉，也是人类进步的阶梯。蓝天小学为深入开展“书香校园”读书节活动，新购进了336本课外书。王老师要把这些书摆放在书架上，每个书架有6层，每层能放25本书。336÷25÷6解决的问题是（    ）。 A．平均每层书架上放多少本书？ B．需要多少个这样的书架？ C．平均每个书架放多少本书？ D．一共放多少层？ 【答案】B 【思路引导】根据题意，336÷25表示按照每层放25本书的标准，336本书总共可以放多少层。再除以6，因为每个书架有6层，所以336÷25÷6表示的是336本书按照每个书架6层，每层25本的放置方式，需要多少个这样的书架。 【规范解答】由分析知：336÷25÷6解决的问题是需要多少个这样的书架？ 故答案为：B 5．（24-25四年级上·湖南株洲·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 200公顷( )20平方千米   520－13( )800÷16   123560000( )98070000 【答案】 ＜ ＞ ＞ 【思路引导】1平方千米＝100公顷，据此将200公顷换算成2平方千米，据此再与20平方千米比较即可； 分别计算出520－13和800÷16的结果后再比较即可； 大数的比较，首先比较位数，位数多的这个数就大，如果位数相同，就比较最高位，最高位大的这个数就大，最高位相同，就比较下一位，依此类推；据此比较123560000和98070000的大小。 【规范解答】200公顷＝2平方千米；2＜20，所以200公顷＜20平方千米； 520－13＝507；800÷16＝50；507＞50，所以520－13＞800÷16； 123560000＞98070000。 6．（24-25四年级上·青海果洛·月考）要使□66÷62的商是一位数，□里最大填( )；要使4□8÷46的商是两位数，□里最小填( )。 【答案】 5 6 【思路引导】三位数除以两位数，要使商是一位数，那么被除数百位、十位上的数合起来要小于除数；要使商是两位数，那么被除数百位、十位上的数合起来要等于或大于除数；依此填空。 【规范解答】要使□66÷62的商是一位数，则□6小于62，□里填1、2、3、4、5，□里最大填5。 要使4□8÷46的商是两位数，则4□大于或等于46，□里填6、7、8、9，□里最小填6。 7．（24-25四年级上·河北保定·期末）计算587÷48，把48看作50来试商，初商偏小。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】三位数除以两位数：把除数看作和它接近的整十数试商，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数，除数看小了，初商偏大要调小，除数看大了，初商偏小要调大。 【规范解答】计算587÷48，把48看作50来试商，50＞48，除数看大了，初商偏小要调大。原说法正确。 故答案为：√ 8．（25-26四年级上·广东广州·期末）直接写出得数。 50×20＝    110×30＝    15×30＝    84÷4＝ 105×4＝    320÷80＝    492÷70≈    320÷79≈ 【答案】1000；3300；450；21 420；4；7；4 9．（23-24四年级下·山东日照·期末）“泥塑”又称“彩槊”，是中国古老的民间艺术。某泥塑制造厂接到制作5000枚彩塑鸡蛋的订单。如果每盘放24枚彩蛋，每箱可以放4盘。工厂准备50个箱子够用吗？ 【答案】不够 【思路引导】根据题意，可以用每盘放鸡蛋的枚数乘盘数就是一箱可以放多少个鸡蛋。再用总枚数5000除以每箱装多少个鸡蛋，就是可以装几箱，再与50比较看够不够。 【规范解答】4×24＝96（枚） 5000÷96＝52（个）……8（枚） 52＞50 答：50个箱子不够用。 10．（24-25四年级上·广西柳州·期末）中国古代陆地的交通工具主要为马匹，据说千里马可“日行千里，夜行八百”，即白天能行走一千里（约是现在的500千米），晚上能行八百里（约是现在的400千米）。 （1）古代的千里马速度约是30千米/时，白天按12小时计算，它真能“日行千里”吗？ （2）随着科技发展，古代的“千里马”被现代的很多交通工具替代。先选择一种交通工具（在表中圈出来），再算一算其“行千里”需要多长时间？ 交通工具 速度 50千米/时 100千米/时 250千米/时 【答案】（1）不能 （2）见详解 【思路引导】（1）速度×时间＝路程，用千里马的速度乘12小时，算出它行驶的路程。再与500千米比较，据此解答。 （2）路程÷速度＝时间，选择一种交通工具，用500千米除以这种交通工具的速度，就知道需要几小时。 【规范解答】（1）30×12＝360（千米） 360＜500 答：它不能“日行千里”。 （2）（答案不唯一）选择交通工具如下： 交通工具 速度 50千米/时 100千米/时 250千米/时 500÷50＝10（小时） 答：摩托车“行千里”需要10小时。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25四年级上·湖南株洲·期末）计算288÷32时，把除数看作30来试商，商可能会（    ）。 A．正好 B．偏小 C．偏大 【答案】C 【思路引导】除数是两位数的除法试商时，把除数运用四舍五入法看成整十数进行试商，确定初商；根据被除数÷除数＝商可知，在试商时，若把除数看小，那么得到的商可能会偏大；若把除数看大，那么得到的商可能会偏小。 【规范解答】根据分析可知，计算288÷32时，把除数看作30来试商，除数变小了，那么商可能会偏大。 故答案为：C 2．（24-25四年级下·山东济南·期末）山东某历史博物馆推出玉玺交通卡，刘先生用550元购买了21张交通卡，还剩25元。奇奇列式为“（550－25）÷21”，他要解决的问题是（    ）。 A．买21张交通卡用了多少元 B．550元一共能买多少张交通卡 C．剩下的钱还能买多少张交通卡 D．交通卡的单价是多少 【答案】D 【思路引导】根据题意，刘先生用550元购买了21张交通卡，还剩25元。用550－25，求出购买21张交通卡实际花的钱数，再用购买21张交通卡实际花的钱数除以购买交通卡的张数，求出每张交通卡的单价是多少元，列式为（550－25）÷21，据此解答即可。 【规范解答】山东某历史博物馆推出玉玺交通卡，刘先生用550元购买了21张交通卡，还剩25元。奇奇列式为“（550－25）÷21”，他要解决的问题是交通卡的单价是多少。 故答案为：D 3．（24-25四年级下·浙江温州·期末）今年5月8日起，杭温高铁推出“计次·定期票”，从温州北到杭州西买普通票要140元，购买“计次·定期票”30次只需3420元。平均每张票比普通票便宜（    ）元。 A．114 B．36 C．26 D．16 【答案】C 【思路引导】平均每张票比普通票便宜的钱数＝从温州北到杭州西买普通票的单价－购买计次·定期票的总价÷数量。 【规范解答】140－3420÷30 ＝140－114 ＝26（元） 今年5月8日起，杭温高铁推出“计次·定期票”，从温州北到杭州西买普通票要140元，购买“计次·定期票”30次只需3420元。平均每张票比普通票便宜26元。 故答案为：C 4．（25-26四年级上·广东广州·期末）一辆汽车的速度是每小时85千米。照这样的速度，这辆汽车7小时可以行驶( )千米；行驶425千米，需要( )小时。 【答案】 595 5 【思路引导】由题意得，一辆汽车的速度是每小时85千米。速度×时间＝路程，求这辆汽车7小时可以行驶多少千米，直接用85乘7即可解答；求这辆汽车行驶425千米需要多少小时，时间＝路程÷速度，直接用425除以85即可解答。 【规范解答】85×7＝595（千米） 425÷85＝5（小时） 一辆汽车的速度是每小时85千米。照这样的速度，这辆汽车7小时可以行驶595千米；行驶425千米，需要5小时。 5．（25-26四年级上·广东广州·期末）□37÷37，要使商是两位数，□里最小填 ；要使商是一位数，□里最大填 。 【答案】 4 3 【思路引导】要使□37÷37的商是两位数，则被除数前两位上的数大于等于除数，□3大于等于37，□里的数要大于3，最小填4。 要使□37÷37的商是一位数，则被除数前两位上的数小于除数，□3小于37，□里的数要小于等于3，最大填3。 【规范解答】由分析可得：□37÷37，要使商是两位数，□里最小填4。要使商是一位数，□里最大填3。 6．（24-25四年级上·贵州安顺·期末）笔算除法试商时，如果余数比除数大，说明商大了。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】整数除法法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位，每次除得的余数要小于除数；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，每次除得的余数要小于除数，所以笔算除法试商时，如果余数比除数大，说明商小了，应该调大，原说法错误。 故答案为：× 7．（25-26四年级上·广东广州·期末）列竖式计算，带※的要验算。 43×609＝    295×46＝     533÷89＝    ※946÷73＝ 【答案】26187；13570 5……88；12……70 【思路引导】（1）（2）三位数乘两位数的笔算法则：先用两位数的个位分别与三位数的每一位数相乘，乘得的积的末尾和个位对齐。再用两位数的十位分别与三位数的每一位数相乘，乘得的积的末尾和十位对齐。最后，将两次乘得的积相加。 （3）（4）三位数除以两位数的笔算法则：从被除数的最高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，再试除前三位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。求出每一位商，余下的数必须比除数小。验算时，如果没有余数，就用商乘除数看是否等于被除数。如果有余数，就用商乘除数再加上余数看是否等于被除数。 【规范解答】43×609＝26187           295×46＝13570                                    533÷89＝5……88       946÷73＝12……70                       验算： 8．（25-26四年级上·广东广州·期末）幸福村为发展旅游业，决定将一块长方形花田按要求扩大（如下图）。如果长不变，宽增加了24米，扩大后的花田面积是多少？ 下面是两位同学的思考过程，请按要求填空或列式解答。 文文的方法： 360÷12＝30（m） 这一步求的是：( )； 30×（12＋24）＝1080（m2） 这一步求的是：( )； 小晴的方法： 我先算扩大后花田的宽与原来宽之间的倍数关系，再求扩大后的花田面积。 列式计算：( ) 答：( )。 【答案】 原来长方形花田的长 扩大后的花田面积 （24＋12）÷12×360＝1080（平方米） 扩大后的花田面积是1080平方米 【思路引导】根据长方形面积＝ 长×宽，已知原面积和原宽可求长，再结合新的宽求新的面积；也可通过宽的倍数关系直接求新的面积，据此解答。 【规范解答】文文的方法： 1. 第一步：360÷12＝30（米） 这一步求的是：原来长方形花田的长，根据长方形面积公式，长＝面积÷宽。 2. 第二步：30×（12＋24） ＝30×36 ＝1080（平方米） 这一步求的是：扩大后的花田面积，新的宽为12＋24＝36米，长不变仍为30米，根据面积＝长×新宽。 小晴的方法： 1. 先算宽的倍数关系：扩大后的宽是12＋24＝36米，36÷12＝3，即新的宽是原宽的3倍。 2. 再求扩大后的面积：因为长不变，新的宽是原宽的3倍，所以新的面积＝原面积×倍数，列式为： （24＋12）÷12×360 ＝36÷12×360 ＝3×360 ＝1080（平方米） 答：扩大后的花田面积是1080平方米。 9．（25-26四年级上·陕西安康·月考）《九章算术》中有这样一道题：“今有田广十五步，从（zòng）十六步。问为田几何？”答曰：“一亩。”（“步”是古代的长度单位，可借助计算器进行计算） 这道题的意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步。问这块田的面积是多少？”答：“一亩。” （1）若今有长方形田广15步，从160步，则它的面积是多少亩？ （2）若有（1）题中的田地15块，则总面积约是多少公顷？（15亩约为1公顷） 【答案】（1）10亩；（2）10公顷 【思路引导】（1）长方形的面积＝长×宽，宽15步，长16步的田的面积等于1亩，宽不变，长变为160步（即扩大到原来的10倍），根据积的变化规律，现在田的面积应该是原来的10倍，即为10亩，据此即可解答。 （2）1块有10亩，15块就是10×15＝150（亩），15亩约为1公顷，150除以15即为总面积的公顷数，据此即可解答。 【规范解答】（1）根据分析可知，宽15步，长16步的田的面积等于1亩，宽15步，长160步的田的面积是10亩。 （2）10×15÷15 ＝150÷15 ＝10（公顷） 答：总面积约是10公顷。 10．（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）以下是水果店的价格表：苹果每千克9元；香蕉每千克7元；橙子每千克？元（价格未知）。 问题1：小刚买了苹果和香蕉各5千克。买香蕉比买苹果少花多少钱？ 问题2：妈妈买了4千克苹果和6千克橙子，总共支付了126元。每千克橙子多少钱？ 【答案】10元；15元 【思路引导】问题1：用购买的数量乘每种对应水果的价钱，分别计算购买苹果和香蕉的总价，再求两者的差值。 问题2：先用购买苹果的数量乘苹果的价钱，计算出4千克苹果的总价，再用总支付金额减去苹果的总价，得到6千克橙子的总价，再用总价除以购买橙子的数量，即可求出橙子的价钱。 【规范解答】问题1： 5×9－5×7 ＝45－35 ＝10（元） 答：买香蕉比买苹果少花10元。 问题2： （126－4×9）÷6 ＝（126－36）÷6 ＝90÷6 ＝15（元） 答：每千克橙子15元。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23四年级上·河北廊坊·期末）某品牌免洗抑菌洗手液一瓶50元，买5瓶送1瓶，750元最多可以买（    ）瓶。 A．16 B．18 C．50 【答案】B 【思路引导】总价÷单价＝数量，先求出750元能买多少瓶，再求买的数量里有几组5，就是能送几瓶；最后把买的和送的数量相加即可。 【规范解答】根据分析：750÷50＝15（瓶），15÷5＝3（组），3×1＝3（瓶），15＋3＝18（瓶），所以750元最多可以买18瓶。 故答案为：B 【考点剖析】此题的关键是先分别求出买的和送的数量，然后再进一步解答。 2．（22-23四年级上·河北廊坊·期末）工厂有552千克消毒液，每天使用12千克，这批消毒液可以使用多少天？小米用图中笔算的方法计算了552÷12的结果，下图方框中的“48”表示的是（    ）。 A．4天使用了48千克消毒液 B．40天使用了48千克消毒液 C．40天使用了480千克消毒液 【答案】C 【思路引导】除数是两位数，先用被除数的前两位除以除数，那么可以看作是550÷12，商4在十位，表示40天；12是一天使用的千克数，方框中的“48”表示480，是12×40的结果；据此解答。 【规范解答】根据分析：商4表示40天，12×40＝480（千克），表示40天一共使用了480千克消毒液。 故答案为：C 【考点剖析】掌握除数是两位数的计算方法是解答本题的关键。 3．（22-23四年级上·湖南娄底·期末）下面的动物中，奔跑的速度最快的（    ）。 A．跳羚每分钟跑1440米 B．长颈鹿3分钟跑3千米 C．鸵鸟奔跑速度是60千米/时 D．猎豹每秒可以跑34米 【答案】D 【思路引导】根据速度＝路程÷时间，1千米＝1000米，1时＝60分，1分＝60秒，转换单位后分别求出长颈鹿、鸵鸟和猎豹平均每分钟的速度，然后进行比较即可。 【规范解答】根据分析： A．跳羚速度是每分钟跑1440米； B．3千米＝3000米，3000÷3＝1000（米/分），长颈鹿速度是每分钟跑1000米； C．60千米＝60000米，1时＝60分，60000÷60＝1000（米/分），鸵鸟奔跑速度是每分钟1000米； D．34×60＝2040（米/分），猎豹每分钟可以跑2040米； 2040＞1440＞1000，所以奔跑速度最快的猎豹。 故答案为：D 【考点剖析】此题考查的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用。 4．（22-23四年级上·浙江宁波·期末）图中除法竖式的除数是( )，被除数是( )。 【答案】 52 433 【思路引导】商为7时余数为69，商为8时余数为17，用（69－17）即可求出除数，再用商乘除数加余数求出被除数；据此解答。 【规范解答】根据分析： ①69－17＝52，所以图中除法竖式的除数是52； ②52×8＋17 ＝416＋17 ＝433 所以被除数是433。 【考点剖析】掌握有余数的除法计算是解答本题的关键。 5．（21-22四年级上·广东汕头·期末）如果A÷B＝5，那么B除以2，A乘6后结果是( )。 【答案】60 【思路引导】根据商的变化规律，假设除数不变，被除数A扩大到原数的6倍，那么商也会扩大到原数的6倍，也就是5先乘6；假设被除数不变，除数B除以2，商反而需要乘2；所以商5需要先乘6，再乘2；据此计算结果。 【规范解答】根据分析：5×6×2＝60；那么B除以2，A乘6后结果是60。 【考点剖析】本题主要考查的是商的变化规律的灵活运用。 6．用竖式计算，带★的要验算。 ★234×16＝     ★792÷36＝ 108×25＝      612÷18＝            520÷89＝ 【答案】3744；22 2700；34；5……75 【思路引导】（1）（3）三位数乘两位数的笔算：用两位数的个位和十位分别去乘三位数的每一位，用哪一位去乘，乘得的积的末尾就和那一位对齐，最后再把几次乘得的积相加。验算时，可交换两个因数的位置再算一次即可。 （2）（4）（5）整数除法的计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面；如果哪一位上不够商1，要补“0”占位；每次除得的余数要小于除数；除法的验算方法是：商×除数＝被除数。 【规范解答】（1）★234×16＝3744                   （2）★792÷36＝22 验算：        验算： （3）108×25＝2700     （4）612÷18＝34     （5）520÷89＝5……75                      7．（25-26四年级上·全国·单元测试）小胖在除法时不当心把除数十位上的“3”写成“8”，被除数百位上的“6”写成了“9”，个位上的“7”写成了“4”，得到了错误的结果“12”，你能帮助他提出正确的答案吗？ 【答案】算式见详解； 【思路引导】根据除数是两位数的除法计算方法：先用除数去试除被除数的前两位数；如果前两位比除数小，再除前三位数；除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面，余数必须比除数小；本题被除数的十位数，除数个位数没有错，解答此题关键是先求出被除数的十位数，除数个位数，结合错误的数字，求出正确的被除数与除数；根据除数是两位数的除法计算方法：先用除数去试除被除数的前两位数；如果前两位比除数小，再除前三位数；除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面，余数必须比除数小；计算出正确结果。 【规范解答】因为第二次除时8□×2的个位是4，2×2＝4，2×7＝14，当除数是87时，87×2＝174，结合9□－87不可能等于17，所以除数个位是2，12＋82＝94，可知被除数十位数字是4，因为小胖在除法时不当心把除数十位上的“3”写成“8”，被除数百位上的“6”写成了“9”，个位上的“7”写成了“4”。 所以正确的除数是32，被除数是687，正确的答案是：687÷32＝21……15； 。 8．（25-26四年级上·全国·单元测试）延安是中国革命的摇篮。延安某纪念馆工作人员为满足游客的需求，定制了一批革命纪念品。 定制优惠方案 ①不满30件，不予优惠； ②满30件，但不超过80件，超过30件的部分，每满300减30元； ③超过80件，80件按第2条方案优惠，超过80件的部分每件减3元。 （1）定制这些纪念品一共花了3150元，该纪念馆一共定制了多少件革命纪念品？ （2）由于进购数量多，该纪念馆直接以15元/件的价格进购了300件纪念品。按标价卖出的定制纪念品件数比剩下的多42件，此时降价出售，卖完后共获利3939元，剩下的降价了多少元售卖？ 【答案】（1）200件 （2）9元 【思路引导】（1）先求出定制30件纪念品需要的钱数；用30乘18即可。再求出定制30件至80件的部分需要的钱数，用件数（80－30）乘18，然后满足每满300元的要减去30元。超过80件的部分花的钱数＝花的总钱数－定制30件纪念品需要的钱数－定制30件至80件的部分需要的钱数。定制的件数＝超过80件的部分花的钱数÷超过80件的部分每件的钱数。定制的总件数＝80件＋超过80件的件数。 （2）用总数加上多的42件，算出结果在除以2，就是按标价卖出的件数。用总件数300减去按标价卖出的件数就是降价卖出的件数。按标价卖出的纪念品获利的钱数＝卖出的件数×（标价－定制价格）。降价卖出的纪念品共获利的钱数＝卖完后共获利的钱数－按标价卖出的纪念品获利的钱数，降价后每件获利的钱数＝按标价卖出的纪念品获利的钱数÷降价的件数，降价的钱数＝标价－（定制价格＋降价后获利）。 【规范解答】（1）30×18＝540（元） （80－30）×18 ＝50×18 ＝900（元） 30×3＝90（元） 900－90＝810（元） 3150－540－810 ＝2610－810 ＝1800（元） 1800÷（18－3） ＝1800÷15 ＝120（件） 80＋120＝200（件） 答：该纪念馆一共定制了200件革命纪念品。 （2）（300＋42）÷2 ＝342÷2 ＝171（件） 171×（32－15） ＝171×17 ＝2907（元） 3939－2907＝1032（元） 1032÷（300－171） ＝1032÷129 ＝8（元） 32－（15＋8） ＝32－23 ＝9（元） 答：剩下的降价了9元售卖。 【考点剖析】解决此类问题的关键是按照分段的要求算出满足前两段的最多的价钱。计算时注意每一段的满减条件。然后再根据单价、数量、总价之间的关系求解。 9．（23-24五年级上·湖南张家界·期中）实验小学买了8个足球和12个篮球，一共用去984元；实验中学买了同样的16个足球和10个篮球，共用去1240元。那么每个足球多少元，每个篮球多少元？ 【答案】每个足球45元，每个篮球52元。 【思路引导】由题意可知，8个足球和12个篮球，一共用去984元，则16个足球和24个篮球，共需要984×2＝1968元，用1968减去1240即可求出24－10＝14个篮球的总价，然后根据总价÷数量＝单价，据此求出每个篮球多少元；进而求出12个篮球的总价，用984减去12个篮球的总价就是8个足球的总价，再用足球的总价除以8即可求出每个足球的价格。 【规范解答】篮球：（984×2－1240）÷（24－10） ＝728÷14 ＝52（元） 足球：（984－52×12）÷8 ＝（984－624）÷8 ＝360÷8 ＝45（元） 答：每个足球45元，每个篮球52元。 【考点剖析】本题考查三位数除以两位数、价格问题，求出1个篮球的钱数是解题的关键。 10．（23-24四年级上·湖北黄石·期末）张老师从学校步行去公园，每分钟走60米，走了8分钟后，李老师从学校骑自行车去追张老师，结果在距学校720米的地方追上张老师。李老师骑自行车的速度是多少米/分？ 【答案】180米/分 【思路引导】根据题意可知，两位老师都走了720米，张老师每分钟走60米，720除以60等于张老师行走的时间，由于张老师走了8分钟后李老师才去追，所以李老师比张老师少用了8分钟，张老师行走的时间减8等于李老师骑行的时间，再用骑行路程720米除以李老师骑行的时间即等于李老师骑行的速度，据此即可解答。 【规范解答】720÷（720÷60－8） ＝720÷（12－8） ＝720÷4 ＝180（米/分） 答：李老师骑自行车的速度是180米/分。 【考点剖析】本题考查了追及问题，掌握相应的数量关系式是解答本题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 除数是两位数的除法（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 口算与估算能力： 整十数除整十数、几百几十数的口算方法，以及两、三位数除以两位数的估算技巧。 熟练掌握口算除法，能快速准确计算整十数除法；灵活运用四舍五入法进行估算，提升计算效率。 多以填空、选择形式出现，考查对基本口算方法的掌握和估算技巧的运用。 笔算方法与步骤： 从被除数高位除起，先用除数试除被除数前两位，若不足再除前三位；除到哪一位商写在哪一位上；余数必须小于除数。 规范笔算步骤，确保每一步计算准确无误，余数处理得当，提高笔算正确率。 常以竖式计算题形式出现，重点考查笔算步骤的完整性和准确性。 试商与调商技巧： 运用四舍五入法试商，试商大了调小，试商小了调大；根据余数与除数关系调整商。 熟练掌握试商方法，能根据试商结果快速调整商，提高计算速度和准确性。 多在笔算题中结合考查，检验学生试商和调商的灵活运用能力。 商的位数判断： 三位数除以两位数时，被除数前两位小于除数则商是一位数，大于或等于除数则商是两位数。 能快速判断商的位数，为准确计算提供基础，避免计算错误。 常以填空、选择形式出现，考查对商位数判断方法的掌握。 商的变化规律： 除数不变，被除数与商同向变化；被除数不变，除数与商反向变化；被除数和除数同时变化，商不变。 理解并牢记商的变化规律，能运用规律进行简便计算和解决实际问题。 多以填空、选择、解决问题形式出现，考查对规律的理解和应用能力。 有余数的除法关系： 在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数之间的关系，即被除数=商×除数+余数。 掌握有余数除法中各部分的关系，能根据已知条件求出未知量。 常以填空、解决问题形式出现，考查对关系式的理解和运用。 知识点01：口算除法 1.整十数除整十数的口算： （1）方法1（想乘法算除法）： 例如，80 ÷ 20 = ？ 想：20 × (4) = 80，所以 80 ÷ 20 = 4。 （2）方法2（利用表内除法）： 例如，80 ÷ 20 = ？ 把80看作8个十，20看作2个十，8个十 ÷ 2个十 = 4，所以 80 ÷ 20 = 4。 2.整十数除几百几十数的口算： （1）方法类似： 例如，150 ÷ 30 = ？ 想：30 × (5) = 150，所以 150 ÷ 30 = 5。 或 15个十 ÷ 3个十 = 5。 3.两位数除两位数（能整除，且商是一位数）的估算： （1）方法： 把被除数和除数都看作与它们接近的整十数，再口算出结果。 （2）例如，83 ÷ 20 ≈ ？ 83 ≈ 80，80 ÷ 20 = 4，所以 83 ÷ 20 ≈ 4。 （3）又如，80 ÷ 19 ≈ ？ 19 ≈ 20，80 ÷ 20 = 4，所以 80 ÷ 19 ≈ 4。 4.两位数除几百几十数（能整除，且商是一位数）的估算： （1）例如，122 ÷ 30 ≈ ？ 122 ≈ 120，120 ÷ 30 = 4，所以 122 ÷ 30 ≈ 4。 （2）又如，120 ÷ 28 ≈ ？ 28 ≈ 30，120 ÷ 30 = 4，所以 120 ÷ 28 ≈ 4。 知识点02：笔算除法（一）—商是一位数（用“四舍五入”法试商） 1.计算法则核心步骤： “四舍五入”法试商、调商、除的顺序、商的书写位置、余数处理。 2.用“四舍”法试商（除数的个位是1、2、3、4）： （1）步骤： ①把除数看作和它接近的整十数。 ②用口算除法的方法试商。 ③用试得的商和原来的除数相乘，看够不够减，余数是否比除数小。 ④如果商大了（乘积大于被除数），就把商调小1再试；如果商正好或余数小于除数，就确定商。 （2）例如：84 ÷ 21 = ？ 把21看作20试商，84 ÷ 20想商4。21 × 4 = 84，正好，所以商4。 （3）例如：197 ÷ 39 = ？ 把39看作40试商，197 ÷ 40想商4。39 × 4 = 156，197 - 156 = 41。余数41比除数39大，说明商小了，改商5。39 × 5 = 195，197 - 195 = 2，余数2 < 39，所以商5。 3.用“五入”法试商（除数的个位是5、6、7、8、9）： （1）步骤： 同上。 （2）例如：178 ÷ 36 = ？ 把36看作40试商，178 ÷ 40想商4。36 × 4 = 144，178 - 144 = 34。余数34 < 36，商4合适。 （3）例如：270 ÷ 38 = ？ 把38看作40试商，270 ÷ 40想商6。38 × 6 = 228，270 - 228 = 42。余数42 > 38，商小了，改商7。38 × 7 = 266，270 - 266 = 4，余数4 < 38，所以商7。 知识点03：笔算除法（二）—商是两位数 1.商是两位数的判断： 被除数的前两位大于或等于除数，商是两位数。 2.计算步骤： （1）除： 先用除数去除被除数的前两位。 （2）商： 商写在被除数的十位上面。 （3）乘： 商和除数相乘，积写在被除数前两位的下面。 （4）减： 从被除数的前两位中减去乘积，看余数是否比除数小。 （5）比： 比较余数和除数的大小。 （6）落： 把被除数个位上的数落下来，和十位上的余数合在一起，再继续除。 （7）重复： 重复以上步骤，商写在被除数的个位上面。 （8）注意： 每次除得的余数必须比除数小。 知识点04：商的变化规律 1.规律一： 除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。 （1）例如：16 ÷ 8 = 2 ①160 ÷ 8 = 20 （被除数×10，除数不变，商×10） ②16 ÷ 8 = 2 ③8 ÷ 8 = 1 （被除数÷2，除数不变，商÷2） 2.规律二： 被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。 （1）例如：160 ÷ 8 = 20 ①160 ÷ 16 = 10 （除数×2，被除数不变，商÷2） ②160 ÷ 8 = 20 ③160 ÷ 4 = 40 （除数÷2，被除数不变，商×2） 3.规律三（商不变的性质）： 被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。 （1）例如：80 ÷ 20 = 4 ①(80 × 2) ÷ (20 × 2) = 160 ÷ 40 = 4 ②(80 ÷ 10) ÷ (20 ÷ 10) = 8 ÷ 2 = 4 （2）应用： 可以利用商不变的性质进行简便计算（主要是被除数和除数末尾都有0的情况）。 ①例如：630 ÷ 70 = (630 ÷ 10) ÷ (70 ÷ 10) = 63 ÷ 7 = 9 知识点05：解决实际问题 1.常见数量关系： （1）总价 ÷ 单价 = 数量 （2）路程 ÷ 速度 = 时间 （3）工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 （4）总产量 ÷ 单产量 = 数量 （5）（这些关系在具体问题中灵活运用，有时会需要乘法） 2.“进一法”和“去尾法”的应用： （1）进一法： 在解决实际问题时，即使剩下的不多，不够一份，也要向前一位进一。 （2）去尾法： 在解决实际问题时，即使剩下的部分够一份，也不能算一份，要舍去。 3.估算解决问题： （1）题目中出现“大约”、“估一估”等词语时，或不需要精确结果时，可以用估算。 （2）估算时要根据实际情况选择合适的估算方法（往大估、往小估或四舍五入）。 题型一 除数是整十数的口算除法 【例1】（24-25四年级上·河北保定·期末）直接写得数。 300×50＝     7200÷800＝      613＋77＝        630÷（30×3）＝ 502×21≈     212÷69≈      72万－48万＝       475－15×5＝ 【变式】（24-25四年级上·安徽淮南·期末）爸爸步行的速度是3千米/时，妈妈步行的速度是50米/分，他们的步行速度哪个快？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．同样快 题型二 除数是两位数的估算 【例2】（24-25四年级上·福建厦门·期末）2025国际工业自动化及机器人展将在上海举行，吸引全球各大自动化品牌参展。李叔叔从厦门开小轿车到上海参展，厦门到上海的距离约为1100千米。 （1）李叔叔以100千米/小时的速度行了3小时后，到达某服务区。如图所示，该服务区的位置大约在（    ）号。 （2）休息后，李叔叔从该服务区继续出发，在不违反交通规则的情况下，李叔叔最快再过7小时可以到达上海吗？请说明你的理由。 【变式】（24-25四年级上·河北邯郸·期末）直接写得数。 90÷30＝        73－54＝          80×120＝          80÷16＝ 67×2＝      13×50＝          240÷60＝          632÷90≈ 题型三 除数是整十数的笔算除法 【例3】（24-25四年级上·河南许昌·期末）一辆摩托车和一辆小汽车分别从相距320千米的甲乙两地相向而行，已知摩托车从甲地出发一段时间后小汽车才从乙地出发，摩托车每小时行驶50千米，小汽车每小时行驶85千米，小汽车行驶了2小时后两车相遇，相遇时摩托车行驶了多少小时？ 【变式】（24-25四年级上·河南许昌·期末）括号里最大能填几？ 80×( )＜567     ( )21÷48，商是一位数 4( )0000＜452007        27( )999≈27万 题型四 除数是两位数的笔算除法 【例4】（24-25四年级上·陕西安康·期中）列竖式计算。（带※的要验算） 134×57＝           305×52＝          860×90＝ ※840÷24＝         612÷18＝          ※672÷48＝ 【变式】（25-26四年级上·全国·单元测试）某干果店运进一批坚果，销售方案如下表。 销售方案1 1斤装 每斤28元 销售方案2 2斤装 一盒每盒55元 为了刺激顾客消费，该干果店调整了销售方案2，增加了“买两盒赠一斤”的优惠。某公司为了庆祝中秋节，要用500元钱去购买坚果，请你算算，按调整后的销售方案2购买，能买多少斤？比按销售方案1购买多买多少斤？ 题型五 多位数除以两位数的试商 【例5】（24-25四年级上·贵州安顺·期末）计算460÷39时，可以把除数看成 来试商，商是 位数。 【变式】（24-25四年级上·贵州黔东南·期末）计算357÷52时，把52看成( )来试商，商是( )，商偏( )（填“大”或“小”），调商( )，余数是( )。 题型六 判断商是几位数（除数是两位数） 【例6】（24-25四年级上·河南漯河·期末）要使□的商是两位数，□里的数有（    ）种填法。（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 【变式】（24-25四年级上·新疆乌鲁木齐·期末）在3□4÷33中，如果商是一位数，□里最大填( )；如果商是两位数，□里最小填( )。 题型七 单归一问题 【例7】（24-25四年级上·湖南益阳·期末）大国工匠袁隆平是我国著名的杂交水稻专家，也是我国研究与发展杂交水稻的开创者，被誉为“杂交水稻之父”。他指导的海南杂交水稻试验田18公顷产量约288吨。某小型基地有24公顷这样的水稻试验田，其产量约是多少吨？ 【变式】（24-25四年级上·贵州黔南·期末）5G技术加快了贵州数字经济的步伐。5G具有高速率、低时延等特征。运用5G网络，15秒可下载1380兆文件，按照这样的速度，妈妈下载一份文件用时9秒，这份文件有多少兆？ 题型八 双归一问题 【例8】（23-24四年级上·陕西安康·期末）四（1）班同学们保护环境，利用课余时间收集废旧电池，21名同学两周共收集了882节废旧电池，平均每人每天收集（    ）节废旧电池。 A．5 B．4 C．3 D．2 【变式】（23-24四年级上·湖北黄冈·期末）四年级在向流动图书馆捐赠活动中，共捐赠了900本图书，要把这些图书25本装一捆，6捆装一箱，一共需要装多少个箱子？ 题型九 归总问题 【例9】．（24-25四年级上·安徽芜湖·期末）王叔叔从县城出发去王庄镇送化肥。去时的速度是42千米/时，用了4小时。回来时原路返回，用了3小时，回来时的速度是多少？ 【变式】（24-25四年级上·湖南株洲·期末）小明从图书馆借了一本科幻小说，计划平均每天看28页，27天可以看完。如果想在免费借阅时间内看完，那么平均每天需要看多少页？ 图书室逾期费用收取标准 每本图书免费借阅时间为三周（21天），超时按每本0.1元/天收取逾期费用。 题型十 商的变化规律及应用 【例10】（23-24四年级上·湖南张家界·期末）两个数相除，商是23，如果在被除数和除数的末尾都添上两个0，商( )；如果被除数扩大到原来的10倍，除数不变，商( )。 【变式】（25-26四年级上·广东·期末）（1）已知算式23×5＝115，那么230×5＝ ；23× ＝11500。 （2）已知算式504÷42＝12，那么504÷84＝ ；252÷ ＝12。 题型十一 商不变的规律及应用 【例11】（24-25四年级上·新疆乌鲁木齐·期末）小明在用计算器计算97500÷150时，错误地输入了9750÷150，除了按清除键清除后再重新输入外，下列操作（    ）也可以弥补错误。 A．÷10 B．×10 C．×100 【变式】（24-25四年级上·贵州黔西·期末）490÷30＝16……10，如果被除数和除数同时乘10，余数是（    ）。 A．1 B．10 C．100 D．1000 题型十二 相遇问题 【例12】（24-25四年级上·山东临沂·期末）甲、乙两人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇。如果两人的速度各增加1千米/时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。甲、乙两人原来的速度各是多少？ 【变式】（24-25四年级上·浙江杭州·期末）A、B两城相距560千米，甲、乙两车同时分别从A、B两城相对开出，甲车每小时行65千米，乙车每小时行75千米。几小时后两车相遇？ 题型十三 追及问题 【例13】．（22-23四年级上·福建厦门·期末）10月1日，聪聪全家要跟旅行团到广州旅游，聪聪要先到学校参加升旗仪式后才能出发。爷爷奶奶先乘坐大巴车以平均每小时76千米的速度从厦门出发，沿着沈海高速公路开往广州，2小时后，爸爸载着聪聪以平均每小时114千米的速度从厦门出发，沿着同一路线追赶，几小时后能追上？（两车均未到达广州） 【变式】（20-21四年级上·全国·期末）快车和慢车从甲地开往乙地，快车每小时行60千米，慢车每小时行30千米。如果慢车比快车早出发3小时，当快车追上慢车时，快车行了多远？ 题型十四 火车过桥问题 【例14】（24-25四年级上·浙江杭州·期末）一列火车长234米，以26米/秒的速度向前行驶，这列火车通过一座长676米的桥梁需要多长时间？ 【变式】（20-21四年级上·四川自贡·期末）一列火车通过米的大桥需要秒，以同样的速度穿过米长的隧道需要秒，这列火车的速度是每秒 米，车身长 米。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25四年级上·浙江台州·期末）明明在解决“有183本故事书，每个班分13本，可以分给几个班？”时列了图的竖式，竖式中箭头所指的数表示的是（    ）。 A．1个班分掉13本 B．10个班分掉13本 C．1个班分掉130本 D．10个班分掉130本 2．（25-26四年级上·广东·期末）已知■÷●＝6，如果■和●同时扩大到原来的10倍，则商的变化是（    ）。 A．扩大到原来的100倍 B．缩小到原来商的 C．大小不变 D．扩大到原来的10倍 3．（24-25四年级上·河北张家口·期末）在试商时，如果余数比除数大，那么应把商（    ）。 A．不变 B．调小 C．调大 D．不确定 4．（24-25四年级上·贵州遵义·期末）书籍是人类智慧的源泉，也是人类进步的阶梯。蓝天小学为深入开展“书香校园”读书节活动，新购进了336本课外书。王老师要把这些书摆放在书架上，每个书架有6层，每层能放25本书。336÷25÷6解决的问题是（    ）。 A．平均每层书架上放多少本书？ B．需要多少个这样的书架？ C．平均每个书架放多少本书？ D．一共放多少层？ 5．（24-25四年级上·湖南株洲·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 200公顷( )20平方千米   520－13( )800÷16   123560000( )98070000 6．（24-25四年级上·青海果洛·月考）要使□66÷62的商是一位数，□里最大填( )；要使4□8÷46的商是两位数，□里最小填( )。 7．（24-25四年级上·河北保定·期末）计算587÷48，把48看作50来试商，初商偏小。( )（判断对错） 8．（25-26四年级上·广东广州·期末）直接写出得数。 50×20＝    110×30＝    15×30＝    84÷4＝ 105×4＝    320÷80＝    492÷70≈    320÷79≈ 9．（23-24四年级下·山东日照·期末）“泥塑”又称“彩槊”，是中国古老的民间艺术。某泥塑制造厂接到制作5000枚彩塑鸡蛋的订单。如果每盘放24枚彩蛋，每箱可以放4盘。工厂准备50个箱子够用吗？ 10．（24-25四年级上·广西柳州·期末）中国古代陆地的交通工具主要为马匹，据说千里马可“日行千里，夜行八百”，即白天能行走一千里（约是现在的500千米），晚上能行八百里（约是现在的400千米）。 （1）古代的千里马速度约是30千米/时，白天按12小时计算，它真能“日行千里”吗？ （2）随着科技发展，古代的“千里马”被现代的很多交通工具替代。先选择一种交通工具（在表中圈出来），再算一算其“行千里”需要多长时间？ 交通工具 速度 50千米/时 100千米/时 250千米/时 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25四年级上·湖南株洲·期末）计算288÷32时，把除数看作30来试商，商可能会（    ）。 A．正好 B．偏小 C．偏大 2．（24-25四年级下·山东济南·期末）山东某历史博物馆推出玉玺交通卡，刘先生用550元购买了21张交通卡，还剩25元。奇奇列式为“（550－25）÷21”，他要解决的问题是（    ）。 A．买21张交通卡用了多少元 B．550元一共能买多少张交通卡 C．剩下的钱还能买多少张交通卡 D．交通卡的单价是多少 3．（24-25四年级下·浙江温州·期末）今年5月8日起，杭温高铁推出“计次·定期票”，从温州北到杭州西买普通票要140元，购买“计次·定期票”30次只需3420元。平均每张票比普通票便宜（    ）元。 A．114 B．36 C．26 D．16 4．（25-26四年级上·广东广州·期末）一辆汽车的速度是每小时85千米。照这样的速度，这辆汽车7小时可以行驶( )千米；行驶425千米，需要( )小时。 5．（25-26四年级上·广东广州·期末）□37÷37，要使商是两位数，□里最小填 ；要使商是一位数，□里最大填 。 6．（24-25四年级上·贵州安顺·期末）笔算除法试商时，如果余数比除数大，说明商大了。( )（判断对错） 7．（25-26四年级上·广东广州·期末）列竖式计算，带※的要验算。 43×609＝     295×46＝      533÷89＝     ※946÷73＝ 8．（25-26四年级上·广东广州·期末）幸福村为发展旅游业，决定将一块长方形花田按要求扩大（如下图）。如果长不变，宽增加了24米，扩大后的花田面积是多少？ 下面是两位同学的思考过程，请按要求填空或列式解答。 文文的方法： 360÷12＝30（m） 这一步求的是：( )； 30×（12＋24）＝1080（m2） 这一步求的是：( )； 小晴的方法： 我先算扩大后花田的宽与原来宽之间的倍数关系，再求扩大后的花田面积。 列式计算：( ) 答：( )。 9．（25-26四年级上·陕西安康·月考）《九章算术》中有这样一道题：“今有田广十五步，从（zòng）十六步。问为田几何？”答曰：“一亩。”（“步”是古代的长度单位，可借助计算器进行计算） 这道题的意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步。问这块田的面积是多少？”答：“一亩。” （1）若今有长方形田广15步，从160步，则它的面积是多少亩？ （2）若有（1）题中的田地15块，则总面积约是多少公顷？（15亩约为1公顷） 10．（24-25四年级上·湖南邵阳·期末）以下是水果店的价格表：苹果每千克9元；香蕉每千克7元；橙子每千克？元（价格未知）。 问题1：小刚买了苹果和香蕉各5千克。买香蕉比买苹果少花多少钱？ 问题2：妈妈买了4千克苹果和6千克橙子，总共支付了126元。每千克橙子多少钱？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23四年级上·河北廊坊·期末）某品牌免洗抑菌洗手液一瓶50元，买5瓶送1瓶，750元最多可以买（    ）瓶。 A．16 B．18 C．50 2．（22-23四年级上·河北廊坊·期末）工厂有552千克消毒液，每天使用12千克，这批消毒液可以使用多少天？小米用图中笔算的方法计算了552÷12的结果，下图方框中的“48”表示的是（    ）。 A．4天使用了48千克消毒液 B．40天使用了48千克消毒液 C．40天使用了480千克消毒液 3．（22-23四年级上·湖南娄底·期末）下面的动物中，奔跑的速度最快的（    ）。 A．跳羚每分钟跑1440米 B．长颈鹿3分钟跑3千米 C．鸵鸟奔跑速度是60千米/时 D．猎豹每秒可以跑34米 4．（22-23四年级上·浙江宁波·期末）图中除法竖式的除数是( )，被除数是( )。 5．（21-22四年级上·广东汕头·期末）如果A÷B＝5，那么B除以2，A乘6后结果是( )。 6．用竖式计算，带★的要验算。 ★234×16＝      ★792÷36＝ 108×25＝      612÷18＝            520÷89＝ 7．（25-26四年级上·全国·单元测试）小胖在除法时不当心把除数十位上的“3”写成“8”，被除数百位上的“6”写成了“9”，个位上的“7”写成了“4”，得到了错误的结果“12”，你能帮助他提出正确的答案吗？ 8．（25-26四年级上·全国·单元测试）延安是中国革命的摇篮。延安某纪念馆工作人员为满足游客的需求，定制了一批革命纪念品。 定制优惠方案 ①不满30件，不予优惠； ②满30件，但不超过80件，超过30件的部分，每满300减30元； ③超过80件，80件按第2条方案优惠，超过80件的部分每件减3元。 （1）定制这些纪念品一共花了3150元，该纪念馆一共定制了多少件革命纪念品？ （2）由于进购数量多，该纪念馆直接以15元/件的价格进购了300件纪念品。按标价卖出的定制纪念品件数比剩下的多42件，此时降价出售，卖完后共获利3939元，剩下的降价了多少元售卖？ 9．（23-24五年级上·湖南张家界·期中）实验小学买了8个足球和12个篮球，一共用去984元；实验中学买了同样的16个足球和10个篮球，共用去1240元。那么每个足球多少元，每个篮球多少元？ 10．（23-24四年级上·湖北黄石·期末）张老师从学校步行去公园，每分钟走60米，走了8分钟后，李老师从学校骑自行车去追张老师，结果在距学校720米的地方追上张老师。李老师骑自行车的速度是多少米/分？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $