5.4.4二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 同步练习 2025--2026学年青岛版九年级数学下册

5.4.4二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 知识点一：二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．对于二次函数y＝﹣3（x+2k）2+k（a≠0）而言，无论k取何实数，其图象的顶点都在（　　） A．x轴上 B．直线y＝﹣x上 C．直线y＝x D．直线y＝x上 3．关于二次函数的图象及性质，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，y取得最小值，且最小值为 C．顶点坐标为 D．当时，y的值随x值的增大而增大 4．已知二次函数y=a（x﹣1）2+b（a≠0）有最小值﹣1，则a与b之间的大小关系是（　　） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定 5．如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，表达式中的h，k，m，n都是常数，则下列关系不正确的是（　　）        A．h＜0，k＞0 B．m＜0，n＞0 C．h=m D．k=n 6．已知点，，在函数（m为常数）的图像上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 知识点二：二次函数y=a（x-h）²+k图象的平移 1．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得，所得新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．已知二次函数，若其图象抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是 ． 4．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1)试确定，，的值； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 能力提升 一、单选题 1．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，则k的值是(    ) A． B．－ C． D．－ 5．若抛物线的顶点在第四象限，则m的值可以为（　　） A． B．3 C． D．2 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 二、填空题 7．下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是 ． 三、解答题 8．如图是二次函数的图象，其顶点坐标为． （1）直接写出、的值； （2）求二次函数的图象与轴的交点，的坐标； （3）在二次函数的图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5.4.4二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 答案 知识点一：二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 1．B 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 故选：B． 2．C 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标，然后求解即可． 【详解】解：顶点坐标为（−2k，k）， ∴图象的顶点都在直线y＝x上． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上的点的坐标特征，判断出顶点的横坐标与纵坐标的特征是解题的关键． 3．B 【分析】根据二次函数的性质逐项分析即可． 【详解】∵二次函数解析式为：， ∴该二次函数图象对称轴是直线，故A不符合题意； 当时，y取得最小值，且最小值为，故B符合题意； 顶点坐标为，故C不符合题意； ∵3>0， ∴该二次函数图象开口向上， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故D不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 4．C 【分析】根据函数有最小值判断出a的符号，进而由最小值求出b，比较a、b可得出结论． 【详解】解：∵二次函数y=a（x﹣1）2+b（a≠0）有最小值， ∴抛物线开口方向向上，即a＞0； 又最小值为﹣1，即b=﹣1， ∴a＞b． 故选C． 【点睛】考查的是二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 5．D 【详解】分析：借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系． 详解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），对称轴都是直线x=m或x=h，即h＜0，k＞0，m＜0，n＞0，m=h，因为点（h，k）在点（m，n）的下方，所以k=n不正确．     故选D． 点睛：本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．能直接根据函数的解析式说出其顶点坐标是解决此题的关键． 6．D 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图像开口向下，对称轴左边y随x的增大而增大，对称性求得的对称点进行比较． 【详解】解：， ∴图像的开口向下，对称轴是直线，对称轴左边y随x的增大而增大， ∵关于直线的对称点是， 又， , 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性及增减性． 知识点二：二次函数y=a（x-h）²+k图象的平移 1．A 【分析】本题主要考查了抛物线的平移问题，根据平移的规律“左加右减，上加下减”，即可求解，熟练掌握抛物线的平移的规律“左加右减，上加下减”是解决此题的关键． 【详解】解：根据平移规律可知：所得新抛物线的解析式为， 故选：A． 2．A 【详解】试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y＝a(x－4)2－4(a≠0)可求出a=1. 故选A 3． 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据平移确定出新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标，然后根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据顶点坐标写出解析式即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化解答抛物线的变化，准确找出新坐标系中顶点的坐标是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位， ∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为， ∴新坐标系下抛物线的解析式是． 故答案为． 4．(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的图象性质，可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）解：二次函数，即 ∵， ∴图象开口向下， 二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 能力提升 1．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出，．解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键． 观察二次函数图象，找出，，再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标在第四象限， ∴， ∴，． ∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限； ∵一次函数，，， ∴一次函数的图象过第一、三、四象限． 只有B符合． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的性质，由题意可得抛物线的对称轴为直线，根据对称性可知与时的函数值相同，利用抛物线当时，y随x的增大而减小即可判定，的大小，由于当时，函数由最小值可得最小，由此可得结论． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为，当时，函数有最小值， ， 最小， 抛物线是轴对称图形，对称轴为直线， 与时的函数值相同， 抛物线当时，y随x的增大而减小，， ， ， 故选：B． 3．B 【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，y的值随x值的增大而减小，由于时，y的值随x值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y的值随x值的增大而减小． 又∵时，y的值随x值的增大而减小， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的对称轴为直线，当，时，y的值随x值的增大而增大．当，时，y的值随x值的增大而减小；当，时，y的值随x值的增大而减小．当，时，y的值随x值的增大而增大是解题关键． 4．D 【分析】根据二次函数的最小值为0可得(2k+1)2-4(k2-1)=0，求出k的值即可. 【详解】∵二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0， ∴(2k+1)2-4(k2-1)=0， 解得k=. 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的性质及最值，当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即图像的最低点，最小值为y=，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式是解题关键. 5．D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线顶点在第四象限，抛物线开口向上，可得抛物线与轴有两个交点且抛物线对称轴在轴右侧，进而求解． 【详解】解：抛物线的顶点在第四象限，且抛物线开口向上， 抛物线与轴有2个交点，且抛物线对称轴在轴右侧， ， ， 的值可以为2． 故选项D符合题意． 故选：D． 6．B 【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果． 【详解】∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1=5， 解得：h=﹣1或h=3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可． 7．①②④ 【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得． 【详解】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象 该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确 对于 当时， 即该函数的图象一定经过点，结论②正确 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 则结论③错误 的顶点坐标为 对于二次函数 当时， 即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确 综上，所有正确的结论序号是①②④ 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 8．（1），；（2），；（3）存在点，坐标为或 【分析】（1）由顶点坐标确定m、k的值； （2）令y=0求得图象与x轴的交点坐标； （3）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB中AB边上的高，然后得出P点纵坐标代入二次函数表达式求得P点坐标． 【详解】解：（1）由顶点坐标为M（1，-4）可知二次函数解析式为． ∴，； （2）在中，令 得， 解得，， ∴，． （3）∵与同底，且， ∴，即． 又∵点在的图象上， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴存在点，坐标为或，使． 【点睛】本题考查了由二次函数顶点式的求法及抛物线与x轴交点坐标的求法，以及给出面积关系求点的坐标，综合体现了数形结合的思想． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $