5.3诱导公式第1课时 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式（二~四），通过复习三角函数定义、公式一及同角关系导入，以圆的对称性为核心，搭建从任意角到锐角三角函数值转化的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点是借助单位圆对称性引导学生合作探究公式推导，体现数学眼光（几何直观）和思维（推理能力），例题分层且步骤详尽，帮助学生用数学语言表达转化过程，利于学生掌握逻辑推理与应用能力，教师可直接用于教学提升效率。

第五章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.3 诱导公式 情境导入 回顾1 三角函数的概念是什么？ 借助单位圆，我们推导出了三角函数的定义： 正弦函数:；(把点P的纵坐标y叫做∠α的正弦函数) 余弦函数:；(把点P的横坐标x叫做∠α的余弦函数) 正切函数:． （把点P的纵坐标和横坐标的比值叫做∠α的正切函数） 复习引入 回顾2 根据三角函数定义，公式（一）及同角三角函数的基本关系 是如何表示的？ 公式一 其中 平方关系： 商的关系： 我们是如何研究出这些公式的呢？ 单位圆 角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值的关系 复习引入 我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质. 由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.   利用公式一，可把求任意角的三角函数值，转化为求的三角函数值． 如果，我要把这个范围在进行缩小：从非锐角转化为转化为锐角. 探究新知1—— 三角函数的诱导公式（二~四） 下面，借助单位圆的对称性进行探究 合作探究 如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点. (1)分别在单位圆中做出点关于原点对称点、关于轴对称点、关于轴对称点的点的位置并写出对应点的坐标； (2)根据三角函数的定义，分别写出，，，的三角函数值； (3)观察的三角函数值分别与三角函数值有什么关系？ 借助单位圆的对称性进行探究（原点对称） 如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即 设，. 因为是点关于原点的对称点 所以， 根据三角函数的定义，得： 公式二:(关于原点对称) 探究新知1—— 三角函数的诱导公式（二~四） 借助单位圆的对称性进行探究（轴对称） ， 公式三:(关于x轴对称) 探究新知1—— 三角函数的诱导公式（二~四） 根据三角函数的定义，得： 根据三角函数的定义，得： 借助单位圆的对称性进行探究（轴对称） ， 公式四:(关于y轴对称) 探究新知1—— 三角函数的诱导公式（二~四） 公式一：(终边相同；） 公式二：(原点对称) 公式三：(x轴对称) 公式四：(y轴对称) 追问 这四个诱导公式有什么规律？ 问题 这四个诱导公式有什么规律？ 结为一句话：函数名不变，符号看象限. 的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号． 探究新知1—— 三角函数的诱导公式（二~四） 探究新知2—— 诱导公式的应用 例1.利用公式求下列三角函数值： (1)；(2)(3)(4) 解：(1) (2) (3) (4) 追问 由例1，你对公式一公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？(小组之间可以相互探讨) 题型一　给角求值 应用新知 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 负化正 用公式一或三将负角的三角函数转化为正角的三角函数 大化小 用公式一将所求角的三角函数化为0º～360º间的角的三角函数 小化锐 用公式二或四将大于90º的角的三角函数转化为锐角的三角函数 锐求值 转化为锐角的三角函数后求值 应用新知 1．将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上： 练习（第191页） 题型一　给角求值 应用新知 练习（第191页） 2．利用公式求解下列三角函数值： 应用新知 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 锐角的三角函数 的角的三角函数 用公式 三或一 用公式 二或四 用公式一 数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数表，并通过公式一～公式四，按上述步骤解决了问题．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以这些公式的“求值”作用已经不重要了，但它们所体现的三角函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要的作用． 应用新知 典例分析 例2.化简 题型二　三角函数式的化简 典例分析 例2.化简 解： 所以，原式 牢记公式 认真运算 题型二　三角函数式的化简 应用新知 练习（第191页） 练习，三维设计P96 选做，三维设计P96 应用新知 练习（第191页） 4．填表： 　已知cos=,则cos= 　　　　.  例 2 - cos =cos =-cos=-. 题型三　给式(值)求值 23 1.若本例中的条件不变,求cos的值. 延伸探究 cos=cos =cos =cos=. 24 2.若本例中的条件不变,求cos-sin2的值. 因为cos=cos =-cos=-, sin2=sin2 =1-cos2=1-=, 所以cos-sin2=-- =-. 25 [方法技巧]　解决条件求值问题的两技巧 [提醒]　设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键． 　 练习，三维设计P95 课堂小结 公式一：(终边相同；） 公式二：(原点对称) 公式三：(x轴对称) 公式四：(y轴对称) 总结为一句话： 函数名不变，符号看象限. (2). [解]　原式＝ ＝＝＝－1. [解]　＝ ＝＝＝1. [典例3]　化简：(1)； (2). 解：原式＝ ＝＝＝. 【对点练清】 化简下列各式： (1)； 解：原式＝ ＝＝1. 2．[变条件]将本例(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？ (2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 【对点练清】 1．[变设问]本例(2)条件不变，求cos(255°－α)的值． (2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． [解]　∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角， ∴sin(α－75°)＝－ ＝－ ＝－， ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝. 【对点练清】 1．[变设问]本例(2)条件不变，求cos(255°－α)的值． 解：cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝. 解：因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．由 解得或 (舍去)． 所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝. 2．[变条件]将本例(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？ $